Бугай П.Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів

Подождите немного. Документ загружается.

де .величиниit), ^2,.;., ъг знаходять з такої системи рівнянь:

\аа\ тс1 + \ab] и2+ [ас] u3-f ... + [сіг] кг + [аХ] = 0,

+ я3 + ... + [&r]ic, + ]&Х] = 0,

[ас] 7Т. + [Ьс\ и2+ [сс] т:3-к..+ [сг\ кг + [сХ] =0, (68,9)

\йг\ 1^1 + \Ьґ\ ТС2 + [сг] ТТд + [рг] Т-Г + [гХ] = 0.

Раніше ми вводили такі позначення:

F, (1Л, /,, /3, ... , /л ) = «>/,

де Ft — символ умовного рівняння. Беручи їх до уваги, ми

бачимо, що функція (68,8) не має ні поправок, ні корел'ат,

а виражена лише через вільні члени умовних рівнянь w, які

безпосередньо зв’язані з незалежними між собою результа

тами вимірів формулами (65,6), і до неї можна застосо

вувати загальну формулу (68,5) для визначення оберненої

величини ваги функції.

Отже, -знаходимо часткові похідні функції (68,8):

df , , dwt , dw2 , dw% , , 'dwr /CQ

d/t' 1 +1C< d/Г 2Ж” 3Ж ~r 'дії' {68’Щ

Але, беручи до уваги позначення (65,6) і (65,7),

dw. dF,

~дГЇ~~дІЇ~аі’

dwz _ dF; _

'ШЇ~~дГ1 ~ 1>

dwr dFr

ди ~ <)/, "=Гі’

а тому попередній вираз часткової похідної (68,10)

такого вигляду:

-|^ - = Х.1 + а1тс1 + &1тс2 + с1тс3+ ,., + г^г ■

Так само знаходило і інші часткові похідні:

= ^>2 + ^2^1 + ^2^2 + ••• + Г2Кг ,

-щ- = Х8 + + &3тс2 + с3іс3 +... + ґякг,

{) f

а/7 = х" + а"'кї+Ьпг'2 + спт'з + + Гп*г.

набере

(68,11)

(68,12)

Згідно з формулою (68,5) при рівноточних вимірах під

несемо ці часткові похідні до квадратів і підсумуємо:

ДГ = [Х>'] + ([flal ГЧ + \аЬ\ *2 + [аС\ Т-І + — + іаг\ + [лХ]) r.t -•

+ {[abJ Ttj -t- [bb] ^2 + [be] it3-j-... -f [br] ~r + [6X])leg-J-

+ ([ас] + [be] X2 + [cc] n3 +... + [cr] w, -I- [eX]) r 3 +

+ ([ar] ~t + [br] ic2+ [cr] it3 + ...+ [rr] r.r f [rX])icr -i-

+ [flX] тгt-f- [ЙХ] it2 -f [cX] ~3 +... 4- [rX] ъг .

Але, згідно з (68,9), вирази в круглих дужках дорівнюють

нулю, а тому

■pj — [XX] -f [fl^] Wj + [&Х] + [cX] 7t3 + [rX] ~r . (68,13^

Це і є відшукувана загальна формула для визначення

оберненої величини ваги функції врівноважених величин.

Як ВИДНО з ЦІЄЇ формули, для визначення величини j}-

необхідно знати множники TCj,r2,r3,..., щ, які визначаються із

системи рівнянь (68,9). Але її можна знайти, ле визначаючи

цих множників, подібно до того, як ми знаходили величину

[то] (див. §51) при врівноваженні посередніх вимірів. Щ об

показати це, візьмемо дві системи нормальних рівнянь А і

В, беручи для прикладу рівняння лише з чотирма невідо

мими:

[aa] x\-[ab]y -ь [ас] z+ [ad]u{ [а/] = 0,

[ab] х + [bb] у f [be] z + [bd] и + [Ы] = О,

[ac] х + [Ьс] у + [cc] z + [cd] и + [cl] =0, А

[ad] х + [bd] у + [cd] z + [dd] и + [dl] = 0,

[al] ЛГ-f [bl] у + [cl] z+ [dl] u -'r [11] *=[vv]\

[aa] ^-(-[aft] іx2-\-[ac] ir3-t- [ad] r 4-f[aX] = 0,

[ab] icj + [bb] -к2-\-[Ьс] ir3+ [bd] ^4 + [&X] = 0,

[ac] + [bc]n2-\-[cc] «3+[crf]it4+[cX] =0, В

[ad] tz1 + [bd] n2-\-[cd] it^-\-[dd] it4+ [dX] = 0,

[aX] itj + [ЙХ] Tt2+ [cX] it3~i- [rfX] Tt4-|- [XX] = ^-.

