Буслаев А.П. Вероятностные и имитационные подходы к оптимизации автодорожного движения
Подождите немного. Документ загружается.
6.4.
Характеристики
АТП
с
учетом
приоритета
121
Если
при
вычислении
h
kЗ
не
учитывать
этот
множитель,
то
•.
Это
вызовет
завышение
вычисленного
значения
h
kЗ
в
,т.е.
на
1
к
1 -
т
I:
TIPI
/=1
100.
( 1
-1)
1-
т
Е
TIPI
1=1
(33)
Так
как
h
kЗ
< h
k1
< h
k2
И
h
k
= h
k1
+ h
k2
+
h
kз
,
h
kз
< h
k
/3
и,
таким
образом,
завышение
в
вычислении
4н:ач{!ния
h
kз
при
водит
К
завышению
значения
h
k
менее,
чем
100.
~
( 1
-1)
3
(1
-
т
I~1
TIPI
Пусть
h
k
-
значение
h
k
,
вычисляемое
при
от
к
"""'.(>'1'I'EHXU
В
формуле
для
h
kз
множителя
1 -
т
I:
TIP/,
Тогда
1=1
h
k1
+ h
k2
< h
k
<
hZ
= 2h
k1
+ h
k2
<
~(hk1
+ h
k2
) <
~hk'
следует,
что
h
k
<
~hk'
Т.е.
значение
h
k
превышает
менее,
чем
на
50%.
Таким
образом,
еС.1и
не
принимать
во
вHu.мaHиe
при
вы
h
k
возможность
вознш~новен'U.Я
ситуации,
'Когда
учитывать
приоритет
АТС,
наход.ящегос.я
на
nра
nО.10се,
то
nО.1учаетс.я
завышение
в
вычислении
h
k
,
не
~
"
llJf~Rышающее
а%,
где
а
=
100·
max{~
(
1
к
-1)
,0.5}.
1 -
т
I:
Т/Р/
1=1
I
, I
i
122
Глава
5.
Аппроксимация
Бернулли
Получим
теперь
верхнюю
оценку
погрешности,
которая
получается
при
отсутствии
учета
приоритета
АТС,
находя
щегося
справа,
в
вычислении
значения
qk'
Из
формул
(31),
(32)
следует,
что
qkЗ
=
rk(l
- r)Pk +
h
kз
,
(34)
причем
h
kз
<
rkr(l
- r)2
Pk
~
i
r
k(l
- r)Pk'
Таким
образом,
второе
слагаемое
в
правой
части
фор
мулы
(34)
составляет
менее
пятой
части
qkЗ'
Учитывая
(33),
получаем,
что
использование
формул
§5.1
приводит
к
завы
шению
вычисленного
значения
qkЗ
(обозначим
это
заВЬШIен
ное
значение
через
qkЗ)
менее,
чем
на
100· - - 1
1
(1
)
5 1 - r
/~1
rlPI
процентов.
Так
как
отношение
qk
к
qkЗ
больше
3,
то
ис
пользование
формул
§5.1
(не
учитывающих
возможность
си
туации,
когда
проявляется
приоритет
А
те,
находящегося
справа)
приводит
к
завышению
в
вычислении
значения
qk
менее,
чем
на
1
(1
)
100· -
-1
15
к
1 - r
IE
rlP/
(35)
процентов.
Из
формул
(5), (7), (31), (32)
следует,
что
rk(l
- r)Pk <
qkЗ
<
qZЗ
= rk(1 -
r)Pk
+ rkr(1 - r)2
pk
~
5.4.
Характеристики
АТП
с
учетом
приоритета
123
Таким
образом,
значение
qkЗ
превышает
значение
qkЗ
не
бо
лее,
чем
на
25%.
Снова
учтем,
что
qkЗ
составляет
менее
третьей
части
qk.
Учитывая
также
(35),
получаем
следую
шее
утверждение.
