Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів

Подождите немного. Документ загружается.

341

Частина 11. Визначені та невласні інтеграли

Тому



kkk

lf x







  



і довжина вписаної ламаної буде



nkk

lfx









 





За умовою теореми





неперервна, тому і функція













також неперервна, а це означає, що існує скінченна

границя

 

max 0

lim 1 1

kk k









 



 





що й треба було довести.



Наслідок. Якщо дуга задана параметрично





 ,











, то її довжину знаходять за формулою

 

lttdt









 





 

. (16)

11.4.3. Обчислення об’єму та площі поверхні тіла обертання

Нехай

криволінійна трапеція обмежена кривою



fx

відрізком





осі

та прямими

a

та



, обертається

навколо

осі

(мал. 7). Тоді об’єм тіла обертання можна знайти за

формулою



Vfxdx







, (17)

342

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

а площу поверхні обертання за фор!

мулою

 

xdx













. (18)



Приклад 8. Обчислити об’єм

кулі

радіуса



Розв’язання. Кулю можна

розглядати

як результат обертання

півкруга

, обмеженого частиною

кола

22 2

,0xyRy 

, навколо

осі

Використовуючи рівність

Rx

, симетричність кола

відносно

осі

та формулу (17), одержимо об’єм

кулі







22 22 2

VRxdxRxdxRx

























(кубічних одиниць).

Мал. 7.

y = f(x)

11.4.4. Обчислення роботи

Нехай

під дією сили

матеріальна точка

рухається по прямій

і напрям сили співпадає з напрямом руху.

Тоді роботу

, виконану змінною силою



для переміщення

точки

із положення

a

до

b

знаходять за формулою



Fsds



. (19)

343

Частина 11. Визначені та невласні інтеграли



Приклад 9. Стиск

гвинтової пружини пропорційний при!

кладеній силі

. Обчислити роботу, виконану силою

для стиску

пружини

на 8 см, якщо для її стиску на 1 сантиметр потрібна сила в

1 кг.



Розв’язання. Згідно з умовою задачі сила

пропорційна стис!

ку

, тобто

KS

де

– деяка постійна величина, коефіцієнт стиску пружини. Якщо

стиск

пружини вимірювати у метрах, а силу

у кілограмах, то за умо!

вою задачі при

0,01



сила



, тобто

10,01 100

K  

, а

тому

100FS

За умовою задачі сила

стиснула пружину на 8 см, тобто із по!

ложення

0a 

до

0,08



За формулою (19) знаходимо шукану роботу:

0,08

0, 08

100

100 100 0,0064 0,32

ASdS  



(кгм).

11.5. Задачі економічного змісту

11.5.1. Витрати, доход та прибуток

Нехай



буде функцією загальних витрат на виробництво

одиниць продукції,





– функція маргінальних витрат. Тоді

визначений

інтеграл

   

V xdx Vx Vb Va







(20)

дорівнює зміні загальних витрат при зростанні кількості виробленої

продукції

від

до

одиниць.

Звідси випливає важливий наслідок.

344

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Зміна виробничих витрат при зростанні виробленої продукції від

до

одиниць дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої гра&

фіком функції маргінальних витрат







, відрізком





та

прямими

a

та



Аналогічно, якщо





та





– функції маргінального до!

ходу та прибутку, відповідно, то зміни доходу та прибутку при зро!

станні реалізації виробленої продукції від

до

одиниць обчис!

люється за формулами

  

xdx Db Da







, (21)

  

xdx Pb Pa







. (22)



Приклад 10. Функція маргінальних витрат фірми має вигляд



23,5 0,01

Vx x





Знайти зростання загальних витрат, коли виробництво зростає з

1 000 до 1 500 одиниць.



Розв’язання. За формулою (20) зростання загальних витрат

буде

  

1500 1500

1000 1000

1500

1000

23,5 0,01 23,5 0,01

Vxdx xdx x





  







 

23,5 1500 0,005 1500 23,5 1000 0,005 1000





       







2350 5 50 125 50 235 125 5500

Отже, витрати зростуть на 5 500 гривень.

345

Частина 11. Визначені та невласні інтеграли

11.5.2. Коефіцієнт нерівномірного розподілу прибуткового

податку

Нехай

є частина загального прибуткового податку пропорцій!

на частині

усього населення держави.

Наприклад, якщо

x 

, а



, то це означає, що 50% насе!

лення сплачує 25% загального прибуткового податку.

Якщо

0,7



, коли

0,9



, то це означає, що 90% населення

сплачує

70% прибуткового податку.

У загальному випадку

та

– дробові частини цілого

(

01x



) і

є функцією

, тобто



x

Будемо вважати, що не має осіб, які не сплачують прибуткового

податку

, тобто





і весь прибутковий податок сплачує 100%

населення, тобто





Графік функції





, яка описує дійсний розподіл прибут!!

кового податку, називають кривою Лоренца.

Припустимо, що крива Лоренца задана рівнянням

15 1

16 16

xx

(див. мал. 8).

Коли

0,2



, маємо



15 1

0,2 0,2 0,05

16 16



Це означає, що 20% населення

сплачує

5% загального податку.

Коли

0,5



, маємо



15 1

0,5 0,5 0,2656

16 16

y 

Це означає, що 50% населення

сплачує

тільки 26,56% податку.

15 1

16 16

xx

0.2 0.5 1

(1, 1)

Мал. 8.

346

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Коефіцієнтом нерівності розподілу податку кривої Лоренца

називають

відношення площі фігури, обмеженої кривою Лоренца та

прямою

x

(на малюнку 8 вона заштрихована) до площі фігури,

що лежить нижче прямої

x

(на мал. 8 – це прямокутний три&

кутник:

01x

;



x

Коефіцієнт нерівного розподілу податку, що здійснюється за за!

