Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів

Подождите немного. Документ загружается.

311

Частина 10. Інтегрування

10.2.4. Інтегрування раціональних дробів



Означення 3. Дріб називають раціональним, якщо його чисель&

ник та знаменник є багаточленами, тобто дріб має вигляд



01 2 1

nn n

mm m

mmm

ax ax ax a x a

Q x bx bx bx b x b









 



 



де

та

– коефіцієнти багаточленів,



1, , n



;

0, 1, 2, ,km



Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий

показник

степеня чисельника

менше відповідного степеня

зна!

менника. Дріб називається неправильним, якщо

nm

Якщо



дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник

на

знаменник (за правилом ділення багаточленів) і одержати зада!

ний дріб у вигляді суми багаточлена та правильного раціонального

дробу

, тобто



xRx

Qx Qx







Означення 4. Найпростішими раціональними дробами І, II,

III та IV типу

називають правильні дроби вигляду:

І.





. ІІ.



kціле







ІІІ.

Dx E

px q













ІV.



Gx F

rx s





2, , 0

ціле









312

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Умова

q

означає, що квадратний тричлен

px q

не має дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме

можна

сказати і про квадратний тричлен

rx s



Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів.

Інтеграли від найпростіших раціональних дробів І!го та ІІ!го типів

знаходять

методом безпосереднього інтегрування:

І.



Adx

AAxaC













ІІ.







Bdx

xdx B C











  















 

При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ!го типу треба спочат!

ку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під

квадратом

, замінити через нову змінну.

ІІІ.

Dx E Dx E

dx dx

xpxq

















,,0,,

224

ppp

оскільки

xt q

то

dx dt



    





позначимо









22 22 22

Dt E

tdt

dt dt D

tk tk tk





 









 

313

Частина 10. Інтегрування

2121

ln arctg

222

EDp dt EDp t

tk C









Повертаючись до змінної

та враховуючи, що





або





одержимо:

2242

Dx E D p p E Dp

dx x q

xpxq





  











222

arctg ln arctg

444

DEDpxp

Cxpxq C

qp qp qp











 



Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного

інтегрування

частинами зводять до інтеграла від найпростішого дро!

бу типу III.

У повному курсі вищої алгебри доведена така теорема.



Теорема 2. Будьякий правильний раціональний дріб розкла

дається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти

яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів

Отже, інтегрування раціонального дробу зводиться до інтегруван!

ня багаточлена





(при

nm

) та суми найпростіших дробів.

Відмітимо, що вигляд найпростіших дробів визначається коренями

знаменника



. Можливі такі випадки:

Корені знаменника дійсні та різні, тобто

     

Qx x x x

 

  

 .

В цьому випадку дріб



розкладається на суму найпрості!

ших дробів І!го типу:

314

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»



Qx x x x

 



 



. (5)

Невизначені коефіцієнти

,,,

AA A



знаходять з тотож!

ності (5).

Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто

   

Qx x x



 

Тоді дріб



розкладається на суму найпростіших дробів

!го та ІІ!го типу



 

Qx x x





 





. (6)

Коефіцієнти

,,,

AB B

 знаходять з тотожності (6).

Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того

знаменник

містить квадратний тричлен, який не розкладається на

множники

, тобто

   



Qx x x x pxq



    

В цьому випадку дріб



розкладається на суму найпрості!

ших дробів І!го, ІІ!го та ІІІ!го типів



 

ADxE

Qx x x

xpxq







  









. (7)

Коефіцієнти

,,,,

BB B



та

знаходять з тотож!

ності (7).

315

Частина 10. Інтегрування

Приклад 7. Знайти



xdx

xx



Розв’язання. Підінтегральна функція – це правильний раціональ!

ний дріб, знаменник якого містить квадратний двочлен, який не роз!

кладається на множники та один дійсний корінь

1x 

, тому цей дріб

розкладається

на суму найпростіших дробів І та III типу:



Ax B







. (8)

Невідомі коефіцієнти

, та

будемо шукати методом не!

визначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності (8) треба

привести

до спільного знаменника, одержимо







11 11

Ax B x C x

xx xx





 

Знаменники в обох частинах рівні, тому і чисельники повинні

бути

рівні, тобто







Ax B x Cx x A Cx B Ax C B     

. (9)

Рівність (9) можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однаково!

му степеню

в обох частинах рівності однакові, тобто

BA C B A











 











Отже, розклад (8) тепер приймає вигляд



11111

22 2

12 2 2 1

11 1

xx x









 

316

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

10.2.5. Інтегрування виразів, що містять ірраціональності

При

інтегруванні виразів, що містять дробові степені змінної інтег!

