Большаков В.Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

Решение. В этой задаче нас интересует событие А — появление брако-

ванной детали. Произведено п = 5000 испытаний, причем событие А наступило

т = 32 раза. Поэтому искомая частость

<?5оо. (

) = 32/5000 = 0,0064.

1.48. Французский естествоиспытатель XVIII в. Бюффон при эксперимен-

тальной проверке закона больших чисел бросил монету 4040 раз, в результате че-

го герб выпал 2048 раз. Найти частость выпадения герба.

1.49. Произведя 100 выстрелов, стрелок попал в цель 89 раз. Чему равна

частость его попадания в цель?

1.50. Среди 1000 новорожденных оказалось 517 мальчиков. Найти частость

рождения мальчиков и девочек.

1.51. Среди 4000 первых чисел натурального ряда имеется 551 простое чис-

ло. Найти частость появления простого числа.

1.52. Из таблицы прил. I выбрать 100 чисел. Найти частость и вероятность

появления последней цифры, кратной двум, кратной трем.

1.53. Произведено 5000 измерений. Число положительных ошибок оказа-

лось равным 1000. Можно ли сделать предварительное заключение о наличии

систематических ошибок?

1.54. При некоторых измерениях оказалось, что относительная частота по-

ложительных ошибок (} = 0,40. Сколько было произведено всего измерений п,

если отрицательных ошибок оказалось 15.

Ответ: 25.

§ 4. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Как уже отмечалось, события подразделяют на два класса — про-

стые (элементарные) и сложные. Такое разделение условно и целиком

определяется условиями эксперимента. Например, при многократном

бросании монеты сложным следует считать число выпадений гербов,

а простым выпадение герба при одном бросании монеты. При опыте с

несколькими монетами число выпадений герба на одной монете можно

рассматривать как событие простое.

Сложные события различают двух видов: сумма и произведение

событий.

Суммой двух или нескольких событий А $ =1,2, ..., п) на-

зывается сложное событие, которое заключается в появлении хотя бы

одного из событий А

. Другими словами, это означает В = или А

{

или А

, ... или А

, или А^ и А

, или Л

(

и А

, ... или все А

В этом выражении союз и, очевидно, имеет смысл, если собы-

тия совместны. Пишут также условно В = А

{

+ А

+ ... + А

= 2 л„

1=1

Произведением С двух или нескольких событий А

(/ = 1,2, п)

называется сложное событие, которое заключается в совместном по-

явлении всех событий А Пишут также С = А,-Л

... •А

= П ^

1=]

Для двух событий понятие «сумма» и «произведение» событий лег-

ко иллюстрировать геометрически (рис. 1).

На рис. 1 пунктиром обведен контур, заключающий событие В =

или Л

или А

, или А, и А

а перекрывающийся контур —событие

С = Л, и А

РИС. 1

1.55. Пусть событие А

— появление карты

бубновой масти, Л

= появление туза из колоды

карт. В чем заключается сумма и произведение

этих событий?

1.56. Взятая наудачу деталь может ока-

заться либо первого (событие Л), либо второго

(событие В), либо третьего (событие С) сорта. Что

представляют собой следующие события: А + В;

Т+~С\ АС; АС + С?

Решение. Л + В — это событие, кото-

рое состоится при наступлении хотя бы одного

из событий Л и В. Следовательно, Л + В в на-

шем случае — деталь первого или второго сорта. Так как Л + С — деталь пер-

вого или третьего сорта, то противоположное этому событие Л + С — деталь

второго сорта. Л • С — невозможное событие, поскольку деталь одновременно

не может быть и первого и третьего сорта. Л В + С как сумма невозможного

события и события С равна С, т. е. ЛВ + С — деталь третьего сорта.

1.57. Доказать, что Л + В = Л В.

