Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів
Подождите немного. Документ загружается.
411
Додатки
Інтеграли, що містять
22
ax
28.
22
22
xdx
ax
ax
.
29.
22
22
1
ln
dx a a x
ax
xa x
.
30.
3
2
22
22
2
1dx x
a
ax
ax
.
31.
33
22 22
22
22
22 2 3
ln
3
ax ax
aax
dx a a x a
xx
.
32.
2
3
22 22 2 22
2
1
1
22
nn
an
n
xa xdx a x x a xdx
nn
,
2n
.
Інтеграли, що містять
2
ax bx c
33.
2
2
22
12 4
ln ,
42 4
dx ax b b ac
ax bx c
bac axbbac
2
40bac
.
Інтеграли, що містять показникові та логарифмічні функції
34.
1
ax ax
edx e
a
.
35.
ln
x
x
a
adx
a
.
412
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
36.
2
1
1
ax
ax
xe dx ax e
a
.
37.
ln lnxdx x x x
.
38.
22
ln ln
24
x
x
xxdx x
.
39.
ln ln
ln
dx
x
xx
.
40.
1
ln ln ln
nnn
xdx x x n xdx
.
41.
11
1
ln ln ln ,
1
mn m n m n
xxdx x xnx xdx
m
1m
.
42.
1
ln
1
ln
1
n
n
x
dx x
x
n
.
43.
1
1
nax nax nax
n
xedx xe xedx
aa
.
44.
1
ln ,
ax
ax
dx
ax b ce
bce ab
0ab
.
413
Додатки
Зразок контрольної роботи з частин 4–6
Номер варіанта –
k
.
Завдання 1. Знайти матрицю, обернену заданій матриці:
a)
184
523
746
kkk
Ak k k
kkk
;b)
12
153
154
kk k
Ak k k
kkk
.
Завдання 2. Розв’язати задану систему рівнянь методом Гауcса!
Жордана:
a)
1234
1234
1234
0
32
23 2 4
xxxx
xk xxx k
xxxx
; b)
12 3 4
12 34
1234
11
2
0
xx k xkx
xx xx k
kx x x x
.
Завдання 3. Некомпланарні вектори
,,abc
утворюють базис.
Відомі розклади векторів
,,lmn
у цьому базисі:
a)
;lkabc
2;makbc
83nabc
.
b)
4;lab
;mabkc
nakbc
.
При яких
k
вектори
,,lmn
утворюють базис? При яких вони
компланарні?
Завдання 4. Скласти рівняння будь!якої висоти трикутника з
вершинами A, B та C і знайти її довжину.
a)
0, ;
A
k
1, 3 ;
B
k
5,2 .Ck
b)
,1;Ak
1, 3 ;Bk
5,2 .Ck
414
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Зразок контрольної роботи з частин 9–11
a) Завдання для непарних варіантів
b) Завдання для парних варіантів
Варіанти
Завдання
1 3 5 7
1. Знайти
мішану час!
тину похід!
ну другого
порядку в
точці
0
M
2
3
12;zx y
0
1, 1M
2
2
8;
zxy
yx
0
2,2M
32
33
6
;
zxy
yx
0
1
1,
2
M
2
223
1z
xy
0
2,1M
2. Знайти
інтеграл
методом
інтегрування
частинами
2
sin
xdx
x
ln
2
x
xdx
2x
xe dx
ln3xdx
3. Дослідити
невласний
інтеграл та
обчислити
його у випа!
дку збіжності
3
ln
e
dx
xx
ln
e
dx
xx
3
0
x
edx
4
1
3
dx
x
Варіанти
Завдання
2 4 6 8
1. Знайти
повний ди!
ференціал
функції
U
Uxy
yz zx
y
z
Ux
sin
y
Uxez
2
2
z
Uxy
2. Знайти
інтеграл ме!
тодом заміни
змінної (під!
становки)
1xx dx
2
4
xdx
x
1
dx
x
2
2
1 x
dx
x
3. Обчислити
площу облас!
