Большаков В.Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической обработки геодезических измерений

Подождите немного. Документ загружается.

ад

БОЛЬШАКОВ

Ю.ИМАРКУЗЕ

ПРАКТИКУМ

ПО

ТЕОРИИ

МАТЕМАТИЧЕСЮЙ

ОБРАБОТКИ

ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

ИЗМЕРЕНИЙ

Часть I.

ТЕОРИЯ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

Глава 1.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ 1. СОБЫТИЯ И ИХ ВИДЫ. СХЕМА СЛУЧАЕВ

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая коли-

чественные закономерности случайных явлений. Случайное

явление — это явление, которое при неоднократном воспроизве-

дении одного и того же опыта, наблюдения протекает каждый раз

несколько по-иному.

Однако в массовом проявлении случайные явления обнаруживают

некоторую закономерность (примерно одинаковое число выпадений

гербов и цифр при бросании монеты, более частое попадание в цент-

ральную часть мишени, чем на ее края, и т. д.).

Результат каждого отдельного наблюдения, опыта, испытания на-

зовем событием (например, при подбрасывании монеты могут проис-

ходить два события: появление герба, появление цифры). События ус-

ловно можно разделить на элементарные, которые нельзя разложить

на более простые, и сложные, состоящие из двух или более элементар-

ных событий (пример: появление положительной ошибки при одном

измерении — элементарное событие, появление пяти положительных

ошибок при 10 измерениях — сложное событие). При выполнении

определенного комплекса условий различают события следующих

видов:

1) достоверные, т. е. такие, которые обязательно происходят (по-

явление герба или цифры при бросании монеты);

2) невозможные, которые никогда не происходят (появление

белого

шара при взятии из урны, где лежат только черные шары);

3) несовместные, которые не могут произойти вместе (появление

герба и цифры при одном бросании монеты);

4) совместные, которые могут происходить одновременно (появле-

ние герба и цифры при бросании двух монет);

5) полная группа событий, которую образуют такие события, одно

из которых при испытании обязательно происходит. Полная груп-

па — достоверное событие (например, выпадение одной из граней

при бросании игральной кости);

6) противоположные события — два несовместных события, об-

разующих полную группу;

7) равновозможные события — события, имеющие одинаковую объ-

ективную возможность появления;

8) независимые события — события, имеющие возможность появ-

ления, не зависящую от того, появились или не появились другие со-

бытия. Например, выпадение герба в 1-м бросании монеты не зависит

от того, какая ее сторона выпала в предыдущих г—1 бросаниях;

9) зависимые события — такие, у которых эта возможность зави-

сит от того, произошли или не произошли другие события (например,

возможность вынуть один шар из урны, содержащей п шаров, если

уже вынули к шаров и шары обратно не возвращали).

События обычно обозначают заглавными буквами латинского ал-

фавита: А, В, С, ... или А

, ..., А

Достоверное событие обозначают буквой V, невозможное — бук-

вой V, противоположное по отношению к событию А — через А.

Можно привести взаимосвязи событий в виде следующих схем:

Если несколько событий образуют полную группу, несовместны

и равновозможны, то они называются случаями (шансами). Говорят,

что в этом случае опыт сводится к схеме случаев.

1.1. Являются ли несовместными следующие события:

Сг — одно попадание,

а) опыт.— бросание монеты; события:

А1 — появление герба,

Лг — появление цифры;

б) опыт — бросание двух монет; со-

бытия:

В1 — появление герба на первой

монете,

Вг — появление цифры на вто-

рой монете;

в) опыт — два выстрела по мишени;

события:

Сз — два попадания;

г) опыт — два выстрела по мншени;

события:

1>1 — хотя бы одно попадание,

Г>2 — хотя бы один промах;

д) опыт — вынимание двух карт из

колоды; события:

Е! — появление двух черных

карт,

Еъ — появление туза,

Ез — появление дамы? Сг — ни одного попадания,

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет.