Доказательство. Если произошло событие Л + В, то это означает,

что ни одно из событий Л и В не наступило, т. е. произошло событие ЛВ. Отсюда

Л + В = ЛВ~

Докажите более общее соотношение: А

+ Л

+ ... + А

= А

...А

1.58. В урне 5 красных, 2 синих и 3 белых шара. Все они пронумерованы

цифрами 1, 2, ..., 10. Из урны берется наудачу 1 шар. Событие — шар с четным

номером — обозначим через Л, с номером, кратным 3,— через В, шар красного

цвета — через С, синего — через С и, наконец, белого — через Е. Что представ-

ляют собой следующие события: Л + В, С + Е, ЛО, ВС?

1.59. Доказать равенства:

1) А + В= АВ\ 3) (Л + В) С = ЛС + ВС;

2) А + АВ = А; 4) (А + С) (В+ С) АВ + С.

1.60. При каких условиях справедливы следующие соотношения:

1) Л + В = ЛВ; 2) Л+Л = Л; 3) Л • Л = Л?

Теоремы теории вероятностей позволяют определять вероятности

сложных событий, зная вероятности простых событий.

Теорема сложения для несовместных событий

Вероятность суммы двух или нескольких несовместных событий

равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

р{В)=^р(А

), (1.4)

1=1

где В = ^

1.61. Бросают игральную кость. Какова вероятность того, что выпадет

грань с четной цифрой?

Решение. Искомое событие наступает, когда выпадают грани с цифрами:

или 2, или 4, или 6. Вероятность выпадения любой грани р(А

{

) » 1/6. Искомая

вероятность

р(В) = р (чети, цифра) = 1/6+ 1/6+1/6= 1/2.

Следствия теоремы сложения

Следствие 1. Если события А

{

образуют полную группу, то

2/)(Л

(

)=р((/) = 1. (1.5)

Следствие 2. Сумма вероятностей двух противоположных со-

бытий равна Ь

р(А) + р(А) = 1 ир(А) = 1-р(А). (1.6)

1.62. В группе 24 студента, из них отлично успевающих 4, хорошо — 12,

удовлетворительно — 6 и слабо — 2 человека. Подсчитать вероятность того, что

вызванный наугад студент окажется отлично, хорошо или удовлетворительно ус-

певающим.

Решение. 1-й способ. Применяя теорему сложения вероятностей, нахо-

дим

4 12 6 22 II

" = 1Г

1Г + 1Г = 1Г = 1Г"°'

92 = 92%

2-й способ. Обозначим вероятность вызова одного из успевающих студентов

через р, а вероятность противоположного события, т. е. вызова одного из слабых

студентов, — через Тогда р — 1 —

= 1 — 2/24-22/24 « 92 %.

1.63. В урну положено 10 белых шаров, 6 синих и 4 красных. Шары переме-

шивают и наугад вынимают один. Вычислить: а) вероятности появления белого,

синего, красного и цветного шаров; б) сумму первых трех вероятностей.

1.64. Для производственной практики на 30 студентов предоставлено 15

мест в Минске, 8 — в Гомеле и 7 — в Витебске. Какова вероятность того, что два

определенных студента попадут на практику в один город?

Ответ: 0,331.

1.65. Пассажир ждет трамвая маршрута № 2 или № 12 на остановке, через

которую проходят трамваи № 2, 6, 12 и 18. Предполагая, что трамваи всех мар-

шрутов появляются одинаково часто, найти вероятность того, что первый подо-

шедший к остановке трамвай будет нужного пассажиру маршрута.

Ответ: 1/2.

1.66. На 100 лотерейных билетов приходится: 1 выигрыш в 500 руб., 2 —

по 250 руб., 5 — по 100 руб., 10 — по 50 руб., и 20 — по 10 руб. Какова вероят-

ность выиграть не менее 100 руб. на 1 билет?

Ответ: 0,08.

1.67. По условиям задачи 1.66 вычислить вероятность выиграть не более

100 руб.

Ответ: 0,35.

1.68. Найти вероятность того, что при одном бросании игральной кости вы-

падет грань с двойкой или цифрой, кратной трем.

Ответ: 3/6.

1.69. Определить вероятность появление девятки или десятки при взятии

наугад одной карты из колоды в 36 листов.

Ответ: 2/9.

