Буслаев А.П. Вероятностные и имитационные подходы к оптимизации автодорожного движения
Подождите немного. Документ загружается.
r
f
if~з.
Проса'<IИвание
по двухполосной дороге
[-
141
Пусть
о
Рl
(1
-
Р2)
о
Рl
(1
-
Р2)
о
О)
о РIР2
Р2
(1
-
Рl)
PIP2
Р2
(1
- Pl)
PIP2·
_
'!.
_
/u'
_
и
+
и'
-
2(р
+
1"
-
1")
Pl
(и,
Р)
- 2 4 . u + 2 '
~
.
Возьмем
Р
= 0.5, u = 0.
9.
Тогда
Pl = 0.24053,
Р2
=
10.65947.
Вычислим
собственные
векторы
несимметричной
i;
матрицы
P(Pl,P2) :
{
(
i~~
) }
++
1.0, { (
~ih::
)}
++
.
144,
1.0
.34754
{(
о
)}
-.64098
-.16878
++
-0
.
0678,
.60511
{
(
о
)}
.27471
.97595
++
0.665.
1.0098
Для
сравнения
спектральные
характеристики
симме
тричной
матрицы
с
одинаковой
вероятностью
перехода
за
ШаГ
142
Глава
6.
Модель
проса'Чиванин
Р(0.5,
0.5):
{ (
~1~
)}
++
1.0,
{(
~
~~~~~
)}
++
-0.104,
1.
О
.86603
{ (
~:5
)}
++
0.25,
{(
:~~~~~)}
++
0.604.
1.0
х
10-10
.8165
Рассмотрим
случай
р
= 0.8,
который
соответствует
невысокой
загруженности
дороги.
Имеем
Рl(U'
0.8) -
Р2(U,
0.8) =
и
Р(81(0.92,
0.8), 82(0.92, 0.8)) :
{(
о
)}
{(
о
)}
3.
201
3
х
10-2
45.
327
-.99498
++
0.95, .28617
++
-0.0078,
-.99504
9.2393
{
(
~9З:::8
) }
++
0.00626, { (
~1 ~
) }
++
1.0.
12.699
1.0
в
симметричном
случае
при
том
же
значении
Р
Р(0.8,
0.8):
{(
О)}
{(
о
)}
.64799
.96404
.64799
++
0.912, .96404
++
-0.112,
.76165
-.4101
{
(
~:5
)}
+-t
0.16,
{(
~1~
) }
+-t
л
= 1.0.
-1.0
х
10-10
1.
О
Наконец,
для
загруженной
дороги,
где
р
=
0.2
;,
[81(U,
0.2),
82(U,
0.2)]
P(81(0.33, 0.2), 82(0.33, 0.2)):
{(
о
)}
{(
1
)}
-3.0556
х
10-2 1.0
1.0736
+-t
0.360, 1.0
+-t
1.0,
1.0752
1.
О
{(
О)}
{(
о
)}
,,,
8.
383
3
-3.
534
7
. 16553
+-t
-0.027, .26329
+-t
.
6.
111
4
8.
868
1
0.0079.
Для
симметричного
случая
Р
(0.2, 0.2):
143
.20804
-.75069
{(
О)}
{(
о
)}
.20804
+-t
-0.0281,
-.75069
+-t
0.228,
-.97812
-1.2773
144
Глава
6.
Модель
просачивания
{ (
i~
~
).}
н
1.0,
{(
~:5
) }
н
0.16.
1.
О
-1.
3
х
10-9
Та-ки.м
образо.м,
видu.м,
что
наибольший
прирост
.ма-к
си.мального
собств
енного
значенu.я
-канализацu.я
(де
си.м.м
е
тризаци.я)
полос
дает
в
случае
нагруженной
дороги.
В
связи
с
затронутой
тематикой
возникают следующие
вопросы.
(А).
Узкое
место.
В
nото-ке
в
оnределенно.м
.месте
на
уровне
k
существует
"nлоха.я"
-клет-ка
с
большой
веро.ят
ностью
заnиранu.я
q*.
Ка-к
от
этого
nара.метра
.мен.яютс.я
хара-ктеристи-ки
nросачив
анu.я?
(Б).
Самое
плохое
узкое
место.
В
nото-ке
в
оnреде
ленно.м
.месте
nо.явл.яетс.я
nлоха.я
-клет~а.
Задача
onтu.ми
зации
-
где
ее
положение
наиболее
влu.яет
на
nроте-кание.