1.2. Являются ли равновозможными следующие события:

а) опыт — бросание симметричной В\ — появление герба,

монеты; события: Вг — появление цифры;

— появление герба, в) опыт — выстрел по мишени; СО'

Аг — появление цифры; бытия:

б) опыт — бросание неправильной Сг — попадание,

(погнутой) монеты; события: Сг — промах;

г) опыт — бросание двух монет; со-

бытия:

Г)\ — появление двух гербов,

Ог — появление двух цифр,

Оз — появление одного герба и

одной цифры;

опыт — вынимание одной карты

из колоды; события:

— появление карты червонной

масти,

О т в е т : а) да; б) нет; в) общем случае нет; г) нет; д) да; е) да.

1.3. Образуют ли полную группу следующие группы событий:

Д)

Ег — появление карты бубновой

масти,

Ез — появление карты трефовой

масти;

е) опыт — бросание игральной кос-

ти; события:

Р1 — появление не менее трех

очков,

Рг — появление не более четы-

рех очков?

собы-

а) опыт — бросание монеты;

тия:

А1 — появление герба,

Аг — появление цифры;

б) опыт — бросание двух монет; со-

бытия:

В1 — появление двух гербов,

Вг — появление двух цифр;

в) опыт — два выстрела по мишени;

события:

Ло — ни одного попадания,

А1 — одно попадание,

Аг — два попадания;

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет.

1.4. Являются ли случаями следующие группы событий:

г) опыт — два выстрела по мишени;

события:

Сх — хотя бы одно попадание,

С% — хотя бы один промах;

д) опыт — вынимание карты из ко-

лоды; события:

— появление карты червон-

ной масти,

йг — появление карты бубновой

масти,

Оз — появление карты трефовой

масти?

а) опыт — бросание монеты; собы-

тия:

Аг — появление герба,

Аг — появление цифры;

б) опыт — бросание двух монет; со-

бытия:

В1 — появление двух гербов,

Вг — появление двух цифр,

Вз — появление одного герба и

одной цифры;

в) опыт — бросание игральной кос-

ти; события:

С1 — появление не более двух

очков,

Сг — появление трех или четы-

рех очков,

не менее пяти

по мишени; со-

С з — появление

очков;

г) опыт — выстрел

бытия:

Ох — попадание,

йг — промах;

д) опыт — два выстрела по мишени;

события:

Е\ — ни одного попадания,

Ег —одно попадание

(

Ез — два попадания;

е) опыт — вынимание двух карт из

колоды; события:

Л — появление двух карт крас-

ной масти,

Рг — появление двух карт черной

масти?

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет; е) нет.

1.5. Указать, какое событие будет противоположно следующему событию:

а) попадание в цель при одиночном выстреле;

б) поражение цели два раза при трех одиночных выстрелах.

1.6. Привести примеры:

а) трех событий, образующих схему случаев;

б) трех событий, равновозможных и несовместных, но не образующих пол-

ной группы;

в) двух событий, равновозможных и образующих полную группу, но сов-

местных;

г) двух событий, несовместных и образующих полную группу, но не равно-

возможных.

1.7. Зависимы ли следующие события:

а) появление герба или цифры при одном бросании монеты;

б) появление двух или трех очков при одном бросании игральной кости;

в) выпадение герба или цифры при бросании двух монет на каждой из них;

г) появление туза или карты бубновой масти из колоды карт?

Ответ: а) да, б) да; в) нет; г) да.

§ 2. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

С каждым событием связывают понятие вероятности —- числовой

характеристики объективной возможности появления события. Су-

ществуют события, вероятность которых можно определить из усло-

вий самого опыта, не производя его. Для этого необходимо, чтобы

элементарные события составляли схему случаев. Если опыт сводится

к схеме случаев, то вероятность события А можно вычислить по фор-

муле

р(А) = М/ N. (1.1)

где N — общее число случаев, М — число случаев, благоприятству-

ющих появлению событий А. Случай называется благоприятствую-

щим некоторому событию А, если появление этого случая влечет за

собой появление данного события А. Легко видеть, что 0 < р(А) < 1,

причем вероятность достоверного события р(1/) = 1, невозможного

Р(У) = 0.