1.70. Мастер обслуживает 5 станков. 20% рабочего времени он проводит у

первого станка, 10% — у второго, 15% — у третьего, 25% — у четвертого и,

наконец, 30% — у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный

момент времени он находится у первого или третьего станка.

Ответ: 0,35.

1.71. В ящике находятся шары четырех цветов: белых — 50%, красных —

20%, зеленых — 20%, синих — 10%. Какова вероятность того, что взятый на-

удачу шар окажется зеленым или синим?

Теорема умножения для независимых событий

Вероятность произведения независимых событий равна произве-

дению их вероятностей, т. е. если С = 1~[ А то

р(С) = р (А,) • р (Л

)... р (Л„) = П Р (А,). (1.7)

1=1

Вероятности независимых событий называют безусловными. 3 а-

висимые события имеют так называемые условные вероят-

ности, которые записываются в виде р(А

1А

) — условная вероят-

ность события Л

, вычисленная в предположении, что произошло со-

бытие А,; р(А1!А

, Л

, ... А — условная вероятность события Л/,

вычисленная в предположении, что произошли события А

Л м-

Теорема умножения для зависимых событий

Вероятность произведения зависимых событий

р (С) = р

(А

)р(А,/А

)

... р (А

/А

1г

,..., Л„_

). (1.8>

Ясно, что теорема (1.7) является частным случаем теоремы (1.8)»

когда события независимы.

Условием независимости Л

событий является равенство

р(Л,) =р(А

1А

, А

1.72. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются следующие

события:

А — появление герба на первой монете;

В — появление цифры на первой монете;

С — появление герба на второй монете;

К — появление цифры на второй монете;

Е — появление хотя бы одного герба;

Р — появление хотя бы одной цифры;

О — появление одного герба и одной цифры;

Н — непоявление ни одного герба;

К — появление двух гербов.

Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие события:

А + С, АС, ЕР, 0+Е, СЕ, Вй, Е + К-

О т в е т: А + С = Е, АС = К, ЕР = О, С + Е = Е, СЕ = О, ВО = Я,

Е + К = Е.

1.73. Зависимы или независимы:

1) несовместные события;

2) события, образующие полную группу;

3) равновозможные события?

Ответ: 1) Зависимы, так как появление любого из них обращает в нуль ве-

роятности всех остальных; 2) зависимы, так как непоявление всех, кроме одно-

го, обращает в единицу вероятность последнего; 3) могут быть как зависимы, так

и независимы.

1.74. Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматрива-

ются события:

А — выпадение герба на первой монете;

О — выпадение хотя бы одного герба;

767672

Ч«ри1г1вська держаВДе

обласна

К1БЛЮТЕНА

Ь. В. Г. КОРОЛЕМКА

Е — выпадение хотя бы одной цифры;

Р — выпадение герба на второй монете.

Определить, зависимы или независимы пары событий: А и Е, А и Р, О и Е, Г> и Р.

Определить условные и безусловные вероятности событий в каждой паре.

Ответ:

1) р(Е) = 3/4; р(Е/А) = 1/2 — события зависимы;

2) р(А) — 1/2; р(А/Р) =1/2 — события независимы;

3) р(В) = 3/4; рф/Е) = 2/3 — события зависимы;

4) р(Б) = 3/4; р(В/Р) = 1 — события зависимы.

1.75. По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события

АI — попадание при 1-м выстреле ((' = 1, 2, 3).

Представить в виде сумм, произведений или сумм произведений событий

и А

{

следующие события:

А — все три попадания; Е — не меньше двух попаданий;

В — все три промаха; Р — не больше одного попадания;

С — хотя бы одно попадание; О — попадание в мишень не раньше,

О — хотя бы один промах; чем при третьем выстреле.

_0 т в е т: _А = Л

; В = А

; С=Л

+Л

; С = Л

+ Л

+ А

И Т. Д.

1.76. В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны вынимают (одновременно

или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут бе-

лыми.

Ответ: по теореме умножения вероятностей

а а — 1

Р(Ь, 5)=—Т — -•

а +

—

1.77. В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны вынимается один шар, отме-

чается его цвет, и шар возвращается в урну. После этого из урны берется еще один

шар. Найти вероятность того, что оба вынутых шара будут белыми.

