Большаков В.Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

б) Р(х) = | = <*-«)/(?-в).

Часто оказывается необходимым знать вероятность того, что случайная ве-

личина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например от

а до Р.

При этом условимся левый конец а включать в участок (а, Р), а правый не

включать. Можно показать, что тогда искомая вероятность

Р{«<*<р>=/>(р)-/>(

). (1.30)

Это следует из геометрической интерпретации (рис. 10). Заметим, что Р(х = а)=

= Пш[/'(Р) — ^(«Л. при этом для непрерывной величины Р(х = а) = 0. Одна-1

ко такое значение случайной величины в отличие от прерывной величины нель-1]

зя считать невозможным (оно происходит, но крайне редко).

1.149. В условиях задачи 1.116 найти вероятность того, что число попада-

ний в мишень будет находиться в пределах 1 < к < 3 (т. е. будет равно 1 или 2). |

Решение. На основании выражения (1.30) имеем

< к < 3} = Р (к = 3) — Р

(А

= 1) = 0,89 — 0,20 = 0,69.

Действительно

Р {1 <6<3} =р

(1)+р

(2) =0,40 + 0,29= 0,69.

1.150. Функция распределения случайной величины X имеет вид

Р(х) =

0 при

дг

< — —

— (х!п * + 1) при

т •

при х > —

Найти вероятность попадания величины X на участок 0 < х < — .

Решение. Так как случайная величина непрерывна, то Р(х = а) = 0.

Поэтому

Р |о <

д;

< = Я |о < х < = Р | ^ (0) =

1 / к х 1 УТ

= у(

51п

(^0 + 1) = -^ •

1.151. Составить ряд распределений случайной величины X — числа опы-

тов, которые необходимо сделать до первого появления интересующего нас собы-

тия, если вероятность его появления в одном опыте равна р (указание: =

4-1

= Я Р)•

1.152. Составить ряд распределения вероятностей и построить многоуголь-

ник распределения числа появлений отрицательной случайной ошибки при трех

измерениях.

1.153. Составить ряд распределения вероятностей и построить многоуголь-

ник распределения вероятностей появления положительной случайной ошибки

при восьми измерениях.

1.154. Случайная величина X распределена по закону Коши

/(*) = а/(1+**);

а) найти коэффициент а; б) найти функцию распределения Р(х)\ в) найти вероят-

ность попадания величины X на участок (—1; +1).

Ответ: а) а = — ; б) Р (х) = — агс1е * + !

) р {—

< X < 1} =

те те ^

1.155. Случайная величина X подчинена показательному закону распреде-

ления

Найти Р(х).

Ответ: Р (х)

(*) = | "Р

* >

*< О,

* > 0.

1.156. Кривая распределения случайной величины X представляет собой

полуэллипс с полуосями а и Ь (рис. 11,а). Величина а известна. Требуется по-

строить функцию распределения Р(х).

Решение. Величина Ь находится из условия равенстла единице площа-

ди, ограниченной кривой распределения:

паЬ/2=1, Ь = 2/теа.

Плотность распределения

— У а* — х

при х6(— а),

0 при

лг

€ (— а; а).

График функции Р(х) см. на рис. 11,6.

1.157. Функция распределения случайной величины X имеет вид

Р(х) =

0 при х < 0

при *>0.

2х

Найти <р(*).

Ответ: ?(*) =

' (1+*

)

1-158. Плотность распределения случайной величины X записывается так:

* 35

С 0 при х < 0 и х > я,

[ Л

51П X

При

Чему равно Л? Найти плотность распределения.

1.159. Ряд распределения случайной величины X имеет вид

XI 12 3 4

Р1

0,10 0,15 0,20 ?

Дописать недостающую вероятность. Построить функцию распределения.

Найти вероятность попадания в интервал Р{I х < 3}.

1.160. Подобрать самостоятельно функцию, которая могла бы служить

плотностью распределения непрерывной случайной величины в соответствующем

интервале, выбрав ее из класса: 1) степенных, 2) показательных, 3) логарифми-

ческих или тригонометрических функций. Найти соответствующую функцию

распределения.

1.161. Пусть случайная величина X имеет плотность распределения ф(х) =

= \х\е . Чему равна вероятность того, что данная случайная величина примет

значение, лежащее на интервале (0,1)?

Решение. Искомая вероятность Р(0 < х < 1) может быть найдена с

помощью выражения (1.29):

Р(х

с Х<*

) = (х)ах.

