Буслаев А.П. Вероятностные и имитационные подходы к оптимизации автодорожного движения
Подождите немного. Документ загружается.
5.
2.
Однородный
поток
на
двух
полосах
111
5.2.
Однородный
поток
на
двух
полосах
Предположим,
что
т
=
2,
К
=
1,
иl
=
и.
Тогда
для
соответствующих
характеристик
потока
имеем
формулы
q = q(u,
Т)
=
2т(1
-
т)(1
+ r -
т
2
)и
,
h = h(u,
Т)
=
2т
2
(1
-
т)2
и
,
v = v(u,
Т)
=
(1
-
т)(1
+ r -
т
2
)и.
Графики
зависимостей
q,
h
и
v
от
плотности
потока
при
некоторых
фиксированных
значениях
u
приведены
на
рис.
5.5-5.7.
q(u,r)
0.7
г---.,..........---.-------,-----,-----,
0.47
г--
-
+--с
l---г.-.
.................
~-
~-+----I
о
0.2 0.4 0.6
0.8
Рис.
5.5.
Зависимость
q
от
плотности
потока
при
фиксированных
и
112
~
.
! .
Глава
5.
Аппроксимация
Бернулли
h(u,r)
0.15
,....---..,....----.,.----,..---.------,
0.05
-"'--_-'---
__
-"-
__
--'-
__
---'-_--'-=-r
О
0.2 0.4
0.9
0.8
Рис.
5.6.
Зависимость
h
от
плотности
потока
при
фиксированных
и
v(u,r)
0.8
0.6
0.4
..
i
l
........
..
0.2
I
I
r
О
0.2 0.4
0.6
0.8
Рис.
5.7.
Зависимость
v
от
плотности
J1'{)TOKa
при
фиксированных
и
1
i
,
:
i~
·
J 5.3.
Смешанный
ПОТОК
на
двух
ПOJIосах
113
Ii
5.3.
Смешанный
поток
на
двух
полосах
~
:
Предположим,
что
т
= 2
и
К
=
2.
Пусть
а
=
r;
(доля
медленных
АТС
в
потоке);
q = ql +q2; h = h
1
+h
2
.
Величины
q,
h,
могут
рассматриваться
как
функции
четырех
перемен
ных
-
Т,
а,
Щ,
и2;
'Каждая
из
веJl.ичин
qk
и
h
k
.яв.л.яетс.я
фун'Кцией
тоJl.Ь'КО
от
трех
из
этих
аргументов,
а
Vk
-
от
двух
аргументов:
qI
= QI(a, UI,
Т)
= 2(1 -
а)т(1
-
т)(1
+ r -
т
2
)иl'
(13)
q2
=
Q2(a,
и2, Т)
=
2ат(1
-
т)(1
+ r -
т
2
)и2'
(14)
q =
q(a,
Щ,
и2,
Т)
= ql +
q2,
(15)
h
1
= h
1
(a, UI,
Т)
=
2(1
-
а)т(1
-
Т)(Т
-
т
2
)иl'
(16)
h
2
= h
2
(a,u2,r)
=
2ат(1-
Т)(Т
-
т
2
)и2'
(17)
h =
h(a,
иl,
и2,
Т)
= h
1
+ h
2
,
(18)
Vl =
Vt(Щ,
Т)
=
(1
-
т)(1
+ r -
r
2
)щ,
(19)
V2
=
V2(U2,
Т)
=
(1
-
т)(1
+ r -
т
2
)и2'
(20)
На
основании
формул
(13)-(20)
и
приводимых
ниже
гра
фиков
можно
отметить
следующие
закономерности.
ПеречиСJl.енные
веJl.ичины
завис.ят
Jl.инеЙио
от
всех
ар
гу.меитов,
'Кроме
Т.
Действительно,
из
формулы
(13)
следует,
что
величина
ql
не
зависит
от
и2,
а
от
а
и
иl
зависит
линейно.
Из
фор
мулы
(14)
видно,
что
q2
зависит
линейно
от
а
и
и2,
а
от
иl
не
зависит.
Учитывая
(13),
(14),
имеем
факт
линейной
зависимости
q
от
а,
UI,
и2.
Аналогичным
образом,
устанавливается
факт
линейной
зависимости
h
1
,
h
2
И
h
от
а
и
скоростей
свободного
движе
ния.