/ а \ 2

Ответ:

.а+Ь,

1.78. В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны вынимаются сразу два

шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

Решение. Событие может появиться в двух несовместных вариантах

«б, ч» или «ч, б»; по теоремам сложения и умножения

а Ь Ь а 2 аЬ

р (бч + чб) = +

* а + Ь а+Ь а+Ь—1 (а + 6) (а + Ь —1)

1.79. Решить, применяя теорему умноження, задачи 1.19—1.21, 1.24—1.33.

1.80. Из полной колоды карт вынимают сразу четыре карты. Найти вероят-

ность того, что все они будут разных мастей.

39 26 13

Ответ: . X — X — X — ~0,106.

1.81. Перемножаются два наугад взятых числа. Найти вероятность того, что

они будут оканчиваться на цифру 1.

Ответ: 0,04.

1.82. Найти вероятность того, что первая положительная ошибка появится

в пятом измерении.

Ответ: р = 1/32.

1.83. Деталь испытывается на трех контрольных стендах. Вероятности об-

наружения бракованной детали на каждом стенде соответственно равны: р

= 0,5; р

= 0,7; р

= 0,9. Найти вероятность того, что бракованная деталь

будет обнаружена.

Решен не. Так как искомое событие есть сложное событие, заключаю-

щееся в том, что бракованная деталь будет обнаружена или на первом стенде

(событие Аг), или на втором стенде (событие А

), или на третьем стенде (событие

Ад), а события А

несовместны, то искомая вероятность р(В) = р(Ах) + р(А

) +

+ р(А

), при этом р(А

) — 0,5.

Для того чтобы произошло событие А

, необходимо, чтобы деталь прошла

первый стенд И была задержана на втором,, поэтому по теореме умножения

р(Л

) = (1 — 0,5)0,7= 0,35. Легко понять, что р(А

) = (1 — 0,5)(1 — 0,7)0,9 =

= 0,135.

Поэтому р(В) = 0,500 + 0,350 + 0,135 = 0,985.

1.84. Найти вероятность того, что в июле первый дождливый день будет 10

числа, если вероятность дождливого дня в этом месяце равна 0,3.

Ответ: (0,7)» • 0,3.

Теорема сложения для совместных событий

Вероятность суммы совместных событий определяется формулой

р{В) = \-ПрШ. (1.9)

1=1

Формула (1.9) легко получается из следующих соображений.

Рассмотрим событие _

В = хотя бы одно АI = ни одного АI = все А

Тогда, применяя теорему умножения, получим

Р (В) = П Р (АД» Л

, ..., А

1=1

Но так как р(В) + р(В) = 1, то отсюда сразу следует выражение

(1-9).

Если события А

независимы, то

р(В) = 1 - П р(А

{

). (1.10)

Для двух таких событий р(В) = р(А

{

) + р(А

)—р(А

)р(А

Когда все р(А

) равны между собой, то

р(В) = 1- [р(А)}\ (1.11)

1.85. На испытательном стенде размещено 50 приборов. Вероятность отказа

в работе одного прибора за время < равна р(А) = 0,1. Найти вероятность того,

что за время I откажет хотя бы один прибор, если приборы работают независимо

друг от друга. _

Решение. На основании формулы (1.11) имеем р(В) = 1 — {р(А)}

= 1 — 0,9®°. Логарифмируя р(А) = 0,9

, получим

р(л) = 50 1§0,9 = 50 • (1,954) = 50 • 0,046= -2,30;

р(А) = 3,70,

откуда р(А) = 0,0051; р(В) = 0,995.

1.86. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень с вероятностью попа-

дания, соответственно равной р

= 0,7 и р

= 0,9. Найти вероятность хотя бы

одного попадания.

Решение. Так как попадание в мишень обоими стрелками — события

независимые, но совместные, то, применяя формулу (1.11), имеем р(В) =

= 1 — 0,3 • 0,1 = 0,97.

