Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів

Подождите немного. Документ загружается.

391

Частина 13. Числові та степеневі ряди

 

1 22 2 24 36 1 22

12 122 2 12

nn nn

xxxx x





 



    







Розв’язання.

За формулою (22) знайдемо радіус збіжності заданого степе!

невого ряду:

11 1 1

lim lim : lim lim 1 1

nn nn

annnn

   



 

 

 



 

Отже, інтервалом збіжності ряду а) буде



1,1

. Розглянемо

збіжність

ряду на кінцях інтервалу збіжності.

При

1x 

одержимо ряд а)













. Цей знакопочережний

ряд

абсолютно не збігається (гармонічний ряд), але за ознакою Лей!

бніца він збігається неабсолютно.

При

1x 

маємо ряд

11 1

23 n

    



який розбігається. Отже, областю збіжності ряду а) є проміжок

(

1, 1

]



У випадку b) степеневий ряд не містить усіх степенів

, тому

його

радіус збіжності

не можна знаходити за формулами (22),

(23).

Застосуємо до ряду, складеному з абсолютних величин ряду b),

ознаку Даламбера

122

lim lim lim2 2

nn n

Dxx





  



 



При

1D 

ряд збігається, тобто він збігається, коли

xx x









392

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

13.2.2. Розклад функції у степеневий ряд

Якщо

степеневий ряд збігається в інтервалі



,RR

, то його су!

мою буде деяка функція

, тобто



x



,xRR

Часто треба розв’язувати обернену задачу: знайти степеневий ряд,

сума якого дорівнює заданій



при



,xRR

Цю задачу розв’язують з використанням такої теореми.



Теорема 5. Якщо в деякому інтервалі, що містить точку

a

, функція



має похідні будьякого порядку, які задо

вольняють умовам



fxMM

для усіх

із цього інтер

валу та будьякого

, то функція



для усіх

із цього інтер

валу розкладається у степеневий ряд вигляду

 



1! 2! !

fa fa f a

fx fa xa xa xa



   

(24)

Степеневий ряд (24) по степенях



xa

називають рядом Тей

лора функції



. При

0a 

одержуємо степеневий ряд по степе!

нях

вигляду:

 



00 0

1! 2! !

ff f

fx f x x x



   



(25)

Цей ряд називають рядом Маклорена функції



У формулах (24) та (25) замість

можна записати змінну

яка може бути функцією

або незалежною змінною.

Отже, ряд b) збігається в інтервалі









, а на кінцях інтер!

валу розбігається.

393

Частина 13. Числові та степеневі ряди

Згідно з цією теоремою знаходять розклад у степеневий ряд за!

даної функції та інтервал збіжності.

Вкажемо розклад у ряд Маклорена функцій, що використовують!

ся найчастіше:



1,,

1! 2! !

uu u

     



(26)



11,1

uu u u

     





(27)

  

ln 1 1 , 1,1

12 3

uu u u



     



(28)



35 21

sin 1 , ,

1! 3! 5! 2 1 !

uu u u



    





(29)



24 2

cos 1 1 , ,

2! 4! 2 !

uu u

     



(З0)



35 21

arctg 1 , 1

35 21

uu u



     





(31)



 

111

11 ,1

2! !

mm mm m n

umu u uu



   





(32)

Саме ці формули використовують для одержання таблиць набли!

жених значень відповідної функції.



Приклад 8. Розкласти у ряд Маклорена функцію









Розв’язання. Коли



,x 

змінна





2,0ux  

Розклад функції

у ряд Маклорена має місце для



,u

отже і для





,0u

. Тому можна підставити у формулу (26)

замість

його значення



2x

і одержати розклад вигляду

394

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»



11,,

1! 2! !



     

Після спрощення одержимо ряд Маклорена вигляду

 

224 2

12 2 1 , ,

exx xx



     

. (33)

В багатьох випадках доцільно використовувати слідуючи власти!

вості збіжних степеневих рядів.



