Беляев Е.Ф., Шулаков Н.В., Дискретно-полевые модели электрических машин, учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Раскрывая это выражение по правилам векторного анализа, по-

лучим

дх

М-

дф

Эх

Ф»

ду\ ду J д z

Ц-

Фм

= 0. (2.21)

V "S У

Решение уравнения с переменными коэффициентами и задан-

ными граничными условиями позволяет рассчитать значения скаляр-

ного магнитного потенциала, а затем составляющие напряжённости

магнитного поля.

2. Сторонний ток является функцией пространственных коорди-

нат: 7

СТ

f(x,y,z).

rot Я = 7

; div В = diу(цЯ) = grad цЯ + jidiv Н= 0. (2.22)

Отсюда

= (2.23)

В данном случае заданы источники вихревого и потенциального

полей и поэтому магнитное поле может быть представлено их супер-

позицией, т.е.

причём

Я = II + Я„,

div Я =0; rot Я =0.

(2.24)

(2.25)

В этом случае вихревую и потенциальную составляющие поля

можно представить в виде

= rot А

; Я

= grad ф

. (2.26)

Подставляя (2.24) в первое уравнение (2.22) и учитывая (2.25),

будем иметь для вихревой составляющей

rot rot А, = grad div А

АА^

= .

(2.27)

Согласно калибровке Кулона div А

= 0. Поэтому в окончатель-

ном виде получим

(2.28)

Проектируя уравнение на координатные оси, получим систему

для составляющих векторного потенциала

эЧ,-

эЧ,

Эх

эг

(2.29)

Второе выражение в (2.22) с учётом (2.26) может быть записано

в виде

div ц(Я

+ Н

) = div(n

•

rot ^) + div(p.

•

grad Ф

) = 0. (2.30)

Откуда

div(jx

•

grad ф

) = -div(jx

•

rot

)

(2.31)

или

дх

дх ) Эу

<4,

Эу

<Рм

= -div(n -rot Д,). (2.32)

Таким образом, решение задачи с известными краевыми усло-

виями сводится к решению системы (2.29), нахождению по получен-

ным значениям А

правой части (2.32) и решению этого уравнения.

Результат решения задачи определяется выражением (2.24).

2.1.3. Однородная проводящая неподвижная среда

Задана плотность стороннего тока, ц = const, у = const,

Лг =f(x,y,z).

Уравнение магнитного поля

т т т

rot

—

rot А = J + J ,

(2.33)

где плотность тока проводимости

7 = + grad ф). (2.34)

Подставляя плотность тока в уравнение магнитного поля и пре-

образовывая полученное выражение, будем иметь

- - ЗА -

grad div

ДА

= -ру——Ь [xygrad

+ . (2.35)

При постоянных ру произведение можно внести под знак grad

и ввести калибровку div А = руф . Тогда уравнение будет иметь вид

-Ты -

ДА-цу = (2.36)

Проектируя уравнение на координатные оси, получим систему

для трёх проекций вектора А в декартовой системе координат

4 Э

Д. Ц

дх

2 +

ду

2 +

дz

2 W

2 +-3-T-

-TT--W—= i

x,y,z, (2.37)

Решив смешанную краевую задачу, определяем векторный

магнитный потенциал A(x,y,z,t), затем div А , скалярный потенци-

ал ф и grad ф.

2.2. АНИЗОТРОПНЫЕ СРЕДЫ

2.2.1. Однородная непроводящая магнитная среда

Магнитная проницаемость, электропроводность, плотность сто-

роннего тока записываются в виде: Д., у = 0, У

ст

f(x,

у, z)

•

Магнитная среда электрических машин чаще всего является ор-

тотропной, которая характеризуется тем, что оси анизотропии совпа-

дают с осями координат, причём проницаемость по двум координа-

там имеет одинаковую величину [22]. Если, например, =ц

= |i

\х

Х2

, то тензор магнитной проницаемости является диагональ-

ным и записывается в виде

(2.38)

д=

Уравнение магнитного поля в этом случае

rot n"'rot /1=0,

где

ц"

- тензор, обратный тензору

ft.

