Беляев Е.Ф., Шулаков Н.В., Дискретно-полевые модели электрических машин, учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

1. Граничные условия первого рода (условия Дирихле). На гра-

ницах исследуемой области Г заданы значения функции, определяе-

мой в ходе решения краевой задачи:

]г

=и

(х,у). (1.48)

2. Граничные условия второго рода (условия Неймана). На гра-

нице области Г задаются нормальные производные исследуемой

функции:

ди

дп

•Ф,У). (1-49)

Решение уравнения в данном случае находится с точностью до

постоянной величины, так как через граничную точку можно провес-

ти бесчисленное множество кривых с заданным наклоном к коорди-

натной оси.

3. Граничные условия третьего рода. На границах области зада-

ётся комбинация исследуемой функции и её производной:

ди

дп

= 11 (х,у). (1.50)

В общем виде граничные условия могут быть записаны в виде

,ди

а и

+ Р

дп

= \i{x,y), (1-51)

из которых получаются перечисленные выше условия, если поло-

житьР = 0;

ос

= 0,р = £;иа =

р*0.

Для уравнений второго порядка краевая задача называется зада-

чей Дирихле, если заданы краевые условия первого рода, и задачей

Неймана при краевых условиях второго рода.

Для уравнений параболического типа кроме граничных должны

быть заданы начальные условия:

и=и

(х,у) при / = 0. (1.52)

Краевая задача в этом случае носит название смешанной.

Помимо основных граничных условий, описанных выше, ряд крае-

вых задач использует периодические граничные условия и граничные

условия интегрального типа.

Периодические граничные условия характерны для краевых за-

дач, решаемых в цилиндрической системе координат [27]. Эти усло-

вия выражают равенство значений функции и её производных в точ-

ках сопряжения, и записываются в следующем виде:

ди ди

u(x)

u(x

L); ~-{x)

-^-(x+L). (1.53)

ОХ ох

Граничные условия интегрального типа характерны для краевых

задач, решаемых в цилиндрической системе координат, когда произ-

водная в точке сопряжения испытывает скачок, величина которого

пропорциональна интегралу исследуемой величины [27]:

ди ди ^

u(x)

u(x

L); —(x)~~(x

L)=jq(x)u(x)dx. (1.54)

OX OX q

Помимо условий на границах исследуемой области при решении

краевых задач в кусочно-однородных средах ставятся граничные ус-

ловия на границах разделов сред. В этом случае решение краевой

задачи сводится к решению нескольких краевых задач, для каждой

среды с постоянными параметрами. Недостающие для решения ус-

ловия записываются для границ разделов сред, выражающие равен-

ство касательных составляющих напряжённости электрического по-

ля и магнитного ноля в случае отсутствия на поверхности раздела

поверхностных гоков, а также непрерывность нормальных состав-

ляющих магнитной индукции и плотности токов. Подобный подход

широко распространён при решении краевых задач с малым числом

участков и пространственных координат. При усложнении структу-

ры материала и возрастании размерности уравнений решение задач

становится затруднительным, а в случае нелинейности - практически

невозможным.

В этих условиях рациональнее рассматривать исследуемую об-

ласть как сплошную среду, параметры которой являются функциями

пространственных координат, а электромагнитное поле описывается

единым уравнением с переменными коэффициентами. Такой подход

возможен потому, что граничные условия, выражающие непрерыв-

ность нормальных составляющих индукции и плотности токов и ра-

венство касательных составляющих напряжённости магнитного

и электрических полей, являются частными случаями уравнений

Максвелла и получаются из них путём предельного перехода от рас-

сматриваемого пространства к поверхности разделов сред. Следова-

тельно, эти условия не несут новой информации и выполняются ав-

томатически, если электромагнитные процессы в среде описаны

уравнениями Максвелла.

Рассмотрим, для примера, раздел сред с различными значениями

магнитной проницаемости (рис. 1.8).

При отсутствии поверхностных токов уравнение Максвелла за-

писывается в виде

rot Я = 0. (1.55)

Положим для упрощения, что напряжённость магнитного поля

и магнитная индукция имеют по одной составляющей:

; В - кВ

. (1.56)

М-2) В/2? Н/2

И"

И,

Рис. 1.8. Раздел сред с различными

величинами магнитной проницаемости

В этом случае уравнение (1.55) запишется в виде

дН.