Теорема 6. Сума збіжного степеневого ряду







непе

рервна функція

всередині інтервалу збіжності.



Теорема 7. При почленному інтегруванні чи диференцію

ванні збіжного степеневого ряду його радіус збіжності не

змінюється.

За

допомогою почленного інтегрування та диференціювання іноді

вдається

звести заданий ряд до відомого ряду і тим самим знайти

його

суму.



Приклад 9. Знайти суму ряду



23 1

34 5 1

1! 2! 3! 1 !

xx x x





   







Розв’язання. Радіусом збіжності цього ряду буде



 



1! 1

lim lim lim

1! 2 2

nn n

nn nn

ann n

  





  

 

Отже, заданий ряд збігається в інтервалі



, 

і в цьому інтер!

валі його сума



неперервна. Згідно з властивістю неперервних

функцій



xS x

також неперервна функція в інтервалі



, 

Проінтегруємо добуток



xS x

і одержимо:

395

Частина 13. Числові та степеневі ряди



345 1

1! 2! 5! 1 !

xxx x

xS x dx x



  









23 1

1! 2! 3! 1 !

xx x x

xxe





 









Вираз у дужках дорівнює

згідно формули (26). Звідси, дифе!

ренціюванням інтеграла по верхній межі, одержимо:



xxxx

S x xe xe xe xe x





Отже, маємо:

  

Sx xe

тобто знайшли суму заданого степеневого ряду.

13.2.3. Наближені значення функції та визначеного інтеграла

Розклад

функцій у ряд Тейлора або ряд Маклорена використо!

вується для знаходження наближеного значення функції, визначе!

ного інтеграла, розв’язування диференційних рівнянь.

Для наближеного обчислення значення функції



в точці

діють так:

розкладають



у степеневий ряд;

підставляють у розклад замість

число

і одержують



, як суму числового ряду;

залишають у розкладі перші

членів, а інші відкидають, тоб!

то одержують наближене значення



fx S

де

— часткова сума

членів числового ряду;

396

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

4) оцінюють похибку знайденого наближеного числового значен!

ня



. Якщо числовий ряд знакопостійний, тоді ряд, складений з

відкинутих

членів, порівнюють з рядом збіжної геометричної про!

гресії. У випадку знакопочережного числового ряду застосовують

ознаку

Лейбніца, за якою абсолютна величина похибки буде менше

абсолютної

величини першого відкинутого члена ряду, тобто

1nn







Приклад 10. Обчислити



ln 1,6

використовуючи три члена

розкладу

функції у степеневий ряд.



Розв’язання. Згідно з розкладом (28) маємо:

  

ln 1 1 , 1,1

xx x



    

У нашому випадку



0,6 1,1x 

, тому можна підставити у роз!

клад замість

число 0,6 і одержати знакопочережний числовий ряд



0,6 0,6 0,6

ln 1,6 0,6 1



    



Обмежуючись трьома членами розкладу за умовою прикладу

одержимо



0,6 0,6

ln 1,6 0,6 0,6 1 0,3 0,12 0,492

    

Абсолютна величина похибки оцінюється так:



0,6

0,1296

0,0324

R  

Для знаходження наближеного значення визначеного інтеграла

діють

так:

розкладають підінтегральну функцію



у степеневий ряд;

397

Частина 13. Числові та степеневі ряди

2) використовуючи властивість збіжного степеневого ряду в ме!

жах інтервалу інтегрування, інтегрують степеневий ряд почленно і

одержують

рівність заданого інтеграла збіжному числовому ряду;

замінюючи суму ряду частковою сумою, одержують наближе!

не значення заданого визначеного інтеграла і оцінюють величину

похибки



Приклад 11. Знайти наближене значення інтеграла

edx







Розв’язання. Розклад підінтегральної функції одержали у при!

кладі 8 (див. формулу (33)).