(2.39)

1 1

0 0

И,

(2.40)

Подставляя в (2.38) выражение векторного магнитного потен-

циала

A=T-A

+J-A

+k-A

выполняя математические операции по правилам векторного анализа

и проектируя векторное уравнение на координатные оси, получим систе-

му скалярных уравнений для трёх составляющих векторного потенциала:

1 ЭЧ 1 эЧ

-г-

ду

1 эЧ

1 э Ч

д_

дх

1 ЭА, 1 ЭЛ.

Эх

ду

СТ

(2.41)

1 ЭЛ. 1 ЭЛ.

дх ц dz

= -J

; (2.42)

i эЧ i эЧ э

•+

ду Эг

1 Э^ 1 ЭЛ

Эх

ду

(2.43)

Для решения системы (2.41 >-(2.43) преобразуем выражение в скоб-

ках при втором члене уравнения (2.41) следующим образом:

(

1 си, 1

ц„ ду |± Эг

дАу_

ду

-1

И»

-1

V^ У

№xz

vb У

ЭА ЭА, т

—l —+div А

дz дх

dz dz дх дх

(2.44)

Пользуясь произвольностью выбора div А, используем следую-

щую калибровку:

div

-1

дК

(2.45)

Подставим эту формулу в (2.44) и преобразуем полученное выражение:

1 34 1 ЭЛ. 1

ду ц

dz V

тогда уравнение (2.41) запишем в виде

дх

1 эЧ J_d4 1 эЧ _

" - Л "Ь' _ Л Jr.

Эх

(2.46)

(2.47)

Точно так же преобразуем выражение в скобках при втором чле-

не уравнения (2.43):

/ \

1 дА, 1 дА 1

М-*

дх ду

И*

Г/

дА,

Эу

• +

•1

Эх dz

дА дА

(

дА дА

X X

•С

„ z

Эх Эх Эг Эг

+ div А . (2.48)

Подставляя в (2.48) принятую калибровку и преобразовывая полу-

ченное при этом выражение, будем иметь

1 ЭЛ. 1 ЭА

(

'L —

дх ду

_1 1_

дА

1 ЭА,

Эх ц Эг

(2.49)

В этом случае уравнение (2.43) примет вид

эЧ , 1 эЧ | 1 эЧ

Ц» Эх

ду Ну д;

I 1

ЭА

Эх

(2.50)

Для решения уравнения (2.42) преобразуем выражение в скобках

при втором члене этого уравнения:

1 дЛ

1 ЭА.

—

Эх ц

Эг I Эх Эг ду ду

ЭА ЭД ЭЛ

ЭЛ.

Цх

ЭА,

'Эу

(2.51)

•

+ div А

Подставляя в (2.51) div А, согласно принятой калибровке, получим

1 ЭА 1 ЭА

-J L —

V-n дх ц

Эг

Уравнение (2.42) примет вид

1 эЧ 1 эЧ 1 эЧ

V ^'у

ЭА, 1 ЭА

dz H

ду

(2.52)

Их

ду

С1у

ду

1 1

v 'у

ЭА.

xz У

Эг

(2.53)

Таким образом, решение системы (2.47), (2.50), (2.53) произво-

дится в следующей последовательности:

- с помощью известных значений составляющей плотности тока

J„

и заданных граничных условий, решается уравнение (2.47) и опре-

деляются значения составляющей векторного потенциала А

;

- по найденным значениям составляющей А

и заданной плотно-

сти тока J

, рассчитывается правая часть уравнения (2.50), которое

решается с учётом заданных граничных условий;

- решается уравнение (2.53) с использованием соответствующей

составляющей плотности стороннего тока и найденных значений со-

ставляющей векторного потенциала A

2.2.2. Однородная проводящая магнитная среда

Магнитная проницаемость, электропроводность среды, плот-

ность стороннего тока записываются в виде: Д, у, У

ст

= f(x,y,z),

где магнитная проницаемость и электропроводность среды являются

тензорами второго рода:

(2.54)

0 0

т«

£ =

и,

у =

Уу

0 0 0

т*

Уравнение магнитного поля

rot ц 'rot А = /

ст

+ J,

где J - плотность тока проводимости, определяемая как

ЭА

(2.55)

J=y

+ grad

(р

(2.56)

