Бугай П.Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів

Подождите немного. Документ загружается.

M iP ii+M i= Q , [?]іР2і+№Р]і—о,-

f ] 2 P12 ! [^аІ2=0, І9]2Р8а+[?Р]з=0.

[я]г Pir + ['7a]/-=0, [q]r?2r +[^р]г=0.

Звідси

Pu=

Г12'

М і Р ' ї + М і ^

1^]2Р<2+ \ Я ^ \г=

=0,

(78,18)

і Я \г р И - М г =

= 0 .

l<?a h

І9ІГ

м и

Р и - [9]і--

• P h — ~

l<nh

Ы г '

[я*]*.

[?]-. ’

. „ _ W h

Р г з -

P/3= "

\йЛг

" fob'

(78,19)

\qa\r

D - W l r

[<?t]r

\Я\г ;

- h r - [q]r,

•••» Ptr

----

•

[<?]+

, [?<*]

Is > > [<7xb (s

- 1, 2,

. .. , r)

утворюються по секціях.

Формули (78,5) для обчислення коефіцієнтів і вільних

членів умовних рівнянь (78,3) другої перетвореної групи спро

щуються так:

sAi = sai Н- Plii

sBi = sp,- -j- p2i,

sT і — 5 1i -j- p/5,

або, беручи до уваги формули (78,19),

д .

j .

'Л‘ ~ ,а' [q]s '

п [?РЬ'

sB, — (78,20*

т. — • т, — , / , - л [q]t.

Легко довести для кожної секції такі контрольні форму

ли для обчислення перетворених коефіцієнтів:

[?Л]* = 0,

[9В} \= 0- (78,21)

[qT}s = 0.

Якщо ВІЛЬНІ члени Wa. , W $ й-ч умовних рівнянь другої

групи обчислені за результатами вимірів, виправленими пер

винними поправками, тоді вони не перетворюються і

Wi—Wa, W2=w9, ..., We=wr . (78,22)

В тому випадку, коли в секції величини q рівні +1, то

формули (78,17), (78,20).і (78,21) матимуть такий вигляд:

е Ws

*v 1 = ~ Л 7 ’ (78>23)

S-Д і

---

s&i

sBI = if}/

“Is

[PU

ns ’

(78,24)

j - __

hi-

sTi — Л - —

[A}s=.0, [fi], = 0, ... , [7]s = 0. (78,25)

§ 79. ВИЗНАЧЕННЯ ВАГИ ФУНКЦІЇ

ВРІВНОВАЖЕНИХ ВЕЛИЧИН ПРИ ВРІВНОВАЖЕННІ

НЕРІВНОТОЧНИХ ВИМІРІВ ДВОГРУПОВИМ МЕТОДОМ

Як відомо з теорії помилок, середня квадратична помилка

функції .визначається за формулою

пір — +

/Рг

При врівноваженні нерівноточних вимірів двогруповим ме

тодом середня квадратична помилка {і одиниці ваги дорів

шозатиме:

а— ± 1

г r+t

де r-\ t — кількість умовних рівнянь першої і другої груп.

304

Отже, для визначення величин тр необхідно знайти ва

гу функції Рр.

Нехай маємо функцію врівноважених величин

F (I, II,..., N). (79,1)

Замінивши величини I, М, N через і+їм. 2-f-£>2, ,

n-\-v п відповідно і .розклавши функцію (79,1) в рядок Тей

лора, будемо мати:

( 1, 2

........

я) + Щ + ( ^ ) , * й - . - + 6 | К (79'2)

Введемо позначення:

F (\, 2

.....

it) ~F0,

».

.......

є н - <79,3)

Тоді функція (79,2) набере такого лінійного виду:

/v W V b M і -На ‘U2+ -- "Нл vn ■ (79,4)

Для визначення оберненої величини ваги функції 'неза

лежних між собою аргументів з теорії .помилок відома фор

мула

1 V І дР V2 -

/ У " " 1 д і )0 Ч1 (79,5)

де ({і — .величини, обер'нені вагам вимірів. Щоб її можна було

частоеув'ати до функції (79,4), необхідно замінити залежні

Між собою поправки у(- результатами безпосередніх вимірів.

