Большаков В.Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

случай, когда монета несимметрична и вероятность выпадения герба равна не-

которому р. Найти М

и О

Ответ: п (1 — 2р), 4лр(1 — р).

1.177. Случайная величина X распределена по закону прямоугольного тре-

угольника в интервале (0, а) (рис. 15).

1) Написать выражение плотности распределения, 2) найти характеристики:

, йх,

| — (1 — —) при *6(0, а).

Ответ:

<р

(х) = I « \ а ]

I 0 при *ёГ(0, а),

=а/3, С

=а

/18, (1

(X) = а»/135.

1.178. Функция распределения случайной величины X задана графиком

(рис. 16). Найти математическое ожидание и дисперсию величины X.

Ответ: М

= (а + Ь)/2; О

= (а — 6)*/12.

1.179. Случайная величина X подчинена закону Симпсона (закону равно-

бедренного треугольника) на участке от —а до а (рис. 17,а), а) Написать выра-

жение плотности распределения; б) построить график функции распределения;

в) найти числовые характеристики случайной величины X: М

, й

, а

, ц

[Л].

Ответ:

! 1 / I

V I

при *6(— а, а);

а)

при хе(— а, а);

б) график функции распределения при х^ (—а, а) составлен из двух участков

парабол (рис. 17,6): в) М

= О, В

= а

/6; а

= а/у6; ц

[Х] = 0.

1.180. Дисперсия случайной величины X равна 4. Найти дисперсию следу-

ющих величин: * — 1, —2х, Зх + 6.

1.181. Случайная величина X может принимать два возможных значения:

с вероятностью 0,3 и х

с вероятностью 0,7, причем х

> х

. Найти х

и х

зная, что М

= 2,7, = 0,21.

Ответ: = 2, х

= 3.

1.182. Найти дисперсию случайной величины X — числа появлений собы-

тия А в двух независимых испытаниях, если М

= 0,8.

Указание. Написать биноминальный закон распределения вероятнос-

тей числа появлений события А в двух независимых испытаниях.

Ответ. 0,48.

§ 11. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ИНТЕГРАЛ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ В ИНТЕРВАЛ

ПРИ НОРМАЛЬНОМ ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ИНТЕГРАЛЬНАЯ

ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА

Интегральная предельная теорема Ляпунова устанавливает ус-

ловия, при которых возникает наиболее важный и наиболее часто

встречающийся в природе нормальный закон распределения, име-

ющий плотность

(*-о)'

ср(х) = —^е , (1.62)

2т.

где, как было установлено нами в задаче 1.169, а = М

, а = У О

Теорему Ляпунова упрощенно можно сформулировать так: если

некоторая случайная величина есть сумма достаточно большого числа

других случайных независимых величин, отклоняющихся от своих

математических ожиданий на весьма малые величины по сравнению

с отклонениями суммарной величины, то закон распределения этой

суммарной случайной величины будет близок к нормальному.

На основании этой теоремы можно полагать, что ошибки измере-

ний подчиняются нормальному закону, так как они складываются из

суммы большого числа элементарных ошибок. По этой же причине

координаты попадания в цель при стрельбе подчиняются этому закону

распределения. Таких примеров можно привести много.

Для вычисления вероятностей попадания в интервал при нормаль-

ном законе распределения можно воспользоваться формулой

Р{а<Х<Ь} = Р(Ь) — Р(а),

где интегральная функция

* (*~

Р(х)= _!_ Г е

. (1.63)

У2л а ^

Если ввести новую переменную

2 = {х — М

)/а, (1.64)

обладающую свойствами (см. 1.168) М

= 0, о

= 0, то можно на-

писать для нее

ф(г) =

Ш*Г'

;

V/ 2л ) У 2л

Тогда, очевидно,

Р {а < х < Ь) = Р < г < (

) = Р

(г

- Р

где 1

= (Ъ—М

)!а\ и = (а—М

)/а.