Ці системи є цілком іиодібні і відрізняються лише назвою

невідомих та вільними членами. Розв’язуючи першу з них

шляхом послідовного виключення невідомих X, у, Z, и, ми, як

відомо, одержуємо в останньому рядку стовпчика /] схеми

Гаусса—Дулітля величину

(// 4 1 = Г ^ 1 = Г / Л (68 14)

\vv\ [W]J [cc2j [rfrf.3] voo.i'tj

Розв’язуючи аналогічно другу систему, одержимо:

l X X . 4 j [ . A - . t X X l - l ^ - P * - ^ - M (68,15)

Звідси випливає відоме вже правило: якщо при розв’язу

ванні нормальних '-рівнянь корелат в схемі введемо додат

ковий стовпчик X] і будемо в нього виписувати вільні члени

[аХ], [6Х], [са], [с/Х] і [XX], то, проводячи над ними ті ж

самі операції, які ми проводили над коефіцієнтами і вільними

членами нормальних рівнянь корелат, в останньому рядку

схеми в стовпчику X] одержимо зеличину

IXX.4] ~]5у- (68,16)

Середню квадратичну помилку функції врівноважених ве

личин ялайдемо за формулою

щ - (68,17)

де

" \vv\

----

середня квадратична помилка одного виміру.

В загальному випадку при нерівноточних вимірах і при

наявності г умовних рівнянь формули (68,15) і (68,17) набе

руть такого вигляду:

А У Іг'Г І7 -^-’>Г

[ 2 1 ] [“ і ] I f 1

1,68,18)

mf = ±^= ,. (68,19)

§ 69. ВРІВНОВАЖЕННЯ ГЕОДЕЗИЧНОГО

ЧОТИРИКУТНИКА

Розглянемо застосування викладеної вище теорії врівно

важення умовних вимірів на простому, але важливому для

практики прикладі врівноваження геодезичного чотирикут

ника.

Геодезичним чотирикутником називається чотирикутник,

• Сякий має дві діагоналі (рис. 15)

і в якому виміряні всі вісім

кутів. У даному прикладі всі

виміри будемо вважати рів-

поточними. Через те, що ви

міри не є абсолютно точні, то,

позначивши найімовірніші зна

чення кутів римськими циф

рами, виміряні значення —

^арабськими і поправки • до

них — арабськими цифрами в

дужках, будемо мати:

Рис. 15.

1 = 1+ 0 ),

ІІ = 2+ (2),

III = 3+(3),

IV = 4+(4),

V = 5+(5),

VI- 6 + (6),

VII-7 +(7),

VIII = 8+ ( 8).

(69,1)

Розглянемо тепер питання, скільки ми повинні виміряти

кутів, щоб побудувати геодезичний чотирикутник. Для його

побудови одна сторона повинна бути задана. Отже, припу

стимо, що задано положення точок А і В їх координатами. В

такому випадку сторону АВ називають вихідною. Для визна

чення положення точки С досить виміряти два кути: 1 і 2+3.

Так само для побудови точки D необхідно виміряти ще два

кути: 1+ 8 і 2.

Таким чином, для побудови геодезичного чотирикутника

досить виміряти чотири кути: 1, 2, З і 8. У пас же виміряно

вісім кутів. З них чотири виміри будуть необхідними, а реш

та —• додатковими, які вимірюються для контролю і для

збільшення точності виз'наченшя положення точок С і D.

З виміром кожного додаткового кута, як це ми зараз по

бачимо, виникає одне умовне рівняння. Через те в нашому

геодезичному чотирикутнику виміряні вісім кутів повинні за

довольняти чотири незалежні між собою умовні рівняння.

Щоб знайти їх, беремо задану вихідну сторону

АВ і за ви

міряними кутами 2 і 3 при точці В будуємо напрям ВС. Цей

напрям ще не визначає положення точки С. Потім при точці

А будуємо кут 1 і визначаємо напрям АС. В точці перетину

напрямів ВС і АС буде знаходитись точка С.

