Бугай П.Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів
Подождите немного. Документ загружается.
їй системою. Як відомо з алгебри, дві системи рівнять нази
ваються еквівалентними, або рівносильними, якщо одну з них
можна одержати з другої шляхом таких перетворень, при
яких значення коренів і кількість їх залишаються 'незмінни
ми. Можна, наприклад, всі або декілька рівнянь даної си
стеми множити або ділити на сталі, не рівні нулю числа. В
результаті одержують нову систему, еквівалентну першій.
Можливі й інші способи перетворення даної системи рівнянь
в рівносильну їй другу систему.
В нашій задачі застосуємо такий спосіб перетворення.
Візьмемо умовні рівняння (74,1) першої групи і помножимо
їх спочатку на неозначені поки що множники рп, р12,
........
f v :
al vi-\-a2v2 + .. . -ban vn ±wa =0
blv, + b2v.,+ ... + b„ v„ +wb —■ 0
r, Vi + r.,v.2 + ... + rn vn + wr =0
Pll
P21
Pt\
P12 P22
Pt2
Plr
P'ir
Ptr
(74,3)
Додавши одержані добутки до першого рівняння другої
групи (74,2), після очевидних перетворень будемо мати:
(а, 1-а, Ри і /?, р,,+ . . . +
г 1
р,, )^,+
+ (а, -і- а.,ри -і- Ь., р,2 4- ... 1- г 2 рІГ) V., +
(74,4)
■г(®л + а п р 11 + Ьп ?12 + • • • Л'Уп pir ) Vn +
-h W a + Wa Pi 1 -I- w* p12 + ... + в’Jr Ptr = 0 ,
.або, ввівши позначення для виразів у дужках
а 1 Pi 1 Ьі Рі2 + • • • + Гі Ріг — А 1}
о.., -|- сі‘>Р[\ -f Ь2 р]2 + ... -Ь )’■, р|г =
(74,5)
0t п 4" An Р і [ ‘і' Ь/j різ“Ь . . . -1 і п Ріг — А п у
да* -\-wu ри -\-чюь Ріг + • • . + wrp,r = Wlr
рівняння (74,4) можна записати так:
AiVt+A2v2+ ... + Апvn + W > 0. (74,6)
Так само, помноживши умовні рівняння (74,1) на неозна
чені множники р21, р2 2 ,. . р2Г і додавши добутки до другого
рівняння системи (74,2), одержимо:
(Pj -f a1 р,| + 6jp2, + ... + rl p2r) v! +
+ (^ 2 + ^ 2 ?21 + ^ 2 P22 + • • • + Г 2 P2
r ) Щ
+
“і" (fin + й-п P21 + Ьп p22 + . . . + Г„ p2r ) V,, +
I- + W„ p.,, -f W b P22 + • • • + «V por = U.
Введемо позначення
Рі~Ьаі Р21 1 Р22"Ь- • -~f‘ri 9гг = Ви
^■іЛ~а г р2і"Ь^2 РггЧ-- • • + г2 Р2' = ^2>
(74;8)
Ря - ) - а п Р зі-Ь ^/І Р22 і * • • + г л Рг/- = В П >
Щ Р21+ д а * Р22 І • • • + ® V Par = V^2-
З цими позначеннями рівняння (74,7) набере такого
вигляду: і
Bl vl-\-B21>2 -(- .. '-\-Вп vn -\-W2 = 0. (74,9)
Продовжуємо робити так далі. Нарешті, помноживши
рівняння (74,1) на неозначені множники ptu pt2
.......
р^ідодав
ши добутки до останнього рівняння системи (74,2), будемо
мати:
(х1+а і Р<1+^іР'2+- • • ~ЬГ 1 ?tr)'OiJT
+ (х2-1-а!2 Ph + ^гР<2 + • • • ~\~г2 Ptr)
(74,10)
“Ь ( х л -\-Оп ?ti-{-bn р /2 - (~- • •Jrrn?ti)'Vn ~t“
-\-Wz-\-Wa р ti-\-Wb Pt2~h- • • Ptr~ О,
або, ввівши позначення
х і + а і Р ^ і+ ^ і Р<2”К • •~sr r 1 Ptr = T it
Х2_Ь а 2 Р*1~Ь^2 Р<2 + - • - + Г2 ?tr = Т 2,
хп +®л Pti+bn Pt2~\~ • • nptr= Тп ,
Wz +Wa pti+Wb P/2+. • -+®V ptr = Wt,
рівнямня (74,10) можна записати так:
Tlv1+ T 2v2+ ...T nvn + Wt -0 . (74,12)
Таким чином, ми замість системи умовних рівнянь (74,1)
і (74,2) одержали еквівалентні їм рівняння (74,1) і рів
няння
k lvl-\-A2,u2-{-.. .-\-Anvn
Вг vl + В2 v2-{-.. .-\-Вп vn -j- W2 — 0,
.