Для функции Р(1) имеются таблицы, однако более удобно пользо-

ваться другой, связанной с ней аналитически функцией

ф(/) = _|_ Г<Г

'С*2, (1.65)

V 2% ^

' о

обладающей свойством Ф(—I) = —Ф(^) (нечетная функция).

Функция Ф(^) численно равна заштрихованной площади в осях!

х и ср(х) (рис. 18, а) и в осях I и <р(/) (рис. 18, б).

Как видно из рис. 18, 5, имеет место связь

р(() =

ф(/)

(1.66)

(Р{1) есть площадь под кривой ф(^), ограниченная справа абсциссой ().

Подставив формулу (1.66) в выражение Р{а < X < Ь} = Р{1

< 2 < = получим

Р{а<Х<Ь} = 1/2{Ф(^

)-Ф(/

)}. (1.67)

Если пределы (

и 1\ изменения случайной переменной г таковы, что

— 1М = и то можно написать

Р\-(<

х-М

<*| = Р{|*—М

|<*о} = Ф(0, (1.68)'

откуда следует, что функция Ф(/) представляет собой вероятность по-

падания в интервал, симметричный относительно математического)

ожидания.

Для функций Ф(/) составлены таблицы (см. прил. IV). В случае их

отсутствия применяют формулу

Ф(/) = 0,798^ -Л- + Л-+-Е- +.

40 336

(1.69)|

функцию ф(0 называют интегралом вероятностей, или функцией

Лапласа. Последнее ее название связано с так называемой интеграль-

ной теоремой Лапласа, который доказал, что при большом числе ис-

пытаний п число появлений интересующего нас события к заключено

пределах

Р{а<к<Ь)ъ±- {Ф(/

)-Ф(/,)}• (1-70)

Ярким примером случайной величины, подчиненной нормальному

закону распределения, является случайная ошибка измерений, опре-

деляемая по формуле 0 = XI —М

В теории ошибок измерений существует важнейшее понятие —

истинное значение измеряемой величины X, а величина

А, = х, — X (1.71)

называется истинной ошибкой измерения. Выражение (1.71) можно

переписать в виде

А, = — + М* — X =

С?,

+ с.

Величину с называют систематической ошибкой измерения, кото-

рая может быть как постоянной, так и переменной величиной (подроб-

нее см. [2]).

В классической теории ошибок принимают постулат 1

= Х,

т. е. полагают, что систематические ошибки в измерениях отсутству.

ют (это свойство называют несмещенностью) или их исключают пра-

вильной постановкой методики измерений. Тогда, очевидно, будем

иметь свойства А

= ф* и

Постулат 2 предполагает, что ошибки А

{

подчинены нормальному

закону распределения с плотностью

_ А'

1 Ч-з*

(А) = —~г

(1-72)

или, если перейти к нормированной величине I =

ф(0 = -~в \ (1.73)

У 2л

причем*

Ф(Д) = — Ф(0- (1.74)

* Таблицы для вычисления ф(<) даны в прил. III.

Выражение (1.72) часто записывается^виде

ф(

Д) = (1.75)

где к — —и — так называемая мера точности.

оу 2

Свойства случайных ошибок, вытекающие из указанных двух по-

стулатов и проявляющиеся при массовых испытаниях, могут быть оха-

рактеризованы следующим образом.

Свойство 1. Случайные ошибки по абсолютной величине с заданной

вероятностью Р не превосходят определенного предела, равного 1а, где

I — коэффициент такой, что Р = Ф(/). Так, например, из 100 ошибок

с вероятностью Р = 0,67 не превосходят предел, равный а, 67 ошибок,

95 ошибок с вероятностью 0,95 не превосходят 2о и т. д.

Свойство 2. Положительные и отрицательные случайные ошибки,

равные по абсолютной величине, равновозможны, т. е.

Р{Д>0} = Р{Д<0} =

Свойство 3. Среднее арифметическое из значений случайной ошиб-

ки при неограниченном возрастании числа наблюдений имеет свойство

компенсации, т. е.

верНш-^- = 0. (1.76)

п~> оо Л

Систематические ошибки этим свойством обладают редко.