Якщо тепер ми виміряємо кут 4, то виникне умовне рів

няння

або

I + II + I1HIV-1800, (69,2)

1 -|-(1)+2 + (2) + 3+(3) 1 4+(4) - 180°. (а)

Але тому, що ми маємо лише виміряні значення кутів,

які обтяжені неминучими помилками вимірів, то можемо за

писати рівняння (а) лише в такому вигляді:

l+ 2 -f3+ 4-1 80°+ w 1, (b)

де оуі — нев’язка в сумі кутів трикутника ABC.

Віднімаючи від рівняння (а) рівняння (Ь), одержимо:

(1) + (2 )+ (3 )+ (4 )+ ^-0 . (69,3)

Це й буде перше умовне рівншня поправок.

Будуємо тепер на лінії АС кути /_ DAC = /_ 8 і _/ ACD =

= / 5. В перетині напрямів AD і CD одержимо точку D. Ви

мірюючи кути /16 і /_7, зімкнемо два трикутники: BCD і

DAB. В зв’язку з цим виникають ще два умовні рівняиня. З

трикутника BCD

III'HV+V-fVI-1800, (69,4)

або

З-f (3) + 4 + (4)+5-|-(5) |~64-(6)«= 180°. (с)

З виміряних кутів маємо:

З 1-4 1-5+6=180° + w2. (d)

Віднімаючи від рівняння (с) рівняння (сі), знайдемо дру

ге умовне рівняння поправок:

(3) + (4) + (5)+(6) + w2°0. (69,5)

Аналогічним шляхом одержимо умовне ріввя-ння і для

трикутника DAB:

(1)+(2)+(7) + (8)+и>,-0. (69,6)

Знайдені три умовні рівняння поправок (69,3), (69,5) і

(69,6) називаються фігурними, або умовними рів

няннями трикутників. З них ми бачимо, що поправ

ки до кутів кожного трикутника повинні бути знайдені при

умові, щоб сума їх була рівна нев’язці відповідного трикут

ника з протилежним знаком. Такий геометричний зміст фі

гурних умовних рівнянь поправок.

Подібні умовні рівняння можна скласти для трикутника

ACD і чотирикутника ABCD, а саме:

(5) + (6)+(7) + (8)-І-и»4-0 , (69,7)

(1) + (2) + (3)+(4Н (5)+(6) + (7) + (8) + «»в = 0> (69,8)

же і ®б — лев’язки в сумі кутів цих фігур.

Однак легко довести, що умовні рівняння (69,7) і (69,8)

можна одержати з рівнянь (69,3), (69,5) і (69,6), а тому во

ни не будуть незалежними. Справді, взя.вши суму рівнянь

(69,5) та (69,6) і віднявши від неї рівняння (69,3), одер

жимо (69,7). Підсумувавши рівняння (69,3) і (69,7), одер

жимо (69,8). Отже, звідси випливає правило: в геодезичному

чотирикутнику незалежних між собою фігурних умовних рів

нянь завжди буде три. При цьому однаково, які три з чо

тирьох умовних рівнянь трикутників будуть взяті за не

залежні.

Раніше ми встановили, що в геодезичному чотирикутнику

повинно бути чотири незалежні умовні рівняння. Три з них

ми знайшли. Знайдемо тепер четверте.

Розглядаючи геодезичний чотирикутник, легко бачити, що

коли буде дано довжину одної сторони і найімовірніші зна

чення всіх кутів, то можна обчислити довжини і всіх інших

сторін. Так, наприклад, з трикутника ABC за даною довжи

ною сторони АВ, користуючись теоремою синусів, знайдемо

довжини сторін ВС і АС. Потім із трикутника CDA за відо

мою вже довжиною сторони АС знайдемо довжини сторін

AD і CD. Залишається ще визначити довжину сторони BD

її можна обчислити двома незалежними шляхами: 1) з три

кутника ABD за довжиною сторони АВ і 2) з трикутника

ВСІ) за довжиною сторони ВС:

Й В -Л Й 5ІП(' ^ Ш), (е)

binVH 4 '

/ Ш - Д С - 8І-п--(~ ~ }. ( t)

sin VI v '

Але з трикутника ABC маємо:

Я С -Л Я • (g)

S H I I V к ъ /

Підставивши тепер (g) в (f), одержимо:

BD - А Я— . (її)

sin l\ sin VI v '

Результати (е) і (її) повинні бути однакові. Отже, при

рівнюючи праві частини цих рівностей, одержимо:

, n Sitl (1 4- VIII) _ sin I sin (IV4-V)

sin VII — sin IV sin VI ’

звідки

B.CDA' ^ n l s i n ^ H in V H ^ !

sin IV sin \ 1 sin(I + VIII) v

Це й буде відшукуване четверте умовне рівняння геоде-

з и Ч'НО го чо ти р и кут н и к а.

