Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів
Подождите немного. Документ загружается.
431
Відповіді до вправ
b) при
1
4x
функція неперервна, при
2
3x
має розрив,
1
3
30
lim 6 0;
x
x
1
3
30
lim 6 ;
x
x
c) при
1
7x
функція неперервна, при
2
5x
має розрив,
1
5
50
lim 7 0;
x
x
1
5
50
lim 7 ;
x
x
d) при
1
8x
функція неперервна, при
2
9x
має розрив,
1
9
90
lim 10 0;
x
x
1
9
90
lim 10 ;
x
x
e) при
1
3x
функція неперервна, при
2
1x
має розрив,
1
1
10
lim 4 0;
x
x
1
1
10
lim 4 ;
x
x
f) при
1
4x
функція неперервна, при
2
2x
має розрив,
1
2
20
lim 8 0;
x
x
1
2
20
lim 8
x
x
.
7. a)
745;
V
середнє значення 28,1; b) середнє значення дохо!
ду на одиницю приросту виробів – 940 гривень.
Розділ 7.7
1. a)
,1,;
xN
b)
,1 ,xN
.
2. a)
3
;
2
b)
.
Частина 8
Розділ 8.2
1. a)
32
433;xx
b)
2
2
15
32 ;y
y
c)
2
31;x
432
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
d)
2
2
10 35
;
5
tt
t
e)
1
2
2
62 1;xx
f)
3
2
2
1;x
g)
2
2;
x
xxe
h)
2
21
1
1
x
x
x
.
2. a)
2
2
2
;
cos 1 tg
dx
xx
b)
2
6sin 2 cos2 ;xxdx
c)
cos
ln3 sin 3 ;
x
x
dx
d)
2
3
3
2
;
3
sin2
dx
x
x
e)
sin sin
21cos;
xx
eexdx
f)
4
6
;
1
x
dx
x
g)
2
2
arcsin 2 .
14
x
xdx
x
3. a)
1
;
2
b)
2
;
3
c)
1;
d)
2
1
.
2
e
4. a)
sin sin
;
cos cos
y
xy
x
xy
b)
2
;
2
xy
xy
xye
ex y
c)
2
;
1
y
xy
xxy
d)
ln
;
ln
y
xx yy
xy xxy
e)
ctg
;
tg 1
t
t
f)
sin2
;
2 1 cos
t
t
g)
2
4
38
;
52
t
t
h)
3
2tg .t
5. a)
2000 ;x
b)
2
160000 160 0,06 ;
x
x
c)
50 35,V
100 90,
V
120 120,4.
V
433
Відповіді до вправ
Розділ 8.3
a)
42
15 21 8 ;
y
xxx
3
60 42 8;yxx
2
180 42;yx
4
360 ;
y
x
5
360;
y
0, 6;
n
yn
b)
3
22
23 1 1 ;xx
c)
1;
x
x
e
d)
2
30 0,2 0,006 ;
Vx x x
0,2 0,012 .
Vx x
Розділ 8.5
1. a)
,1 – інтервал спадання,
1,
– інтервал зростання.
min
14;
yf
b) інтервали спадання:
,2, 2, ,
екст!
ремума немає; c) інтервали спадання:
,2
та
0,3 ,
інтервали
зростання:
2, 0
та
3, ,
min
29;
yf
min
1
315;
4
yf
max
07;
yf
d) інтервал спадання
1
0, ,
2
інтервал зростання
1
,,
2
min
11
ln2;
22
yf
e) інтервали спа!
дання
,0
та
6, 12 ,
інтервали зростання (0,6) та
12, ,
min
00;
yf
min
12 0;
yf
max
61296;
yf
f) інтервали
зростання
,1
та
1, ,
інтервал спадання
1,1 ,
min
12;
yf
max
16
yf
.
2. a) вертикальна асимптота
3;
x
похила;
3;
y
x
b) горизонтальна асимптота
0;
y
c) вертикальна асимптота
1,
x
похила асимптота
1
.
2
y
x
434
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
3. a) інтервал опуклості
,3,
угнутості
3, ,
точка пе!
регину
3
x
.
b) інтервал опуклості
5
,,
3
угнутості
5
,,
3
.
5250
;
327
пер
yf
c) інтервал опуклості
,1 ,
угнутості
1, ,
.
12.