коном Лоренца, позначають

Площа трикутника

S 

Площу заштрихованої фігури одержимо з використанням визна!

ченого інтеграла за формулою



xdx





Тому, згідно з означенням, коефіцієнт Лоренца обчислюють за

формулою



xdx





 







. (23)

У випадку кривої Лоренца вигляду

15 1

16 16

xx

коефіцієнт нерівності розподілу податку буде

15 1 15 15

16 16 16 16

L x x x dx x x dx



   











15 15 15 1 1 5

16 8 2 3 8 2 3 16

xxdx



      







Відмітимо, що коефіцієнт нерівності розподілу податку завжди

задовольняє

співвідношення



Коли

0L 

, прибутковий податок розподілено рівномірно, коли

1L 

, нерівномірність розподілу податків найбільша.

347

Частина 11. Визначені та невласні інтеграли

11.5.3. Максимізація прибутку за часом

Нехай



та



— загальні витрати, доход та прибу!

ток, що змінюються з часом, тобто залежать від часу

. Тоді

  

Pt Dt Vt



або

  

tDtVt





Максимум загального прибутку буде тоді, коли



0Pt





або

 

tVt



 .

Іншими словами, існує такий час

, коли

 

tVt





, тобто

швидкості

зміни доходу та витрат рівні (див., наприклад, мал. 9).

Загальний прибуток за час

можна

знайти

за формулою

    

tPtdtDtVtdt















(24)

Із мал. 9 бачимо, що максимум

прибутку

дорівнює площі між криви!

ми





та





на проміжку







(заштрихована частина).



Приклад 11. Швидкості зміни витрат та доходу підприємства

після

початку його діяльності визначалися формулами



52Vt t





, та







де

та

вимірювались мільйонами гривень, а

вимірювали рока!

ми. Визначити, як довго підприємство було прибутковим та знайти

загальний

прибуток, який було одержано за цей час.



Розв’язання. Оптимальний час

для прибутку підприємства

одержимо

з умови

 

tVt





Мал. 9.

()



()Vt



348

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

11.5.4. Стратегія розвитку



Приклад 12. Компанія повинна обрати одну із двох можливих

стратегій

розвитку: 1) вкласти 10 млн. гривень у нове обладнання і

одержувати

3 млн. гривень прибутку кожного року на протязі 10

років; 2) закупити на 15 млн. гривень більш досконале обладнання,

яке дозволить одержати 5 млн. гривень прибутку щорічно на протязі

7 років.

Яку стратегію треба обрати компанії, якщо номінальна облікова

щорічна

ставка 10%.



Розв’язання. Якщо



є прибуток за час

100



є номі!

нальна облікова щорічна ставка, то дійсне значення загального при!

бутку за час між

0t 

та

tT

дорівнює



fte dt





При

10R 

маємо

0,1



. Тому для першої стратегії дійсне зна!

чення прибутку за 10 років буде



0,1 0,1 1

3 10 30 10 30 1 10 8,96

Pedt e e

 

 

 





(млн. грн.)

222 2 3

333 3 2

52 17 3 12 4 4 8ttt tt













Отже, підприємство було прибутковим 8 років. За цей час було

одержано

прибутку

 





88 8

22 2

33 3

00 0

17 5 2 12 3PDtVtdt t tdt tdt







 







 

12 3 96 32 38,9





 





(млн. гр.)

349

Частина 11. Визначені та невласні інтеграли

11.6. Вправи

Обчислити інтеграли:

tdt





; b)



; c)



357xxdx



;



21 2xx





; e)



; f)







;

tedt







; h)

xe dx



Знайти площу фігури, обмеженої кривою



fx

, віссю

та прямими:

а)

x

0x 

3x 

;b)

e

ln2



ln5



;

4yx



3x 

;d)

x

0x 

2x 

Знайти площу фігури, обмеженої заданими лініями:

а)

x

2x 

;b)

x

;

с)

e

x

0x 

1x 

;d)

x

x

;

x

;f)

x



4x 

Використовуючи метод трапецій, знайти наближене значення

інтеграла

edx





;b)





Для другої стратегії одержимо:



0,1 0,7

515501 1510,17

Pedt e







(млн. грн.)

Отже, друга стратегія краще першої і тому її доцільно обрати для

подальшого

розвитку компанії.

350

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

5. Використовуючи формулу Сімпсона, знайти наближене значен!

ня інтеграла:

x 



;b)

edx





Знайти:

de t

dx t













;b)



ln 1

dx t













Крива Лоренца. Розподіл прибуткового податку деякої країни

здійснюється

за кривою Лоренца





, де

– частина насе!

лення, що сплачує податки, а

відповідна частина загального по!

датку. Яку частину загального податку сплачують 20% найбіднішого

населення

? Знайти коефіцієнт нерівності Лоренца.

а)

19 1

20 20

xx

;b)

0,94 0,06

xx

Максимізація прибутку. Відомі закони зміни швидкості вит!

рат





та доходу





підприємства, де час

вимірюється ро!

ками, а витрати



та доход



вимірюються млн. гривень. За

який

час підприємство одержить максимальний прибуток? Якою буде

величина

максимального прибутку?



14Dt t





;



23Vt t





;



10 2

Dt t





;



22Vt t



 .

Стратегія розвитку. Фірма може обрати одну із двох стра!

тегій розвитку: 1) вкласти у виробництво

млн. гривень з умовою

одержання

щорічного прибутку

млн. гривень на протязі

років;

вкласти у виробництво

млн. гривень з умовою одержання

щорічного

прибутку

млн. гривень на протязі

років. Номіналь!