Інтервал інтегрування









належить області збіжності



, 

степеневого ряду, тому мають місце рівності:



224 2

12 2 1

edx x x x dx





  











35 21

22 2

35 !21

xx x







  











35 21

121 21 2 1

232 52 !2 12





       







24 1

11 1 1

232 52 !2 12





     

 



Якщо обмежитись двома членами розкладу, то одержимо:

0,416

212

edx



 



Абсолютна величина похибки буде

398

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

13.2.4. Питання для самоперевірки

1. Як визначають радіус, інтервал та область збіжності степенево!

го раду?

Який вигляд мають розклади функцій у ряд Тейлора та ряд

Маклорена

Який порядок дій доцільно застосовувати при знаходженні на!

ближеного значення функції, визначеного інтеграла?

Як можна оцінити похибку наближеного обчислення значення

функції

або визначеного інтеграла?

13.2.5. Вправи

1. Знайти область збіжності ряду:







; b)









; c)







; d)











;







; f)







0,0125

52 80

R 



При необхідності більшої точності можна брати часткову суму

більшої

кількості членів ряду.

Якщо, наприклад, взяти три члена розкладу інтеграла, то одер!

жимо:

11 1

0,4209

21280

edx



  



111

0,00015

4!92 24932 6912

R  

 

399

Частина 13. Числові та степеневі ряди

2. Знайти суму степеневого ряду, використовуючи почленне ди!

ференціювання та інтегрування:







; b)















; c)











;











; e)











Розкласти функцію у степеневий рад та знайти інтервал

збіжності

розкладу:



fx xe





; b)



fx e

; c)



cos2

xx

;



cos

xx

; e)



sin

fx

; f)



ln 1









;



ln 1 2











Обмежуючись двома першими членами розкладу функції у ряд

Маклорена

знайти наближені значення та оцінити похибку:

sin18

; b)

cos9

; c)



ln 1,5

; d)



ln 1,1

; e)

0,1

; f)

arct

0,1

400

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

14. Додатки

Відсотки рахунків накопичення











та ренти

















Таблиця 1

= 0,5% = 0,005

= 1% = 0,01



i



i

1 1,005 0,99502 1,0 1 1,01 0.990099 1,0

2 1,0010025 1,98509 2,005 2 1,0201 1,970395 2,01

3 1,015075 2,97024 3,015025 3 1,030301 2,940985 3,0301

4 1,020151 3,95049 4,0301 4 1,040604 3,901966 4,060401

5 1,025251 4,925866 5,050251 5 1,05101 4,853431 5,101005

6 1,030378 5,896384 6,075502 6 1,06152 5,795476 6,152015

7 1,035529 6,862074 7,105879 7 1,072135 6,728195 7,2133535

8 1,040707 7,822959 8,141409 8 1,082857 7,651678 8,285671

9 1,045911 8,779064 9,182116 9 1,0933685 8,566018 9,368527

10 1,04114 9,730412 10,228026 10 1,104622 9,471305 10,462213

11 1,0563396 10,677027 11,279167 11 1,115668 10,367628 11,566835

12 1,061678 11,061893 12,335562 12 1,126825 11,255077 12,682503

13 1,066986 12,556151 13,339724 13 1,138093 12,13374 13,809328

14 1,072321 13,488708 14,464226 14 1,149474 13,003703 14,947421

15 1,077683 14,416625 15,536548 15 1,160969 13,865053 16,096896

16 1,083071 15,339925 16,61423 16 1,172579 14,717874 17,257864

17 1,088487 16,258632 17,697301 17 1,184304 15,562251 18,430443

18 1,093929 17,172768 18,785788 18 1,196147 16,398269 19,614748

19 1,099399 18,082335 19,879717 19 1,208109 17,226008 20,810895

20 1,104896 18,987419 20,979113 20 1,22019 18,045553 22,019004

21 1,11042 19,887979 22,084011 21 1,232392 18,856983 23,239194

22 1,115972 20,784059 23,194431 22 1,244716 19,660379 24,471586

23 1,121552 21,675681 24,310403 23 1,257163 20,455821 25,716302

24 1,12716 22,562866 25,431955 24 1,269735 21,243387 26,973405