Бугай П.Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів

Подождите немного. Документ загружается.

Знайдемо, наприклад, значення коефіцієнтів Qn, Q12, Q1.4-

Останній з них знаходимо, гак само як і невідоме 2, в 19 ряд

ку Е3, але в стовпчику Qx. В нашому прикладі

Далі знаходимо коефіцієнт Q12. Для цього підставляємо

значення коефіцієнта Q13 в елімінаційне рівняння Е2 (ря

док 10). Результати підстановки записуємо в рядок 12, куди

зносимо і вільний член (—0,250) елімінаційного рівняння £■>.

Підсумовуючи величини цього рядка, одержуємо:

І, нарешті, знаходимо коефіцієнт Qn, підставляючи зна

чення коефіцієнтів Qi3 і Q12 в елімінаційне рівняння Е\. Ре

зультати підстановки записуємо в 4 рядку і одержуємо:

використовуючи при цьому величини стовпчиків Qy і Qz від

повідно.

Таким чином, одержуємо такі значення вагових коефі

цієнтів:

Ваги врівноважених кутів обчислюються за формулами

Отже, врівноважені кути х, у, z одержані з однаковими

вагами і з однаковою середньою квадратичною помилкою.

Qi3 = 0-

(61,5)

Qi2“ 0 + (-0 ,250)= -0,250.

(61,6)

Qtl- +0,500, Qai

-----

0,250, Q31 —0,

Q,2- -0,250, Q22= +0,500, Q32 = -0,250, (61,8)

Qi3~ 0, Q23= 0,250, Qss= +0,500,

(59,24):

(61,9)

ГІри розв’язуванні нормальних рівнянь для контролю об

числень вводиться стовпчик s], в якому обчислюються конт

рольні суми. Крім того, для остаточного контролю знайдені

невідомі л',

у, z, и підставляють у нормальні рівняння.

Якщо вони задовольнятимуть їх, то можна вважати, що всі

обчислення проведені вірно. Так треба було б робити і для

контролю обчислень усіх вагових коефіцієнтів. Для цього не

обхідно в схему обчислень ввести k додаткових сумарних

стовпчиків. Але це дуже ускладнило б обчислення. Щоб уник

нути цього, контролюють обчислення вагових коефіцієнтів

так. Утворимо такі суми:

[aa] 4 [ab] 4-[ас] 4- . . . -f[a^J = Sj,

[ab] + [bb] + [bc] + . . . +[bt] = S2,

[ac]-\-[bc]-\-[cc] + : . . +[с2ї]=53, (62,1)

[at] + [bt] + [ct] -i- .. . + [tt] .

Величини Si, Si, . . ., Sit можна одержати в схемі, взявши

но рядках [а, [Ь, [с, . . . різниці чисел стовпчиків s] і /]:

[as]- [a/]- Si,

[bs[-[bl]=S2,

[cs] — [cl] = S8, (62,2)

[te]-[* /]-£ * .

Складемо тепер по стовпчиках усі рівняння систем (59,28),

(59,33), (59,38), (59,39). Беручи до уваги (62,1), будемо

мати:

(Qll+Q2l + Qsi + —+Qai)5i + (Qi2 + Q22 + Qs2+ —4-Q* 2) S, 4

KQ13 + Q23 + Qss 4* .. . 4 Qft з) S34-...+(Ql* + Q2 k 4 Q3 k + ••• 4-

4- Qfcft) Sk — к.

або, ввівши позначення

Qu4~Q2i + Q3i4-...4-Q*i = SQa ,

Q124-Q224-Q324-••• 4-Qft2 = SQy ,

Qi8 4-C23 + Q33 + ...4Qft3 = SQZ , (62,3)

Qik +Qik +Q3k +...4Qft*= £QH,

одержимо:

S^Q* + S aSQy + S,SQ, +...+SkZQa -k. (62,4)

Якщо обчислення вагових коефіцієнтів проведено вірно, то

умова (62,4) в межах точності обчислень повинна задоволь

нятися.