Определение понятия вероятности на основании формулы (1.1)

называют классическим, а вычисление вероятностей событий по этой

формуле — непосредственным подсчетом вероятностей.

Применяя формулу (1.1), найдем, что вероятность появления герба

при одном бросании монеты р^

р0а

. Этому же числу равна ве-

роятность появления положительной (отрицательной) ошибки при од-

ном измерении. Вероятность появления карты бубновой масти при

вынимании одной карты из колоды в 36 листов

Рбубн. масти = 9/36 =1/4.

Вероятность выпадения грани с цифрой 6 при одном бросании иг-

ральной кости р

= 7

1.8. Из тщательно перемешанной колоды карт в 36 листов вынимается на-

удачу одна карта. Определить вероятность появления: а) пиковой дамы, б) коро-

ля, в") карты бубновой масти, г) карты черной масти.

Ответ: а, 1/36; б) 1/9; в) 1/4; г) 1/2.

1.9. Слово «геодезия» составлено из отдельных букв, написанных на одина-

ковых карточках. Карточки перевернуты и перемешаны. Найти вероятность то-

го, что, взяв наудачу одну из них, откроют карточку с написанной на ней:

1) буквой «г», 2) гласной буквой, 3) буквой те«.

Ответ: 1) 1/8; 2) 5/8; 3; 2,8.

1.10. Из колоды карт в 52 листа вынимают наугад 10 карт. Затем наудачу

одну из вынутых карт открывают. Найти вероятность того, что вскроется туз.

Ответ: 1/13.

1.11. Цифры 1, 2, 3, 4, 5 написаны каждая на отдельной карточке. Все кар-

точки одинаковы. Тщательно перемешав карточки, берут наугад две подряд. Ка-

кова вероятность, что поставленное из этих цифр в порядке их появления число

будет четным?

Ответ: 2/5.

1.12. В урне находится 5 красных, 7 зеленых и 8 белых шаров. Все шары по

размерам и массе одинаковы. Шары тщательно перемешиваю- и наугад вынима-

ют один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар будет: а) красным,

б) зеленым, в) белым, г) цветным.

Ответ: а) 1/4; б) 7/20; в) 2/5; г) 3/5.

1.13. Определить вероятность того, что при двух измерениях появится одна

положительная ошибка.

Решение. Чнсло всевозможных случаев N = 4: 1) две положительные

ошибки, 2) положительная и отрицательная ошибка, 3) отрицательная и положи-

тельная ошибка, 4) две отрицательные ошибки. Число благоприятных случаев

М = 2. Следовательно, р = 2/4 = 1/2.

Замечание. Известна ошибка Даламбера, который не различал вторую

и третью комбинации и принимал М = 3 (в аналогичной задаче с подбрасывани-

ем одной монеты).

1.14. В записанном номере телефона оказалась стертой последняя цифра.

Какова вероятность того, что, наугад набирая последнюю цифру телефонного

номера, можно сразу позвонить нужному лицу?

Ответ: 1/10.

1.15. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей

сумма очков окажется равной: 1) четырем, 2) пяти, 3) шести, 4) семи, 5) восьми,

6) девяти, 7) десяти, 8) одиннадцати, 9) двенадцати, 10) двум.

Ответ: 1) 1/12; 2) 1/9; 3) 5/36; 4) 1/6; 5) 5/36; 6) 1/9; 7) 1/12; 8) 1/18; 9) 1/36;

10) 1/36.

1.16. В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар.

Найти вероятность того, что этот шар — белый.

Ответ: а/(а + Ь).

1.17. В урне а белых и Ь черных шаров. Из урны вынимают один шар и от-

кладывают в сторону. Он оказался белым. После этого из урны берут еще один

шар. Найти вероятность того, что и этот шар белый.

О т в е т: а — 1/(а + Ь — I).

1.18. Из урны, в которой а белых и Ь черных шаров, вынимают подряд все

находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет

вынут белый шар, черный шар, пятый шар будет белым (а > 5).

Ответ: аЦа + Ь), Ы(а + Ь). а/(а + Ь).