Свойство 4. Малые по абсолютной величине случайные ошибки

встречаются чаще, чем большие.

Плотность нормального распределения ошибок А

{

(1.72) или (1.73)

называют кривой ошибок, или кривой Гаусса.

1.183. Вычислить ординаты кривой нормального распределения для значе-

ний Д «= 0, а, 2а, За, если а= 0,47". По полученным данным построить кривую

распределения. Вычисления проконтролировать по таблице (прил. II).

Решение. Прежде всего имеем

= = 0,851, у = 0,851Г

А,Л

' = 0,851е~"

(( = Д/а).

УТ о У2%

Вычисления располагаем в табл. 1,

Таблица I

—Й»Д» =

(»

" 2

г»

(

, 1 5"

У=У' *

0 о

1 О

2 о

3 о

—0,50

-2,0

—4,5

0,607

0,136

0,010

0,851

0,516

0,115

0,008

0,564

0,342

0,076

0,0063

0,850

0,516

0,115

0,008

Примечания:

1§(

0,50

= 0,50 18* = -0,50- 0,434 =

= —0,217 = Г.783; е-°

>50

= 0,607,

2,0

— — 2,0 • 0,434 = — 0,868 =

= Г. 132; е~

=0,136,

у7

ее

—

= _ 1.954 = 2.046: -

„-4.5

= 0,010.

-Зт -2т -т 0 т 2т Зт

РИС. 19

(Построение кривой ошибок дано на

рис. 19).

При построении кривой ошибок масштабы выбирают так, чтобы обеспечить на-

глядность.

Кривая Гаусса обладает следующими свойствами:

1) функция ф(Д) четная, т. е. ф(Д) = ф(—Д), и кривая симметрична относи-

тельно оси ординат;

2) кривая Гаусса лежит выше оси абсцисс;

3) кривая Гаусса имеет максимум в точке Д «= 0;

4) поскольку кривая имеет максимум и в то же время асимптотически при-

ближается к оси Д, то она имеет две точки перегиба — одну справа, другую

слева от оси ф(Д), причем абсцисса точек перегиба Д = а;

5) касательные к кривой в точках перегиба пересекают ось абсцисс в точках

Д = ±2а (см. рис. 19).

1.184. Выполнено 64 измерения. Найти вероятность того, что:

1) число положительных ошибок будет заключено в пределах 24 < к < 40;

2) в пределах 16 < к < 40.

Решение. 1) Так как число испытаний достаточно велико, то для реше-

ния задачи применим формулу (1.70). Находим

% = яр = 64-0,5 = 32; й

= У прд = /64 • 0,5 • 0,5 = 4;

вычислим

40 — 32

= 2,

и =

24 — 32

4 4

Поэтому, так как = | I \ , то по формуле (1.68)

Р {24 < 6 < 40} «Ф (2) =0,954.

2) Вычисляем 1

= 2; = —4.

На основании формулы (1.70) имеем

= — 2.

Р{16<6<40} = — {Ф(д-

Ф (<!)}= у {Ф (2) — Ф (— 4)}.

По свойству (1.65) с помощью таблицы прил. IV находим

где

Р {16 < й < 40} « у {0,954+ 1,000} =0,977,

= (Ь — пр)/Упрд", = (а — пр)!\ пря .

Учитывая теорему Ляпунова и вспомнив выражение (1.56), показывающее

что число к можно представить в виде суммы достаточно большого числа слагае-

мых, можно прийти к выводу, что случайная величина к приближенно подчинена

нормальному закону распределения. Поэтому понятным становится и выражение

П*21) как частный случай (1.62).

Выражение (1.69) можно записать также в виде

Но величина (} = — есть частота появления события, а величина р<//п =

•= ор есть с. к. о. частоты (см. 1.171). Поэтому вероятность отклонения частоты

от вероятности по абсолютной величине на заданное число е = определим по

формуле

Я{|<г-р| <*}= \е~

аг = Ф{1). (1.77)

V 2ж Л

' о

1.185. Монету бросают 100 раз. Найти вероятность того, что отклонение

частоты появления герба от вероятности по абсолютной величине не превзойдет

величину е = 0,1.