рування (тобто ірраціональності), методом підстановки зводять

підінтегральну

функцію до раціонального дробу. Розглянемо декіль!

ка випадків.

Підінтегральна функція є раціональним дробом відносно



де



дробове число. У цьому випадку вводять нову змінну



де

– спільний знаменник дробових показників степеня змінної



Приклад 8. Знайти

4534

xdx









Розв’язання. Маємо:

xdx







Спільний знаменник дробових показників степенів

145

234

змінної

дорівнює 12. Тому зробимо підстановку

tx

xt

12dx t dt

і ми одержуємо:



622

16 15

12 1 1

12 12 12 1

ttdtt

tdt dt t dt



 







Інтегруючи цю рівність, одержимо



111

2221

x xdx dx dx

      







 

111 11

ln 1 arctg ln 1 ln arctg

422 2

xxxC xC



        



317

Частина 10. Інтегрування



12 12 12ln 1 6 1

tCx





 









12ln 1xC

Підінтегральний вираз містить дробові степені лінійного

двочлена



ax b



. У цьому випадку доцільно зробити підстановку



taxb

, де

– спільний знаменник дробових показників сте!

пенів двочлена.



Приклад 9. Знайти











Розв’язання. Нехай



tx

t



dx tdt



Тому

2 2arctg 2arctg 1

tdt dt

tC x C

tt t



   





10.3. Поняття інтегралів, що не виражаються

елементарними функціями

Математиками доведено, що будь!яка неперервна функція має

первісну

, отже, невизначений інтеграл. Але первісна елементарної

функції

не завжди буде елементарною функцією. Існують прості

елементарні

функції, первісні яких не можна виразити скінченою

комбінацією

елементарних функцій.

Доведено, наприклад, що жоден із інтегралів

sin cos

,,,,,

xx e

dx dx e dx e dx dx

xx x





,tg,sin,sin, .

dx e

xdx xdx x dx dx



   

318

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

10.4. Вправи

Використовуючи правила інтегрування та таблицю основних

інтегралів

, знайти інтеграли:



53sin 2cos ;

xdx



xxdx











;







238 ;

xx x

edx



;

edx













ln3 ;

ln2













23 .

xdx











2. Методом безпосереднього інтегрування знайти інтеграли:

;

edx





b) sin2 ;xdx

















;

31 4

x 



x 



не виражається елементарними функціями. Такі інтеграли іноді зуст!

річаються у практичній діяльності, тоді їх розглядають як нові функції

обчислюють за допомогою рядів або нескінченних добутків елемен!

тарних функцій. Наприклад, доведено, що

sin

1! 3! 3 5! 5

xxxx

dx C

  







Суму членів степеневого ряду правої частини приймають за нову

функцію

, яку позначають



sin

xdx





і називають синус

інтегральний змінної

319

Частина 10. Інтегрування

3. Методом заміни змінної знайти інтеграли

sin cos ;

xdx





;

xdx







;





7327;xx xdx



 





;







;









ln 2



4. Методом інтегрування частинами знайти інтеграли:

cos2 ;xxdx



ln ;xxdx



xdx



;

xe dx







sin ;





;

xedx



arctg .xxdx



5. Знайти інтеграли



;

xx





;

xx





;

xdx

xxx







;

xax





233

;

xxdx

xdx











;

xx





 

12 1 2

xdx

xx x



 



6. Використовуючи невизначений інтеграл, розв’язати задачі еко!

номічного змісту.

а) Маргінальний річний доход фірми задано рівністю



80 0,04 .





Знайти функцію річного прибутку цієї фірми та обмеження на

вартість

320

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

b) Граничні витрати деякої фірми на виготовлення

одиниць

продукції

задовольняють умову



100 0,04 .

Vx x





Знайти загальні можливі витрати при виробництві 1000 одиниць

продукції

Маргінальна функція доходу малого підприємства



60,03





і підприємство одержало доход 30 тисяч гривень після реалізації 100

одиниць продукції. Визначати функцію доходу цього підприємства.

Який доход одержить підприємство після реалізації 125 одиниць про!

дукції?

Маргінальні витрати (у гривнях) взуттєвої фабрики задані

рівністю



360,

100

Vx x





де

– кількість пар виготовле!

ного взуття. Знайти функцію загальних витрат фабрики, якщо вит!

рати 50 гривень на пару взуття фіксовані.

Величина прискорення руху змінюється з часом

за законом

30,5



. Знайти:

залежить швидкості руху від часу, якщо при

0t 

швидкість

дорівнює

60 одиниць;

шлях, який пройшов об’єкт за час

, якщо при

0t 

початко!

ва відстань дорівнювала нулю.