Для решения более сложных задач необходимы некоторые сведения

из комбинаторной математики. Приведем их. Существуют следующие

виды комбинаций из п элементов а, Ь, с, ...

1. Перестановки — такие комбинации из п элементов, которые раз-

личаются лишь порядком расположения в них элементов. Число пере-

становок определяется формулой р

= п\

2. Размещения из п элементов по к элементов — такие комбина-

ции, которые различаются как порядком элементов, так и самими

элементами; например, размещениями из трех элементов а, Ъ, с по

два будут

(аЬу, (ас); (Ьс)\

(Ьа); (са); (сЬ).

Их чнсло Ап — пМ(п — 6)!

3. Сочетания из п элементов по к элементов — такие комбинации,

которые различаются только самими элементами; например, сочета-

ниями из трех элементов а, Ь, с по два будут аЬ, Ьс и ас. Их число

Сп = п \/{п — к)

к\,

при этом имеют место свойства:

О РЛ 1 . (Л I У-./—К РА

Решим несколько типовых задач.

1.19. На четырех карточках написаны буквы: «с», «т», «о», «л». Карточки пе-

ремешивают, вынимают наугад по одной, раскладывая их в порядке появле»

ния. Найти вероятность того, что составится слово «стол».

Решение. Так как число благоприятствующих случаев М — 1, а число

всех случаев Л' = р

= 4!, то искомая вероятность р

стол

= 1/4! = 1/24.

1.20. В условиях задачи 1.19 найти вероятность составления слова «лот», ес-

ли вынимать три карточки.

Решение. Число благоприятствующих случаев М — 1, число всех

случаев N = А*. Поэтому р

лот

А\ = 1/4! = 1/24.

1.21. В условиях задач (1.19) и (1.20) найти вероятность появления того же

слова, если карточки разрешается раскладывать не в порядке их появления.

Решен и е. Так как порядок расположения элементов здесь безразличен,

то мы имеем число всех случаев N = С\- Поэтому

_ _!_ _ (4-3)131 _ 1

Рл<п

с* ~ 4

~ 4 '

1.22. Определить вероятность того, что наугад расставленные на шахматной

доске 8 ладей не будут бить друг друга.

Решение. Число всех способов, которыми можно расставить ладьи на

шахматной доске, равно С

® (если бы это были не ладьи, а 8 различных фигур,

то число способов было бы равно <4

®). Число благоприятствующих случаев, оче-

видно, равно р

— 8! Поэтому искомая вероятность

р = -±1- =

8 !

= (

9 ! . ,0-е

с? 64

64 • 63 ... 57

1.23. В урие а белых и Ь черных шаров. Из урны вынимают два шара. Най-

ти вероятность того, что оба шара будут белые.

Ответ: р = С

1С?

+ ь

1.24. Найти вероятность того, что, вынимая из колоды карт в 52 листа три

карты, получим раскладку: «тройка, семерка, туз».

Решение. Число всех случаев будет равно N = число благоприят-

ствующих случаев М = С\ • С\ • С\ = 4

. Поэтому р(А) = 4

//4|

; если бы

порядок расположения карт был безразличен, то тогда р(А) = 4

1С1

0,0029.

Часто встречаются еще следующие виды комбинаций.

Перестановки с повторениями — такие комбина-

ции из п элементов, среди которых имеется п

(»' = 1,2, ... к) элемен-

тов к видов. Их число

,...п

) =

1, \п

! ... п

1.25. На карточках написаны буквы: «з», «а», «к», «а», «з». Найти вероят-

ность того, что, вынимая наугад по одной из карточек и раскладывая их в поряд-

ке появления, получим слово «заказ».

511

Ответ! п„

якя

„ = 1 ; = — .

2 12! 1! 30

Размещения с повторениями — комбинации из

элементов 5 видов по к. Их число А% = 5*.

1.26. Производят три измерения. Найти вероятность того, что эти измерения

будут содержать две положительные ошибки.

Решение. Число благоприятствующих случаев М = С3, число всех случа-

ев А/ = А\ = 2

= 8. Поэтому р = С|/2

= 3/8.