Если
'Н,е
nри'Н,и,м,ать
во
в'Н,има'Н,ие
при
вы'Ч,исле'Н,ии
qk
возмож'Н,ость
ситуации,
'Когда
воз'Н,и'Кает
'Н,еобходимость
у'Ч,ета
nриоритета
АТС,
'Н,аход.ящегос.я
справа,
то
вы'Ч,и
сле'Н,'Н,ое
з'Н,а'Ч,е'Н,ие
qk
о'Казываетс.я
завыше'Н,'Н,ы,м,
,м,е'Н,ее,
'Ч,е,м,
на
Ь%,
где
1
(1
)
25
Ь
=
тах{100
. - - 1
-}
15
к
'З
.
1 -
r
I:
rlPI
1=1
Отсюда,
в
'Ч,аст'Н,ости,
следует,
'Ч,то
nолу'Ч,ающа.яс.я
от'Н,о
сuтель'Н,а.я
nогреш'Н,ость
'Н,е
,м,ожет
nревышать
9%.
Как
следует
из
вышеизложенного,
q
и
q*
(q* -
значение
интенсивности
потока,
вычисляемое
по
формулам
§5.1,
при
'DDО,D'-'ДС
которых
не
учитывается
ситуация,
когда
проявля
приоритет
АТС,
находящегося
справа)
различаются
а
от
друга
в
процентном
отношении
меньше,
чем
h
и
Пусть
К
=
1,
Р1
=
р.
При
r = 0.5,
Р
= 0.5
имеем
125
*
63
* 1
q = 256' q = 128' q - q =
256
и,
таким
образом,
q*
превышает
q
менее,
чем
на
1
%;
h = 29 h* =
~
h* _ h = _1_
256' 128'
256
таким
образом,
значение
h*
превышает
h
менее,
чем
на
31
*
63
* 1
q = 32' q = 64' q - q = 64'
124
Глава
5.
Аппроксимация
Бернулли
Т.е.
q*
превыmает
q
менее,
чем
на
2%;
h
=!.-
h*
=
15
32'
64'
h*
- h =
~
64
и,
таким
образом,
h*
превыmает
h
менее,
чем
на
8%.
На
рис.
5.13
приведены
зависимости
q*
и
q
от
r
при
р
= 0.5
на
отрезке
[0.4,
0.7]
0.52
......
.
~
q*
.'
;
io""""
•
.
~
q
'\.
~I\.
\
r
0.5
0.47
0.45
0.42
0.4 0.46 0.52 0.58 0.64 0.7
Рис.
5.13.
Зависимости
q
и
q*
от
плотности
потока
6.5.
Модель
участка
с
препятствием
125
На
рис.
5.14
приведены
зависимости
h*
и
h
от
r
также
при
Р
= 0.5
на
отрезке
[0.4, 0.
7]
0.15
г---.,.----,----..,.----..,.-----,
0.13
h*
................
0.
11
k.--o:!..~~~~~~~
......
-J-
------1
0.09
f----t----+----t---+----"~
0.07
1----+---
-
+-
--
4----4---
-----1
0.
05
'-o-
__
L-
__
.i....-
__
-'--
__
-'--_---'
r
0.4
0.46
0.52
0.58
0.64
0.7
Рис.
5.14.
Зависимости
h
и
h*
от
плотности
потока
Модель
участка
дороги
с
препятствием
на
полосе
Предположим,
что
на
одной
из
полос
дороги
имеется
·
Upепятствие,
которое
АТС
вынуждены
обходить.
В
рассматриваемой
математической
модели
данную
си
будем
описывать
запретом
дЛЯ
АТС
занимать
(N,
2).
Для
простоты
считаем,
что
имеются
две
по
и
один
тип
АТС.
Будем
рассматривать
модель
с
не
рщ:)ыв:ным
временем
(J.ll
=
J.l)
.
Оценим
вероятности
занятости
клеток,
находящихся
по
ЧJ!]lt:з()с'I'И
от
клетки
(N,
2),
и
среднее
врямя,
за
которое
АТС
участок
заданной
длины,
прилегающий
к
выде
Jlенной
клетке.