Подставляя выражение плотности тока проводимости в уравне-

ние (2.55), выполняя математические операции по правилам вектор-

ного анализа и проектируя векторное уравнение на координатные

оси, получим систему скалярных уравнений для трёх составляющих

векторного потенциала:

i э

4 | i эЧ

Эу

ц Э

2 в

Эг Эх

1 ад 1 ЭА

4V ц, эг

-Л-,; (2-57)

1 эЧ 1 эЧ Ч э

• +

-Yv

Эх

" Эг Эу

1 дА. 1 ЭА

•Jcry; (2.58)

ЭА. Э

дх

Hxz

2 к

dt dz

1 ЭЧ.,

ЭЧ

1 ЭА, 1 ЭА

V^v Эх ц

Эу

+ У«Ф

= /

стг

. (2.59)

Для решения записанной системы (2.57)-(2.59) преобразуем

второй член левой части уравнения (2.57) подобно тому, как это де-

лалось выше. В результате преобразования получим

1 ЭА, 1 ЭА

L+ i + у^ф

Эу Ну Эг

Н*

Эу

с \

ik_i

Эх Эх

/ \

V^ У

dz Эх

Эг Эг

(2.60)

Пользуясь произвольностью выбора div А, примем следующую

калибровку:

div А

•

И*

•1

V^-v у

Эг

(2.61)

Подставляя уравнение калибровки (2.61) в (2.60) и преобразовывая

полученное выражение, имеем

1 ЭА 1 ЭА. 1 ( ЭА

Эх

Эу Эг ц

уравнение (2.57) записываем в виде

(2.62)

1 Э

4 ^ 1 эЧ ^ 1 д

•

-I ;г

д А

ду

' d

2 1x1

Эt

(2.63)

Точно так же преобразуем выражение в скобках при втором чле-

не уравнения (2.59):

1 ЭЛ 1 ЭА,

^v дх ду

•

+ ТГ*Ф

_1_

И*

Эу

дА дА дА

дА

ах ox dz dz

(2.64)

Эх Эг

+ divA + ji

Подставляя в (2.64) принятую калибровку и преобразовывая полу-

ченное при этом выражение, имеем

1 ЭА 1 дА

•

М у Эх ду

Y«<P

1 1

ЭА. 1 ЭА

dx р dz

(2.65)

Уравнение (2.59) в этом случае примет вид

1 ЭЧ , 1 ЭЧ , 1 ЭЧ

- +

И, Эх

dy u d

-Ух

э*

стг

Эг

1 1

П.

ЭА.

jr у

Эх

(2.66)

Для решения уравнения (2.58) выразим ф из уравнения калиб-

ровки (2.61):

div А +

Ф = —

lis.

H'jczYJG

-1

Эг

(2.67)

и подставим в выражение при втором члене этого уравнения. После

преобразования получим

1 ЭА 1 ЭА

- + г^- + у

^ dz

дх

-Л

И*

и запишем уравнение (2.58) в виде

/ \

fl-^

Ухг У

ЭА

+ 1-

У ^

' У

<ч

Уу

/ \

fl-^

Ухг У

дх

У XZ у

Эу

У«

ц,

_1_эч

дх

-J.

СТ у

д_

ду

Идг \Ухг

(

И*

Ухг У

эЧ 1 эч

ЭА

Эу

-у,-

? _

Эг

ЭА 1 у„ ЭА

дх Эг

(2.68)

(2.69)

Таким образом, получается совместно решаемая система трёх

уравнений параболического типа. Для её решения необходимо иметь

начальные значения трёх составляющих векторного потенциала и ус-

ловия на границах исследуемой области. Последовательность решения

системы уравнений точно такая же, что и для непроводящей среды.

2.3. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАГНИТНЫЕ СРЕДЫ

Магнитопроиоды электрических машин выполняются из ферро-

магнитных материалов, магнитная проницаемость которых является

функцией магнитной индукции или напряжённости магнитного поля.

Кроме того, кривая намагничивания ферромагнитного материала

вследствие гистерезиса является неоднозначной. Эти факторы в значи-

тельной мере затрудняют решение уравнений магнитного поля. Для

магнитомягких материалов, обладающих узкой петлёй гистерезиса, не-

однозначностью кривой намагничивания можно пренебречь, что не-

сколько упрощает решение задачи. Тем не менее расчёт магнитных по-

лей в ферромагнитных средах всегда связан с решением нелинейных

дифференциальных уравнений, реализуемых итерационными методами.