Здесь
речь
идет
о
влиянии
перестановки
матриц
в
про
изведении
на их
собственные
значения;
(В).
В
noтo~e
в
случайных
.местах
nо.явл.яетс.я
не
С~ОЛЬ~О
плохих
-клето-к,
т.
е.
они
равно.мерно
распределены
по
дороге.
При
-кa~o.м
их
-количестве
наиболее
быстро
па
дает
xapa~тepиcти-кa
nроте~анu.я?
Все
перечисленные
задачи
поддаются
численному
анализу,
если
фиксировать
длину
исследуемого
участка.
6.4.
Просачивание
по
дороге
с
тремя
полосами
Имеем
матрицу
состояний
т
= 3
,
604.
Просачивание
по
дороге
с
тремя
полосами
145
Соответствующая
матрица
перехода
имеет
вид
1 q q
о
pq
о
о о
pq2
О
p2
q
p2
q
DРЗ
=
О О О
О О
О
О О
p2
q
О
рЗ
р3
Вычислим
D
РЗ
-
)"Е
и
детерминант
q2
pq
pq2
p2
q
-),
о
о
p2
q
рЗ
q2
q
q2
pq
О
pq2
pq2
О О
p2
q
О
p2
q
О
pq
pq2
О О
p2
q
p2
q
p2
q
p2
q
р3
рЗ р3
q2
О
pq2
p2
q
pq
О
p2
q
р3
_q4
p
9),,2
+ 2
q
5
p
9),,2
_
q7
р12)"
+ 2
q
6
p
8),,2
_
q7
р9)"
+
p9
q
4
)"З
_
_
2)"З
q
5
р
9
+
рЗ),,6
_
З
q
З
р
6),,4
_
2
q
З
р
5),,4
_ 2
qp
4),,5
_),,7 _
_ 2
q
4
p
5),,4
_
qЗ
р
З),,5
_
4
q
2
р
З),,5
+
З
qр
2),,6
+
q2
p
5),,4
_ 2
q
5
p
8
),,2+
+4
q
4
р
7)"З
+
q3
p
4),,4
_
2
q
6
р
8)"З
+
q6
р
7)"З
_
q6
p
7),,2
_
рЗ),,7+
+),,8 +q7
p
12
+q7
p
9
)"2+2
q
5
р
8),,З
_4
q
5
p
6
),,4
+ 4
q
5
p
6
)"З
_q5
p
5
),,4+
+q5
p
5),,3
_ 4
q
4
),,4
р
7
_
q4
p
6),,4
+
q4
р
6)"З
+ 2
q
4
p
5),,5
_
q4
р
З
),,5+
+q4
р
З),,4
+
З
q
З
р
6),,5
+
2
q
З
р
5),,5
_
qЗ
р
4),,5
+
qЗ
р
З),,6
+
2
q
З
р
2
),,6-
_2
q
3
p
2),,5
_
q2
p
5),,5
+ 4
q
2
p
3),,6
+
q2
p
2),.6
_
q2
r
),,5
_
q2
p
),,7
+
+q2
p
),,6
+ 2
qp
4),,6
_
З
qр
2),,7
_ 2qp),,7+
2qp),.6.
146
Глава
6.
Модель
просачивания
Определитель
вышеприведенной
матрицы
с
точностью
до
множителя
1 -
).
совпадает
с
определителем
матрицы
(
pq;;)..
pq2
0_
)..
р7
2
~
p2
q
p2
q
p2
q
_
)..
о
о о о
pq-)..
О О О О
О
p2
q
p2
q
p2
q
рЗ
рЗ р3 р3
детерминант
которой
равен
r
(р,
q,
).) = _q4
p
9).2
+ 2
q
5
p
9).2
+ 2
q
6
p
8).2
_
q7
р9).
+
р3
).6
_
_
З
q
3
р
6).4
_ 2
q
3
p
5).4
_ 2
qp
4).5
_).7
_ 2
q
4
p
5).4
_
q3
p
3).5
_
_ 4
q
2
p
3).5
+
З
qр
2).6
+
q2
p
5).4
_ 2
q
5
p
8).2
+ 4
q
4
p
7
).3+
+q3
p
4).4
_
q6
p
7).2
+
q7
р12
+ 4
q
5
p
6).3
+
q5
p
5).3
+
q4
p
6
).3+
+q4
p
3).4
_ 2
q
3
p
2).5
_
q2
p
2).5
+
q2
p
).6
+
2qp).6.
Имеем
т(р,
1 -
р,).)
