Бофре Жан. Диалог с Хайдеггером. Кн. 2. Новоевропейская философия

Подождите немного. Документ загружается.

же степени, он распространяет эти правила с

арифметики на геометрию, рассматривая площа

ди, ограниченные кривыми как суммы ординат,

которые все имеют одну и ту же степень, а эта сте

пень определяется градусом кривой. Речь на са

мом деле идет, скорее, о бесконечно малых прямо

угольниках, чем об ординатах, но, как он скажет

позже, здесь существует лишь один способ выска

зываться, «который не может оскорбить рассуди

тельных людей, когда их заранее предупреждают

о том, что под этим понимают».

Именно в этом

смысле он добавляет:

«И поэтому я не делаю никакого затруднения

из того, чтобы следовать использованию этого

языка неделимых величин, сумма линий или сум

ма плоскостей; и, следовательно, когда я, напри$

мер, рассматривал… диаметр полукруга, разде$

ленного на бесконечное число частей, равных точ$

ке… откуда могли бы быть проведены ординаты…

я не делал никакого затруднения из использова$

ния этого выражения сумма ординат, которое,

кажется, не относится к геометрии для тех, кто не

понимает учения о неделимых и кто воображает,

что выражать плоскость через бесконечное число

линий значило бы грешить против геометрии; все

это идет только от недостатка их сообразительно

сти, поскольку под этим не понимается ничего

иного, кроме суммы бесконечного числа прямо

угольников, образованных каждой ординатой с

каждым из малых равных отрезков диаметра, сум

ма которых является, конечно же, плоскостью,

отличающейся от площади полукруга лишь коли

Pascal B. Œuvres comple?tes. VIII. P. 352–353.

чеством, которое меньше любой данной величи

ны».

Распространение арифметики на геометрию —

«числа повторяют пространство, хотя так от него

отличны»

— мастерски излагаемое, начиная с

выводов трактата 1654 года, содержит в себе и

свидетельство о рождении интеграла путем раз

личия «порядков бесконечности», на котором он

основывается.

«Те, кто хотя бы в малой степени разбирается в

учении о неделимых, не преминут усмотреть, что

можно извлечь из предыдущих результатов для

определения криволинейных площадей. Эти ре$

зультаты позволяют немедленно квадрировать

параболы всех видов и бесконечно много других

кривых.

Если мы распространим на непрерывные вели$

чины те результаты, которые найдены для чисел

по методу, изложенному выше, мы сможем выска$

зать следующие правила».

Процитируем только главное Правило (Canon

gêneralis), которое Паскаль выражает так:

«Сумма одинаковых степеней некоторого чис$

ла линий относится к непосредственно следую

щей степени наибольшей из них, как единица к по

казателю этой степени».

Сегодня математик так перевел бы эту фразу

Паскаля:

xdx

Паскаль. Мысли. C. 31.

Теперь ему остается лишь сделать вывод:

«Достаточно того, что мною популярно сфор

мулированы указанные выше правила. Нетрудно

найти и другие, опираясь на тот принцип, что не

прерывная величина не увеличивается от прибав

ления к ней любого числа величин низшего поряд

ка.

Так, точки ничего не добавляют линиям, ли

нии — поверхностям, поверхности — телам. Или

(чтобы перейти к числам, как и надлежит в ариф

метическом трактате) первые степени ничего не

дают по сравнению с квадратами, квадраты — по

сравнению с кубами и кубы — по сравнению с

квадратами квадратов. Так что должно пренебре$

гать, как нулями, количествами низшего порядка.

Я хотел прибавить эти несколько замечаний,

знакомых тем, кто пользуется неделимыми, чтобы

выявить всегда вызывающую восхищение связь,

которую проникнутая единством природа уста$

навливает между предметами, по внешности весь$

ма далекими друг от друга. Такая связь явна в этом

примере, в котором мы видим, что вычисление

размеров непрерывных величин связано с сумми$

рованием степеней чисел».

Четырьмя годами позже (1658) Паскаль нахо

дит случай блестящего применения своего исчис

ления, однако важнейшим вопросом для него

была не наука, а христианская жизнь. Вот обстоя

тельства, о которых сообщает его племянница

Маргарита:

«В то время, когда Паскаль трудился против

безбожников, случилось так, что у него вспыхну

Pascal B. Œuvres complétes. III. P. 365–367.

ла очень сильная зубная боль. Однажды вечером

герцог де Руаннец оставил его в очень сильных му

чениях; он лег в постель, а его боль только увели

чилась, и ему пришло в голову, ради облегчения

страданий, заняться чем$то таким, что могло бы

заставить его позабыть о боли. Для этого он начал

размышлять над задачей о рулетте, сформулиро

ванной ранее Мерсенном, задачей, решения кото

рой никто никогда не мог найти и которой для

развлечения он иногда занимался. Он размышлял

над ней, пока не нашел решение и все доказатель

ства. Такое серьезное приложение сил отвлекло

его от зубной боли, и когда он перестал над этой

задачей думать, он почувствовал себя излечив$

шимся от своего недуга.

