Беляев Е.Ф., Шулаков Н.В., Дискретно-полевые модели электрических машин, учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

2.3.1. Непроводящая ферромагнитная среда

Сторонний ток отсутствует: /

ст

= 0, р = / (Я ).

Уравнение магнитного поля имеет вид

rot Я = 0; Я = grad ср

Тогда условие непрерывности магнитного поля (2.3) записыва-

ется в виде

div [р (Я) grad

] =

(2.70)

или

2.3.2. Проводящая ферромагнитная среда

Плотность стороннего тока является функцией пространствен-

ных координат: р = /(Я); у = const; J„= f (х,у,z).

Уравнение магнитного поля

rot Я = J

+ /; (2.72)

где J - плотность тока проводимости,

f dA }

j=y\-~-i-gradф . (2.73)

Выражая напряжённость магнитного поля через проницаемость

среды и магнитную индукцию, а последнюю через векторный потен-

циал, выполняя преобразования, получим уравнение магнитного по-

ля в виде

АЛ -р(Я)у-^- = -р(Я)у

ст

grad

) xrot А +

dt ^

Ncr

ц(Я) (2.74)

+grad div А + р(Я)у grad ф.

Этому выражению можно придать более компактную форму,

если ввести известную калибровку div А - цуср. Последний член в пра-

вой части уравнения (2.74) при постоянной у записывается в виде

ц(Н)у grad

<р

= grad[n(//)y<p]-y(p grad[n(tf)] . (2.75)

Если div А = -ц(Я)у<р, то (ру =

уравнение (2.74) при-

нимает вид

Для некоторых задач при введении определённых допущений

и специальной калибровки уравнение (2.74) может быть упрощено.

Однако практически для всех случаев при решении уравнений (2.71)

и (2.75) приходится использовать итерационные методы.

Перечисленные выше методы преобразований уравнений

Максвелла охватывают лишь ограниченное число уравнений для

краевых задач, описывающих электромагнитное поле электриче-

ских машин. Электромагнитное поле реальной машины вследст-

вие более сложной структуры среды описывается уравнениями

более сложного вида. Для решения подобных уравнений прихо-

дится рассматривать отдельные области среды, описывая их от-

дельными уравнениями, либо вводить определённые упрощающие

допущения, незначительно влияющие на точность решения крае-

вой задачи, но приводящие к значительному упрощению системы

уравнений. Выбор метода решения подобных задач диктуется тре-

бованиями к результатам решения и определяется опытом работы

с подобными задачами.

3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ОДНОМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Одномерные краевые задачи являются наиболее простыми

в реализации, так как дифференциальные уравнения в частных про-

изводных являются, по сути, уравнениями с обыкновенными произ-

водными. Тем не менее изучению методов их решения отводится

значительное место. Такая ситуация объясняется тем, что большин-

ство методов решения многомерных краевых задач может быть све-

дено к решению одномерных. Следует также отметить, что ряд по-

ложений, используемых при решении одномерных, оказываются

полностью справедливыми и для многомерных задач. Исходя из этих

позиций, целесообразно рассмотреть методы решения одномерных

задач наиболее подробно.

3.1. РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Дифференциальные уравнения в частных производных решают-

ся, как правило, численными методами, так как аналитическое реше-

ние уравнений с переменными коэффициентами или нелинейных

уравнений возможно лишь в исключительных случаях.

При численном решении уравнений действия над непрерывны-

ми функциями заменяются действиями над числовыми величинами,

характеризующими электромагнитное поле. При этом исследуемая

область принимается конечномерной, а уравнению в частных произ-

водных ставится в соответствие разностная задача. Решение разност-

ной задачи должно быть корректным [23]:

- существовать и быть единственным при любых входных

данных;

- непрерывно зависеть от исходных данных задачи: погрешности

входных данных не должны приводить к искажению результатов.

Поскольку получаемое при этом решение является приближён-

ным, необходимо использовать такие методы, которые обеспечивали

бы минимальную погрешность.

Различают следующие виды погрешностей:

1) погрешности входных данных (начальные и граничные усло-

вия, коэффициенты уравнений, правая часть дифференциального

уравнения), которые при переходе от краевой задачи к разностной

задаются с определённым приближением;

2) погрешности метода, определяемые погрешностями методов

преобразования дифференциальных операторов, реализующих раз-

ностную задачу;

3) погрешности вычислений, определяемые точностью выполне-

ния математических операций ЭВМ.

Естественно стремиться к тому, чтобы суммарная погрешность

решения, возникающая вследствие этих причин, была бы минималь-

ной, не возрастала в ходе решения задачи и не приводила к искаже-

нию результатов решения.