пер
yf
4. a)
4,4
min 148,y
4,4
max 52;y
b)
1,5
min 6,y
1,5
max 266;y
c)
5,5
1
min ,
38
fx
5,5
1
max ;
2
fx
d)
3,7
min 0,fx
3,7
1
max ;
2
fx
e)
3,7
min 0,4,y
3,7
1
max ;
30
y
f)
4,6
1
min ,
2
y
4,6
1
max .
22
y
5. a)
2
1
;
P
r
hP
b)
2;
h
r
c) 0,3; d)
Vx
зростає для усіх
,
x
доход
зростає при
50x
та спадає при
50;
x
прибуток зростає при
40x
і спадає при
40.x
Розділ 8.6
a)
36
,
17
18
%; b)
500
1,
x
похідна доходу
2500.
p
Dx
Розділ 8.7
5. a)
1
;
2
b)
0;
c)
;
d)
;
e)
0;
f)
1
.
3
435
Відповіді до вправ
Частина 9
Розділ 9.1
1. a)
0
36,fM
1
54;
fM
b)
11
,,1 1,
22
f
11
,,1 0;
22
f
c)
2,1 2,
f
2, 1,
fe
3
0, 3;fe
d)
1, 2 0,
f
1
6,
fM
2
fM
.
2. a)
22
16;xy
b)
0, 0;xy
c)
22
1;
94
xy
d)
0, ;
y
xy
e)
3
,, ;xyz E f)
,
x
yx y
.
4. a)
2;
b)
1
;
2
c)
1;
d)
;
e)
;e
f)
.
5. a)
;xy
b)
2
2;
y
x
c)
0
1, 1M
.
Розділи 9.2 – 9.5
1. a)
2
0, 2 1
xx xy
zz y
,
3
41;
yy
zxy
b)
13
22 222
22
,
xx
zxy xxy
3
22
2
,
xy
zxyxy
13
22 222
22
;
yy
zxy yxy
c)
4,
xx
z
y
4,
xy
zx
6;
yy
z
d)
30 ,
xx
z
x
0,
xy
z
2
36 ;
yy
zy
e)
22
,
xx
zyx
12
,
xy
y
z
y
x
2
2ln ;
yy
z
x
y
x
436
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
f)
23
4,
x
y
xx
ze
23
6,
xy
xy
ze
23
9;
xy
yy
ze
g)
3
180 3 2 ,
xx
zx
y
3
120 3 2 ,
xy
zx
y
3
80 3 2 .
yy
zx
y
2. a)
24
180 ,
yxx
z
x
y
4
32
3
720 ;
z
xy
xy
b)
2
22
21 2 1 2 ,
x
y
xyy
zxye
2
22
42 .
x
y
xxy
zyxe
3. a)
0
31
,
4
u
M
l
0
11
g
rad ;
22
uM i
j
b)
0
6,
z
M
l
g
rad 12 ;
0
zM
j
c)
0
3
33,
2
u
M
l
0
grad 9 3 ;uM i j
d)
0
6123 2,
u
M
l
0
grad 12 24 .uM i i k
4. a)
2
1
;
xx
yy
x
dz e dx e dy
yy
b)
2
222;dz y z dx x z dy y xz dz
c)
682;du xdx ydy zdz
d)
110 210 ;
dw x dx
y
d
y
e)
22 22
94
;
11
94 94
xy
dz dx dy
xy xy
f)
22
2
;
44
y
dw dx dy
yx yx
437
Відповіді до вправ
g)
22
2
.
4
du xdy ydy
xy
5. a)
min
4,1 1;
zz
b)
2
max
4, 2 8 ;
z
ze
c)
1
min
2,0 2 ;
z
ze
d)
min
4,2 6;
zz
e)
min
1, 1 1;
zz
f)
min
1, 1 2;
zz
g)
min
24
0, ,
33
zz
в точці
1
2
2,
3
M
екстремум не існує;
h)
min
2,1 28,
zz
max
2, 1 28,
zz
в точках
3
1, 2
M
та
4
1, 2
M
функція не має екстремумів.
6. a)
min max
2,2 4, 2, 2 4;
zz zz
b)
min
1, 1 2;
zz
c)
min
33 19
,;
22 4
zz
d)
min
1
,0 0,
4
zz
max
11 1
,;
33 27
zz
e)
min
4, 2,4 18,
uu
max
4,2, 4 18.
uu
7. a)
max 0,1 3,
D
zz
min 0,0 1;
D
zz
b)
21 23
max , ,
39
3
D
zz
21 23
min , .