11
I
~
!
I
<1
!'i
,:i
126
Глава
5.
Аппроксимация
Бернулли
Рассматриваемая
модель
описывается
марковским
про
цессом
с
конечным
множеством
состояний,
в
каждом
из
которых
время
пребывания
экспоненциально.
Для
такого
марковского
процесса
существуют
стационарные
вероятно
сти
состояний
[28]:
Pl(i,
j) =
Нт
Pl(i,
j,
t),
t-too
где
pl(i,j, t) -
вероятность
того,
что
в
момент
времени
t
в
клетке
(i,j)
находится
l
АТС,
l = 0,1.
Можно
предположить,
что
при
r
~
0.5
перед
~лет~ой
(N,1)
образуется
большая
очередь
(затор).
Далее
счи
таем,
что
r < 0.5.
Получим
приближенные
формулы
для
стационарных
ве
роятностей
состояний
клетки
(N, 1).
Предположим,
что
~a
жда.я
из
~лето~
(1,1),
(N
- 1,1),
(N
- 1,2)
занята
с
веро
ятностью
т.
Пусть
л
=
тм:
Имеет
место
равенство
Pl(N,
1,
t
+~)
= Pl(N,
1,
t)(1 -
(1
-
T)M~)+
Po(N,
1,
t)(2 -
r)л~
+
o(~),
~
-+
О.
(36)
Докажем
это
соотношение.
Событие,
заключающееся
в
том,
что
в
момент
времени
(t+~)
в
клетке
(N,
1)
будет
находиться
АТС,
может
осуще
ствиться
следующими
взаимно
исключающими
друг
друга
способами.
1)
В
момент
времени
t
клетка
(N,
1)
занята и
в
интервале
времени
(t,
t+~)
АТС,
занимающее
клетку
(N, 1),
остается
в
этой
клетке.
Вероятность
выполнения
этих
условий
равна
Pl(N,
1,
t)(l
-
(1
-
T)M~)
+
o(~).
2)
В
момент
времени
t
клетка
(N,
1)
свободна
и
в
интер
вале
времени
(t,
t
+~)
осуществляется
переход
АТС,
нахо
дившегося
в
клетке
(N
- 1, 1),
в
клетку
(N, 1).
Вероятность
осуществления
этих
событий
равна
Po(N,
1,
t)л~
+
o(~).
б.5.
Модель
участка
с
препятствием
127
, .
3)
В
момент
времени
t
клетки
(N,
1)
,
(N
-1,1)
свободны
и
в
интервале
времени
(t,
t +
~)
осуществляется
переход
АТС,
находивmегося
в
клетке
(N
- 1,2),
в
клетку
(N,l).
Вероятность
осуществления
этих
событий
равна
Po(N,
1,
t)(l
-
T),A~
+
o(~).
4)
Вероятность
того,
что
в
интервале
времени
(t,
t+
~)
произойдет
более
одного
изменения
состояния
клетки
(N,
1),
имеет
порядок
малости
o(~).
,
Складывая
вероятности
перечисленных
возможностей
осуществления
события,
заключающегося
в
том,
что
в
мо
времени
t+~
клетка
(N,
1)
занята,
получаем
равенство
(36).
Формула
(36)
может
быть
преобразована
к
виду
Pl(N,
1,
t
+~)
- Pl(N,
1,
t) _
-(1
_)
(N
1 t)+
~
- r
J.LPl
"
o(~)
Po(N,
1,
t)(2 -
т),А
+
~.
Перейдя
в
(37)
к
пределу
при
~
-+
О,
получим
(37)
. , p'(N,
1,
t)
=
-(1
-
r)J.LPl(N,
1,
t) +
(2
-
r),Apo(N,
1,
t).
(38)
Сделав
переход
в
(38)
к
пределу
при
t
-+
00,
получим
(1
-
r)J.LPl(N,
1)
=
(2
-
r),Apo{N,
1)
.