Герцог де Руаннец, придя навестить его утром и

обнаружив его выздоровевшим, спросил, что же

его вылечило. Он сказал, что это была задача о ру$

летте, решение которой он искал и нашел. Герцог

де Руаннец, удивленный такими последствиями и

самим делом, так как он был знаком с его трудно$

стью, спросил его, что он намерен с этим делать.

Мой дядя сказал, что решение этой задачи послу$

жило ему лекарством, и что он не ждал от нее ни

чего другого. Герцог де Руаннец сказал ему, что

имеется и лучшее применение: что с целью борьбы

с атеистами необходимо показать им, что он знает

больше, чем они, в том, что касается геометрии и

того, что является предметом доказательства; и

таким образом, если он подчинил себя вере, и

именно ему известно, как следует изложить дока

зательства, то герцог посоветовал ему внести ше

стьдесят пистолей, заключить что$то вроде пари

со всеми искусными математиками, которых он

знал, и предложить премию тому, кто нашел бы

решение задачи. Паскаль послушал его и взял ше

стьдесят пистолей из рук герцога.., назвал экзаме

наторов, которые должны были оценить работы,

пришедшие со всех концов Европы, и установил

срок в восемнадцать месяцев, в конце которых

Паскаль, если никто, согласно мнению экзамена

торов, не найдет решения, забирал бы свои шесть

десят пистолей и использовал бы их, чтобы напе

чатать свой труд, который он тиражировал лишь в

ста двадцати экземплярах».

Работы, о которых говорит здесь Маргарита

Паскаль, появятся под названием Писем Амоса

Деттонвиля (анаграмма имени Людовика Мон$

тальта, которое само было отголоском той «высо$

кой горы», о которой шла речь в ноябрьском пись$

ме 1647 года Флорену Перье). Благодаря примене$

нию интегралов, которое он практикует с неви$

данной виртуозностью, Паскаль измеряет не

только площадь рулетты или циклоиды — кривой,

описанной, как сказал Декарт, «точкой окружно$

сти круга, которую представляют бегущей по

плоскости», но и площади и объемы, созданные

вращением сегмента циклоиды вокруг заданных

осей.

Следовательно, Паскаль и является изобрета

телем вычисления бесконечно малых? Не совсем

так, ибо он не обобщает свое изобретение. Со

гласно словам Леона Брюнсвика, он не пытается

превратить свой тактический метод в стратеги



ческий инструмент. Именно этому через десять

лет после смерти Паскаля будет удивляться юный

Pascal B. Œuvres complétes. I. P. 134.

немец, только что прибывший в Париж и по совету

Гюйгенса прочитавший Письма Деттонвиля —

Лейбниц.

«Гюйгенс, считавший меня более хорошим гео

метром, чем я был, дал мне прочесть Письма Пас

каля, изданные под именем Деттонвиля.Иясра

зу же, читая Паскаля, набросал на бумаге то, что

пришло мне в голову. Многое из того кажется мне

теперь глупым, тогда как кое$что другое еще и се

годня продолжает меня удовлетворять… Эта но

вая манера рассуждать меня поразила, так как я

не замечал ничего подобного у учеников Кавалье

ри. Но мое изумление шло главным образом от

того, что Паскаль в силу каких$то роковых об$

стоятельств был похож на человека с завязанны$

ми глазами. Ибо я внезапно увидел, что теорема

была применима к любой кривой».

Можно бесконечно рассуждать об этом пре$

небрежительном отношении Паскаля к возмож$

ности стратегически обобщить свою тактическую

операцию и, как Валери, вменять ему в вину вред

мракобесия, все больше и больше сгущающегося в

уме человека, который «сменив свою старую лам$

пу на новую, забывает зашить бумаги в своих кар

манах, когда настает час завоевать для Франции

славу исчисления бесконечности».

Это, конечно

же, слова из самого дурного романа. Вычисление

бесконечности, как и интегральные вычисления —

именно Паскаль и устанавливает их принцип в

Canon generalis своего трактата 1654 года, а Фер

ма семнадцатью годами ранее предваряет изобре

Лейбниц — Чирнгаузу // Briefwechsel mit Mathemati

kern. I, 408; и набросок письма Жаку Бернулли.

Valery P.Variété. I. P. 176.