Подібні умовні рівняння в тріангуляційних сітках вини

кають завжди, коли в іних є діагоналі, які перетинаються

між собою. При цьому їх можна складати різними способами.

Так, для геодезичного чотирикутника їх можна скласти чо

тири; одне з них (69,9) і ще три:

Р п> л d sin (II + III) sin VI! sin VIII .

C sin I sill III sin (VI + VII) = ’

D.ABC _1in n si,,(iv + v)si,vvm ( ш

sin III sin V sin (I + VIII) ’ \ /

л о п гл sin II sin IV sin (VI + VII) ,

■ sin (11 + III) sin V sin VH ‘

Всі ці умовні рівняння називаються полюсними.

■Практично полюсні умовні рівняння (69,9) і (69,10) скла

дають так. Візьмемо точку В (рис. 15) за полюс і запишемо

таке очевидне відношення сторін чотирикутника, які вихо

дять з точки В:

ВС BD ВА _ .j

BD ‘ ВА ' ВС.

Замінимо тепер відношення сторін відношеннями синусів

найімовірніших значень протилежних кутів. Одержимо полюс

не умовне рівняння (69,9). Трикутник

CDA, який утворюєть

ся кінцевими точками сторін ВС, BD і ВА, називається о с 

новою полюса В. В зв’язку з цим це полюсне умовне

рівняння можна умовно назвати B.CDA.

Так само, беручи послідовно за полюс точки С, D і А з

відповідними їм основами DAB, ABC, BCD і утворюючи від

ношення

CD СА С В _ . DA DB DC = ,

С А ' С В ' CD ’ D B ' DC ' DA '

А В AC AD _ .

AC ‘ AD ’ АВ '

після заміни відношення сторін відношеннями синусів проти

лежних кутів одержимо полюсні умовні рівняння (69,10).

Можна довести таке твердження: якщо в геодезичному

чотирикутнику задовольняються три фігурні умовні рівняння

і одно полюсне, тЬ решта полюсних рівнянь теж задовольня

тиметься. Таким чином, у всякому геодезичному чотирикут

нику найпростіших незалежних між собою умовних рівнянь

завжди буде три фігурних і одно полюсне.

Приведемо тепер полюсне умовне рівняння (69,9) до про

стого лінійного виду. Для цього прологарифмуємо його:

In sin I+ln sin (IV + V) -і-In sin VII—In sin IV—In sin VI —

— In sin (1+VIII) = 0.

Замінивши найімовірніші значення кутів їх виміряними

значеннями і поправками до них, будемо мати:

In sin { 1 +-(1)}+1п sin (4+(4) + 5+(5)} + ln sin {7+(7)}-~

lnsin{4 t-(4)}—lnsin{6 + (6)} lnsin{l -i-

+ (l) + 8 + (8)}-0. (69,11)

Перш ніж робити дальші перетворення, зауважимо таке.

Якщо кут х виражений в радіамній мірі і величина (х) —

досить мала поправка до нього —• також виражена в радіа

нах, то ми можемо, користуючись формулою Тейлора, за

писати:

In sin{x 1 (л‘)} = In sin х т -(•*) = In sin x+ ctgx(A:),

або, переходячи від натуральних логарифмів до десяткових

і виражаючи поправку (х) в градусній мірі, !

lg sin { дг-f (jc)} = lg sin x-h ЛІ c tg x -~ , (69,12)

де M — модуль переходу, а р—кількість секунд в радіані.

Знайдемо тепер, чому дорівнює множник при поправці

(х)". Для цього припустимо, що (х)" — І". Тоді

lgsin{x > r'} = lgsinx+Alctgx-~.

Звідси бачимо, що величина М ctg х ~ є ніщо інше, як

зміна логарифма синуса кута при зміні кута на 1". В семи-

значних таблицях логарифмів у табличних різницях да

ються зміни логарифмів синусів при зміні кута на 10". По-

значимо десяту частину цих величин через . Тоді рівність

(69,12) можна записати так:

lg sin {*+(*)"} = lg sin * + y |(* "). (69,13)

Користуючись цією загальною формулою, можемо в умов

ному рівнянні (69,11) розвинути в ряд 'Гейлора кожний

логарифм синуса:

lgsin{l+(l)} = lgsinl + ^ ( l ) ,

lg sin { 4+5+(4) -К5)} = lg sin (4+5) +^{(4)+ (5)},

lgs in {4 -f(4 )}~ lg sin 4 + -^ T(4),

Ig sin {6-f (6)} - lg sin 6+ ^,(6),

! g s i n { l + 8 + ( l ) + ( 8 ) } = i g s i n ( l + 8 ) + AI^ 8{ ( l ) H - ( 8 ) } ,

де поправки (1), (2), ..., (8) виражені в секундах дуги.