В нашем случае

1 1 -

Р(0<Х<1) = ||*| е~

' с1х = ^ хе~

'ах = — ~ | еЧ1 = — (1 - е"

) =•

оо о

= -у (1 -0,3679)= • 0,6321 —0,3160

(здесь произведена замена переменного { = —д:

§ 10. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, ДИСПЕРСИЯ И ИХ СВОЙСТВА.

МОМЕНТЫ

Во многих вопросах практики нет необходимости характеризовать

случайную величину плотностью; часто достаточно знать только от-

дельные числовые параметры, характеризующие закон распределения,

например какое-то среднее значение (центр распределения), около

которого группируются возможные значения случайной величины,

какое-то число, характеризующее степень разбросанности этих зна-

чений относительно среднего и т. д. Так, например, при стрельбе по

мишени для того, чтобы оценить качество стрельбы, можно обойтись

и без знания закона распределения. Вывод о том, какой стрелок

лучше, можно сделать по виду мишени. Например, если имеем две

мишени (рис. 12, а и б), то, сравнивая их, приходим к выводу, что

первый стрелок лучше второго, так как у него центр попадания сов-

падает с центром мишени, а у второго стрелка центр попадания (точка

А) смещен относительно центра мишени.

Следующие две мишени (рис.

12, б и г) наглядно показывают,

что первый стрелок лучше второ-

го, так как при одном и том же

центре попадания он чаще попада-

ет ближе к центру, чем второй

(имеет большую кучность, раз-

брос). Характеристикой центра

распределения является так на-

зываемое математическое ожида-

ние случайной величины, опреде-

ляемое в виде

м [х\ = 2

(=1

для прерывных величин и

(1.31)

•г

•

• •

•

• •

• • .

•

РИС. 12

М[Х] = |

ЛГФ

(х)Ох

(1.32)

для непрерывных.

Доказывается, что при неограниченном числе испытаний среднее

арифметическое

* = 2*,О*.

1=1

где — частота, стремится по вероятности к Л1[Х], т. е. вер Нш х =

П-+ 00

= М[Х].

Математическое ожидание обладает следующими свойствами]

1) М[с] = с, где с—постоянная (неслучайная) величина; (1.33)

2) М [сХ1 = сМ [X]; (1.34)

3) М[2с

Х,] =2С

М[Х,]; (1.35)

4) М [X! • Х

• ... • Х„] = П м [Х

], если X, независимы. (1.36)

Характеристикой рассеяния случайной величины относительно

центра распределения является так называемая дисперсия, определяе-

мая формулой

Вычисляется дисперсия по формулам

Аля прерывных и

Ох = -М\)

Р1

(=1

(1-37)

О = С {х — М

)*у(х)с1х

(1.38)

для непрерывных случайных величин. Дисперсия имеет размерность

квадрата случайной величины. Для наглядной характеристики раз-

броса удобно пользоваться так называемым средним квадратическим

отклонением (с. к. о.) о = VО, которое имеет размерность, совпадаю-

щую с размерностью случайной величины. Отметим, что по смыслу

с. к. о. — величина всегда положительная.

Дисперсия обладает следующими основными свойствами;

1) О(с) = 0; (1.39)

2) 0(сХ) = сЮ

\ (1.40)

3) й 2 с,Х, = ^ Ф

Х1

1=1

<=1

(1.41)

где с = сопз1. Последнее свойство справедливо лишь для независимых

величин.

На языке теории ошибок измерений дисперсия (с. к. о.) является

мерой точности измерений.

Более общими числовыми характеристиками закона распределения

являются так называемые моменты, которые делят на начальные и

центральные.

Начальным моментом 5-го порядка случайной величины называет-

ся математическое ожидание 5-й степени этой случайной величины

= М \Х'\.

При 5 = 1 имеем а

{

= Мх

Для прерывных величин

1=\

для непрерывных

> — [ (х) йх.

(1.42)

(1.43)

• Центральном моментов дррядкз_§ случайной величины X называ-

Ю1 математическое ожидание 5-й степени отклонения X от ее мате-

матически) ожидания:

ц, = М[(Х-М

)Ч.

Случайная величина X = X — М[Х] называется центрированной

случайной величиной. Для прерывной случайной величины

«».= 2^1-МхУп,

1=1

для непрерывной

| {х — М

уч(х)Ох. (1.44)

—оо

Центральные моменты всегда можно выразить через начальные.