ті, обмеженої
заданими
лініями
2
4;yx
2
4xy
2
2;
4;
0
yx
yx
y
4
;0
1; 5
yy
x
xx
2
9;
21
yx
yx
415
Додатки
Зразок завдань для індивідуальної семестрової
роботи з частин 9–13
Модуль 1
1. Знайти найбільше та найменше значення функції у замкненій
області, обмеженої заданими лініями:
a)
22
4
z
xxyy x
,
D
– трикутник:
0x
,
0
y
,
23120
xy
;
b)
33
861
z
xyxy
,
D
– прямокутник:
01
y
,
0x
,
2x
;
c)
22
z
xyxyxy
,
D
– трикутник:
0x
,
0
y
,
3
xy
;
d)
22
3
z
xyxy
,
D
– трикутник:
1x
,
1
y
,
1
xy
;
e)
33
3
z
xy xy
,
D
– прямокутник:
02x
,
03
y
;
f)
22
2461
z
xyxyx
,
D
– трикутник:
0x
,
0
y
,
3
xy
;
g)
2
z
x
y
x
y
,
D
– прямокутник:
03x
,
04
y
;
h)
2
1
2
zxxy
,
D
– обмежена параболою
2
1
3
y
x
та прямою
3
y
;
i)
2
z
x
y
x
y
,
D
– квадрат:
04x
,
04
y
;
j)
2
248
z
xxyxy
,
D
– прямокутник:
0x
,
0
y
,
1x
,
2
y
.
2. Знайти умовні екстремуми заданої функції
,zfxy
з об!
меженням
,0xy
:
a) для парних
:
N
2
32zNxy
при
20
xy
N
;
416
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Модуль ІІ
3. Обчислити інтеграли або довести їх розбіжність:
a) для парних
:
N
0
;
x
N
xe dx
b) для непарних
:
N
0
sin .
x
xdx
N
4. Знайти площу області, обмеженої заданими лініями:
a) для парних
:
N
параболою
2
4
y
x
та локоном Аньєзі
4
2
2
81
41
N
y
xN
(див. мал. 1);
b) для непарних
:
N
параболами
2
1
y
Nx
та
2
41
x
y
N
.
b) для непарних
:
N
22
4zx y xyxy
при
30
xy
N
N
.
0
X
Y
D
4y = x
2
4
22
8( 1)
4( 1)
N
y
xN
B
A
Мал. 1.
417
Додатки
Модуль ІІІ
5) Розв’язати задачу.
a) Для парних
:
N
За законом Ньютона швидкість охолодження тіла пропорційна
різниці температур тіла та навколишнього середовища. Температура
витягнутого з печі хліба за 20 хвилин спадає з
100
до
60
N
.
Температура в хлібопекарні дорівнює
25
N
. За який час хліб
охолоне до температури
30 ?N
b) Для непарних
.
N
Швидкість розпаду радія пропорційна кількість радія, що не роз!
пався. У момент аварії на Чорнобильській АЕС випало
0
q
тонн ра!
дія. Відомо, що за 1600 років розпадається половина первинної
кількості радія.
Визначити: 1) через скільки років кількість радія, що не розпав!
ся, буде складати 80% первинної кількості? 2) який відсоток радія
не розпадеться через 300 років?
6. Знайти наближене значення інтеграла з точністю 0,001.
a) для парних
:
N
0
sin
b
kx
Jdx
x
,
0,2 0,bN
,
1
k
b
;
b) для непарних
:
N
2
0
b
kx
Jedx
,
0,3 0,bN
,
1
10
k
b
.
418
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
15. Відповіді до вправ
Частина 1
1. Висловлення
2410
,
2
525
істинні, а висловлення
52,
11 3 18 ,
3
6 216
– хибні.
2.
М
{257 – непарне число};
Q
{число
2
не є раціональним};
R
{число 7 не додатне}; S
{число 5 невід’ємне}.
3.
С
{27 ділиться на 2};
D
{існує (хоча б одне парне просте
число};
Е
57 35
.
