Большаков В.Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

динатами (составляющими). Закон распределения случайного вектора

;

задают в виде функции совместного распределения

Г(х) = р(Х

< <х

)

или в виде плотности

/ \ _ д" Р (*1, х

)

ф ^21 ••• > х

) — ^ ^ ^ •

одг

ах

... ах

Обобщением понятия математического ожидания случайной ве-

личины является понятие математического ожидания случайного

вектора, определенного в виде

Мх

а обобщением понятия дисперсии Б

случайной величины является

понятие корреляционной матрицы К случайного вектора X, опре-'

деляемой как математическое ожидание случайной матрицы (X —

- М

)(Х - М

)

, т.'е. К

= М[(Х - М

)(Х - М

)

Так как по определению математическое ожидание случайной

матрицы есть матрица, составленная из математических ожиданий

ее элементов, то, например, при п = 3 получаем

~ (Х

-М

Х1

Кх=м [х

-м

, к-м

Х1

Х.-МХ, V

*.)

\х

-м

, !

'М[(х

-М^)] м [(^-Л^Нх.-М*,)]

Х1

-М

,(Х

-М

,)]

или

где, как и ранее, обозначено с? = —дисперсии Х

а Кц

= Кх^)— корреляционные моменты X

{

и X]. В общем случае мат

рица К имеет вид

-Ч.

V к

Чп

.. /С,

К.

• •

п2

2П

(1.96

Таким образом, диагональными элементами Кх

корреляционной

матрицы являются дисперсии случайных величин X /, а недиагональ-

ными (Кх) ц — корреляционные моменты между случайными вели-

чинами (при I = / \Кх)

()- Так как Кц = К л, то корреляци-

онная матрица всегда симметрична относительно главной диагонали,

т. е. Кх ~ Кх-

Для независимых величин матрица К будет диагональной

= | ' . . |= (1-100)

Ее называют также дисперсионной матрицей. Если при этом все дис-

персии равны между собой а? = а

, то

Кх = а

Е, (1.101)

где Е — единичная матрица.

Из матрицы (1.99) нетрудно составить так называемую нормиро-

ванную корреляционную матрицу*

12 • • •

1п

к*

| !.'.' / I- (

1ло2

)

где г

— коэффициент корреляции между Х

{

и Х

}

, вычисляемый по

формуле

1) = Кц/ар). (1.103)

Важное значение в теории обработки геодезических измерений

имеет так называемый нормальный случайный вектор, плотность рас-

пределения вероятностей которого (плотность совместного распре-

деления Х

, ..., Х

) имеет вид

<Р(Х„ X, . . . Х

) = (2к)

[беМСх 1

ехр

X (Х-Мх )

-±-(Х-Мх У К~

(1.104)

Де с!е1 К

— определитель корреляционной матрицы К х-

р 1.229. Из урны, в которой а белых и Ь черных шаров, вынимается один шар.

Усматриваются случайные величины:

Г1, если появится белый шар,

\0, если появится черный шар;

Матрицу К.

часто называют ковариационной, а Кх — корреляционной.

3 4258

__ /1, если появится черный шар,

^ \0, если появится белый шар.

Построить корреляционную и нормированную корреляционную матрицу спст

мы случайных величин.

Решение. Напишем ряд распределения для случайных величин X и 1

Очевидно, получим

\ О у 1 О

а Ь Ь а

а+Ь а+Ь

Ру1

а+Ь а+Ь

Далее находим математическое ожидание

= 1.-^+0

а +

а Ь

У ~

а + 6

+Ь~а +

•

Дисперсии

/ а V а .Л. о V Ь Ь*-а а*Ь

1 \

а +

Ь)

а +

I а +

Ь)

а + Ь~ (а +

Ь)

(а +

Ь)

а*Ь (а

Ь)

_ аЬ

~ (а +

Ь)

~ а+Ь

Аналогично Оу = аЫ(а + Ь)

Корреляционный момент получим по формуле (1.90)

Ки = Щ

<*«

•- м

щ.- м

у) РХ{ У1

= (1 - (1 - р

Х1 У1

Рх,у, °> Рхуу,

+ ь ' а + Ь'

гУ

Но вероятности

Поэтому

К __

аЬ а йЬ

(\-

- ,1 ,|

Л1г

(а + Ьу-\ а + Ь) (а + б)

I а + Ь) (а+Ь)

Отсюда следует, что коэффициент корреляции

ХУ

аЬ У а+Ь У а+Ь

г =

XV (Ту 5

Заметим, что здесь определитель йе1Я = 0. Такая матрица называется вырож-

денной.