Так,

(4 = 0,

= а

—

а?

= Д (1.45)

Из =

з — Зал +

2а

)

= а

— 4а

+ 6а

— За], (1.47) .

Формулу (1.45) часто применяют для вычисления дисперсии. Име-

ют употребление еще так называемые центральные абсолютные мо-

менты V, = Л1[|Х — М

], причем среди них наиболее важное

значение имеет среднее отклонение

= М [ |Х — =

Т1>

(1.48)

вычисляемое по формулам

VI = 2 I *1—(1.49)

1—п

для величин прерывных и

оо

VI = С I X — М

\<р(х)ах (1.50)

—оо

для непрерывных.

Величина

5, =

МЗ

/А

(1.51)

носит название асимметрии. Для симметричного распределения 5

= 0. На рис. 13 показаны два асимметричных распределения. Кривая

/ имеет положительную асимметрию («

> 0), кривая II — отрица-

тельную (5

< 0).

Величина

Е = — 3 (1.52)

носит название эксцесса и является мерой крутости (островершин-

ности или плосковершинности распределения). Для нормального рас-

пределения Е = 0. На рис. 14 представлены три кривые распределе-

ния с положительным, равным 0 и отрицательным эксцессами.

1.162. Ряд распределения случайной величины X имеет вид

(1.53)

Р1 Я Р

где ^ =» 1 — Найти математическое ожидание и дисперсию X.

у(*)

Г >\ И \

1 X 1 V

1 ' 1-

"х, *

РИС. 13

РИС. 14

Р е ш е н и е. На основании формулы (1.31) имеем математическое ожидание,

равное

Л*

=0- <7+1 -р = р, (1.54)

а согласно формуле (1.37) дисперсия равна

= (0 _р)2<

+ (1 -р)

р = р<?(р + 9) =Р7. (1.55)

То же значение получим на основании выражения (1.45). Действительно,

<4 =

•

= Р,

°х = Ч — = Р — Р

= Р

— Р) =

РЯ-

1.163. Случайная величина

(1.56)

/=1

где — случайная величина, имеющая ряд распределения (1.53). Найти ее ма-

тематическое ожидание и дисперсию, если все х/ независимы.

Решение. Имея в виду свойство (1.35) и результат решения предыдущей

задачи (1.54), получим

= М 2 х,= 2 М =пр.

/=1 /=

Учитывая выражения (1.41) и (1.55), найдем

(1.57)

= й 2

1= 2 °

1 =

РЧ-

/-1 / =1

(1.58)

С. к. о. о* = Упрд.

Следствие. Ранее через к мы обозначали случайную вели-

чину — число появлений интересующего нас события при п испыта-

ниях. Будем случайную величину Х], имеющую ряд распределения

(1.53), трактовать следующим образом: она принимает значение (д:;), =

= 0 с вероятностью <?, если это событие не появляется в /-м опыте,

= 1 И = 1. 2, ..., л), если появляется с вероятностью р. Тогда

случайная величина к и будет числом появления события при п испы-

таниях (сумма числа единиц, совпадающая с числом появления собы-

тия).

Следовательно, формулы (1.57) и (1.58) позволяют определить ма-

тематическое ожидание и дисперсию числа появления события при п

испытаниях.

1.164. Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в

мишень при четырех выстрелах в условиях задачи 1.116 двумя способами: непо-

средственно по формулам (1.31) и (1.42) и по формулам (1.57) и (1.58).

Ответ: М* •= 1,32; й

= 0,884.

1.165. Найти математическое ожидание и дисперсию числа выстрелов

до первого попадания, если вероятность попадания при одном выстреле рав-

на р•

Решение. Ряд распределений имеет вид (см. задачу 1.151)

*1 1 2 3 ...» ...

р др д*р ... д~ р ...

На основании формулы (1.31) имеем

= р + 2др + Зд*р

1д*-1р

+ ... =

= р (1 + 2д + 3<?

+ •

•

• + + •••). (1.59)

Но д + д

+ д

+ ... = <?/(1 - д).

Дифференцируя выражение (1.59) по д, получим

1 + 2д + Зд

+ ... + = 1/(1 - ,)» = 1/р*.

Применяя формулу (1.45), найдем а

. Имеем

«2 = 2 х)Р1 =

Р + 2

р<7 + 3Ур + •.. + *У"1р Н

1 = 1

= Р (1

+ %

д + 3

• •

• + <у-

+ )•

Для вычисления ряда, стоящего в скобках, умножим на д ряд

1 +

2<7

+ Зд

• • •

= 1/(1 — д)

получим

+ 2д*+Зд*+...+1д' + ... = д/(1-д)».