4.
А
{15 не ділиться на 3};
В
{5 – число 7 не додатне};
С
37
.
5. (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3) (5, 1), (5, 2), (6, 1).
6. Якщо на множині усіх простих дробів задано невизначене вис!
ловлення В
1
{число
x
виражається скінченним десятковим дробом},
тоді висловлення
x
В
1
(х)
x
(
В
1
(х)) означає: не усякий про!
стий дріб виражається скінченним десятковим дробом, тобто існує
простий дріб, який не виражається скінченним десятковим дробом.
7.
A
B
{якщо натуральне число ділиться на 9, тоді сума цифр
числа
a
ділиться на 3};
B
A
{якщо сума цифр натурального числа
a
ділиться на 3, тоді число
a
ділиться на 9}. Обернена теорема хибна.
9. Обидві теореми вірні, тобто вірна теорема: Для того, щоб піра&
міда
P
була правильною, необхідно і достатньо, щоб усі сторони ос&
нови цієї піраміди були рівні між собою та усі бокові ребра цієї піра&
міди були рівні між собою.
10. (
A(x))
(
B(x))
(
A(x))
(
B(x))
{
x
не ділиться на 6}.
419
Відповіді до вправ
Частина 2
Розділ 2.1
1. 77; 61; 24; 0; 11.
2.
66a
;
99
b
;
11
22
c
.
3. 24; 36; 40. 4. 630; 600; 280. 5. 24,12 км. 6. 831,6. 7. 8350.
8. 366 км. 9. 15 підвод.
10. а) зросте у 7 разів; b) зменшиться у 5 разів; c) зменшиться у
5 разів; d) зросте у 8 разів.
Розділ 2.2
1. a)
3 +10 +6;
ab
b)
53;ab
c)
32
735;ttt
d)
32;
xy
e)
93.
xy
2. a)
21;
xx
b)
69;
xx
c)
22 3;
xx
d)
23 1;
xx
e)
23 2.
tutu
3. a)
2
;
21 1
x
xx
b)
2
;
123xxx
c)
2
12 1
;
1
xx
x
d)
12
.
25
xx
xx
Розділ 2.3
1. a) 1; b) –2; c) 4; d) –1; e) –10.
2. a) 3; b)
4
;
3
c) 2; d) 1; e)
3; 2.
3. a) 1, інші корені не дійсні; b)
12
4
,;
3
ab
xxa
c) 0; d)
22.
4. a) 2 та –1; b) 0; c) 2; d) 0, –1; e) 1,5; f) 13; g) 0,5.
420
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Розділ 2.4
1. a)
2;
x
b)
7
;
5
y
c)
13;
t
d)
25;x
e) 3; f) не має
розв’язків; g) (0,1); h)
1, 4 .
2. a) 5000; b) 60 одиниць; c)
240,x
найбільша кількість – 240.
Розділ 2.5
1.
5
5!;P
2.
3
7
;A
3. 12; 4. 21; 5. 210.
Частина 3
Розділи 3.2 та 3.3
1. a) 108; b) 8, 10, 12 або 17, 10,3. 2. a) 25; b) 4, 10, 16 або 16, 10, 4.
3. a) 4; b) !6, 6, 18 або 10, 6, 2. 4. a) 25, b) 2, 7, 12, 17. 5. a) 30; b) 62.
6. a) 22 місяці; b) 201 гривня. 7. a) 30; b) 241 гривня.
8. a)
4
10000 ;
5
n
b) 6 років.
9. a)
11
1, 0 8 1
1000 ;
1, 08 1
b) 16 645 гривень.
Розділ 3.4
1. Розв’язки треба знаходити за формулою
n
i
SPs
з викорис!
танням даних таблиці 1.
2. Розв’язки треба знаходити за формулою
n
i
A
Pa
з викорис!
танням даних таблиці 1.
3. Розв’язки треба знаходити за формулою
n
i
A
P
a
з викорис!
танням даних таблиці 1.