Решение. На основании формулы (1.77) имеем Р{ |

— Р | < 0,1} =

= Ф(0.

Так как е = = 0,1, Оц = Урд!п = /1/400 = 1/20, то I = 2,0.

1.186. Бюффон бросил монету 4040 раз, причем герб выпал 2048 раз. Можно

ли считать полученное отклонение числа появлений герба от 2020 случайным или

же оно обусловлено систематической причиной?

Решение. Расхождение эмпирической частоты Бюффона от теоретичес-

кой можно считать случайным, если вероятность того, что при 4040 бросаниях

монеты отклонение числа выпадений герба от 2020 равно или больше по абсолют-

ной величине, чем у Бюффона, достаточно большая. Пусть т — число выпаде-

ний герба при 4040 бросаниях монеты. Находим вероятность

Р ( | т — 2020 | < 28) =0,622.

Поэтому вероятность противоположного события, т. е. того, что |к — 2020| ^

^ 28, равна 1 — 0,6217 = 0,3783. Так как эта вероятность достаточно большая,

то результат Бюффона можно считать обусловленным случайными причинами.

1.187. Проведено 700 независимых испытаний, в каждом из которых веро-

ятность наступлений события А равна 0,7. Найти вероятность того, что частота

появлений события А окажется заключенной между 460 и 600.

Ответ: 0,993.

1.188. Найти вероятность того, что число мальчиков среди 1000 новорожден-

ных больше 480, но меньше 540 (вероятность рождения мальчика принять рав-

ной 0,515).

Ответ: 0,929.

1.189. Вероятность выпуска радиолампы с дефектом равна 0,03. Найти мак-

симально возможное отклонение $ частости от 0,03 среди 2000 радиоламп, чтобы

вероятность получить отклонение, по абсолютной величине меньшее 5, была рав-

на 0,999.

Ответ: 0,013.

1.190. Произведено 1000 независимых испытаний с вероятностью наступле-

ния интересующего нас события А в отдельном испытании 0,01. Найти границы,

в которых с вероятностью 0,99 заключена частость наступлений события А.

Ответ: 0,0019.

1.191. В каждой из 1000 колод по 36 карт. Из каждой колоды вынимают на-

удачу две карты. Чему равна вероятность того, что число пар хотя бы с одним

тузом заключено между 100 и 200?

Ответ: 0,159.

1.192. Найти такое число к, чтобы с вероятностью, приблизительно равной

0,7, число выпадений герба при 4000 бросаний монеты было заключено между

3000 и к.

Ответ: 925.

1.193. Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий отклонение

;

шс-

Таблица

Число

оши-

бок п

Заданное

предельное

значение

|Д|

< Ф(0

(Д> /

«) =

- Ф (О

Число ошибок

Контроль

Число

оши-

бок п

Заданное

предельное

значение

|Д|

< Ф(0

(Д> /

«) =

- Ф (О

превышающих

заданное

= п П-

-Ф

(О)

укладываю-

щихся

предел

от 0

до

1ч

Контроль

100

1,0

0,6827

0,3173

100

2,0

0,9545 0,455

5 95

100

2,5

2,5 0,9876

0,0124

100

1000

3,0 3,0 0,9973

0,0027

997

1000

ла изделий первого сорта

от

ианвероятиейшего числа

не

превысит

по

абсолют-

ной величине

50,

если вероятность появления изделия первого сорта равна

0,7.

Ответ: 0,9999.

1.194. Вычислить интеграл вероятностей

для 1 = 0,30; 0,40; 0,50, 0,60 по

формуле (1.69)

сравнить

его с

табличным.

1.195. Вычислить наиболее возможное число ошибок

Д из

общего

их

числа

= 100,

превышающих

по

абсолютной величине:

а)

одинарное

с. к. о.