..............................................................
(74,13)
Tt ^\\-Тгv2~[~... + Tn v„-\-Wt =0.
Домовимось .надалі рівняння (74,13) називати перетворе
ними умовними рівняннями другої групи.
Сумісному розв’язанню умовних рівнянь (74,1) першої
групи і перетворених умовних рівнянь (74,13) другої групи
при додатковій умові [vv] = minimum відповідає така си
стема нормальних рівнянь корелат:
(аа] k2-\-.,.-\-[ar]
kr
+1а А]Кг+1а В ]К
,+ ...
+[aT\Kt
+
Wa
=0,
[ab] ki+\bb] k,+...+[br\ kr
+ [ Ь А ] К ,+ [ Ь В ] К ^
...
+{bT\Kt
+
wb
=0,
1
ar]
Л,+[6г]_А,+...+[гг[
kr
+ [ r A \ K i+ [ r W t + ~ + [ r T ] K t
4-
wr
=0,
_
.........
(74,
\aA\kl+ \b A\ki+ ...+[rA ]kr
I
aB] k^+lЬВ[ ki-{-...+[rB]kr
+ [АА ]К і + [АВ \К г+ ~+\АТ\Кі
-1-[АВ]К1+[ВВ]Кг-\т-+[ВТ]К1
+ w t=
o, 14)
+ r 2=o,
\aT] kx+[bT] ki-Jr-.+jrT] kr
+ \A T \ K x + [BT\K*+...+{TT\Kt
+
Wt
=0.
Розв’язавши ці рівняння, знаходимо корелати k\, k2, . . .,
kr. Кі, Кч, .... Kt і 'найімовірніші поправки v до результа
тів вимірів за формулою
Vi = О/ ky -}- bi k2-\- ... -}- гі kr -\-Аі Кі + Bt Kz-\-Ti Kt , (74,15)
де і = 1,2, ... , п.
Знайдемо тепер умови, додержуючись яких умовні рів
няння (74,1) і (74,13) можна розв’язувати при умові =
= minimum роздільно.
Розглядаючи позначення (74,5), (74,8), ..., (74,11), ба
чимо, що значення коефіцієнтів Л,-, йг, ..., Ті ї вільних чле
нів Wі, W2, ■ ■ ■, Wt умовних рівнянь другої перетвореної гру
пи (74,13) залежать від значень відповідних систем неозна
чених множників ?js (/=1,2, . .. , t\ s — 1, 2, . . ., г), на які
ми послідовно множили умовні рівняння першої групи (див.
(74,3). Цих систем значень множників pjs ми можемо вибра
ти безконечну кількість і таким чином одержати безконечну
кількість систем еквівалентних умовних рівнянь першої і дру
гої перетвореної групи виду (74,13). Але з усіх можливих
систем значень множників pjs виберемо такі, при яких задо
вольнятимуться умови
\аА] = \ЬА]=...=*]гА]= 0,
\аВ\ = [ЬВ\ =.. .^[гВ\=0,
.
..........................................(74,16)
[аГ] = [&7'] = ...-Іг 7 ’]=0,
кількість яких дорівнює rt.
При цих умовах, як легко помітити, система нормальних
рівнянь корелат (74,14) розпадається на дві не зв’язані між
собою системи, а саме:
[асі] kx j-\ab\ k2-\~.. .-\-[ar] kr -1- и)а = 0,
\ab]kl + [bb\kr\-...+ [br\kr + wb =0, (74, m
[CLr\ Aj-j- Ibr\ A2-|-. . .-\-[rr\ kr -j- wr — 0;
IAA\ K,-\-\AB\ K2-\: . .+[A T\Kt + W X - 0 ,
\AB\ K,+[BB] Кґ \- .- + [B T]Kt+ W z = 0, (74,18)
[A T\ KM B T\ K2+ . • .+[7Tj Kt + W, =0.