1.87. Электрическая цепь составлена по схеме (рис. 2). Выход из строя за

время I различных элементов цепи — независимые события, имеющие следующие

вероятности:

Элемент Кг К, Л, Л,

Вероятность 0,10 0,10 0,05 0,02 0,04

Л1

М-

/г

-/V

РИС. 2

Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

Решение. Цепь выйдет из строя (событие В), когда откажут в работе

следующие элементы: или Кг (событие А,), или все Лу (событие Л

), или Кг (со-

бытие Л

), или все /С/ и Лу вместе. Так как эти события совместны, то имеем на

основании формулы (1.10)

_ р (В) = 1 - р_(Л1) • р Ш • р (Л

Вероятности: р(А

) = 0,90, р(Л

) = 0,90.

Событие Аз заключается в том, что хотя бы один из элементов Лу не откажет.

Поэтому р(Л

) находим также по теореме сложения для совместных событий

р(Л

) = 1 — 0,05 • 0,02 • 0,04 г» 1.

Поэтому р(В) = 1 — 0,9 • 0,9 • 1 = 0,19.

1.88. Вычислительная машина состоит из п блоков. Надежность (вероят-

ность безотказной работы) в течение времени Т первого блока равна р

1г

второго

— р

ит. д. Блоки отказывают независимо друг от друга. При отказе любого бло-

ка отказывает машина. Найти вероятность того, что машина откажет за время Т.

Ответ:

— П р*.

(=1

1.89. В аудитории находятся 100 студентов. Найти вероятность того, что

хотя бы у одного из ннх данный день является днем рождения, если год не висо-

косный.

Ответ: 0,240.

1.90. Найти, какое число человек должно быть вместе, чтобы с вероятностью

р = 0,95 хотя бы у одного из них данный день был днем рождения.

Ответ: я; 1100.

1.91. Завод изготовляет определенного типа изделия; каждое изделие имеет

дефект с вероятностью р. Изделие осматривается одним контролером; он обнару-

живает имеющийся дефект с вероятностью р

, а если дефект не обнаружен, про-

пускает изделие в готовую продукцию. Кроме того, контролер может по ошибке

забраковать изделие, не имеющее дефекта; вероятность этого равна а. Найти

вероятности следующих событий:

А — изделие будет забраковано; В — изделие будет забраковано, но оши-

бочно; С — изделие будет пропущено в готовую продукцию с дефектом.

Ответ: р(А) =

РР1

+ (1 - р)а; р(В) = (1 - р)а; р(С) = р(

1.92. Происходит «дуэль» между участниками Л и В. По условиям «дуэли»

А начинает первым и поражает В с вероятностью р,. Если В уцелеет, то он по-

ражает А с вероятностью р

. В свою очередь, А поражает В с вероятностью р

На этом «дуэль» прекращается. Найти вероятности: а) гибели А, б) гибели В,

в) гибели или А, или В.

Ответ: р

= (1 — р

)р

\ р

= р, + (1 _ р,)(1 — р

)р

;

Рв

+ р

1.93. Бросают две монеты. Рассматриваются события:

А — выпадение герба на первой монете; В — выпадение герба на второй мо-

нете. Найти вероятность события С = А + В.

1113

Р е ш е н и е. р(С) = р(А) + р(В) — р(АВ) = у + -у = или (че-

1 3

рез противоположное событие) р(С) = 1 — -у = -у .

1.94. При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за кос-

мическим объектом, объект обнаруживается с вероятностью р. Обнаружение

объекта в каждом цикле происходит независимо от других. Найти вероятность

того, что при п циклах объект будет обнаружен.

1.95. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажет-

ся кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Решение. Пусть — событие, которое состоится, если наудачу взятое

двузначное число кратно 2, а Л

—

событие, которое состоится, если это число

кратно 5. Надо найти р(А

+ А

). Так как А

и Л

— события совместимые, то

р(Ау + Аг) = р(Л) + р{А

) - р(А

Двузначные числа — это 10, 11 98, 99. Всех их 90. Очевидно, 45 из них

кратны 2 (благоприятствуют наступлению Л

), 18 кратны 5 (благоприятствуют

наступлению А

) и, наконец, 9 кратны и 2 и 5 одновременно (благоприятствуют

наступлению Л

). Поэтому

р =

1о~

= 0,5; р (Лг) = = 0,2; р (ЛЛг) = = 1

и, следовательно, р(Л

+ Л

) = 0,5 + 0,2 — 0,1 = 0,6.