измере-

ний,

т. е. а; б)

удвоенное

с. к. о., т. е. 2а; 2) 2,5а; г)

утроенное

с. к. о., т. е. За,

при

п = 1000.

Решение.

По

условию задачи имеем

при п = 100

а)

|Д| > а; б) |Д| > 2а; в) |Д| > 2,5а при п = 1000; г) |Д| > За.

Необходимо определить:

а)

Я{|Д| > а}; б) Я{|Д| > 2а}; в) Я{|Д| >

2,5а};

г) Я{|Д| > За}

Определив

Ф(() по

таблице (прил.

IV),

сведем результаты вычислений

в табл.

1.196. Вероятность появления ошибки

пределах

от —10 до 10"

равна

0,95,

т.

е. Я{|Д| < 10"} = 0,95.

Вычислить

с. к. о.

измерений, если

М| Д| = 0.

Решение.

Так как Ф(() = 0,95, то по

таблице функции

Ф(<)

обратным

интерполированием находим

/= 1,96. Но I = (Д—

М[Д])/а

= 10"/а =

1,96,.

откуда

а = 5,1".

1.197. Найти вероятность того,

что

ошибка измерений

Д по

абсолютной

ве-

личине

не

превзойдет предел

4" < |Д| < 6",

если

а = 10".

Решение.

На

основании теоремы сложения имеем

Я {4

< | Д | <6} = Я

{—

6 < Д <

—

+ Я

< Д < 6}.

Можно написать

Я {4

< | Д | <

= 2Я {4 < Д <

= Ф - Ф =

= 0,452 — 0,311 =0,141.

1.198. Угол измеряется

систематической ошибкой

сторону завышения,

равной

1,2".

Найти вероятность того,

что

отклонение измеренного значения

уг-

ла

* от

истинного

X (т. е.

ошибка измерения

(

= д— X) не

превзойдет

па

абсолютной величине

1,6",

если

с. к. о.

измерения

а = 0,8".

Решение.

Так как

ошибки измерений подчиняются нормальному зако-

У>

то

искомая вероятность

{- 1,6" < Д <

1,6"}

= -у- {Ф (д -Ф

(/,)},

= (1,6" -

1,2")/0,8"

= 0,5, =

(-1,6"

1,2")/0,8"

=> —3,5

(систе-

матическая ошибка рассматривается

как

М[Д|). Поэтому

51-

Р {- 1,6< Д < 1,6} = — {Ф(0,5)— Ф(- = — {0,383+1,000}=0,691.

2 /2.

1.199. Найти ту же вероятность, но/При условии отсутствия систематичес-

кой ошибки.

Ответ: 0,95.

Вероятным (средним) отклонением г называется величина, больше и меньше

которой (по абсолютной величине) ошибки в ряде наблюдений равновозможны,

г е. Р{|Д| < г} = 1/2.

Установить связь г и а при нормальном законе распределения.

Ответ: г = 0,67а.

1.200. Найти вероятность того, что ошибка Д не превзойдет предел, равный:

а) 26; б) 2г.

Ре ш е н и е.

28 20

а) />{|Д|<26}=Ф(0, < = = ТТ^Г

.6;

поэтому />{|Д| < 26} = Ф (1,6) = 0,890;

2 г 1,34з

б) Р { | Д | < 2г} =Ф(0, < =— =1,34,

а о

поэтому Р{|Д| < 2г) = Ф (1,34) = 0,820.

1.201. Определить вероятность того, что ошибка измерения Д не превзойдет

по абсолютной величине следующих пределов:

У 1,25а; 2) 1,50а; 3) 1,75а; 4) 2,00а; 5) 2,25а; 6) 2,50а; 7) 2,75а; 8) 3,00а;

9) 3,25а; 10) 3,50а.

ВЫЧИСЛИТЬ, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если всех ошибок

1000.

1.202. При некоторых условиях инструмент обеспечивает измерения с

точностью а = 10". Найти вероятность того, что при измерениях этим инстру-

ментом в тех же условиях ошибка по абсолютной величине не превзойдет 6,0".