1.230. Могут ли быть корреляционными следующие матрицы:

^3=1—1 2 —1 •

Ответ: 1) да; 2) нет; 3) да; 4) да.

1.231. Написать плотность многомерного нормального распределения, если

корреляционные матрицы К случайных векторов X и X имеют вид матриц /0, и

2X1 ЗХ!

из предыдущей задачи.

1.232. Найти коэффициент корреляции г

ху

, если йе1К = 1, а а

= о

= 2.

Ответ: г

ху

=±0,75.

1.233. Написать нормированную корреляционную матрицу для пяти углов,

измеренных способом круговых приемов Указание (см. задачу 1.226).

Найти корреляционную матрицу, если с. к. о. измеренного направления

о= 3".

§ 15. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, ДИСПЕРСИЯ

И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ МАТРИЦА ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ

ВЕЛИЧИН

Рассмотрим сначала произвольную функцию

У = ЦХ

1г

, ..., Х

), (1.106)

аргументами которой являются случайные величины Х

, ..., Х

Будем полагать, что эта функция «почти линейная», если во всем диа-

пазоне практически возможных значений аргументов она может

быть с достаточной для практики точностью линеаризована. Это оз-

начает, что

НХ

1г

, ..., Х„)«/(М

„ М

Хп

) +

где

(Л.) = (-V.)

{дХ, /о [дХ, )х, = м

значение частной производной, вычисленной по значению X

совпадающему с его математическим ожиданием.

Если математические ожидания М неизвестны, то вместо ни»

можно использовать приближенные значения Х[

, близкие к

«пример, значения X полученные в результате измерений.

Математическое ожидание почти линейной функции У = /(Х

•••» Х

) вычисляется по формуле

^ (М

Х1

, М

Хл

), (1.107)

а дисперсия

1=1 1<1

где йх, —дисперсия случайной величины Х

Кх

{

Х) — корреляций

онный момент величин XI, X}.

Когда случайные величины X,- и Х

}

некоррелированы,

йу =

*7=Т

Следует отметить, что формулы (1.107), (1.108) и (1.109) будут|

совершенно точными, когда функция У линейна. Для нелинейны^;

функций они являются приближенными и тем более точными, чем бли-|

же функция к линейной.

Например, для нелинейной функции и = XV, применяя формулу!

(1.107), получим М

= М

. Однако из формулы (1.98) следует*

что если случайные величины X и У коррелированы, то

ХУ

= М

+ К

ху

. (1.109')

Следовательно, из-за того, что при линеаризации функции (1.106]

опущены все нелинейные члены разложения, было утеряно второ

слагаемое в формуле (1.109).

Существуют формулы, позволяющие уточнить результаты, полу-

ченные методом линеаризации.

Рассмотрим теперь систему нескольких функций

2» • • •

у =

(Х)=

Фг(Х1

; ; ; ;•

Хп)

|. ц.ио):

\Фт . •

• •

п)

Объект ф(Х) называют вектор-функцией. Ясно, что формула (1.106))

является частным случаем формулы (1.110) при т = 1. В этом случае(

математическое ожидание \

М?(Х)-Ф(М

) = | . (1.111)'

(М

„ М

Хг

, . .

а корреляционная матрица

Ку = А К Л

, (1.112)

тХт тХп пхп пхт

где матрица А = (дУ/дХ)

определяется следующим образом:

МЩ •

<' "

тХп

т. е. каждая ее г'-я строка содержит элементы, равные частным произ-

водным 1-й функции по аргументу.

Отметим, что выражения (1.107) и (1.109) являются частными слу-

чаями формул (1.111) и (1.112) соответственно, когда имеется лишь

одна функция (тогда а

= К у) и когда аргументы некоррелированы.

Для линейных функций вида У = АХ + Ь, как частный случай

получаем Му — АМ

+ Ь, а корреляционная матрица Ку опре-

деляется также согласно формуле (1.112).

1.234. Имеются две случайные величины X и У, связанные соотношением

У = 2 — ЗХ. Числовые характеристики величины X заданы: М

= —1; й

3=3

= 4.

Определить: а) математическое ожидание и дисперсию величины У; б) кор-

реляционный момент и коэффициент корреляции величин X, У.

Решение.

а) М

= 2 — ЗМ

= 5, О

= (—3)

4 = 36;

б) Кхт = МХУ] — М

Му = М[Х(2 — ЗХ)] + 1 • 5 = 2М

— ЗМ[Х

+ 5.