тение дифференциального исчисления. Следова

тельно, Франции не на что жаловаться. Но совер

шенно верно, что Паскаль, в 1658 году с головой

увлеченный такой частной темой, как «задача о

рулетте», представляется Лейбницу движущимся

в сторону иной цели, в его глазах гораздо более

важной,— к общему определению позитивности,

свойственной бесконечно малым, иными словами,

к тому, благодаря чему, как скажет Лазар Карно,

«они, образно выражаясь, и достигают существо

вания»,

посредством инерционного сохранения

в них тех же признаков, какие представлены ко

нечными величинами, с которыми их связывает

отношение подобия. Именно отсюда и исходит

определение бесконечно малых величин, данное

не Паскалем, а Лейбницем: non ut nihila sim

pliciter et absolut a, sed ut nihila respectiva… id est

ut evanescentia quidem in nihilum, retinentia tamen

characterem ejus quod evanescit.

Паскаль, соглас$

но Лейбницу, слишком быстро оставил то, чем за$

нимался лишь «мимоходом». Возможно, именно о

Паскале он думает, когда, не называя его имени,

пишет в Новых опытах: «Если изобретатель нахо$

дит лишь частную истину, то он изобретатель

только наполовину».

Но мы, вероятно, могли бы заметить, что он не

слишком уверен, что Паскаль когда$либо наме

100

. Carnot L. Réflexions sur la métaphysique du calcul

infinitésimal. Paris, 1970. P. 51.

«Не как простое и абсолютное ничто, но как ничто отно

сительное,.. то есть как исчезающее, конечно же, в ничто, но

сохраняющее характер того, что исчезает».

Лейбниц Г. В. Новые опыты о человеческом разумении.

IV, 7, 11 // Лейбниц Г. В. Соч. Т. 2. С. 425.

ренно пытался внести ясность в то единство ко

нечного и бесконечного, блестящих последствий

которого он достигает. Возможно, в этом единст

ве он отдает предпочтение стороне мистерии, тай

но связанной с христианским таинством искупле

ния. Так как не изображает ли такой поразитель

ный, сведенный к недействительности элемент,

каким является бесконечно малое, например ли

ния перед площадью, остающаяся тем не менее в

своей ничтожности способной создать площадь,

что и обнаружит интеграл,— не изображает ли

этот элемент ничтожество человека перед спра

ведливостью Бога? Не милосердие ли Бога, еще

более «огромное», более «объемлющее», чем бо$

жественная справедливость, спасет его от небы$

тия? Некоторые строки Мыслей допускают стро$

гий перевод на язык «неделимых» величин, как его

понимал Паскаль. И тогда не существует никаких

разногласий между Паскалем геометром и Паска$

лем христианином. Как раз наоборот. Не забывая,

что Письма Деттонвиля появились почти на че$

тыре года позже Мемориала и именно в то время,

когда были написаны тексты, опубликованные по$

сле смерти Паскаля под названием Мыслей,мы

склоняемся к следующему выводу: в то время как

«философия не стоит и часа труда»,— а под фило

софией Паскаль понимает прежде всего физику,

которая на самом деле, как мы видели, была лишь

эпизодом в его жизни,— математика по крайней

мере сохраняет порядок, и, будучи даже бесполез



ной, она остается глубокой. В необычной вере та

кого гения современного мира, каким был Пас

каль, математическая ясность и религиозная ис

тина являются двумя лицами одной и той же мис

101

терии, но так, что первая была чем$то вроде изо



бражения второй. Если геометрия площадей под

готавливает к Богу, воспринимаемому сердцем,а

геометрия случая — к Богу, заключающему пари,

то, может быть, геометрии бесконечного суждено

в свою очередь изображать Бога сокрытого, рас

пределяющего милосердие, Бога, о котором нам

рассказывает Писание, и которого мы ищем лишь

для того, чтобы узнать, что уже его нашли.

СКАЗАНИЕ О МИРЕ

Портрет Жана$Батиста Вени, который уже не

сколько лет можно видеть в музее Утрехта, пред

лагает нам необычный образ Декарта. Склонен

ная голова, немного откинутая назад, кажется

явившейся из сновидения, а на раскрытой книге,

которую держит философ, написаны три таинст$

венных слова: Mundus est fabula. Тайну легко све$

сти к пропорциям простой загадки. Можно также

задать вопрос о фатуме, о судьбе того сказания,

иное имя которому — мир. Но здесь мы должны не

столько обратиться к некоторым весьма извест$

ным картезианским нравоучениям, сколько заду$

маться над легендарной судьбой того мира, кото$

рый Декарт открывает для грядущих времен. При$

мерно через полстолетия после Размышлений

Лейбниц публикует Рассуждение о метафизике и

вступает в переписку с Антуаном Арно, который

составляет к ней необходимый комментарий. Рас



суждение и эта переписка — это первое последо

вательное объяснение «принципа основания», ко

торый представляет собой главную тайну мышле

ния Лейбница.

В мире на самом деле имеются вещи, которые

логически не могут быть иными, чем они есть. Это

103

Переработанный текст; появился в 1967 г. в книге, посвя

щенной Мартину Хайдеггеру в честь его семидесятилетия.