1.96. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение часа

станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для вто-

рого — 0,8 и для третьего — 0,85. Найти вероятность того, что: 1) в течение не-

которого часа ни один из станков не потребует внимания рабочего; 2) все станки

потребуют внимания рабочего.

Ответ: 1) 0,997; 2) 0,003.

1.97. Чему равна вероятность того, что при п подбрасываниях игральной

кости выпадет хотя бы один раз единица?

Ответ: 1 ("§")"'

1.98. Вероятность того, что неопытный наблюдатель измерение превышений

на станции выполнит с соблюдением всех допусков инструкции, равна 0,4. Сколь-

ко раз он должен повторить измерения, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9,

он получил хотя бы один правильный результат.

Решение. Применим формулу (1.11) или р(В) = 1 — ^

По условию задачи 1 —0,6" > 0,9, откуда 0,6" < 0,1.

п > = = =4,5.

0,6 Г,7782 -0,2218

Ответ: 5 раз.

1.99. Вероятность того, что событие Л появится хотя бы один раз при двух

независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в

одном испытании, если вероятность появления события в каждом испытании оди-

накова.

Ответ: 0,5.

1.100. Вероятности появления положительной и отрицательной ошибок

равны между собой. Определить, сколько нужно произвести измерений, чтобы

с вероятностью р = 0,98 появилась хотя бы одна положительная ошибка.

Ответ: п = 6.

1.101. Определить вероятность того, что при двух измерениях появится

хотя бы одна положительная ошибка; две положительные ошибки.

Ответ: 0,75; 0 25.

1.102. Вероятность поражения цели одним стрелком р = 0,004. Определить

количество стрелков, необходимое для поражения цели хотя бы одним выстре-

лом с вероятностью 0,98.

Ответ: п = 976.

1.103. При печатании карт на офсетных машинах вероятность появления

брака за несовмещение красок Рх = 0,20 и за деформацию бумаги р

= 0,015.

Какова вероятность получить бракованный оттиск и по совмещению, и по дефор-

мации бумаги?

Ответ: 0,0003.

1.104. При печатании карт на офсетных машинах вероятность выхода ти-

ражных оттисков первой категории р

= 0,85, а второй — р

= 0,10. Какова

вероятность выпуска карт по качеству не ниже второй категории?

О т в е т: 0,95.

1.105. Вероятность получить аэрофотоснимок бракованным из-за покрытия

облаком р

= 0,020; из-за неприжатия пленки р

= 0,009. Какова вероятность

получения снимка бракованным?

Ответ: 0,0288.

§ 5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ (ТЕОРЕМА ГИПОТЕЗ)

Теорема. Если событие А может осуществиться лишь при ус-

ловии появления одного из несовместных событий Н

({• =1,2, ..., п),

составляющих полную группу (эти события называют гипотезами), то

вероятность события А определяется формулой

р[А)= ^р\Н

)р(А/Н

), (1.12)

1 = 1

т. е. вероятность событий А равна сумме произведений вероятностей

гипотез на условные вероятности события А, когда верна гипотеза Н

1.106. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого

набора стандартна, равна 0,8, а второго — 0,9. Найти вероятность того, что взя-

тая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) стандартная.

Решение. Деталь может быть взята из первого или второго набора с рав-

новероятностью, т. е. р(Н

) = р(НЛ = 0,5.

Вероятности р(А/Н^ = 0,8; р(А/Н

) = 0,9. Поэтому р(А) = 0,5 • 0,8 +

+ 0,5 • 0,9 0,85.

1.107. Электролампы изготавливаются на трех заводах. Первый завод про-

изводит 45% общего количества электроламп, второй — 40%, третий — 15%.

Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго — 80%,

третьего — 81%. В магазины поступает продукция всех трех заводов. Какова

вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

Ответ: 0,7565.