Розв’язавши першу систему (74,17), знайдемо корелати
k\, к'2, ■ ■ , kr і вторинні поправки
v і’ ~ сії kx-\-bi А.,+. . гі kr. (74,19)
Так само, розв’язавши другу систему (74,18), знайдемо
корелати Кь К2, . ■ ■, Kt і вторинні поправки
v і" = Лі Кі~\~Ві Kt • (74,20)
Порівнюючи між собою вирази (74,15), (74,19) і (74,20),
знаходимо, що
Vi = v і v", (74,21)
тобто суми відповідних поправок, що їх одержують при роз
дільному розв’язуванні умовних рівнянь першої і другої пе
ретвореної груп, дорівнюють поправкам, які одержали б при
сумісному розв’язуванні всіх умовних рівнянь (74,1) і (74,2).
Для визначення rt незідомих неозначених множників рщ,
які називаються допоміжними корелятами, підставимо зна‘-
ченіня (74,5), (74,8) і (74,11) коефіцієнтів Аь Bit Ті it
рівняння (74,16):
[<ш] Ри-На& ІРіа-Ь • •+["''] Рк ~Н аа1 =°-
[аЬ\ ?ц-{-[ЬЬ] • • + [br\ Ptr -\-{bz\ =0, (74,22>
М Р п + ІИ ?і2 ~ Ь • - + М РкН-k * І =0;
[аа[раі+Га6]р22+• • - + М ?2Г +[ар] =0,
[а%гН-[М]р22+- • -Л\Ьг\?2г -К*?] =0.
............................................................................. (74,23)
М РггНЬг] p.,2+• • .-і-М р 2, -|- [гр] = 0;
[aa] ph -\-{ab] pt,Jr. . .-j-jar] ptr-\-[a-\ = °>
[ab] p„ -\-\bb\ p<2+ . .. , [/л ] p.., I ftx] -0,
................................................................................ (74,24)
[ar] Рл+[ftr]p<2 + . . • [rr\ptr~\- [rx] =0.
Кількість таких систем рівнянь буде t. Вони цілком цо-
дібні до нормальних рівнянь корелат (74,17), які відповіда
ють умовним рівнянням першої групи і відрізняються від
них лише назвою невідомих і вільними членами [az], [fta],
,[a{3], [ftp] і т. д. Тому всі необхідні допоміжні корелати
Pjs можуть бути визначені в схемі Гаусса—Дулітля одночас
но з розв’язанням нормальних рівнянь корелат першої групи.
Для цього потрібно в схемі додати t стовпчиків і виписувати
в них відповідні вільні члени рівнянь (74,22), (74,23),
(74,24).
Отже, порядок обчислень при двогруповому методі врів
новаження буде такий:
1. Складають нормальні рівняння корелат першої групи і
одночасно обчислюють вільні члени:
[aa], [bo], [со.], . . [га],
и ь т , ж,..., и ] , •
[ат]. [&Y], И Ь • ■ ■, [a], (74,25)
[ax], [bx], [сх],..., [гх].
2. Розв’язують нормальні рівняння корелат першої групі;
в схемі, до якої додають t додаткових стСвпчикі-в, необхідних
для визначення допоміжних корелат pjs.
3. Знаходять корелати k[t k2, кз, ... ,kr і первинні поправ
ки v'i за формулою (74,19).
4. Визначають значення перетворених коефіцієнтів А,, В„
... ,Т і і вільні члени W ь W 2, . . . , W t .
5. Складають нормальні рівняння корелат, які відповіда
ють перетвореним умовним рівнянням другої групи.
6. Розв’язують нормальні рівняння корелат другої групи,
визначають вторинні поправки v" за формулою (74,20) і ос
таточні поправки до результатів вимірів:
Vi = v t'+v,".
§ 75. ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ
ДВОГРУПОВОГО МЕТОДУ ВРІВНОВАЖЕННЯ
Як видно з наведеного вище порядку обчислень, при врів
новаженні методом двох, груп кількість обчислень буде на
діть більшою, ніж при сумісному розв’язуванні умовних р і в -
нянь, а тому застосовувати викладену вище загальну теорію
двогрупового врівноваження недоцільно. Однак можна до
сягти значного скорочення обчислень, якщо поділити умовні
рівняння «а дві групи не довільно, а за таким правилом: у
першу групу необхідно відносити ті умов
ні рів-няніня, які не мають заг.альних попра
вок і коефіцієнти яких П’ри всіх поправках
рівні одиниці. Тоді в загальних формулах §74 мати
муть місце такі опрощення.