ИЗ
формулы
(19)
следует,
что
величина
Vl
линейно
за
Висит
от
иI
И
не
зависит
от
а,
и2.
Аналогично,
из
формулы
(20)
видно,
что
V2
линейно
зависит
от
и2,
а
от
а
и
иl
не
зависит.
114
Глава
5.
Аппроксимация
Бернулли
Скорости
потоков
.м.онотО1-l:н,о
убывают
приувеличе
нии
су.м..м.арнои
плотности.
Это
следует
из
того,
что
производная
Vk
по
r
равна
r(Зr-4)Uk
и,
таким
образом,
эта
производная
отрицательна
в
промежутке
(0,1).
Отношения
q2/ql' h
2
/h
1
,
V2/Vl
не
зависят
от
r
при
фик
сированном
0:'.
Действительно,
(1
-
О:')иl'
V2
и2
Vl
иl
Интенсивности
потоков
и
интенсивности
перестрое
нии
достигают
своих
.м.аксu.м.альных
значении
при
су.м..м.ар
'Ной
плотности
потока,
рав'Ной
0.5,
nриче.м.
эти
интенсив
'Ности
сначала
возрастают
до
своего
.м.акси.м.у.м.а,
а
зате.м.
убывают.
Графики
функции
Qk(U,
0:',
Т),
hk(u,
0:',
Т)
при
фик
сированных
U
и
О:'
си.м..м.етричны
на
отрезке
[О,
1]
относи
тель'Но
середи'Ны
этого
отрезка.
Проверим
это
утверждение.
Формулы
(16), (17)
можно
переписать
в
виде
h
1
=
2(1
-
О:')(т(1
:-
r))2
щ
,
h
2
=
2О:'(т(1
-
т))2
и2
.
(21)
(22)
При
r = 0.5
величина
т(1-т)
(ее
производная
равна
1-2т),
а
следовательно,
и
т
2
(1-
т)2
достигает
наибольшего
значения,
из
чего
с
учетом
формул
(21)
и
(22)
следует,
что
величины
h
1
и
h
2
также
достигают
наибольшее
значение
при
r = 0.5.
Подставляя
значение
r = 0.5
в
формулы
(21)
и
(22),
на
ходим,
что
.м.акси.м.альные
значен'U.Я
h
1
, h
2
равны
соответ-
ственно
(1
-
О:')иl
h
1
,max
= 8
6.3.
Смешанный
поток
на
двух
полосах
115
Производная
функции
т(1-т),
которая,
как
отмеча.лось,
.
равна
1 -
2т,
положительна
при
О
< r < 0.5
и
отрицательна
i;
при
0.5
< r <
1,
откуда
следует,
что
величины
h
1
,
h
2
возра
.
стают
в
промежутке
(0;0.5)
и
убывают
в
промежутке
(0.5;1).
Запишем
теперь
формулы
(13),
(14)
в
виде
ql
=
2(1
-
й)[т(1
-
~)
+
(т(1
-
т)?]иl'
(23)
q2
=
2й[т(1
-
Т)
+
(т(1-
т))2]и2'
(24)
В
каждой
из
формул
(23),
(24)
выражение
в
квадрат
ных
скобках
содержит
два
слагаемых,
достигающих
своего
максимума
при
r = 0.5.
Таким
образом,
при
r = 0.5
дости
гают
максимума
выражения
в
квадратных
скобках,
а
как
видно
из
формул
(23), (24),
и
сами
величины
ql
и
q2.
Подста
вляя
в
(23),
(24)
r = 0.5,
получаем
н.аuбодъшuе
возмож'Ные
з'Наче'Н'U.Я
ql
и
q2
:
5(1
-
Й)Ul
ql,max
= 8 '
5
ЙU
2
q2,max
=
-8-'
Кроме
того,
в
формулах
(23),
(24)
слагаемые
в
квадрат
ных
скобках
возрастают
в
промежутке
(0;0.5)
и
убывают
в
промежутке
(0.5;1).
Отсюда
следует,
что
и
величины
ql,
q2
возрастают
в
промежутке
(0;0.5)
и
убывают
в
промежутке
(0.5;1).