= t(p,).) = t(p,).) = -
(1
_
р)6
р7).2
-
(1
-
р)4
р9).2
_
(1
_
р)3
р3).5
+ 3
(1
_
р)
р2).6
_ 2
(1
_
р)3
р5).4
_
(1_р)7
р
9
).
+
4(1_р)4
р
7
).3
_
З(1_р)3
р
6
).4
+
2(1-р)
р).6
+
(1
_
р)2
р).6
+
(1
_
р)3
р4).4
+
(1
_
р)4
р6).3
+
р3).6
_
4
(1
-
р)2
р3
).5+(1 _
р)5
р5
),3_2
(1
_
р)4
р5
).4+4
(1
_
р)5
р6
).3_
(1
-
р)
2
р2
).5
+
(1
_
р)
4
р3
).4
+
(1
_
р)
2
р5
).4
_ 2
(1
_
р)
р4
).5
+
(1
-
р)
7
р12
_ 2
(1
_
р)3
р2).5
_ 2
(1
_
р)5
р8).2
+ 2
(1
_
р)6
р8).2
+
2
(1
_
р)5
р9).2
_ ).7.
Результаты
численного
исследования
приведены
в
та
блице
6.1.
Таблица
6.1.
р
)..1 )..2 )..3 )..4
)..iI
)..6
)..7
0.1
-0.008 -0.008
0.001
0.008
0.
009
0.098
0.112
0.3
-0.051
-0.051
0.029
-
0.007.
0.029
+
0.007.
0.
184
0.261 0.382
0.5
-0
.
092
-0.898
0.054
-
0.0484.
0.054+0
.
0484.
0.
196
0.342
0.661
0.7
-0.100
-0.086
0.
062
- 0.
077.
0.
062
+
0.077.
0.132
0.310
0.
885
0.9
-0
.
052
-0
.27
-0
.29
0.38
- 0.
059.
0.38
+ 0.
059.
0.142 0.993
Как
видим,
при
фиксированном
значении
вероятности
р
характеристический
многочлен
имеет
пару
комплексных
корней,
два
малых
по
абсолютной
величине
вещественных
корня
разных
знаков
и
три
первых,
причем
старший
меня
ется
монотонно
при
изменении
р.
. :
~
Глава
7
'.
Сегрегация
А
ТП
·7.1.
Постановка
задачи
Рассмотрим
транспортный
поток
на
замкнутой
двухпо
.
JIОСНОЙ
дороге,
которая состоит
из
трех
фрагментов:
(1)
общий
участок,
где
любому
автотранспортному
средству
(АТС)
разрешено
находиться
на
любой
полосе,
'
маневрировать
и
обгонять;
(2)
переходный
участок
между
общим
и
канализирован
,
иым
фрагментом;
(3)
канализированный
участок,
где
каждому
автомо
билю
предписано
находиться
только
на
своей
полосе.
На
практике
данная
ситуация
может
встречаться,
на
пример,
при
весовом
контроле
АТС,
при про
езде
узкого
,
места,
а
также
во
многих
других
случаях.
Будем
называть
моделируемое
явление
сегрегацией
(разделением,
сортиров
кой)
потока.
Обратный
переход,
который
в
нашем
случае
также
'.
имеет
место
(кольцевая
дорога),
назовем
агрегацией
(со
единением,
слиянием,
перемешиванием).
Исследование
характеристик
движения
и
является
целью
настоящей
работы.
На
улично-дорожной
сети
(У
ДС)
часто
встречаются
слу
чаи,
когда
одна
дорога
переходит
в
две,
развеТВJIЯется,
на
пример,
Ленинградское
и
Волоколамское
шоссе
в
г.
Москве.
При
подъезде
к
такому
участку
водитель
согласно
прави-
148
Глава
7.
Сегрегация
А
ТП
лам
дорожного
движения
(ПДД)
должен
заранее
перестро
иться
на ту
полосу,
которая
ему
нужна
для
дальнейшего
продолжения
движения.
Однако
это
не
всегда
удается
из
за
большой
плотности
потока.
Для
организатора
дорожного
движения
интересно
знать
длину
L
минимальной
зоны,
которая
необходима
для
того,
чтобы
автотранспортные
средства
успели
перестроиться.
Вся
дорога
разбивается
на
три
зоны
(рис.
7.1).
Рис.
7.1.
Фрагмент
двухполосной
дороги
с
сегрегацией
в
каждой
зоне
имеются
две
полосы,
состоящие
из
сле
дующих
друг
за
другом
клеток.
В
каждой
клетке
может
находиться
не
более
одного
моделируемого
АТС.