Но М[Х

] = а

[Х] = й

+ М*

= 4 + 1 = 5. _ _

Поэтому К

хг

= —2 — 3-5+5 = —12; г

ху

= —12/ст^а

= 12//

• У 36 =

= —1.

1.235. Имеется случайная величина X с математическим ожиданием М

дисперсией й

. Найти математическое ожидание и дисперсию следующих слу-

чайных величин:

У = —X; 2 = X + 2У — 1; и = ЗХ — У + 22 — 3.

Ответ: М

= — М

; О

= О

; М

= —М

— 1; И

= О

\ М

= 2М

— 5; й

= 40*.

1.236. Дана система случайных величин (X, У, 2) с заданными характерис-

тиками: математическими ожиданиями М

, Му, М

и корреляционной матри-

цей

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

и = аХ — ЬУ + с2 — а.

Ответ: М

= аМ

— ЬМу + сМ

— й.

О и ~ аЮ

+ ЬЮ

+ сЮ

— 2аЬК

у + 2 асК

Х2

— 2ЬсКу

1.237. Даны функции

= X! + Х

; У

= Х

+ Х

трех независимых случайных величин Х

, Х

, имеющих дисперсионную мат-

рицу

Найти корреляционную матрицу системы случайных величин ^н К, и коэф-

фициент корреляции г

г» УхУ*

Решение. Имея в виду применить формулу (1.112), составляем матрицу

/110

А =

V 1 0 1

н согласно формуле (1.112) находим

4 0 0

/ 1 1 0 \ /

Ку =

коэффициент корреляции г

'1*1

1.238. В условиях предыдущей задачи найти дисперсию функции 2 = У

—

Решение. 1-й способ. Применяя формулу (1.112), получим

^ —г _ (._«(•,*)(_; )-•.—-» (_;)_«.

2-й способ. Применяем формулу (1.108):

4 = '

4,+ (- ')

4, +

(-') Ку,у, = 9 + 13 - 8 = 14.

3-й способ. Выразим функцию 2 через независимые случайные величины Х^

Будем иметь 2 = У

— У

= Х

— Применяя формулу (1.109), получим

1.239. Найти корреляционную матрицу и коэффициент корреляции двух уг-

лов,измеренных способом круговых приемов (см. задачу 1.226). Найти дисперсию

угла 1/3 = 1/1-)- а также корреляционную матрицу углов у

1г

\ Уи у% и у

2 1 /2—1—1

Ответ: о?, = 2а

, К

= а

( | , К

= I — 1 2—1

^ >) 1-1 -1 2

1.240. Найти общее выражение корреляционной матрицы приращений ко-

ординат

ДХ = 5соза, ДК = 58тя,

а также вычислить ее элементы при 5 = 200 м, а

= 1 см, о

=• 3", а = 0°, 45°,

90°.

Ответ:

„ 2 ДУ

, 2 ДХД У „

СОЗ

а а| + — 81П а соз а —

ДХДУ 2 . „ 2 , ЛХ

81Па

С08

аа~ — о„ 51П

а Оо 4- о*

р2 ® ^ ®

1 см

К= '

=0° V о 9- Ю

-2

см2

1.241.' Найти дисперсии следующих функций:

1 1

•

1- « =

Тг1

Тг2

2 1 2

= Т

* + Т

*-Т

г;

3. " = т

г1

-Т

гг +

гз>

если корреляционная матрица вектора г имеет вид

2—1 О

= | -1 2-1

0—1 2

1.242. Найти математические ожидания и корреляционную матрицу раз-

ностей Л = — х

и среднего значения *=(*! + х

)/2 для случайных величин,

если М

Л1

= а,

К у

—

Е .

2X2

Решение.

= М

Х1

-М

Хг

= 0; М

= \м

+±-М

=М

-С

\1/2 1/2

Применяя формулу (1.112), получаем

1 —1 \ / 1 1/2\ /20

\ 1/2 1/2 У \ —1 1/2/ \ 0 1/2

Отсюда следует, что

=2 = 2а

: а

_ = а* / 2, г

- = 0.

1.243. Найти математическое ожидание и дисперсию невязки а> угломерно-

го хода, содержащего п углов, если углы измеряются без систематической ошибки

со с. к. о. а

{

= ст.

Ответ: М^ = 0; ст ^ = а

п.

1.244. Сделать то же самое, если каждый угол X; измеряется с систематичес-

кой ошибкой, равной с.

