Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів

Подождите немного. Документ загружается.

361

Частина 12. Звичайні диференціальні рівняння



ty ty y

tx ty t x y x y





При підстановці



маємо:

UxU









Тому задане рівняння прийме вигляд

Ux U dU UUU

UxU Ux U x

Ux U dx U





 



 







  

dU U U dx

xdU

dx U U x













Останнє рівняння є рівнянням з відокремленими змінними. Інтег!

руючи його, знаходимо:



11 1 1

ln ln ln ln .

dU U x C CUx

UU x U U



















Підставимо замість

її значення

. Одержимо



ln ln

Cy x Cy

  

Отже, загальний розв’язок заданого рівняння розв’язали віднос!

но

12.5. Рівняння лінійні та Бернуллі



Означення 9. Лінійним диференціальним рівнянням першо

го порядку

називають рівняння, яке містить шукану функцію

та

її

похідну



у першому степені. Таке рівняння можна привести до

вигляду

 





. (18)

362

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»



Теорема 1. Загальний розв’язок лінійного диференціального

рівняння першого порядку вигляду (18) можна знайти за форму

лою



Pxdx Pxdx

eCQxedx





















. (19)

Доведення

. Будемо шукати розв’язок рівняння (18) у вигляді

 

ux vx

. (20)

Одну із цих функцій можна взяти довільно, а друга буде визна!

чатися так, щоб їх добуток задовольняв рівняння (18). Диференцію!

ванням рівності (20) по

одержимо:

du dv

yvu

dx dx





. (21)

Підставимо (20) та (21) у задане рівняння (18). Тоді

du dv

vu PuvQ

dx dx

  

або

du dv

vu Pv Q

dx dx



  





. (22)

Визначимо

так, щоб вираз у дужках дорівнював нулю, тобто,

виконувалась рівність



. (23)

Це рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними.

Відокремлюючи змінні, одержимо



ln ln

xdx

Pdx v P x dx C v C e





     



Нам достатньо взяти



0vx

. Тому візьмемо

1C 

, тоді



xdx

vx e







. (24)

Підставимо функцію

вигляду (24) у формулу (22). Одержимо:

 



Qx Qx

du du

vx Qx u dx C

dx dx v x v x



   



363

Частина 12. Звичайні диференціальні рівняння

Підстановка одержаних функцій

та

у формулу (20) дає за!

гальний розв’язок рівняння (18) у вигляді

  



P x dx P x dx

vxCQxvxdxe CQxe dx











 









що й треба було довести.

Відмітимо, що формула (19) здається складною. Але вона значно

спрощує

розв’язування багатьох диференціальних рівнянь і якщо її

не

пам’ятати, то кожного разу цю формулу треба виводити.



Означення 10. Диференціальне рівняння першого порядку виг&

ляду

 





(25)

де

0n 

та

1n 

називають рівнянням Бернуллі.

Рівняння Бернуллі підстановкою





(26)

зводиться до лінійного рівняння відносно функції

Дійсно, помножимо рівняння Бернуллі (25) на



і зробимо

підстановку

(26), при якій







 

Тоді рівняння Бернуллі прийме вигляд

 

nPx Z n



 

. (27)

Загальний розв’язок лінійного рівняння (27) знайдемо за форму!

лою (19) у вигляді



 

nPxdx

Zy e C nQxe dx











 







Звідси знаходять загальний розв’язок

рівняння Бернуллі.



Приклад 8. Розв’язати рівняння

4xy y x y







Розв’язання. Запишемо це рівняння у вигляді

364

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

yxy





Це рівняння Бернуллі з

n 

. Поділимо його на

, одер!

жимо:



 

Зробимо заміну



, тоді





і рівняння прийме

вигляд





Це лінійне рівняння відносно

. За формулою (19) знаходимо

2ln 2ln

dx dx

Ze C e dx e C e dx







  







xC dx xC x



 









Використали основну логарифмічну тотожність







Отже, одержали:

ln ln

ZyxC x yxC x



   





– загальний розв’язок рівняння Бернуллі.

365

Частина 12. Звичайні диференціальні рівняння

12.6. Диференціальні рівняння другого порядку

Ознайомимось

з розв’язуванням декількох типів диференціаль!

них рівнянь другого порядку.

12.6.1. Рівняння, що дозволяють знизити порядок

1. Рівняння вигляду







, де



неперервна в проміжку



осі

. Розв’язок цього рівняння знаходять шляхом знижен!

ня порядку та інтегруванням:



fxdx C







де

– довільне фіксоване значення

із



– довільна стала.

Інтегруючи ще раз, одержимо загальний розв’язок рівняння у вигляді

  

102

f x dx dx C x x C











Рівняння вигляду



,, 0Fxyy





, що не містить явно шукану

функцію

, шляхом підстановки

ypy





 

зводиться до рівняння першого порядку

,, 0

Fxp









відносно

функції



. Розв’язавши це рівняння, одержують







або









Знову одержали рівняння першого порядку відносно шуканої

функції

. Його розв’язком буде



xC dx C







366

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

3. Рівняння вигляду



,, 0

Fyyy





, яке не містить явно аргу!