(39)
Учитывая,
что
Po{N,
1)
= 1 - Pl(N,
1),
из
(39)
находим
2т
- r
2
Pl{N,l) =
2'
,
l+r-r
(40)
,j.
~
128
Глава
5.
Аппроксимация
Бернулли
Получим
теперь
формулу
для
Pl(N - 1,1).
При
выводе
этой
буде.м
исnодьзовать
допущение,
'Что
~ажда.я
из
~дe
тo~
(N
-1,2),
(N
-2,1),
(N
-2,2)
независи.мо
от
состояний
других
~дeтo~
занята
с
вероятностью
r
и
с
вероятностью
1-т
свободна.
Относитедьно
~дeт~и
(N,
1)
nредnодагае.м,
'Что
она
эаu.ята
с
вероятностью
Pl(N,
1),
вы'Чисдяе.моЙ
по
фор.муде
(40),
и
с
доnоднитедьной
вероятностью
свободна.
Имеет
место
равенство
(1
- Pl(N,
l))J.LPl(N
-
1,1)
=
(1
+ r -
r
2
)лро(N
- 1,1),
(41)
которое
выводится
аналогично
равенству
(39).
Так
как
Ро
(N -
1,
1) = 1 -
Рl
(N -
1,
1),
то
из
(41)
получаем
(42)
При
выводе
формулы
для
Pl(N
- 1,2)
будем
nредnода
гать,
'Что
независu.мо
от
состояний
других
~дeтo~
~аж
да.я
из
~eтo~
(N
-2,1)
и
(N
-2,2)
занята
с
вероятностью
т,
~дeт~a
(N
- 1,1)
заu.ята
с
вероятностью
Pl(N
- 1,1),
вы'Чисд.яе.моЙ
по
фор.муде
(42),
а
~дeт~a
(N,
1)
заu.ята
с
ве
роятностью
Pl(N,
1),
вы'Чисд.яе.моЙ
по
фор.муде
(40).
Аналогично
(39)
и
(40)
выводятся
соотношения
(1
- P1(N - 1,1))(1 - Pl(N,
l))J.LPl(N
- 1,2) =
(1
+ r -
r
2
)лро(N
- 1,2);
L
5.
Модель
участка
с
препятствием
1"
$;:.
2 '
З
129
~
,
!
,
Т
+
Т
-
Т
~,~
Pl(N
-1,2)
=
(1-
Pl(N
_ 1,
1))(1-
Pl(N,
1))
+
т
+
т
2
-
тЗ'
~,
\
г
·~
При
выводе
формулы
для
Pl(N
-l,
2),
1
~
2,
будем
nред-
подагатъ,
что
-каждая
из
кдето-к
(N
-l-l,
1),
(N
-l-1,
2)
;,
',
~
(N
-l,
1)
заu.ята
с
веро.ят'Ностъю
т,
кдетка
(N
-l
+
1,
1)
,
';\
эан.ята
с
веро.ят'Ностъю
Pl(N
-l+l,
1),
а
-кдет-ка
(N
-l+l,
2)
' ,
Зан.ята
с
веро.ят'Ностъю
Pl(N
-l+l,
2).
Получаем
уравнение
"
}'
о
J
~'
(1
-
Рl
(N
- 1 +
1,
2)
+
Рl
(N
- 1 +
1,
2) (1
-
Т)
Х
• '
;,,
(1-
Pl(N
-l
+
1,
l)))J.LPl(N
-l,
2)
=
(1
+
т
- r
2
)>.po(N
-l,
2),
!j-
'
JIз
которого получаем
формулу
~.,
..
Pl(N
-
[,
2)
=
(т
+
т
2
-
т
З
)j(1
- Pl(N
-l
+ 1,2)+
!,' ,
Pl(N
-l
+
1,2)(1-
т)(1-
Pl(N
-l
+ 1,1)) +
т
+
т
2
-
rЗ),
l
~
2.