дх

(1.57)

Выражая напряжённость магнитного поля через магнитную ин-

дукцию и вводя обозначение R =

1/JLX,

будем иметь

Э B

z =

1 ЭД

дх R дх

(1.58)

Коэффициент R в функции пространственных координат может

быть записан в виде

R(x)

= /?, +

-R

)E(x-x

), (1.59)

где х

- координата раздела; Е(х) - единичная функция Хевисайда.

Тогда

ЭВ R

~dit

-B

6(x-х

Cl.60)

При переходе через границу раздела магнитная индукция испы-

тывает скачок:

Ло

+Е

= J

Хо

-£

= . (1.61)

К К

Учитывая, что при х = х

величины коэффициента R и магнитной

индукции равны средним значениям отдельных зон, можно записать

A Bz

• °'

(В«

Вгг)

= +

)

•

(1-62)

Величина магнитной индукции после перехода через границу

раздела

Ва

1 +

А В

Вгх + +

Ва

) .

14+1*1

(1.63)

Преобразуя это выражение, получим

= или Я,=Я

. (1.64)

Можно также показать, что если на границе раздела имеется по-

верхностный ток с плотностью /

пов

, то скачок магнитной индукции

при переходе границы составит

= (1-65)

т.е. при переходе границы скачок магнитной индукции определяется

как свойствами среды, так и наличием поверхностного тока.

Равенство касательных составляющих напряжённости электри-

ческого поля Е

= Е

хг

следует из второго уравнения Максвелла:

rot Ё =—(1,66)

при стягивании области к границе раздела. При интегрировании пра-

вая часть уравнения обращается в нуль, а выражение rot Е через зна-

чения плотности тока в средах приводит к выражению

= т.е. Eyi = Еу2. (1.67)

Yi Y

Условия для нормальных составляющих магнитной индукции

и плотности тока вытекают из уравнений div В = 0 и div / = 0. В этом

случае при переходе границ раздела сред будут наблюдаться скачки

напряжённости магнитного поля в первом случае и напряжённости

электрического поля во втором.

Решение системы уравнений Максвелла связано с преобразова-

нием уравнений и выполнением дифференциальных операций с ни-

ми. Как было показано выше, выполнение дифференциальных опе-

раций с единичными функциями Хевисайда, описывающими маг-

нитные и электрические свойства сред, приводит к возникновению

5-образных составляющих, эквивалентных постановке граничных

условий на разделах сред [15]. При выполнении над функциями

Хевисайда дифференциальных операций второго порядка возникают

члены с производными дельта-функций, эквивалентные возникнове-

нию на границах разделов двойных слоев [15].

Таким образом, замена отдельных зон исследуемой области кусоч-

но-однородной средой позволяет не только свести к минимуму число

уравнений, описывающих электромагнитное поле, но и упростить по-

становку граничных условий, сведя её к формальной операции диффе-

ренцирования параметра среды по пространственной координате.

Способ учёта граничных условий напоминает решение обычных

дифференциальных уравнений операторным методом, когда началь-

ные условия входят непосредственно в операторное уравнение,

и операция «сшивания» решений на отдельных временных интерва-

лах исключается. Разница подходов заключается в том, что если на-

чальные условия заданы заранее, то для краевых задач 5-образные

составляющие должны определяться в ходе решения задачи [17].

2. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Электромагнитные явления и процессы электрических машин

при условии пренебрежения токами смещения описываются систе-

мой уравнений Максвелла, которые являются математическим опи-

санием следующих законов [15]:

- закон полного тока

rot Я =7; (2.1)

- закон электромагнитной индукции

- дБ

rot Е = . (2.2)

В этих выражениях Я - напряжённость магнитного поля; J - плот-

ность тока; В - магнитная индукция; Е - напряжённость электри-

ческого поля.

Уравнения (2.1), (2.2) должны быть дополнены условиями замк-

нутости магнитного поля и тока:

div В = 0 и div 7 = 0. (2.3)

Последнее уравнение не является независимым, так как является

следствием первого уравнения Максвелла. Оно обычно используется

в том случае, если при расчёте магнитного поля не применялся закон

полного тока.