Підставивши ці значення логарифмів синусів у (69,11), бу

демо мати:

Помноживши обидві частини цієї рівності на 107 і ввів-

після зведення подібних членів по невідомих поправках ос

таточно одержимо:

Це й буде полюсне умовне рівняння поправок. Величини

Д і ш4 в ньому виражені в одиницях сьомого знака лога

рифма.

Примітка: Формули (6-9,13) і (69,14) виведено для того ви

падку, коли обчислення проводять за допомогою семизначних таблиць

логарифмів. Якщо ж їх проводять шестизначними логарифмами, тоді

замість множника 107 вводиться 106 і величини Д і виражені в оди

ницях шостого знака логарифма.

-Після того, як будуть складені умовні рівняння попра

вок, задачу по врівноваженню геодезичного чотирикутника

легко розв’язати. Для цього складають таблицю коефіцієн

тів умовних рівнянь поправок і коефіцієнтів нормальних

рівнянь корелат. Розв’язуючи останні рівняння в схемі Гаус

са, знаходять корелати і за формулами (65,16) поправки

(1), (2), ..., (dfrдо виміряних значень кутів. Найімовірніші

значення кутів обчислюються за формулами (69,1).

§ 70. ОЦІНКА ТОЧНОСТІ РЕЗУЛЬТАТІВ ВРІВНОВАЖЕННЯ

Оцінка точності при врівноваженні геодезичного чотири

кутника полягає в тому, що 1) визначають середню квадра

тичну помилку виміру, що відповідає одиниці ваги, і 2) зна

ЇЇГ7{А1(1 )+Д4+5(4)+Д44-5(5 )+Д 7(7)— Д4(4 > -Д в( 6 )- Д1+8( 1 )-

ши позначення

(69,14)

{Ді—Д1+8}(1 )+{Д4 4 -5-- 4J(4) + Д4+6(5)4- Д7(7)-Д6(6) -

—Д1+8(8)+а>,І-0 .

(69,15)

ГЕОДЕЗИЧНОГО ЧОТИРИКУТНИКА

ходять середню квадратичну помилку в логарифмі будь-якої

сторони чотирикутника або її відносну помилку.

Середню квадратичну помилку виміру, що відповідає оди

ниці ваги, знаходимо за формулою (67,1):

де г — кількість умовних рівнянь; в даному випадку г — 4

Для визначення середньої квадратичної помилки в лога

рифмі будь-якої сторони чотирикутника застосовують загаль

ну теорію (§ 68) так.

Нехай в результаті врівноваження геодезичного чотирикут

ника були знайдені найімовірніші значення кутів I, II,

VIII. Ці значення не будуть абсолютно точними, а лише най

більш надійними, 'найімовірнішими, тому що вони задоволь

няють чотири умовні рівняння і умову [уу] = minimum.

Якщо нам відома довжина вихідної сторони АВ, то за

знайденими найімовірнішими значеннями кутів можна об

числити довжини решти сторін чотирикутника. При цьому

завжди необхідно знати, які помилки можуть мати довжи

ни цих сторін, якщо довжину вихідної сторони АВ вважати

безпомилковою. Проте в геодезичній практиці оцінку точно

сті проводять не для всіх сторін, а лише для найбільш від

даленої від вихідної сторони АВ. В нашому прикладі це буде

сторона CD, тому що для визначення її довжини треба роз

в’язати два трикутники, наприклад ABC і BCD, тоді як

для визначення довжини будь-якої іншої сторони досить роз

в’язати один трикутник. Отже, довжина сторони CD буде ви

значена з .найменшою точністю.

Оцінку точності будь-якого елемента чотирикутника ми

зможемо зробити, коли будуть відомі середня квадратич

на помилка [і, що відповідає одиниці ваги, і вага Р/ цього

елемента. Тоді

Довжина сторони CD є функцією врівноважених кутів і

вихідної сторони АВ. Отже, знайдемо цю функцію / і визна

чимо обернену величину її ваги .

або за формулою (67,2) при рівноточних вимірах:

З трикутника ABC маемо:

(а)