Из
формул
(21), (22), (23),
(24)
видно,
что
h
k
(Ul'
и2,
й,
Т)
=
hk(щ,
и2,
й,
1 -
Т),
qk(Ul,
и2,
й,
Т)
=
qk(Щ,
и2,
й,
1 -
Т),
т.е
.
функции
h
k
(Ul,
и2,
й,
Т),
qk(Ul,
и2,
й,
Т)
при
фиксирован
ных
иl,
и2
И
й
симметричны
относительно
середины
отрезка
[0,1].
:!
~
I
~I
i
i
,1
.,.
116
Глава
5.
Аппроксимацин
Бернулли
Отношение
h
k
/
qk
не
зависит
от
k
и
достигает
.м.а-х;си
.м.у.м.а
по
r
при
значении
r = 0.5,
nриче.м.
h
1
-
-----:-
q 1 + r -
т
2
1 .
т(1-т)
+ 1
При
это.м.
.м.а-х;си.мадьное
значение
данного
отношенu,я
равно
0.2.
Пусть
Щ
= 0.9,
и2
= 0.1.
Приведем
графики
зависимо
стей
общих
и
интенсивностей
потоков,
интенсивностей
пе
рестроений
и
скоростей
потоков
каждого
типа
от
суммар
ной
плотности
при
а
= 0.2
и
а
= 0.8
(для
Vl
и
V2
приводится
ПО
одному
графику,
так как
скорости
потоков
от
а
не
за
висят)
(рис.
5.8-5.11).
q(
а,г)
0.5
,..----r-----,-----,..---,..---,
0.4
I--
-
+---#--+"'"-------='-=t-~~-f__-_I
0.3
I-----tl----t----+--~
t--
---I
0.2
f__--I-+----+----+---~~_I
0.1
.......
•••
о
8 •••
...
а
=.
.
.•
. .
~
__
L_
__
~
__
~
__
~
__
~
Г
о
0.2 0.4
0.6 0.8
Рис.
5.8.
ЗавИСИМОСТЬ
q
ОТ
ПЛОТНОСТИ
потока
».3.
Смешанный
поток
на двух
полосах
117
h(a,r)
0.1
,..----:----.,..----т-----г-----,
0.075
I----+-----I---t-'-'---=---=+--~--t---_;
0.025
I---I-+---
_____
~+_-.,..--,..t_:..A._._-_t_~-_;
~--~-_~
__
~
__
~_~_
r
О
0.2 0.4 0.6 0.8
Рис.
5.9.
ЗавИСИМОСТЬ
h
от
ПЛОТНОСТИ
потока
Как
отмечалось
выше,
скорости
потоков
каждого
типа
зависят
от
а
(что
видно
из
формул
(15), (16))
и
поэтому
iП]>ИIЩll[енны[е
на
рис.
5.10
и
5.11
зависимости
Vl
и
V2
от
r
имеют
место
при
любом
а.
Vl
(r) 1
0.8
~
...........
.....
.....
"
"
""
,
"
"
"
'"
0.6
0.4
0.2
О О
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6 0.7
0.8 0.9
1 r
Рис.
5.10.
ЗавИСИМОСТЬ
Vl
от
ПЛОТНОСТИ
потока
118
V
2
(r)
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
r-....~
1'00...
......
Глава
5.
Аппроксимация
Бернулли
"-
"
'"
"
"
I
~
О
О
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 0.6 0.7 0.8
0.9 1
r
.
Рис.
5.11.
Зависимость
V2
от
плотности
потока
На
рис.
5.12
приведен
график
зависимости
h/q
от
т
(как
отмечалось
выше
h/q
= h
1
/ql
= h
2
/q2).
h/q
0.24
/
11'"
'"'
"-
I
\
,
'\
/
I
\
0.19
0.14
0.096
0.048
о
о
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6 0.7
0.8
0.9 1
r
Рис.
5.12.
Зависимость
h/q
от
плотности
потока
~,
1
0.4.
Характеристики
АТП
с
учетом
приоритета
119
;-
-
5.4.
Характеристики
А
ТП
с
учетом
приоритета
АТС,
двигающихся
справа
Будем
теперь
рассматривать
задачу
вычисления
харак
'теристик
транспортного
потока при
m = 3
с
учетом
за
'ррета
перехода
с
полосы
3
(с
левой
полосы)
на
полосу
2,
,
когда
на
полосу
2
возможен
переход
некоторого
АТС
с
по
\
лосы
1
(с
правой
полосы).