Як відомо з попереднього викладу, остаточні .поправки ви

значаються за такими формулами:

,Vl ^.v'. .у" ^ с]і (а-, k^-bi kr Н~

+ qt (А, Кі+В, К2 \-...уТі Kt )■

Підставивши ці їх значеїшя в (79,4), матимемо:

t = /•„ -J- (а{ k і-уЬу k2-\- ... -j-rxkr)-\-

"Ь ^2<7г(й2 ^гЬ^2 ^2+ ••• -\~r2 kr ) f-

ї-пЧп (&п k{ \ - b n k.z-\-...-\~rnkr )-(-

+ llql(AlKl+BlK2+ ..,YriKt )+

+ \2q.AAJ<r\-B2Kz+...+ T2Kt )+

(A„ Kv\-Bn Ki\-.-.-\-Tn K t),

або, розкриваючи дужки і підсумовуючи по стовпчиках,

F = F0-\-\qak] kx-\- [<76X]£2-f-...-J- [<7rM kr-{-

+[^X]/C1+ [^X ]/^2+ ...+ [qTk]Kt . (79,6)

Для виключення корелат помножимо нормальні рівняння

(78,7) і (78,8) на неозначені множники TCj, іг2, тс3, ... %г , її1# її,,

II,.....П, відповідно і добутки додамо до функції (79,6):

F—F,-j- [qaX] kx -\-\qbl) k2 -)- ... +[grX] kr-\~

H q A\]Kl+[gBb]K2+ - +[gn]Kt+

-f-([qaa]kx-{-\qab]k2-\-...-\-{qar\kr+wa) -f

[qab\k1-Ar [qbb}k,z-Ar ...-\-\qbr]kr+wb) ~2 +

-\-({qar] kx -f [qbr] k2 + ... + [qrr] kr + wr ) я, +

+{[qAA}Kx+[qAB\K2+.,.+[qAT\Kt+Wx)Kx+

-H fqA B\Kx+\<lBB\K*+...+ [qBT\Kt + Щ ) II2+

+{XqAT\K,+[qBT\K2+...+\qTT]Kt + w t ) n , .

Розкривши дужки, після приведення подібних членів по

корелятах, одержимо:

F= t 0-\-(\qaa\Kl-]r \qab\x2-\-...-\-[qar]'z:r +[^aX])£1-j-

+([qab\KiM.4bb\r-r\-—+\qbr\«r-\-\qb4)kr\-

M[qar)*i + [qbr]*2- 4- + M ) kr +

UlqAA}ni+[qAB}U2+...+lqA'Wt+{qAl])Ki+

MlqAB]Ul+[qBB]U2+..^[qBT\llr\-[qBl])Ki+

...........................................................................................................(79.7)

Jr{{qATW1+[qBTW2+...+[qTT\llt +[qTl])Kt +

- \- 1 10 a ^x-{-Wb Vr\-...-\-Wr%r\- ^ іП і+ ^2 Д гЬ • •+ W fil-.

Користуючись (неозначеністю (МНОЖНИКІВ 1C і її, підберемо

їх так, щоб вирази у фігурних дужках дорівнювали нулю,

тобто припустимо, що

+ - f [qar\Tzr-{- [^а Х ]=0 ,

[qab]i:1-{-[qbb]Ki-\-... - f [qbr] vr + [qbl] =-0, (79,8)

[qar]^- [qbr]ir2 -f ... + [g r r R + [<?rX] —0;

[?ЛЛ ]П 1+[<?АВ]П24 ,..+ [^ Л 'ЛИ, +[<7ЛХ)=0,

^ Л 5 ]П 1+ [д В Б ]П Н -..Н -[^ 7 ]1 І, + [9Я Х ]-0 ,

..........

,........................................................................ (79,9)

[qA 7] 11 [ -j - [(/ fi/j j J 2- | - <7? I '] П / +[g7'X]-0.

Тоді вагова функція набере такого остаточного вигляду.

F— FQ-|-W a ^2 ■'■{"'••• -I~®V TtA -}' 1-І] "I

. f ^ 2n ?+ ...-f W ,H, , (79,10)

де ВІЛЬНІ члени Wa^b, Wb Wг> ■ ■ ■ . НОрМЭЛЬНИХ р ІВ НЯ ВЬ

корелат безпосередньо зв’язаші з результатами вимірів, а

мйожники тс і и визначаються з рівнянь (79,8) і (79,9).

Для обчислення оберненої величини ваги функції (79,10)

згідно з формулою (79,5) знаходимо часткові похідні.