В наступному параграфі буде доведено, що значення ва

гових коефіцієнтів, які розрізняються лише порядком роз

становки індексів, є однакові. Через те позначення (62,3)

можна записати і так:

Qn+Qi2+Qi3+••• -bQifc

Q2i-f Q-J2+Q23 + -.. + Q* ft = 2jQy,

Qsi~^Qs2 + Qss + + Q3* = S Qz, (62,5)

Qk 1 + Qk 2 + Qa3 + ... + Q*fe = S Q „ .

§ 63. СПОСІБ ГАНЗЕНА

Спосіб визначення вагових коефіцієнтів Q,-*, запропонова

ний Ганзеном, базується на одній їх .властивості, яка поля

гає в тому, що величина вагового коефіцієнта не змінюється,

від перестановки індексів при -ньому, тобто

Q/ft-Q*. (63,1)

Доведемо, наприклад, справедливість рівності Q34 = Q43

для випадку чотирьох нормальних рівнянь. Як відомо з попе

реднього викладу, в цьому випадку необхідно визначити 16

вагових коефіцієнтів:

Qn, Q121 Qisj> Qiv

Q21, Q22» Q23, Q24»

Qsu Q32. Q33, Q34, (63,2)

Q.u> Q 42, Q 431 Q 44,

які визначаються відповідно з таких систем рівнянь:

[aa] Qn + [ab] Q 12 + [ас] Q 13 + [ad] Q 14 = 1,

[ab] Q n + [M ] Q ia + [fc ]Q 18 + [M ]Q u = 0,

[ac] Qn + [&c] Q12 + \cc\ Qis + W ] Q14 = 0 , (63,3)

[ad] Qn + [bd] Q j2 + [^ J Qi3 + [ ^ ] Q h ^ O ;

[aa] Q2t + [ab] Q 22 + [ac] Q 28 + [ad] Q2i = 0,

[ab] Q 21 + [bb] Q 22 + [be] Q 23 + [bd] Q 24 = 1,

[ac] Q 21 + l^ ] Q 22 + M Q23+ И ] Q24 = 0, (63,4)

[ad] Q ai + [bd] Q 22 + [cd] Q 23 + [dd] Q2i - 0;

[aa] Q31 -f [a&J Qg2 + [ac] Q33 4- [ac?] Q34 =» 0,

|a&] Qai + [Щ Qs2 + [bc] Q33 + [M]Q34 = 0,

[ac] Q3i + [^c] Q32+ [ее] Qg3+ [erf] Qзі~ і> (63,5)

[ad] Qgj + [&rf] Q32 + [frf] Q33 + [rfrfj Q84 = 0;

[aa] Q41 t [ab] Q42 + [ac] Q43 + [arfj Q44 — 0,

[ab]Qu + [bb] Q42l [be] Q43+ [bd] Q44 = 0,

[ac] Qu + [be] Q42 + [ec] Q43 + [cd] Qu - 0, (63,6)

[ad] Q41 + [bd] Q42 + [erf] Q43 + [rfrf] Qu = 1.

Щоб довести зазначену вище рівність, помножимо рів

няння (63,5) відповідно на коефіцієнти Q4i, Q43, Q43, Q44 і до

бутки підсумуємо по стовпчиках:

{[ad] Q41 + [a&] Qi2+[ac] Q43+[arf] Q44}Qgl +

+ {[ab] Q41 + [bb]Qn+[bc] Q43+ [6rf] Q44}Q32 +

+ {[ac| Qtrl [be] Q42+ [cc] Q,l3-t- [erf] Q44} Q33+ (63,7)

г{[arf] Q41 + [bd] Q42 + [cd\Qu + [rfrf] Q44}Q34 = Q43.

Але згідно з (63,6) у лівій частині цього рівняння пер

ші три фігурні дужки дорівнюють нулю, а.четверта +1. От

же, рівняння (63,7) набере вигляду

QS4- Q « , ,(63,8)

що й треба було довести.

Таким чином, у загальному випадку при t нормальних рів

нянь замість того, щоб визначати t2 вагових коефіцієнтів, до

сить визначити лише коефіцієнтів

Q u, Q 12» • , Qu, ' *

Q22, Qzt)

.....................

(63,9)

Qtt,

контролюючи, звичайно, їх обчислення контрольною форму

лою (62,4).