Такая
ситуация
изображена
на
';,
рис.
5.3.
Рассмотрим
случай
дискретного
времени.
f
Вероятность
того,
что
АТС
может
переместиться
впе
;
ред
без
перехода
на
другую
полосу
равна
1 - r
независимо
i
OT
того,
на какой
полосе
находится
АТС.
Вероятность
того,
,
}
:ЧТо
АТС,
находящееся
на
полосе
1
или
полосе
2,
пребывает
~8
состоянии,
когда
возможно
перемещение
данного
АТС
с
Г
ереходом
или
без
перехода
на
другую
полосу,
могут
быть
'
,
вычислены
по
тем
же
формулам,
что и
в
§5.1,
где
не
учиты-
1
~acь
ситуация,
в
которой
проявляется
приоритет
АТС,
}
ааходящегося
справа.
По
формулам
§5.1
можно
вычислить
'.
составляющие
интенсивностей
потоков и
интенсивностей
;
ререстроений,
создаваемые
перемещениями
АТС
из
клеток
~
nолос
1
и
2:
-i'
~~-
:?
1;
qkl
=
rk(l
-
т)(1
+ r - r
2
)Pk'
qk2
= rk(l - r +
т(1
-
т)2(1
+
2т
- r
2
))Pk,
h
k1
=
rk
r
(l
-
r)2
Pk
,
h
k2
=
rkr(l
-
т)(1
+
2т
- r
2
)Pk
'
(25)
(26)
(27)
(28)
~'
~
Вычислим
теперь
вероятность
того,
что
АТС,
занима
~:
ющее
клетку
(i,3),
находится
в
состоянии,
в
котором
воз
I
:
~ожен
переход
данного
АТС
на
полосу
2.
Для
возможности
~;1aкoгo
перехода
нужно,
чтобы
клетка
(i +
1,
3)
была
занята
i
~'
~
(вероятность
чего
равна
Т),
клетки
(i,2)
и
(i + 1,2)
были
'
:
свободны
(вероятность
чего
равна
(1
-
т)2),
в
клетке
(i,l)
:~
Jle
было
АТС,
которое
осуществляло
бы
в
текущий
момент
1
в
ремени
переход
в
клетку
(i + 1,2)
(в
предположении,
что
'I!:,'
'.
I
1:
'
:
1)
120
Глава
5.
Аппроксимация
Бернулли
клетки
(i,2)
и
(i
+1,2)
свободны,
вероятность
отсутствия
в
клетке
(i,
1)
АТС,
которое
осуществляло
бы
переход
на
к
полосу
2,
равна
1 - r
L:
т,р,).
Отсюда
следует,
что
l=l
к
8з
=
т(1
-
т)2(1
- r L
т,р,).
1=1
Так
как
W3
= 1 - r +
8з,
то
из
(29)
получаем
к
(29)
wз
= 1 - r +
т(1
-
т)2(1
- r L rlPl).
(3О)
1=1
Из
(29)
и
(30),
учитывая,
что
qkЗ
=
rkWЗРk
и
h
kз
=
rk8ЗРk,
получаем
к
qkЗ
=
rk(l
- r +
т(1
-
т)2(1
- r L rlPl))Pk,
(31)
1=1
к
h
kз
= rkr(1 -
т)2(1
- r L
rlPl)Pk.
(32)
1=1
Значенu.я
qk
и
h
k
,м,огут
быть
вычислены
с
nо,м,ощью
(25)-(28),
(31),
(32)
и
фор,м,ул
qk
=
qkl
+
qk2
+
qkЗ,
h
k
= h
k1
+ h
k2
+
h
kЗ
·
Найдем
оценку
погреmности,
которая
получается,
если
вместо
полученных
формул
для
qk
И
h
k
использовать
соот
ветствующие
формулы
§5.1.
Ограничение,
вызванное
правилом,
предоставляющим
приоритет
АТС,
находящемуся
справа,
приводит
к
появле
нию
в
формуле
для
h
kЗ
(формула
(32))
множителя
к
1-
r LrLPt.
1=1