Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів

Подождите немного. Документ загружается.

221

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

8.1.4. Означення диференціала

Нехай

функція

()



диференційована в інтервалі

(,)ab

(,)



Згідно з означенням похідної функції

fx()



маємо

lim ( )











Зміна величина відрізняється від своєї границі на нескінченно

малу



, тому

fx y fx x x

() ()











 



. (8)

Функція диференційована в точці

, тому вона неперервна в цій

точці

, але тоді при



величини



()





та





бу!

дуть нескінченно малими. Порядок малості цих трьох величин різний:

()





та



мають однаковий порядок малості, а величина





є нескінченно малою вищого порядку малості. Отже, при

() 0fx





перший додаток у правій частині рівності (8) є головною

частиною

приросту функції. Він є лінійним відносно





Означення 5. Головну лінійну частину приросту функції нази&

вають диференціалом цієї функції. Диференціал функції

()



по&

значають

або

()df x

Таким чином,

()dy f x x





Отже, для знаходження диференціала функції

()

x

, що має по!

хідну в точці

, треба помножити значення цієї похідної на приріст

аргумента



або на

()



З рівності

()dy f x dx





(9)

222

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

8.2. Знаходження похідних першого порядку

8.2.1. Основні правила диференціювання

Правила

сформулюємо у вигляді теорем.



Теорема 1. Похідна постійної величини

дорівнює нулю,

тобто





Доведення. Дійсно, нехай

C

, тоді



для будь!якого



в тому числі і при



. Згідно з означенням похідної

lim lim 0

 









що і треба було довести.



Теорема 2. Якщо кожна із функцій

()

,...,

()

(n – скінченне число) диференційована в деякі точці

, то їх

алгебраїчна сума також є диференційованою в цій точці, причо

му похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює такій самій

алгебраїчній сумі їх похідних, тобто



12 2

() () ... () () ()

fx fx fx fx f x



  

...

()





. (10)

Доведення

. Нехай

() ()

fx fx



...

()



і аргумент

одержує приріст



. Тоді

також одержує приріст



()()

xx    

...



()

fx x



() ()

x

...



()



...

 .

одержимо

()





, тобто похідна функції дорівнює відношенню

диференціала

функції до диференціала незалежної змінної.

Диференціали часто застосовують для знаходження наближених

значень

функції.

223

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Згідно з властивостями границі і з тим, що існують похідні

функцій

()

,...,

()

маємо, що



існує, причому

000

lim lim lim

xxx

  











...

lim









Підставивши значення

, одержуємо



() ()

x

...



()





() ()fx fx





...

()





що і треба було довести.

Аналогічно можна довести слідуючі теореми.



Теорема 3. Якщо кожна з функцій

()

та

()

диферен

ційована в точці

, то добуток цих функцій також має похідну

в точці

, причому цю похідну знаходять за формулою



() () () () () ()

ux vx u x vx ux v x







. (11)



Теорема 4. Якщо

()

та

()

мають похідні в точці

()

vx 

, то частка цих функцій також має похідну в точці

яку знаходять за формулою

() () () () ()

() ()

ux u x vx ux v x

vx v x















. (12)



Теорема 5. Якщо

()

u

()





і функції

та



ди

ференційовані функції своїх аргументів, то існує похідна по

складної функції

, причому вона дорівнює добутку похідної

функції

по проміжному аргументу

та похідної функції



по аргументу

, тобто





. (13)

224

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

8.2.2. Похідні основних елементарних функцій



Теорема 1. Якщо

log



(0, 1)aa

, то

log





Доведення

. Нехай

довільна точка із

(

)



. Візьмемо приріст

аргумента

x

і знайдемо приріст функції

aaaa

yxx x

log ( ) log ( ) log log 1

 



     





Тому

aa a

yxx x

xx x x x x

log 1 log 1 log 1







 

 







 







 





Звідси, за допомогою граничного переходу, використовуючи дру!

гу чудову границю, одержимо

lim log lim 1 log

xx x x



 











 













Наслідок. При

ae

, маємо: якщо

x

, то







Теорема 2. Якщо





, де



– довільне дійсне число, тоді









Доведення

. Функція





визначена лише для



для довільних



, тому вона додатня і її можна прологарифмувати, тоді

xln ln





Використовуючи правило диференціювання складної функції,

одержимо

11 1 1

yy y x x

yx x x







 









 

що і треба було довести.

225

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Аналогічно доводять слідуючу теорему.



Теорема 3. Якщо

a

, то







Наслідок. Якщо

e

, то







Теорема 4. Якщо

sinux



, то

cosux





Якщо

cosvx

, то

vxsin





Доведення

. Доведення проведемо, спираючись на означення по!

хідної. Дамо

приріст



, тоді приростом функції буде

sin( ) sin 2sin cos

2sin cos ;

xx x xx

uxxx

   

     











cos( ) cos 2sin sin

2sin sin .

xx x xx

vxxx

   

     





  





Використовуючи першу чудову границю і властивості неперерв!

них функцій, одержимо

00 0

sin

lim lim lim cos cos

xx x

uxx

  









  







xx x

vxx

00 0

sin

lim lim lim sin sin

  









  







що і треба було довести.

226

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»



Теорема 5. Якщо



, то

cos









;

sin











Доведення

. Маємо:

sin

cos



;

cos

ctg

sin



Використовуючи правило диференціювання частки, одержимо

222

(sin ) cos (cos ) sin cos sin 1

(tg )

cos cos cos

xx xx xx

xxx



  



  

(cos)sin (sin)cos 1

(ctg )

sin sin

xxx



  





що і треба було довести.