мент

, шляхом підстановки



py y y









або





зводиться до рівняння першого порядку

,, 0

Fyp p









відносно

функції

, що залежить від

. Його загальний розв’язок можна одер!

жати у вигляді





 або



yC dx











Інтегруючи, одержимо









Це і є загальний інтеграл заданого рівняння.



Приклад 9. Знайти загальні розв’язки рівнянь:

а)

sin





; b)

 



; с)



0yy y

 

 



Розв’язання.

а) Шляхом інтегрування заданого рівняння одержимо:



sin cos cos 1

xxdx xC xC



   





112

cos 1 sin 1

xCdx xxCC



 







Рівняння не містить явно шукану функцію



. Застосуємо

підстановку





. Тоді





і задане рівняння прийме вигляд

367

Частина 12. Звичайні диференціальні рівняння

1dp

dx x



Це лінійне рівняння відносно

. За формулою (19) одержимо

його

загальний розв’язок

ln ln

dx dx

e C xe dx e C x e dx











  













CxdxxCx



 







Повертаючись до шуканої функції

, одержимо



1112

xC x y Cx x dx C C



  



Отже, загальним розв’язком рівняння випадку b) буде

xC

с) У цьому випадку рівняння не містить явно аргумент

. Тому

зробимо

підстановку







, тоді





і задане рівняння прийме вигляд

yp p

  

або



Це рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

відносно

функції



Відокремлюючи змінні, одержимо

ln ln ln

dp dy

pyCp





 





368

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

12.6.2. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами



Означення 11. Диференціальне рівняння другого порядку нази&

вають лінійнім однорідним рівнянням з постійними коефіцієнта

ми

, якщо воно має вигляд

0ay by cy

 



, (28)

де

,ab

та

– сталі числа.

Для знаходження загального розв’язку такого рівняння доцільно

діяти

так:

Скласти характеристичне рівняння шляхом заміни



на



на

на 1, тобто одержати алгебраїчне рівняння

0ak bk c

(29)

відносно

Розв’язати характеристичне рівняння, використовуючи фор!

мулу

1,2

bb ac

 



. (30)

Проаналізувати корені характеристичного рівняння, які можуть

бути

а) дійсними та різними, тобто

kk

;

дійсними та рівними, тобто

kkk

;

с) комплексно спряженими, тобто

Але



, тому

dx y



або

dy C dx

Звідси одержимо загальний розв’язок заданого рівняння:



12 12

Cx C y Cx C  

369

Частина 12. Звичайні диференціальні рівняння

,kiki

 

 

, де

1i 







;

ac b







в залежності від значень коренів характеристичного рівняння

записати

загальний розв’язок заданого диференціального рівняння

(28).

У випадку а):

kx kx

Ce Ce

У випадку b):



eCCx

У випадку с):



cos sin

eC xC x









Приклад 10. Знайти загальні розв’язки рівнянь:

а)

320

yyy

 



; b)

440

yyy

 



; c)

450

yyy

 





Розв’язання.

Для рівняння а) характеристичним рівнянням буде

320kk

Знайдемо корені цього рівняння:

1,2

39831

 



;

2k 

;

1k 

Корені характеристичного рівняння дійсні та різні, тому загаль!

ним розв’язком диференціального рівняння а) буде

Ce Ce

Для рівняння b) характеристичним рівнянням буде



440 2 0 2kk k kk  

Отже, корені характеристичного рівняння дійсні та рівні, тому

загальний

розв’язок диференціального рівняння b) буде таким



eCCx





У випадку диференціального рівняння с) характеристичним

рівнянням

буде

370

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

12.7. Питання для самоперевірки

Як визначають диференціальне рівняння, його порядок, загаль!

ний та частинний розв’язки, задачу Коші?

Який вигляд має рівняння з відокремленими змінними і як

знаходять

його загальний розв’язок?

Який вигляд мають рівняння з відокремлюваними змінними,

рівняння однорідне, лінійне, Бернуллі і як знаходять їх розв’язки?

Як знаходити розв’язок задачі Коші для диференціального

рівняння

першого порядку?

Які рівняння другого порядку можна розв’язувати методом зни!

ження порядку?

Як складається характеристичне рівняння лінійного однорідно!

го диференціального рівняння другого порядку з постійними коеф!

іцієнтами? Як впливають корені характеристичного рівняння на

вигляд

загального розв’язку таких диференціальних рівнянь?

12.8. Вправи

Знайти загальний розв’язок або загальний інтеграл диференці!

ального рівняння з відокремлюваними змінними:



10xydx x dy 

;b)



10ydxxydy 

;



120xdyydx 

;d)



110ydx xdy

;

1,2

41620 42

450 2

kx k i

  







Корені цього рівняння комплексно спряжені, причому









. Тому загальним розв’язком диференціального рівняння с) буде



cos sin

eC xC x