1.203. Известно вероятное отклонение на 1 км нивелирного хода г =2,0 мм.

Определить вероятность того, что среднее отклонение на 1 км хода при нивели-

ровании в таких же условиях окажется не более 4,0 мм.

1.204. В каких пределах (—х ; +х) можно с вероятностью 0,495 ожидать

появление ошибки Д, т. е. Я(|Д| ^ х) = 0,495, если а = 15?

1.205. С. к. о. а = 15 мм. Установить вероятность того, что ошибка измере-

ния по абсолютному значению превысит 30 мм.

1.206. Вероятность того, что ошибка по абсолютной величине превзойдет

4,0", равна 0,823. Вычислить вероятное и среднее отклонения.

1.207. В каких пределах (—х; +х) можно с вероятностью 0,75 ожидать

появления ошибки, если вероятное отклонение равно 12 мм?

1.208. Вероятность появления ошибки в пределах (—5,0; +5,0") равна

0,75, т. е. Я(|Д| ^ 5,0") = 0,75. Вычислить среднее и вероятное отклонения.

1.209. Найти вероятность появления ошибки в пределах (—6,0; + 6,0 мм),

если вероятное отклонение равно 2,0 мм.

1.210. В каких пределах (—х; +*) можно с вероятностью 0,683 ожидать

появления ошибки, если а= 5,0".

1.211. Вероятность появления ошибки в пределах (—10; + 10 мм) равна

0,89. Определить среднее и вероятное отклонения.

1.212. С. к. о. о= 13". Определить вероятность того, что ошибка измере-

ния по абсолютной величине будет заключаться в пределах от 10 до 20".

1.213. Вероятное отклонение равно г = 2,4 мм. Найти вероятность того, что

ошибка измерения по абсолютной величине будет находиться в пределах от 1,0

до 5,0 мм.

§ 12. СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. СОВМЕСТНЫЕ

И ЧАСТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В практике приходится иметь дело с задачами, в которых взаимо-

действуют несколько случайных величин, называемых системами.

Например, координаты точек показания при стрельбе в мишень,

размер и рост костюма, выпадение суммы очков при подбрасывании

двух игральных костей и т. д.

Плановые геодезические сети содержат пункты, каждый из кото-

рых характеризуется координатами х, у, нивелирные сети содержат

общем случае п узловых точек, отметки которых представляют со-

бой п случайных величин и др. Наиболее простой является система

двух случайных величин хну или, как ее еще называют, двухмерная

случайная величина.

Закон распределения системы двух случайных величин, как пре-

рывных, так и непрерывных, чаще всего задают в виде функции сов-

местного распределения

Р(х, у) = Р(Х<х, у<У).

Ее основные свойства следующие.

1. Функция Р (х, у) есть неубывающая функция обоих своих аргу-

ментов.

2. Р(х, -оо) = Р(-оо, у) = Р(—оо, -оо) = 0.

3. Р(х, +оо) = Р

{

(х), Р(+оо, у) = Р

(у),

где Р\(х) и Р

(у) — соответственно функции распределения случай-

ных величин хну, так называемые частные законы распределения.

4. Р(+оо, +оо) = 1.

Для непрерывной двухмерной случайной величины (х, у), вводится

плотность распределения (поверхность распределения)

ф(х> у)

= У)

дхду

обладающая свойствами:

1) ф(х, у) » 0, 2) |]"ф(*, У)йхйу = 1.

—оо

Геометрически это означает, что полный объем тела, ограниченный

поверхностью распределения и плоскостью хОу, равен 1.

Функция и плотность совместного распределения связаны следую-

щим соотношением:

* в

Р(х,у)= | |Ф(*. у)йхйу. (1.78)

—ОО 00

Так как

(х) = Р(х, оо), а частный закон распределения задан

в виде плотности

, ч

ЭР<

(х) дР (*,оо)

Ф1 = —Г^ = ,

ах дх

то

+00

Я>1(х) = |ф (х, у)йу. (1.79)