39
3
D
zz
8. a)
3
9;
5
yx
b)
0,8 1,27;
y
x
c)
0,7 1;
y
x
d)
0,8 1.
y
x
9. a)
40 ,
r
Vrh
40 ;
h
Vr
b)
1
3
,
T
y
CV
0
1
3
,
T
y
CV
2
3
0
;
3
V
C
yTTV
438
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Частина 10
Розділ 10.4
1. a)
53cos2sin ,xxxC
b)
2
32
3
45 2
3ln ;
32 3
xx x xC
c)
17
53
4124
424 4
;
517 3
xxxC
d)
23
8;
ln2 ln3
xx
x
eC
e)
arctg ;
3
x
x
e
f)
2
1
ln3 ln ;
2ln2
x
xC
g)
32
32lnxxx xC
.
2. a)
31
1
;
3
x
e
b)
cos2
;
2
x
c)
46
12
;
4ln2
x
C
d)
1
3
35 ;
x
C
e)
131
arctg ;
62
x
C
f)
1
ln 7 1
7
xC
.
c)
:,
A
A
A
P
A
A
X
X
PP
:;
B
A
A
P
B
B
X
X
P
P
d) A та B конкурентні тому, що
0,
A
B
X
P
0;
B
A
X
P
e)
1,
aa
x
PC aKx
11
.
aa
K
PCx aK
10. a)
50,
x
75;
y
b)
0,
x
35;
y
c)
109
,
2
x
53,
y
.
3 896 250
опт
V
гривень;
d)
1
20,p
2
50,p
.
700 000
опт
P
гривень;
e)
4,
x
4,
y
.
44 000
опт
P
гривень.
11. a)
12 4800;
y
x
b)
2,5 22;
y
x
c)
2
0,001 0,1 2,5.
yxx
439
Відповіді до вправ
3. a)
3
sin
;
3
x
C
b)
2
ln 6 ;
x
xC
c)
1
;
ln
C
x
d)
3
2
73
;
3
xx
C
e)
2
2
1
;
231
C
xx
f)
1
;
2
x
eC
g)
2
1
ln 2
2
xC
.
4. a)
sin2 1
cos2 ;
24
xx
x
C
b)
22
ln ;
24
xx
x
C
c)
2
33
;
ln3 ln 3
xx
x
C
d)
1;
x
ex C
e)
3cos 9sin ;
33
xx
xC
f)
2
22;
x
ex x
g)
2
1
arctg arctg
222
xx
x
xC
.
5. a)
13
ln ;
74
x
C
x
b)
21
ln ;
x
C
x
c)
17
3
7
1
2
6
3
ln ;
2
x
C
xx
d)
22
2
1
ln ;
xa
C
ax
g)
5
8
33
2
1
6
12
ln 4
3
21
xx
x
x
xC
x
.
6. a)
2
80 0,02 ,Dx x x
80 0,02 ;
p
x
4
31
44
e
;
b)
2
100 0,02 ,Vx x x
4
1000 12 10 ;
V
440
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Частина 11
Розділ 11.6
1. a)
0;
b)
12;
c)
13
;
2
d)
2ln2;
e)
3
;
2
f)
15
ln ;
22
g)
1
12 ;e
h)
4
31
44
e
.
2. a) 9; b) 3; c)
7
;
8
d) 2.
3. a)
13
;
6
b)
1
;
3
c)
4
;
3
e
d)
8
;
3
e)
1
;
12
f)
614
3
.
4. a) 0,8862; b) 0,88.
5. a)
11
ln 1,299;
3
b)
0,89
.
6. a)
2
ln
;
1
x
ex
x
b)
0
.
7. a)
4,8%,
19
;
60
L
b)
4,96%
;
0,313
.
8. a) 9 років, 36 млн. гривень; b) 8 років; 16 млн. гривень.
9. a)
1
61,47,P
2
66,42.P
Друга стратегія краще.
b)
1
5,976,P
2
7,535.P
Друга стратегія краще.
c)
2
6 0,015 420;
Dx x x
125 95625D
гривень;
d)
3
2
2
360
143141;
3000
x
Vx
e)
2
360;
4
t
Vt t
3
2
3
60 .
212
t
St t t