Дифференцируя этот ряд по д, найдем

ад (1 — д)» (1 — д)

Поэтому а

«= (1 + д)!(\ — д)

_ „

+д 1

-«

- - Р, "

1.166. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

X, подчиненной равномерному закону распределения (см. задачу 1.148). '

Решение. Согласно выражению (1.32).

= \ (х-М

)*^—ах.

р—а

4»

Выполнив интегрирование, найдем

Ох-(?-«)

/12.

В частности, для ошибок округления, подчиняющихся равномерному закону

распределения, Р = —а = 0,5 ед. последнего знака, получим О = 0,5

/3, а =

•= 0,5/>^3 ед. последнего знака.

1.167. Найти дисперсию суммы К = х

+ х

+ ... + х

одинаково округ-

ленных слагаемых.

Решение. На основании свойства 3 дисперсии имеем й

= =

«= пИ

Х1

, но О

. = 0,5

/3. Поэтому

Ох = 4" 0.25;

1 3

=0,5 ±

в ед. последнего знака.

1.168. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

х — М

— . (1.60)

О т в е т: М( = 0, а

= 1.

1.169. Доказать, что в выражении плотности нормального закона

распределения

2а»

<Р

(*) = —

параметры а и а

являются соответственно математическим ожиданием и дис-

персией.

Решение. Имеем

оо (х—а)'

1 Г

= ; ^ хе Лх.

у 2я а _оо

Применяя замену переменной

о УЧ.

получим

(1.61)

ут ^ утГ з ут ^

Здесь первый из двух интегралов равен нулю, второй есть известный интеграл

Эйлера — Пуассона

°° —с _

| е Л = У п .

—оо

Поэтому М

= а.

Сделав подстановку выражения (1.61) , получим

(X—о)«

1 Г 2а

Г „_/•

а у 2 я —оо У я —оо

4"2

- I Г21, '*

/Г

Интегрируя по частям

2 Г*

— (21е~''сИ.

я Л

где

найдем

—I' —1

и = (, , № = 21е <11),

—{' С —п

< —

= —= \-*е I + I е 01

00 ОО

Первое слагаемое равно нулю (так как е

при I ->- оо убывает быстрее,

чем возрастает /), второе слагаемое равно ^л, откуда й

= а

1.170. Средним отклонением называется величина 0 = V, (1.48). Устано-

вить зависимость между 0 и с. к. о. а в случаях нормального, равномерного

законов распределения. _

Ответ: 0 = 1,25а; 6 = |/3/2 • а.

1.171. Найти математическое ожидание и дисперсию относительной частоты

(} = к/п.

Ответ: = р, = рц!п.

1.172. Дано распределение вероятностей прерывной случайной величины

3 6 9 12 15

р^ 0,30 0,25 0.20 0,15 0,10

Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и с. к. о.

Ответ. М

= 7,5, о

= 15,75.

1.173. Найти математическое ожидание, дисперсию и с. к. о. суммы очков,

выпадающих при бросании двух игральных костей.

Указание. Искомую случайную величину представить в виде суммы

2 = X + V.

Ответ: а = 7, а

= 5,84.

1.174. Даны независимые случайные величины [12]:

1)Х * '

2 3

р 0,1 0,3 0,6

2)Х * ° '

р 0,25 0,5 0,25

Составить распределение их суммы X +

, М

, М[Х + У], М[ХУ\, йу, С1Х + V] и проверить, что

М[Х + У]=М

+М

\ М[ХУ] = М

; О [X + У] = й

+ й

1.175. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа

станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для вто-

рого — 0,8, для третьего — 0,75 и для четвертого — 0,7. Найти математическое

ожидание и дисперсию числа станков, которые не потребуют внимания рабочего

в течение часа.

Ответ: 3,15; 0/65.

1.176. Человек стоит в начале координат числовой оси. Он бросает монету

и после каждого бросания делает один шаг вправо при выпадении цифры и один

шаг влево при выпадении герба. Найти закон распределения абсциссы X, опре-

деляющей положение человека после п бросаний монеты. Особо рассмотреть

—2

— 1 0

0,6

0,3

0,1

2 3

0,4

0,3

0,2 0,1

У и

их произведения

XV, найти