- И 1і і 1+ 5 1И 2+ - + 7 ' 1іі, ,

| -= ? '2 + e 2,!i + ^ ’T2 + - - h ^ + Л г1І,-}-52И 2+ . ..-f7 '2U ,,

•~=:Хп -j- ап ~і~{'Ьп я2"І“,"'4'/” 1 ~\~Ап Ilj-j-Zin ]]2-| •• -"Н 7 дії/ ,

або, ввівши позначення

X; -j-Сії TCj ~|-Ьі 15/■ “ > (79,1 1)

одержимо їх в такому вигляді:

|^ = Д 1Ч-Л1П1+ ^ 1П2+ ...+ 7'11і ,,

% =Аі+А & 1-)-В&г+...+ ТгІІ( , (79,12)

" - ^ А н - л д м А ії2+...+7„Н .

Підставимо тепер часткові похідні (79,12) у формулу

(79,5):

р~— [?ЛЛ] -|- [ ^ A ] IIj -|- [<7#Л] І І 2 -f -... -j- [qTA] I I t -f-

+([qAA\ni+lqABW2+....+{qAT\nt + [? Д Л ])ІІН -

+([яАВ]\\х+[ЧВВ]П2+...+ [qBT\\\t + fo S A ])II2+

+(\qAT}\ll+{qBT\\l+...+[qT7] И , + [9ГЛ)] И , ,

або, беручи до уваги рівняння (79,9),

А = [ 9Л Л ]+ [^ Л 1 І1 І+ [ 95 Л ]ІІ3+ ...+ [ вгГ Л ]ІІ, . (79,13)

Якщо розподіл умовних рівнянь на дві групи провести

за відомим уже нам правилом, то рівняння (79,8) можна за

писати так:

звідки

М і 1'і+ [ ^ ']і— о.

M z 1С2-Н?*‘]2==0»

[?Мі

(79,14)

____

[<?М

[ч]-г (79,15)

* —

де [<7^]j і [^]і — суми по секціях (s = 1, 2, . ., . г).

Оскільки коефіцієнти а, Ь, .... г в одній секції не зустрі

чаються, формули (79,11) виглядатимуть так:

А І , = X; , 4-і:,,

А і 2-Х і 2 —|—^2,

A,r = X і, ,

(79,16)

\qV'

Отже, вагові коефіцієнти X,- .перетворюються за тим же

аравилом, що й коефіцієнти умовних рівнянь другої групи.

Практично величину рр легко обчислити при розв’язуванні

нормальних рівнянь корелат, що відповідають умовним рів

нянням другої перетвореної групи. Для цього в схему Гаус

са вводиться додатковий стовпчик Л. у який виписують віль

ні члени системи рівнянь (79,9). Виключаючи з них послі

довно неозначені множники 11, одержують:

ТРИГРУПОВИЙ МЕТОД ВРІВНОВАЖ ЕННЯ

УМОВНИХ ВИМІРІВ

§ 80. ТРИГРУПОВИЙ МЕТОД ВРІВНОВАЖЕННЯ

РІВНОТОЧНИХ УМОВНИХ ВИМІРІВ

У багатьох випадках значного скорочення обчислень гори

врівноваженні умовних вимірів можна досягти, застосовую-

чи тригруповий метод врівноваження. Повну теоретичну і

практичну його розробку дав проф. О. І. Кобилін у роботі

«Групповое уравнивание рудничной триангуляции» (Метал-

лургиздат, 1955). Застосування цього методу дає значний, на

нашу думку, економічний ефект, особливо при врівнова

женні спостережень, проведених для побудови заповнюючих

тріангуляційних сіток II, III та IV класів.

Суть тригрупового методу полягає в тому, що всі умовні

рівняння, які виникають у даній тригонометричній сітці, роз

поділяють на три групи. Першу розв’язують, як звичайно, а

коефіцієнти і вільні члени умовних рівнянь другої і третьої

груп спочатку перетворюють, потім умовні рівняння другої

перетвореної групи розв’язують незалежно від третьої г.рупи,

після чого коефіцієнти і вільні члёни третьої групи перетво

рюють вдруге і тільки тоді розв’язують їх. Таким чином, у

тригруновому методі врівноваження викладений вище двогру-

повий метод застосовується послідовно двічі. Остаточні по

правки до результатів вимірів одержують за формулою

Vi = v і'+ v і "-f- Vi'". . (80,1)

Широке застосування на практиці двогрупового методу

врівноваження пояснюється тим, що розв’язування нормаль

них різня-нь корелат першої групи і перетворення коефіці

єнтів умовних рівнянь другої групи проводиться дуже легко.