Указанная система замыкается уравнениями материальных сред

\Ul\ 7

уЁ, (2.4)

где ц и у - магнитная проницаемость и электропроводность среды,

являющиеся скалярными постоянными величинами в однородных

изотропных средах; в нелинейных изотропных средах они являются

скалярными величинами, зависящими от величины магнитной ин-

дукции и напряжённости электрического поля, а в анизотропных

средах - тензорными величинами.

При решении краевых задач часто используются векторный

и скалярный магнитные потенциалы, в ряде случаев значительно уп-

рощающих систему дифференциальных уравнений.

Векторный магнитный потенциал описывается уравнением

rot А = В (2.5)

при произвольном задании его расходимости div А. Выбор этой ве-

личины называют калибровкой, которую реализуют таким образом,

чтобы максимально упростить получающуюся систему уравнений.

Использование векторного потенциала позволяет значительно упро-

стить вычисление магнитных потоков отдельных участков исследуе-

мой области

Ф=|]Ш. (2.6)

Используя теорему Стокса, полученное выражение можно преобра-

зовать и записать его в виде циркуляции

Ф = Jrot AdS = |Adl ,

(2.7)

где L- контур, охватывающий поверхность S.

Скалярный магнитный потенциал используют в том случае, если

плотность тока исследуемой среды имеет нулевое значение. При этом

первое уравнение Максвелла записывается в виде rot Я = 0 и вектор

Н может быть представлен в виде градиента скалярной величины

Электромагнитное поле в общем случае может содержать оба

компонента - магнитное и электрическое поле и описываться соот-

ветствующими уравнениями. Для решения системы необходимо при

помощи определённых преобразований исключить из неё один из

векторов, сведя таким образом систему уравнений к краевой задаче.

При преобразовании уравнений используются операции векторного

анализа, наиболее распространённые из которых приведены в при-

ложении к работе [16,21].

Ниже представлены преобразования уравнений Максвелла для

ряда задач.

2.1. ИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ

2.1.1. Однородная непроводящая среда

Заданы ц = const; у = 0.

Рассмотрим две задачи.

1. Сторонний ток отсутствует: J

= 0.

Уравнения магнитного поля:

При отсутствии токов поле напряжённости может быть пред-

ставлено в виде градиента скалярной функции

Я = grad

(2.8)

rot Я = 0; div Я = 0.

(2.9)

Я = grad ф

, (2.10)

где ф

- скалярный магнитный потенциал.

Учитывая, что для данного случая

div Я = div—=-div 5=0, (2.11)

ц ц

и используя соотношение (2.8), получим

div grad ф

= 0. (2.12)

Преобразуя полученное выражение по правилам векторного ана-

лиза, получим уравнение Лапласа:

13)

дх

ду

Решая уравнение совместно с заданными граничными условия-

ми, соответствующими условиям краевой задачи, рассчитывается

скалярный магнитный потенциал и компоненты напряжённости маг-

нитного поля.

2. Сторонний ток является функцией пространственных коорди-

нат: J

=f(x,y,z).

rot Я = J

. (2.14)

Для расчёта вихревого поля введём векторный потенциал В = rot А.

Тогда

rot(-rotI) = 7

. (2.15)

При постоянной магнитной проницаемости

rot rot A = mJ

. (2.16)

По правилам векторного анализа

rot rot A = grad div A -

ДА

= \U

. (2.17)

Используя калибровку Кулона div A = 0, получим для векторного

потенциала уравнение Пуассона

ДЛ = -ц7

ст

. (2.18)

Представляя векторный потенциал и плотность стороннего тока

в виде трёх координатных составляющих, проектируя уравнение на

координатные оси, получим систему трёх скалярных уравнений для

каждой составляющей векторного потенциала:

-w. (2.19)

ox ay d

Решение полученной системы совместно с заданными гранич-

ными условиями позволяет определить значения составляющих век-

торного потенциала в функции пространственных координат, а затем

значения координатных составляющих магнитной индукции, исполь-

зуя выражение (2.5).

2.1.2. Неоднородная непроводящая среда

Задана плотность стороннего тока,

JJ.

= /(.*, у, z), у = 0.

Снова рассмотрим две задачи.

1. Сторонний ток отсутствует: J

= 0.

rot Я = 0: div В = 0.

Магнитное поле имеет потенциальный характер и может быть

записано в виде

Я = grad ф

В этом случае

div 5 = div(n/7) = div (ц grad ф

). (2.20)