Свойство непрерывной зависимости решения разностной задачи

от входных данных принято называть устойчивостью" задачи по

входным данным. Погрешности входных данных, которые неизбеж-

но возникают в ходе решения разностных задач, не должны нарас-

тать и выходить за пределы машинного нуля или машинной беско-

нечности. Выбранные методы решения разностных задач должны

исключать подобные ситуации, т.е. должны быть устойчивыми.

Важным требованием, предъявляемым к методу решения крае-

вых задач, является время решения. Среди эквивалентных по точно-

сти методов необходимо выбирать такой, который обеспечивал бы

минимальные затраты машинного времени. При решении сложных

краевых задач это условие подчас становится решающим при выбо-

ре метода.

Конечно-разностные методы предполагают замену дифферен-

циальных операторов конечно-разностными выражениями, в резуль-

тате чего дифференциальные уравнения сводятся к системе алгеб-

раических, которые решаются известными методами [24].

Пусть рассматриваемая область решения лежит в пределах [О, L],

Разобьём эту область на конечное число N интервалов величиной

L-0

Ах-— . (3.1)

Производная дифференциального уравнения на интервале i ко-

нечной величины Ах может быть аппроксимирована выражениями:

эи -иi , ди _£/,—£/<-, . ди _

дх Ах дх Ах дх 2 Ах

Первое из этих выражений называется правой разностью, вто-

рое - левой разностью, третье - центральной разностью, оно явля-

ется усреднением двух первых.

Замена производной конечно-разностным выражением обуслов-

ливает появление погрешности, так как точное равенство возможно

лишь при Дх—>0. Оценим погрешности, возникающие для таких

видов аппроксимации дифференциального оператора.

Рассмотрим порядок точности аппроксимации правой разно-

стью. Для оценки погрешности разложим функцию С/(х + Дх) в ряд

Тейлора в окрестности точки х:

Щх + Д*) = Щх) + Дх^

^(дх)

|^- + "- (3.3)

Эх 2

' дх

Тогда точное выражение производной

dU U(x

Ax)-U(x) Ах d

U ,,

—— " •! —-II .1- -1.1 — И I •

. II .

. —

« »

Эх Дх 2 Эх

Основной член погрешности аппроксимации составляет

Axd

е=_

Тэх

т.е. пропорционален первой степени величины Дх . Говорят, что конеч-

но-разностное выражение аппроксимирует производную с точностью

первого порядка или аппроксимация имеет первый порядок точности.

Точно так же, используя выражение левой разности, будем иметь

dU -Ц1/

*д

Погрешность аппроксимации и в этом случае имеет первый по-

рядок точности.

Рассмотрим порядок точности аппроксимации производной

центральной разностью. Раскладывая функцию в ряд Тейлора,

будем иметь

(Ax)

U (AxftfU

дх 2 дх

6 дх

U(x

Ax)

U(x)

Ax-

J -w + /

з <

)

(Ах)

Ц (Ax)

Эх 2 Эх

6 Эх

U(x-Ax)

U(x)-Ax~ +

~ /

з +- (3-8)

Вычитая из первого равенства второе, получим

U(x

Ax)-U(x-Ax) dU

(Ах)

2Ах дх 6 Эх

+ -/ . з +- (3-9)

или

dU ^U(x

Ax)-U(x-Ax) (Aх)

дх 2 Ах 6 Эх

Главный член погрешности

з +••• (3.10)

(Ах)

6 дх

в = (3-И)

пропорционален второй степени величины интервала разбиения.

В этом случае центральная разность аппроксимирует производную

со вторым порядком точности. При малой величине Ах точность

аппроксимации производной оказывается более высокой.

Вторую производную функции в точке i исследуемой области

можно представить в виде разности первых производных:

Г:

д_и) JdlT

(3.12)

дх )

у дх

дх

Ах

Заменяя в этом выражении производные левой и правой разно-

стями, будем иметь

U U{x

Ax)-7JU(x)

U(x - Ах)

Эх

~ (Ах)

1 }

Рассмотрим порядок точности аппроксимации второй произ-

водной указанным выражением. Для этого разложим функции

U(x

Ах) я U{х-

Ах)

в ряд Тейлора в окрестности точки х:

,,, . .

гг/ ч д

ди (Ахх)

U (Ах)

U(x

Ах)

U (х) + Ах--—Ь

А—+

dx 2 dx 6 dx

(АХ) Э

С/

24 Эх

(3.14)

гг, Л ч гг, Ч Л ди (Ах)

и (Ах)

(Ах)

С/

24 Эх

(3.15)

и подставим полученные выражения в правую часть второй произ-

водной (3.13).