Розглянемо тепер'суть способу Ганзена на конкретному

прикладі визначення коефіцієнтів (63,2). Знайдемо спочат

ку значення коефіцієнтів Q4b Q42, Q43, Q44. Для цього візь

мемо сисі<\\і\ і > і м 11 >і 111, (63,6) і замінимо її системою екві-

валенгиич ріішинь

l««J Qu+ [Щ Qr,+ [ac\Qi3 + [ad\Qu = О,

f bb. 1 ] Q42 + \bc. 1 ]Q43 + [bd. 1 ]Q44 = 0, (63,10)

[«\2[Q43 + [a/.2]Q41=>0,

[rfrf.3]Q44- l .

З останнього рівняння знаходимо:

^ 44 = [Ж З Г' ' (63,11)

Підставивши (63,11) ,в третє рівняння системи (63,10) і

беручи до уваги властивість (63,1), знаходимо, то

Q48“ <y8i - = - ^ | Q 41. (63,12)

Так само, підставивши (63,11) і (63,12) в друге рівняння

системи (63,10), знайдемо:

Q43-Q24»- j ^ r f Q « - [ ^ Q « . (63,13)

І, нарешті, коефіцієнт Q41 знаходимо з першого рівняння

(63,10):

(бз.м,

Визначимо тепер значення вагових коефіцієнтів Q3), Q32,

Q33 (значення коефіцієнта Q34 уже знайдено за формулою

(63,12). Для цього візьмемо еквівалентні рівняння

[aa]Q31 -г [ab\QS2 + [ac]Q33 -f [rtrf]Q34 = 0,

[bb.\\Q32+ [^C.IjQgg + f 1 ] Q34 = 0, (63,15)

[cc.2]Q3l +[crf.2]Q34- 1,

[flfrf.3]Q34 = 0,

що відповідають системі рівнянь (63,5). Але для визначен

ня трьох невідомих коефіцієнтів Q3b Q32, Q33 нам досить ма

ти три рівняння. Через те в рівняннях (63,15) четверте з

них можна відкинути, а з перших трьох послідовно зна

ходимо:

<?»— (63,16)

Вагові коефіцієнти Q2i і Q22 знаходимо з еквівалентних

рівнянь

Нарешті, значення коефіцієнта Qu знаходимо з першого

рівняння системи (63,3) за формулою

Всі обчислення зручно провадити в схемі (табл. 43), яка

< продовженням схеми Гаусса—Дулітля. Аналізуючи її, лег

ко бачити, що:

1) для обчислення вагових коефіцієнтів Q,* необхідно

додатково обчислити лише допоміжні величини

решта же величин будуть обчислені при розв’язуванні нор

мальних рівнянь;

2) значення вагових коефіцієнтів одержують шляхом по

слідовної підстановки раніш знайдених вагових коефіцієн

т і в елімінаційні рівняння Е.ь Е3, Е2, £ ь починаючи з кое

фіцієнта Q.M, який одержують за формулою (63,11);

3) контролюють обчислення вагових коефіцієнтів за фор

мулою (62,4).

§ 04. ВИЗНАЧЕННЯ ОБЕРНЕНОЇ ВЕЛИЧИНИ

ВАГИ ФУНКЦІЇ ВРІВНОВАЖЕНИХ ВЕЛИЧИН

ЧЕРЕЗ ВАГОВІ КОЕФІЦІЄНТИ

Він.мсмо функцію врівноважених величин у загальному

[aa]Q21 + [ab\Q22 + [ae]Q23 + [ad]Q2i = 0,

[bb. 1] Q22 + [be. 1 ]Q23-b [bd.\]Qit = 1, (63,19)

а саме

(63,20)

(63,21)

[a a]' [bb. 1]' [cc.2] 1 ](ta.3]

F - И (x, y, z, ... , a).

(64,1)

Таблиця 43

Схема обчислення вагових коефіцієнтів способом Ганзена

a /

/ x

b /

. /

/ У

с /

/ *

/ “

<?«

Qi з

Q44

[crf.2]

[cc.2] V44

Qb3~Qs4

[rfrf.3]

Qt2 “ Q’4

[6c 1] n

[66.1] v *3

[M .l]

[66.1] v *4

Qm = Qh

[ab]0

[aa]

[ac] n

[aa] Лг! й

Q33

Q 34

[erf 2] 1

[сс.2] У ’* [cc.2]

Qn= Qi*

[6c.1I

[66.1]

[6rf.l]

'[66.1] Vs4

Qn Q.n=Qi3

[ab] a

[ao] Qn

[°С] Q

l«fl]Qi3

[ * n 0

[rttt]v -’4

Qi з

Qai

[ab]n

— 7

----

Ї V2*>

[aa]

Q23

[6c.l|

[bdA]

Qsi ” Q i2

[66.1]

- M Q,.