(43)
"
При
выводе
формулы
для
Pl(N -
[,
1)
(l
~
2)
nредnо.л.а
{
,
гаем,
'Что
'Каждая
из
'Кдето'К
(N
- l - 1,1)
и
(N
-l
- 1,2)
i
эаu.ята
с
веро.ят'Ностъю
т,
-кдет-ка
(N
-
l,
2)
заu.ята
с
ве
i
1>
о.ят'Ностъю
Рl
(N
-
[,
2),
к.л.ет-ка
(N
-l
+
1,
1)
заu.ята
с
ве
:
:.ро.ят'Ностъю
Pl(N
-l
+
1,
1),
а
'К.л.ет'Ка
(N
-l
+
1,
2)
зан.ята
}'
С
веро.ят'Ностъю
Pl(N
-l
+ 1,2).
Получаем
уравнение
(1
-
Pl(N
-l
+ 1,1)+
Pl(N
-l
+
1,1)(1-
Pl(N
-l,
2))(1-
Pl(N
-l
+
1,
2))J.Lx
Pl(N
-l,
1)
=
(1
+
т
- T
2
)>.po(N
-l,
1).
, 1
I '
I '
1
1, '1
,
,,1
,1'1,
'i
I,j ,
1
::
.[
I
I
i
""!
'!
1"'"
'ц
1
••
'.
::1'
1
"',
'1'1
130
Глава
5.
Аппроксимация
Бернулли
Тогда
стационарная
вероятность
того,
что
клетка
с
ин
дексами
(N
-l,
1)
занята,
вычисляется
по
формуле
Pl(N
-l,
1)
=
(Т
+
т
2
-
т
3
)/(1
- Pl(N
-1
+ 1,1)+
Pl(N
-l
+ 1,1)(1 -
Pl(N
-1,2))(1
- Pl(N
-l
+ 1,2))+
т+т
2
-т
3
),
1;:::2.
(44)
Получим
теперь
формулы
для
среднего
времени
пребы
вания
АТС
в
клетках.
Обозначим
через
Ь(
i, j)
среднее
время
пребывания
фиксированного
АТС
в
клетке
(i,j)
.
Вычислим
приближенное
значение
b(N,
1).
Из
клетки
(N,l)
АТС
может
перейти
только
в
клетку
(1,1).
Предnо
лагае.м,
что
1<Олет1<Оа
(1,1)
зан.ята
с
вероятностью
Т.
Тогда
вероятность
того,
что
АТС,
находящееся
в
момент
времени
t
в
клетке
(N,l),
в
интервале
времени
(t,
t +
~)
перейдет
в
клетку
(1,1),
равна
JL(l
-
T)~
+
o(~).
Предполагая,
что
вре.м.я
nребыван:u.я
АТС
в
1<Олет1<Ое
(N,
1)
Э1<Осnоненцимьно,
получаем
для
среднего
времени
пребывания
в
этой
клетке
формулу
'1
b(N,
1)
=
JL(l
_
Т)'
(45)
Выведем
аналогично
формуле
(45)
формулу
для
b(N - 1,1).
Делая
допущение,
что
?C.Item1<Oa
(N,l)
зан.ята
с
вероятностью
Pl(N, 1),
вычисме.моЙ
по
формуле
(40),
и
что
вре.м.я
nребыван'U.Я
АТС
в
ячей7Се
(N
- 1,1)
Э1<Осnонен
циально,
получаем
формулу
1
b(N - 1,1) =
JL(l
_ Pl(N, 1))'
(46)
где
Pl(N,
1)
вычисляется
по
формуле
(40).
Аналогичным
образом
получим
и
формулы
для
среднего
времени
пребывания
АТС
в
других
клетках.
При
выводе
формулы
для
b(N
-1,
2)
предполагаем,
что
вероятность
зан.ятости
7Сдет7Си
(N
-1,1)
равна
значению