Тогда

U(x

Ах) - 2U(x) + Ц(х -

Ах)

_ Э

£/ (Дх)

ЭУ

(Дх)

" Эх

2 +

12 Эх

4 +

Отсюда погрешность аппроксимации второй производной

(AX)2a4f/

"1Га7"

(ЗЛ7)

пропорциональна второй степени величины интервала разбиения, т.е.

имеет второй порядок точности аппроксимации.

Порядок точности конечно-разностного выражения может быть

повышен, если увеличить число точек для его аппроксимации. Если,

например, в выражение погрешности аппроксимации первой произ-

водной подставить конечно-разностное выражение второй производ-

ной, то порядок точности аппроксимации повышается. Однако такой

способ повышения точности требует увеличения числа интервалов

разбиения, что приводит к возрастанию сложности аппроксимирую-

щих выражений. Поэтому чаще предпочитают иметь для аппрокси-

мации более простые выражения, увеличивая при этом число интер-

валов разбиения исследуемой области. Порядок точности системы

алгебраических уравнений при этом возрастает, но сами уравнения

имеют более простой вид, и решение системы требует меньших за-

трат математических операций.

При решении краевых задач с переменными коэффициентами

приходится аппроксимировать дифференциальные операторы, со-

держащие переменные коэффициенты. Для нахождения коэффици-

ентов системы алгебраических уравнений наиболее часто использу-

ют консервативные разностные схемы, для которых оказываются

справедливыми разностные аналоги физических законов.

Пусть краевая задача описывается одномерным уравнением с пе-

ременными коэффициентами и заданными граничными условиями:

д_

дх

вд^

ох

-q(x)U=-f(x), (3.18)

< х < Z,; К(х)

> 0;

</(х)>0; £/(0) = ц,; U(L)

Исследуемая область разбивается на N интервалов одинаковой

величины, дифференциальный оператор аппроксимируют конечно-

разностным выражением, и дифференциальное уравнение заменяется

системой трёхчленных алгебраических уравнений вида

(3.20)

d, = ——Щ—— ; a >

; Л >0; d

> 0.

' 1.2 'I 'i

(3.21)

Исследования порядка аппроксимации дифференциального опе-

ратора показывают, что записанная схема обеспечивает второй поря-

док точности при выполнении следующих условий:

Это значит, что коэффициенты системы алгебраических уравне-

ний рассчитываются как средние их значения на интервалах. Более

высокая точность достигается, если коэффициенты системы алгеб-

раических уравнений рассчитываются как среднеинтегральные зна-

чения (наилучшая схема). В этом случае решение разностного урав-

нения в узлах сетки практически совпадает с точным решением диф-

ференциального уравнения в тех же точках [24, 25].

Конечно-разностные методы имеют прозрачный физический

смысл и могут трактоваться как выражение определённых физиче-

ских законов в конечном объёме пространства.

Известно, что уравнения в частных производных описывают про-

цессы в цепных линиях. Следовательно, уравнению в частных произ-

= К(х);

b(x) ~ а(х

Отсюда следует, что

(3.22)

а(х)

К (х - 0,5h

); b(x)

K(x

0,5h

d(x)

q(x)\ ф(х)

f(x).

(3.23)

водных можно поставить в соответствие определённую магнитную

цепь, называемую магнитной схемой замещения. В этом случае реше-

ние краевой задачи можно свести к решению системы алгебраических

уравнений, соответствующих магнитной схеме замещения электриче-

ской машины. Исходя из этих положений разработаны методы иссле-

дования электромагнитных процессов электрических машин на основе

магнитных схем замещения, позволяющий получать те же результаты,

что и при решении полевых задач [26].

Рассмотрим, например, уравнение (2.15) - первое уравнение Мак-

свелла, записанное для неоднородной среды. Полагая, что решается

плоскопараллельная задача, будем считать, что векторный потенциал

и плотность стороннего тока имеют по одной составляющей А = jA

и 7

= j J„

. Магнитная индукция в этом случае будет иметь две со-

ставляющие, соответственно B

= ~i

ЪА

дх

и уравнение

(2.15) для единственной составляющей векторного потенциала может

быть записано в виде

дх

д_

-Ц

V^ У

•-J,.

(3.24)

Переходя к конечным разностям и выражая плотность сторонне-

го тока через его величину на рассматриваемом г'-м интервале раз-

биения пространственных координат, получим

1 ^ IIл/

(3.25)

_1_

Дх

-В

к» V,

_1_

Дг

-В

К» Л

IcrWi

AxAz

где Wj - число проводников, принадлежащих г'-му интервалу,

а Дх, Дг - стороны рассматриваемого двумерного пространственно-

го интервала.

Преобразуем полученное уравнение следующим образом:

Ах

AxAz

1 АФ

|! АуАх

——ДхДг

1 АФ

{х

ДуДг

= -F,

(3.26)