1.27. В условиях задачи 1.19 найти вероятность появления слова «лот», если

карточки возвращаются обратно. ^

Решение. Число благоприятствующих случаев составит N = А^ = 4®.

Поэтому Рлот =

1.28. Состоящее из пяти букв «тайное слово» секретного замка набира-

ется с помощью одного диска, на котором нанесено 10 букв. Чему равна вероят-

ность открыть замок с первой попытки человеком, не знающим этого слова.

Решение. Так как число благоприятствующих случаев М = 1, а число

всех случаев равно N = то искомая вероятность р= 1М®

= 1/10

= 0,00001.

1.29. В урне находятся 10 шаров: 3 красных н 7 синих. Найти вероятность

того, что, вынимая одновременно 2 шара, достанут оба синих.

Решение. Число всех равновозможных случаев вынуть пары шаров опре-

деляется числом сочетаний из 10 по 2, т. е. п = С?

= 10 • 9/1 • 2 = 45.

Чнсло благоприятствующих случаев определяется числом сочетаний из 7

синих шаров по два т = 7 • 6/1 • 2 = 21.

Следовательно, р = 21/45 = 7/15 = 0,467.

1.30. Из тщательно перетасованной колоды карт в 36 листов вынимают одно-

временно две карты. Определить вероятность появления: а) дамы и короля треф,

б) дамы и короля любой одной масти, в) дамы и короля разных мастей.

Ответ: а) 1/630; б) 2/315; в) 2/105.

1.31. В урне находится 5 шаров: 2 красных и 3 синих.Какова вероятность

того, что, вынимая сразу 2 шара, достанут оба красных?

Ответ : 1/10.

1.32. Каждая из букв «в», «я», «н», «е», «к», «а», «з» написана на отдельной

карточке. Карточки перемешивают, вынимают наугад по одной и раскладывают

в порядке их появления. Определить вероятность того, что составится слово

«невязка».

Ответ: 1/5040.

1.33. По условиям задачи 1.32 найти вероятность того, что из первых трех

карточек составится слово «век».

Ответ: 1/210.

Те же условия, но карточки разрешается раскладывать не обязательное по-

рядке их появления.

Ответ: 1/35.

1.34. В урне а белых и Ь черных шаров (а 2). Из урны вынимают сразу

два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Общее число случаев

„ _ „2 _ (д + *)(я-Н-1)

а+Ь ~ , .

Число благоприятных случаев М = а(а — 1)/1 • 2.

Вероятность события А (два белых шара) равна

р(Л) =

М^о

N (

+Ь)(а+Ь-\)

1.35. В партии, состоящей из к изделий, имеется / дефектных. Из партии вы-

бирается для контроля г изделий. Найти вероятность р того, что из них ров-

но 5 изделий будут дефектными.

Ответ: р= С^С^/С^.

1.36. Найти вероятность выигрыша в спортлото (угадать к = 4, 5 или 6 но-

меров, если из 49 номеров в карточке зачеркивать 6 номеров).

От ве т: р = С* С

^*/^.

1.37. Из урны, содержащей п перенумерованных шаров, наугад вынимают

один за другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номе-

ра вынутых шаров будут идти по порядку: 1, 2, ..., п.

Ответ: 1/л!

1.38. Та же урна, что и в предыдущей задаче, но каждый шар после выни-

мания вкладывается обратно и перемешивается с другими, а его номер записы-

вается. Найти вероятность того, что будет записана естественная последователь-

ность номеров: 1, 2 п.

Ответ: 1/п".

1.39. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по

26 листов. Найти вероятности следующих событий:

А — в каждой из пачек окажется по два туза;

В — в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой — все четыре;

С — в одной из пачек будет один туз, а в другой — три.

Решение. Общее число случаев п = С^. Число благоприятных собы-

тию А случаев т — С^С^

р(А) = С\ С\У С?^ = 0,390.

Событие В может осуществиться двумя способами: либо в первой пачке будут все

четыре туза, а во второй — ни одного, либо наоборот

р (В) = 2С^С=|СЦ/С|| = 0,1Ю.