1. В нормальних рівняннях корелат, що відповідають умов
ним рівнянням поправок першої групи, всі неквадратичні кое
фіцієнти дорівнюватимуть нулю і рівняння (74,17) наберуть
такого вигляду:
[ао] kx-\-wa =0,
bb\ k2 =0,
cc]k3-\-wc = 0, (75,1)
[rr] k r = 0 .
Далі, беручи до уваги, що всі коефіцієнти при поправках
в умовних рівняннях першої групи рівні одиниці, будемо
мати:
[аа] =«!,
[М>]=га2,
[сс] - (75,2)
[гг] - я , ,
де tis — кількість невідомих поправок в умовному рівнянні з
порядковим номером s = 1,2,..., г. Отже, нормальні рівняння
корелат виглядатимуть так:
flik^Wa — 0,
n2kr \-wb = 0,
nsks-\-Wc =0, (75,3)
tir kr -\-wr = 0,
звідки
IT’
2. Через те, що кожна невідома поправка умовних рів
нянь першої групи входить лише в одне з них і при тому
з коефіцієнтом, рівіним одиниці, то в правій частині фор
мули
sv'i — (її k1-\-bi &2 + с; kg-\~...—j—/■{ kr (75,5)
при обчисленні і-ї первинної поправки буде лише одна коре-
лата ks , що відповідає s-му умовному рівнянню першої гру
пи, в яке входить ця поправка, і замість (74,19) будемо
мати
SV і — ks
або, з огляду на (75,4),
(75,6)
де s=l, 2, 3, . г — номер умовного рівняння першої
групи.
Звідси випливає правило: д л я визначення п е р-
виннихпоправок необхідно в кожному умов
ному рівнянні першої групи вільний член,
або нев’язку ws , взяту з оберненим знаком,
розподілити ^порівну >на всі невідомі по
правки.
3. Для визначення допоміжних корелат pJS маємо системи
^рівнянь (74,22), (74,23), ..., (74,24), які при прийнятому
’способі розподілу умовних рівнянь на дві групи наберуть та
кого вигляду:
[аа] рп + [ а а ] - 0 , [аа] р21 + [ар] = 0 ,
[bb] Ріг+ I N =0. [bb] РзгИ Ж =0.
[сс\ Ри + [ Н - 0 , [сс] р23 + [ері = 0 ,
Н Р к + М = 0 , [ г г ] р2Г + [г р ] -0 ,
................................ (75,7)
1аа]рп+[ат:] =0,
[bb] pt2-\-[b-z] =0,
[w ]p « + [c x ] = 0 ,
[rr] p/H-[re] = 0 .
Але згідно з умовою а = І) = с — ... = г= 1, і, беручи
до уваги рівності (75,2), ці системи рівнянь можна записати
так:
п\ Р п + М і = 0, «j р 2і+ [?1і = п\ Р 11 + М і = 0 ,
л->Рі2+ N-> = 0, «2 Р22+[?І2 = 0. • • • «2Р<2 + М г = 0,
пи Різ~НаЬ = 0, пз Р23"МРЬ = 0, •• • из Р Лч ~Ь [т]з = 0, (75,8)
nr Pi/- ~І- IаІ /■ = 0) Р2^" І [Р] ■ пг ріг —}— ['с] г =0.
Звідси одержуємо такі прості формули для обчислення
допоміжних корелат р/s:
Рп =
[«].
«1 ’
Р21 = -
[Ж
Лі '
• • Р п “ -
М.
"Ґ
Рі2 =
__М„
пг
Р 22 ~
ш*
їй ’
• • Р t 2 = —
fck
Рі8“
_ МЬ
щ ’
Раз ~
ш*
щ ' •
• • Р t% =
Н і
«3 ’
(75,9)
Ріл =
_ [ °ф-
п Г ’
р2' = “
.[РІГ
Пг ’
\х]г
пг 1
ДЄ [а] s,
[РЬ > ••• 1 М» -су м и коефіцієнтів умовних рівнянь дру
гої групи по секціях, які утворюються коефіцієнтами умов
них рівнянь першої групи, і s = 1, 2, . . . , г (секцією будемо
називати групу поправок, що входить в одне умовне рівняння
першої групи).