Переме
щения
АТС
в
модели
могут
происходить
в
целочисленные
моменты
времени.
При
этом
в
каждый
такой
момент
пе
ремещение
А
те
возможно
лишь
на
одну
клетку
и
осуще
ствляется
с
заданной
вероятностью
при
условии,
что
такое
перемещение
в
данный
момент
возможно.
В
первой
зоне
АТС
могут
двигаться
по
правилам,
схе
матически
показанным
на
рис.
7.2.
Постановка
задачи
149
1
r-Iml
11
51
11
~I
11
~I
1
----.
--.
-+
----.
~
~
~
~
Рис.
7.2.
Правила
движения
А:
а
-
на
месте,
б
-
прямо
вперед,
в
-
вперед
с
маневром
влево,
г
-
вперед
с
маневром
вправо
При
этом
траектории
участников
движения
могут
пере
секаться,
что
является
предметом
изучения
безопасности,
рис
.
7.3.
I~I
I Imtitl I
- -
а)
б)
Рис.
7.3.
Пере
сечение
траекторий
двух
АТС
За
каждый
такт
времени
АТС
с
вероятностью
Рl
(бы
или
р2
(медленное),
о
<
р2
~
Рl
~
1,
передвигается
при
условиях,
изображенных
на
рис.
1.2.
М
ноже
всех
АТС
разбивается
на
типы
быстрых
и
медленных.
оме
того,
каждое
из
этих
двух
подмножеств
содержит
АТС,
которым
в
зоне
111
предписано
двигаться
по
пра
полосе,
и
те,
которым
предписано
в
зоне
111
двигаться
левой
'
полосе.
В
более
общем
случае
можно
считать,
что
lIIo,r",."""'JAI''''''-
того,
что
АТС,
въехавшему
в
зону
11,
предпи
ехать
в
зоне
111
по
правой
или
левой
полосе,
зависит
от
,
по
какой
полосе
данное
АТС
въехало
в
зону
11.
Во
второй
зоне,
имеющей
длину
L,
действуют
следую
правила
(сцен.ариЙ
В
1 ):
а)
если
АТС
оказалось
на
"своей"
полосе,
то
оно
продол
жает
движение
только
по
своей
полосе
по
правилам
однополосной
стохастической
модели;
б)
если
АТС
находится
на
"чужой"
полосе,
то
.между
ро
зыгрыша.ми
движен.u.я
вперед
оно
nытаетс.я
перейти
на
соседнюю
сбо-к:у
'К'"I/,eт-к:y
"своей
"
полосы,
т.е
.
АТС,
150
Глава
7.
Сегрегация
А ТП
'Наход.ящеес.я
8
зо'Не
II
'На
"'Чужой/'
полосе
и
имеющее
сбо'Х:у
свобод'Ную
'('леm'Х:у
'На
"своей"
полосе,
за'Нимаеm
эту
'Х:леm'Х:Уi
в)
в
конце
каждого
такта
для
всех
АТС
зоны
П
произ
водится
розыгрыш
движения
вперед.
т
Т+1/2
Т+1
Рис.
7.4.Фрагмент
движения
в
зоне
1I,
сценарий
Вl
Сценарий
Вl
является
одним
из
возможных
подходов
к
описанию
поведения
АТС
в
зоне
П.
При
этом
два
типа
пе
ремещений
-.
вперед
и
на
соседнюю
полосу
-
факторизу
ются.
Это
возможно
принять,
считая,
что
время
для
пе
рестройки
в
соседнюю
полосу
мало
по
сравнению
с
длиной
такта.
При
данном
сценарии
возможны
конфликтные
ситуации,
например,
перемещение
на
соседнюю
полосу
перед
находя
щимся
там
АТС,
что
является
предметом
исследования
бе
зопасности
АТП.
Наряду
с
Вl
рассмотрим
сценарий,
где
конфликты
ис
ключены.
Правила
движения
по
сценарию
В2.
а)
если
АТС
оказалось
на
"своей"
полосе,
то
оно
продол
жает
движение
только по
своей
полосе
по
правилам
однополосной
стохастической
модели;
б)
разыгрывается
движение
вперед по
"чужой"
полосе:
в)
пусть
исход
б)
положителен.
Тогда
осуществляется
вl)
движение
с
маневром
при
условии,
что
клетки на
соседней
полосе
рядом
и
впереди
свободны;
в2)
перемещение
на
соседнюю
полосу,
если
клетки
ря
дом
и
сзади
свободны
(клетка
впереди
занята);