Аналогично

р(С) = 2СЗС^/С?® = 0,499.

1.40. На пяти карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Две из них, одну

за другой, вынимают. Найти вероятность того, что число на второй карточке бу-

дет больше, чем на первой.

Решение. Опыт имеет два возможных исхода:

А — второе число больше первого,

В — второе число меньше первого.

Так как условия опыта симметричны относительно А и В, то р = 1/2.

1.41. Тот же вопрос, что и в задаче 1.40, но первая карточка кладется обрат-

но и смешивается с остальными, а стоящее на ней число записывается.

Решение. Возможно три исхода:

А — второе число больше первого,

В — второе число меньше первого,

С — второе число равно первому.

Всего возможно А| = 25 случаев; из них пять

1,1; 2,2; ...; 5,5

благоприятны событию С, а остальные 20 поровну делятся на благоприятные со-

бытиям А и В. Поэтому р(А) = р(В) = 10/25 = 2/5.

1.42. N человек случайным образом рассаживаются за круглым столом

(,У>2). Найти вероятность р того, что два фиксированных лица окажутся рядом.

Решение. Число случаев п = N1, число благоприятных случаев т —

= 2Ы, так как всего пар соседних мест /V, а на каждой паре соседних мест лиц

А и В можно рассадить двумя способами:

р = 2Л7ЛЧ =2/(ЛГ— 1)1

1.43. Та же задача, но стол прямоугольный, и N человек рассаживаются

случайно вдоль одной из его сторон.

Ответ: р = 2(Ы — 1)/ЛЧ

1.44. В урне находится 5 красных, 3 синих и 2 зеленых шара. Перемешав

их, вынимают 2 шара. Какова вероятность, что оба вынутых шара будут одного

цвета.

Ответ: [С\ + С\ + С|)/С?

= 14/45.

1.45. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Найти вероят-

ность, что в нем: 1) все цифры различные; 2) все цифры нечетные, 3) все цифры

кратны трем.

Ответ: 1. р -== 0.3024;

4о 10»

I 1 \

2. р=

-= — =0,03125; 3. р = 0,00243.

К 2

1.46. Измеряют угол между направлениями на две марки А и В. На марку А

видимость постоянная. Видимость на марку В периодически закрывается прохо-

дящим поездом, при этом промежутки видимости и невидимости одинаковы и сос-

тавляют 3 мин. Время визирования на каждую мерку с выполнением необходимых

отсчетов составляет 1 мин. Какова вероятность того, что, визируя в произвольный

момент времени первоначально на марку А, наблюдатель завершит измерение

угла до закрытия видимости на марку В.

Ответ: 1/3.

§ 3. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА (ЧАСТОСТЬ) И ВЕРОЯТНОСТЬ

Очевидно, не всякий опыт может быть сведен к схеме случаев, и

поэтому существуют события, вероятности которых невозможно вы-

числить по формуле (1.1), например, вероятность сбить самолет одним

выстрелом, вероятность выпадения герба, если монета не имеет пра-

вильной формы, вероятность появления той или иной игральной карты,

если игра нечестная, и т. д. Для таких событий применяют другие спо-

собы определения вероятностей. Все эти способы связаны с опытом

(экспериментом) и понятием относительной частоты (частости) со-

бытия.

Относительной частотой события называют

отношение числа появлений этого события т к числу всех произве-

денных опытов п, т. е.

(2 = т/п. (1.2)

При неограниченном числе опытов с вероятностью, сколь угодно

близкой к единице, можно ожидать, что относительная частота собы-

тия приближается к его вероятности (теорема Бернулли), т. е.

верНт(2 = р. (1.3)

Вероятный предел (вер Пт) отличается от математического пре-

П-* оо

дела и понимается как тенденция стремления к пределу. Выражение

(1.3) пишут также в виде р{\(,}—р| •< е} = 1 — б, где е и 6 — сколь

П-Юо

угодно малые положительные величины.

Относительную частоту называют также статистической вероят-

ностью события.

1.47. Из 5000 взятых наудачу деталей оказалось 32 бракованных. Найти

частость бракованных деталей в данной партии.