[ae]

[66.1]

[aflT]

' [ee]°“

[66.1]

Q|2

■\ab}Qlt

[aa]

_l££] о

И ]

[ad] ^

[««1 Qu

'[aa]

SQ^

SQy

SQ*

SQ«

Si s2

s 4

SSQ

S£QX

S J Q y

S.SQ*

s 4s q „

Замінимо в ній аргументи через

•* = •*4)+ (-*;),

.У = Уо + O')»

z = z0 + (z), (64,2)

я = я0 + (и),

де Хь, Уо, г0, . . ., иа — наближені значення .невідомих, (х),

(у)’ (z)> ■■■> (и) — поправки до них, які відшукуються роз

в’язанням нормальних рівнянь.

Як відомо, після цієї заміни функцію можна привести до

такого лінійного виду:

F - F0 + fx (х) + / 2 {у) + / 8 (г) +... + /, (к), (64,3)

де /і, / 2, /з, ft — часткові похідні функції F по аргу

ментах х, у', z, ..., и\ і — кількість аргументів.

Виключаючи тепер з функції (64,3) залежні між собою

поправки за допомогою неозначених множників (перехідних

коефіцієнтів) q\, q2, ..., qt , одержимо:

F<=F0+[al\ <7r f [W] q2 + ... + [tl\ qt . (64,4)

Як відомо з §59, поправки (х), (у), (z)

..........

(и) вира

жаються через вільні члени нормальних рівнянь і вагові кое

фіцієнти Qik за допомогою співвідношень

—(■*■) = -Ь [bl] Qj2 + [tl] Q\ t,

— (y)= [al] Q21+[W] Q22 + ... + [tl] Q2t,

— (z) Qsi + [bl\ Qn + ••• + [tl] Qat, (64,5)

— (m) = [a/] Q/i+ [bl] Qt2 + ... + [tl] Qtt ■

Підставивши ці значення поправок у (64,3), будемо маги:

/’-/W itte/] Qn + [W] Q12 + —+ [//|Qk }~

—/2 {[a^] Q21 + [Ы\ Q22 + ••• + [t^\ Q2^}—

—/з {[&i] Q31 + [Ы\ Q33+ ••• + [Щ Qst}-

—

f t

{[a /] Qt 1 + [bl\ Qt2 + • + [//] Qtt},

або, розкриваючи дужки і підсумовуючи по стовпчиках,

F = F0—{/j Qu + /0Q21 + ...+ft Qn}[a/] —

“■{/і Q134/ 2Q22+ •■•+// Q«}[W]— (64,6)

~{fi Qn +f2Qit +-.-+ft Qtt}[tl).

Порівнюючи (64,6) з (64,4), знаходимо залежність між

перехідними коефіцієнтами qu q2, ..., qt і ваговими коефі

цієнтами Qik, а саме:

~Яі =/ і Qn + /2 Q21 + ••• А-ft Qn,

"Яа—fi Q12+/2Q22 + ••• А-ft Qn, (64,7)

qt=fiQu+f2Qit+...+ft Qu-

Підставивши тепер (64,7) у формулу (56,14):

р ~ — /і<7і f%q2 * • ■ ft q t,

t F

знаходимо вираз оберненої величини ваги функції врівно

важених величин через вагові коефіцієнти:

^ ~ = /і (/і Q u +/2 Qai+ •••+/< Qfi) +

^ F

+/2 (fl Ql2 +/2 Q22+•••+/< Q«) +

+/< (/1 Qif+ Л Qzt+••• +/< Q«).

або, розкриваючи дужки і беручи до уваги, що Q(*=Qft/,

рг:=/і2 Qu + 2/ 1/ 2Q12 + + 2/і/< Qit +

+ / 22Q22 + ... + 2/ 2/, Q2<+ (64,8:

A-ft1 Qit.