Це стосується і тригрупового методу врівноваження. Але як'

що застосувати загальний принцип групового врівноваження,

розв’язання нормальних рівнянь другої перетвореної групи і

друге перетворення коефіцієнтів умовних рівнянь третьої гру

пи при тригруповому методі все ж таки потребують багатьох

обчислень. Щоб зменшити їх кількість, вдаються до спеціаль

них способів.

Нехай маємо систему умовних .рівнянь поправок:

b\V x-\~bjv . ,.-\-b п Vn -f-Wjj— 0,

............................................ 1 група (80,2)

Г1^Х+/'2,у2 + --+ Г« г,« + ^ = 0‘.

XlVl-\-<XnV2-\-...-\-Zn Vn -{-"Wa —0,

fiiOiJrh'v'rsr-+finVn +®p = 0 ,

....................................................... II група (80,3)

'iVr \-z2v,-'r ...+ x nvn-[-wx = 0;

A-iVl-\-A2v<l-\-.,.-irA n v n -{- W1= 0,

BiVx-^-B^v 2- f - (-.£?я vn -\-W2 = 0 л

................................................

...

Ill група (80,4)

^iVi-\-H^V2-\-..--\-Hnvn + Wn — 0.

Усі виміри будемо вважати ірівноточними. Розподіл умов

них рівнянь на три групи проводимо за такими правилами:

1) до першої групи відносимо ті умовні рівняння, які не

мають спільних поправок і .в яких коефіцієнти при поправ

ках рівні+1 ;

2) до другої групи — умовні рівняння з коефіцієнтами

-f-І; вони, очевидно, матимуть однакові поправки;

3) до третьої групи — всі інші умовні рівняння.

Згідно з теорією двогрупового методу врівноваження при

вказаному вище розподілі умовних рівнянь на три групи

первинні поправки v't знайдемо за формулою

де s = 1, 2, . . . г — номер умовного рівняння першої групи,

н яке входить відшукувана поправка, a ns — кількість неві

домих поправок в умовному рівнянні з порядковим номером 6\

Перетворення коефіцієнтів умовних рівнянь другої і тре

тьої груп проводитимемо за відомим уже правилом: перетво

рюваний коефіцієнт дорівнює неперетвореному мінус середнє

арифметичне з коефіцієнтів умовних рівнянь другої або тре

тьої групи по секції, в яку входить перетворюваний коефіці

єнт. Секції утворюються поправками умовних рівінянь пер

то ї групи. Отже, за цим правилом

Щоб зменшити кількість дальших обчислень, відшукуван

ня других і третіх поправок будемо проводити так. Візьмемо

нормальні рівняння корелат другої перетвореної групи:

[a V ] v H aT ] M - - - + [ a'x']^

[ « т + г п м - ...+ ip v ] ^ + щ -■ о,

........................................................................................................ (80,7)

[а,х']Лг |-[рЧ']/г2+ ...-|-[х ,х']й< —О

виразимо невідомі k u к2, lit у функції вільних членів.

Ц,ля цього помножимо рівняння (80,7) спочатку па неозна-

існі поки .що множники /н, /12, . fit і добутки складемо:

([a'a']/iH ІаТ ]/і2+ -" + К 'е']./і<) кЛ

+ ( [ * Ш .+[Р'?']/13+...+[Г'=']/./)*2+-

.................................................................................. (80,8)

+ /ll - f / l 2 ^ +.--I-/1/WT = 0.

Користуючись неозначеністю МНОЖНИКІВ /її, /і2, . /і/,

ідберемо їх так, щоб у рівнянні (80,8) вираз в першій

ужці дорівнював — 1, а в останніх нулю, тобто припусти-

ю, що

(a ' a ' ] f n-j- [ a'’{}' J /, 2-f-... -]- [ a' x ’ ] /і t + 1 = 0,

i « r ] / n - H m / 12+ - ..+ [ p v ] / l/ = o ,

.................................................................................. (80,9)

[*V ]/ i r |-[pV]/12-l-...+ [xV ]/ „ - 0 .

Тоді ,рііаня/нчя (80,8) можна записати так:

—К + / п ^ -h -.+Уі/w, “ 0,