Ответ: М

= сп, = а

п.

1.245. Случайные величины X и К представляют собой элементарные ошиб-

ки, возникающие на входе прибора. Они имеют математические ожидания

= —2 и /Й

= 4, дисперсии Г)

= 4 и й

= 9; коэффициент корреляции

этих ошибок равен г

ху

= —0,5. Ошибка на выходе прибора связана с ошибками

на входе функциональной зависимостью

г = ЗХ

— 2ХУ + V

—

Найти математическое ожидание ошибки на выходе прибора.

Ответ: М

= 68.

1.246. Ошибка прибора выражается функцией и = 32 + 2Х — У — 4,

^Де X, У, 2. — так называемые «первичныэ ошибки», представляющие собой сис-

тему случайных величин (случайный вектор).

Случайный вектор (X, У, 2) характеризуется математическими ожидания-

ми М

= —4, М

= М

= 1 и корреляционной матрицей

А'У

Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое от-]

клонение ошибки прибора

Ответ: М

= —10, ^ •= 25, о

•= 5.

1.247. Доказать, что дисперсия произведения двух некоррелированных

случайных величин X и У выражается формулой

О [ХУ] = й

4 М\ +

Получить формулу для вычисления дисперсии этой же функции (2 = XV

]

согласно формуле (1.109). Объяснить расхождение результатов.

Для оценки точности нелинейных функций применяют метод численного]

дифференцирования. 3. М. Юршанским предложена приближенная формула!

[121:

=/(*1 + <?1, *«+?», • • • .

П + <7л) — / С*1.

п),

в которой величины определяются как разности

9* = / (*1 + , Х

+ К1

+ — *л),

а /Су — элементы г'-й строки корреляционной матрицы причем /Сг/ =

Для некоррелированных аргументов Кц = 0.

Например, рассмотрим функцию

5 = ]/х

+ У

(расстояние от начала координат). Корреляционная матрица аргументов пусть ;

будет

К,

10"

При X = 100 м и У = 20С м найдем

<?! = У 100,0004

+ 200.0002

- V 100-' + 200

= 0,00036,

= КЮ0,0002

+ 200.0006

— V 100

+ 200

= 0,00062

и 4 = 1Л00,00036

+ 200,00062

— 223,60680 = 0,00071, о

= 0,027

Следует заметить, что все вычисления необходимо выполнять с помощью]

микрокалькуляторов.

Решая эту же задачу по формуле (1.112), находим частные производные)

дЗ/дХ = соза и д81дУ = «1па. I

Матрица А = (соза 5111а) =(0,8944 0,4472) и дисперсия а

= АК

= 0,024 м.1

Возможен и другой путь решения задачи. Так, в работе [14] предлагагтсяI

вы 1Ислить частные производные по приближенной формуле

У[ —

1, • • *г + °г

п) —

— /

х,

Л'

Тогда Для дисперсии функции справедливо выражение

п а

в случае некоррелированных и

в случае коррелированных аргументов. Здесь коэффициент корреляции Гу =

= Так, в ннией задаче

у' = У 100,02-= + 200

— 223,6068 = 0,0089,

у' = У 100

+ 200.0245

— 223,6068 = 0,0219.

Тогда

I 1 0,408 \ / 0,0089 \

а» =(0,0089 0,0219) = 0,00072,

V 0,408 1 } \ 0,219 }

= 0,027 м.

Глава 2.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

И ТЕОРИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

§ 16. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Законы распределения случайных величин и их числовых харак-

теристик устанавливаются на основе опыта, эксперимента. Разработ-

кой методов регистрации, описания и анализа статистических экспе-

риментальных данных занимается специальная наука — математиче-

ская статистика, которая решает следующие типичные для нее задачи.

1. На практике всегда приходится иметь дело с ограниченным чис-

лом наблюдений. Возникает вопрос о том, какие черты наблюдаемого

явления относятся к устойчивым, присущим ему, а какие являются

случайными и проявляются в данной серии наблюдений только из-за

ограниченного объема экспериментальных данных. В связи с этим

возникает задача определения закона распределения случайной ве-

личины, по возможности свободного от всего несущественного, свя-

занного с недостаточным объемом опытного материала.

2. Могут возникнуть, например, вопросы: согласуются ли резуль-

таты эксперимента с гипотезой о том, что данная случайная величина

подчинена закону распределения ср(*), указывают ли найденные ха-

рактеристики зависимости между двумя случайными величинами на