1.108. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 2 нестандартные,

во второй 10, из них 1 нестандартная.

Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти ве-

роятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стан-

дартной.

Решение. Вероятность того, чго из второй коробки извлечена стандарт-

ная лампа, р(Н

) = 0,9, а нестандартная р(Н

) = 0,1. Условная вероятность

того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из

второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, р(А/Н

) = 19/21.

Вероятность того же события при условии справедливости гипотез Н

= р(А/Н

)

=^18/21. Искомая вероятность согласно формуле (1.12) р(А) = ^ • -1?. + •

• I® = 0,9.

1.109. В трех урнах находятся белые и черные шары: в первой — 2 белых и

3 черных, во второй — 2 белых и 2 черных, в третьей — 3 белых и 1 черный.

Из первой урны переложен шар во вторую. После этого шар из второй урны

переложили в третью и, наконец, из третьей в первую. Чему равна вероятность

того, что состав шаров во всех урнах не изменился?

Ответ: 0,34.

1.110. Имеется п урн, в каждой из которых а белых шаров и Ь черных. Из

первой урны во вторую перекладывается один шар; затем из второй в третью

один шар и т. д. Затем из последней урны извлекается один шар. Найти вероят-

ность того, что он белый.

Решение. Вероятность события А

— извлечения белого шара из второй

урны после перекладывания — найдем

а а +

Ь а а

Р(

а +Ь а + й+1

а +Ь а+6+1

а + Ь '

Таким образом, вероятность извлечения белого шара из второй урны после

перекладывания будет такая же, как и до перекладывания. Следовательно, тако-

ва же будет и вероятность вынуть белый шар из третьей, четвертой и т.д., л-й

урны р(А

) = а!{а + Ь).

1.111. Группа студентов состоит из а отличников, Ь хорошо успевающих и с

занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить толь-

ко отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной ве-

роятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить

с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные

оценки. Для сдачи экзаменов вызывается наугад один студент. Найти вероятность

того, что он получит хорошую или отличную оценку.

Решение. Гипотезы:

Я] — вызван отличный студент; Н

— вызван хороший студент; Н

—вызван

слабый студент.

а -}- о + с а+о + с а +

+ с

Искомая вероятность равна

р(Л) = р(Я

).1+р(Я

).1+р(Яз) =

о а + о + с

1 с _

3 а+Ь+с а+Ь + с

1.112. Имеется л экзаменационных билетов, каждый из которых содержит

два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 2л вопросов, а только на

к < 2л. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого

достаточно ответить на оба вопроса своего билета или на один вопрос из своего

билета и на один (по выбору преподавателя ) вопрос из дополнительного билета.

к{к-\) 2к_ (2л - к) к — 1

твет: р 2л (2л — 1)

2п (2л—1) '2л —2'

Формула Бейеса

Если до опыта вероятности гипотез были р{Н1), р(Н

), ..., р(Н

а в результате опыта появилось событие Л, то с учетом этого события

«новые», т. е. условные, вероятности гипотез вычисляются по формуле

Бейеса

Р{Н

/А)

(/ = 1,2

г)

(К13)

2и Р (" и Р (

I" г)

1=1

Формула Бейеса дает возможность «пересмотреть» вероятности

гипотез с учетом наблюденного результата опыта.

1.113. Имеются три урны: в первой из них а белых шаров и Ь черных; во

второй с белых шаров и й черных; в третьей к белых шаров (черных нет). Некто

выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым.

Найти вероятность того, что этот шар вынут из первой, второй или третьей урны.

Решение. Решаем задачу по формуле Бейеса.

Гипотезы: Н

— выбор первой урны; Я

— выбор второй урны; Н

— выбор

третьей урны.

До опыта все гипотезы равновероятны: р(Н

) = р(#

) = р{Н

) = 1/3.

Наблюдалось событие А — появление белого шара. Находим условные ве-

роятности:

р(А/Н

) = а/(а+ЬУ, р (А/Н

) = с/(с + 4); р(Л/Я

) = 1.

По формуле Бейеса вероятность того, что шар был вынут из первой урны,