4. Щоб одержати спрощені формули для перетворення
коефіцієнтів і вільних членів умовних рішить другої групи,
підставимо (75,9) відповідно в (74,5), (74,8) і (74,11):
Беручи до уваги, що коефіцієнти a,-, bt, . . . , п в одному
умовному рівнянні першої групи не зустрічаються і ЩО ВОШІ
рівні одиниці, формули (75,10) можна записати в такому
простому виді:
де s — 1,2, . . ., г — номер секції.
Звідси (випливає правило: перетворюваний кое
фіцієнт дорівнює неперет в-о р е н о м у мінус
середнє арифметичне з коефіцієнтів умов
них рівнянь другої групи по секції, в яку
входить перетворюваший коефіцієнт.
Якщо підсумуємо перетворені коефіцієнти (75,12) окре
мо по секціях, то одержимо такі контрольні формули:
Вільні члени W\, W{ умовних рівнянь другої пе
ретвореної групи можна одержати безпосередньо, не засто
совуючи формул (75,11). Для цього необхідно виміри випра
вити спочатку первинними поправками v\, v'2, . . ., v'n із ви
правленими значеннями вимірів обчислити вільні члени®а,
W[i, wr умовних рівнянь другої групи. Легко помітити,
що в цьому випадку величини wn , , • • . , дорівнювати
муть нулю і формули (75,11) наберуть такого вигляду:
тобто перетворений вільний член дорівнюватиме неперетво-
реному.
Коефіцієнти нормальних рівнянь корелат (74,18) обчис
люються звичайним шляхом. Але їх можна обчислити й за
іншими формулами. Наприклад, візьмемо рівняння
(75,12)
S
Ті = ус,
[А\г =0,
[5], =0,
(75,13)
[7 ],= 0 .
(75,14)
W t=wx ,
А і — а і + аі ри + Ь і р12 + .. . -f-Гі рк ,
Ві
=Р/ -f
~a t
Ргі+^/ Р22 + • •
- + П
Рз
г
,
Т'і — х* + й,- p^j—j— bi р^2 -{- ... гі p
Помножимо їх праві й ліві частини на відповідні Аи по
тім на Bt .і т. д. і, нарешті, на Г,- і кожен раз підсумуємо.
Беручи до уваги правила розподілу умовних рівнянь на дві
групи і рівн-ямня (75,9) та (75,13), будемо мати:
[ЛЛ]=[Ла], [АВ]=[Вя], ... [АТ\=[Та],
[ЛЯ]=[Лр], [ВВ]=[В$], ... (75,15)
[Д7>=Ит], [ВТ}={В-], ... [ТТ\=]П].
З цих формул видно, що для утворення коефіцієнтів нор
мальних рівнянь другої перетвореної групи один коефіцієнт
можна брати неперетворений.
Отже, якщо ми врахуємо всі викладені вище спрощен
ня, то порядок обчислень при врівноваженні вимірів мето
дом двох груп буде такий:
1) всі умовіні рівняння розподіляють на дві групи, додер
жуючись умови, щоб у рівняннях першої групи не зустріча
лися однакові незідомі поправки і щоб коефіцієнти при них
дорівнювали одиниці;
2) визначають первинні поправки за формулою (75,6);
3) складають умовні рівняння другої групи, причому віль-
”ні члени їх обчислюють по результатах вимірів, виправле
них первинними поправками;
4) перетворюють коефіцієнти умовних рівнянь другої гру
пи за формулами (75,12);
5) складають нормальні рівняння корелат, що відповіда
ють умовним рівнянням другої перетвореної групи;
6) розв’язуючи нормальні рівняння, знаходять корелати
Ки К2. ■■ ■> Kt і вторинні поправки v" за формулою (74,20);
7) обчислюють остаточні поправки за формулою
Vi = г>'і + v"< .
§ 76. ВИЗНАЧЕННЯ СЕРЕДНЬОЇ
КВАДРАТИЧНОЇ ПОМИЛКИ І ВАГИ ФУНКЦІЇ
ВРІВНОВАЖЕНИХ ВЕЛИЧИН ПРИ ДВОГРУПОВОМУ МЕТОДІ
ВРІВНОВАЖЕННЯ
Нехай задано функцію врівноважених величин
F(l+vu 2-\-v2, ..., n + Vn), (76,1)
де 1, 2, 3, ..., п — виміряні значення аргументів, Vi, v2,
V3, .. ., vn — найімовірніші поправки до них, які визнача