8.2.3. Диференціювання функцій, заданих неявно та

параметрично

Якщо

функціональна залежність між

та

задана неявно, тоб!

то рівністю

(

)

0Fx



, тоді для знаходження похідної по

функції

треба продиференціювати тотожність

(

())

0Fx



, враховую!

чи, що

залежить від

, а потім розв’язати рівняння, яке одержа!

ли, відносно



Приклад. Знайти



, якщо

20ypx



Розв’язання. Продиференціюємо задане рівняння по

22022

yy p yy p y



 









Використовуючи цей спосіб, знаходять похідні обернених триго!

нометричних функцій, а саме:

якщо

arcsin



, то







;

227

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

якщо

arccos

x

, то









;

якщо

arct

x

, то







;

якщо

arcct



, то









Нехай залежність

від

задана параметрично у вигляді

()















, (14)

де

– параметр.

При зміні

змінюється

та

, а точка з координатами

(

)

рухається по деякій лінії на площині, яка є графіком залежності

від

Якщо

одержить приріст



, то

та

також одержать прирісти

()()

tt t



  



tt t



  

причому при



та



. Тому



lim

lim lim

lim







 





 

 







 



  







 

 



 

Отже, похідну функції, яка задана параметрично, знаходять за

формулою







. (15)

Усі правила та одержані формули знаходження похідних доціль!

но записати у вигляді таблиці і добре запам’ятати тому, що вони часто

використовуються

. Така таблиця є в цьому підручнику (дивись таб!

лицю 5 наприкінці).

228

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

8.2.4. Приклади з економічним змістом



Приклад 1. Для функції витрат підприємства (у гривнях)



0,001 0,3 40 1000Vx x x x

знайти маргінальну вартість як функцію

та обчислити маргінальну

вартість

, коли вироблено

50x 

100x 

та

150x 

одиниці про!

дукції.



Розв’язання. Згідно з пунктами 1.1 та 1.2 цього розділу для

знаходження

маргінальної вартості треба знайти похідну функції

витрат

, тобто



32 2

0,001 0,3 40 1000 3 0,001 0,6 40Vx x x x x x









Одержали функцію маргінальної вартості для довільної кількості

виготовлених одиниць продукції, коли приріст

зростає на дос!

татньо малу величину.

При

50x 

одержимо

 

50 0,003 50 0,6 50 40 7,5 30 40 17,5V





При

100x 

маємо

 

100 0,003 100 0,6 100 40 30 60 40 10V



 

Коли

150x 

, тоді

 

150 0,003 150 0,6 150 40 67,5 90 40 17,5V



 

Отже, можна казати, що вартість виготовлення 51!ої та 151!ої

одиниць

продукції підприємства буде 17 гривень 50 копійок



1x

а вартість 101!ої одиниці буде лише 10 гривень.



Приклад 2. Для функції витрат виробництва

одиниць про!

дукції (у гривнях) вигляду



1000 10 0,1Vx x x

знайти маргі!

нальну вартість та середню вартість виробництва одного виробу

підприємства

229

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної



Розв’язання. Маргінальна вартість виробництва буде



10 0,2Vx x





Середня вартість виготовлення одиниці продукції буде



1000

10 0,1

Vx x



Неважко бачити, що ці величини зовсім різні.



Приклад 3. Визначити маргінальний доход виробництва 300

одиниць виробів, якщо кількість виготовлених виробів знаходиться

за

формулою

1000 100

p

де

– роздрібна вартість одного виробу.



Розв’язання. Спочатку визначимо роздрібну вартість

оди!

ниці виробу як функцію кількості

, виготовлених виробів.

Із заданої рівності

1000 100 100 1000 10 0,01

pp xp x  

Функція доходу буде

  

10 0,01 10 0,01Dx xp x x x x   

Для знаходження маргінального доходу при

300x



треба знай!

ти значення





при

300x



. Шляхом диференціювання функції

D(x) одержимо



10 0,02





Отже, маємо



300 10 0,02 300 10 6 4D



  



Приклад 4. Підприємство виготовляє

виробів, роздрібна

вартість

кожного з них –

, причому

0,1 80

x

а функція витрат



5000 20Vx x

(у гривнях).

230

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Знайти маргінальний прибуток, якщо виготовлено та продано 150

і 400 виробів.



Розв’язання. У даному випадку функцією доходу буде

  

80 0,1 80 0,1Dx x p x x x x   

Прибуток від виготовлення та продажу

виробів буде

    

80 0,1 5000 20 60 0,1 5000Px Dx Vx x x x x x 

Знайдемо маргінальний прибуток для довільного



60 0,1 5000 60 0,2Px x x x



 

Тому для

150x 

та

400x



одержимо:



150 60 0,2 150 30,

400 60 0,2 400 20.



  



  

Отже підприємство буде мати збитки розміром 20 гривень за

кожний

виріб, який буде виготовлено та продано при зростанні

кількості

виробів.



Приклад 5. (Прибуток та реклама). Мале підприємство

може

виготовити та продати кожну одиницю виробу з прибутком 10

гривень. Якщо підприємство витрачає

гривень на рекламу виробів,

тоді кількість проданих виробів дорівнює



0,001 1

1000 1 10





Знайти швидкість зміни прибутку, відносно зміни витрат на рек!

ламу при

1000x



та

3000x





Розв’язання. Оскільки кожен виріб дає 10 гривен прибутку,

тому задана кількість проданих виробів дає прибуток



0,001

10000 1

Pex





з урахуванням витрат на рекламу.

Швидкість змін прибутку відносно зміни витрат на рекламу знайде!

мо шляхом диференціювання



0,001 0,001 0,001

10000 1 10000 0,001 1 10 1

xxx

Pe e e





       