Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів
Подождите немного. Документ загружается.
11
Частина 1. Елементи математичной логіки
Частина 1
ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ
1.1. Висловлення
В математиці та програмуванні часто мають справу з різними
висловлюваннями і позначають їх великими літерами. Наприклад:
А
{число 80 ділиться на 4},
В
{число 15 ділиться на 8},
С
{три менше п’яти},
D
{число 2 є єдиним коренем рівняння х
2
– 4 = 0}.
У висловленнях замість слів можна використовувати математичні
знаки та символи. Наприклад, C
{3 < 5}.
Кожне висловлення є реченням, але не кожне речення є вислов!
ленням.
Закон виключення третього. Висловлення може бути або
істинним або хибним.
Закон суперечності. Ніяке висловлення не може бути одно
часно істинним та хибним.
Отже, речення, про яке неможливо однозначно зробити вис
новок, вірне воно чи хибне, не є висловленням.
У висловленнях А та С твердження вірні, такі висловлення нази!
вають істинними. У висловленнях В та D твердження не вірні, такі
висловлення називають хибними.
Речення:
1) число 0,000000001 дуже мале;
2) х > 2;
3) x + 12 = 18
не будуть висловленнями.
Перше з цих речень не є висловленням тому, що воно не має
точного смислу і не можна сказати воно вірне чи не вірне. Хтось
вважає це число дуже малим, а інший може з цим не погодитись.
Друге та третє речення містять літеру х. При одних х одержимо
істинне висловлення, при інших значеннях х висловлення будуть
12
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
хибними. До того часу, поки не буде вказано конкретне значення х,
не можна сказати вірні чи не вірні ці речення.
Не для кожного висловлення можна відразу зробити висновок
про його істинність чи хибність. Закон виключення третього вказує
лише принципову можливість встановити істинність або хибність
висловлення. Для встановлення цього факту іноді потрібно багато
часу, велика кількість обчислень.
Наприклад, речення
E
{(123
3723
+13
15876
)
2341
+ (111
35933
– 189
1183
)
4914
є простим}
буде висловленням тому, що принципово можливо відповісти на пи!
тання, істинне воно чи хибне.
1.2. Заперечення
З будь!якого висловлення А можна одержати нове висловлення,
шляхом заперечення А, тобто стверджуючи, що висловлення А не
виконується.
Заперечення висловлення А позначають символом
А або
A
.
Запис
А читають як «заперечення висловлення А» або коротше «не
А».
Приклади висловлень та їх заперечень:
1) A
{число 25 ділиться на 7},
A
{число 25 не ділиться на 7};
2) B
{3 > 5}, тобто три більше п’яти,
B
{3
5}, тобто три не більше п’яти;
3) С
{3 + 5 = 8},
C
{3 + 5
8};
4) D
{32 просте число},
D
{32 не просте число}.
Із вказаних висловлень
А,
В, С тa
D будуть істинними, а вис!
ловлення А, В,
С та D хибні.
Отже, яким би не було висловлення Е, з двох висловлень Е,
E
одне буде істинним, а друге хибним.
Найпростіший прийом утворення заперечення — додати до при!
судка частицю «не». Наприклад:
13
Частина 1. Елементи математичной логіки
1.3. Невизначені висловлення
Позначимо через N множину усіх натуральних чисел, x — довіль!
не натуральне число, тобто довільний елемент множини N. Розгля!
немо такі висловлення:
А(х)
{число х ділиться на 5},
B(x)
{x > 10},
С(х)
{х — просте число},
D(x)
{(x – 5)
2
< 10 — просте число}.
Речення А(x), В(х), С(х), D(x) не будуть висловленнями до того
часу, поки невідоме число х. Але підставляючи в А замість х різні
натуральні числа, ми будемо одержувати висловлення про натуральні
числа. Деякі з них будуть істинними, а деякі хибними.
Наприклад, А(5)
{число 5 ділиться на 5} — істинне вислов!
лення.
А(13)
{число 13 ділиться на 5} — хибне висловлення. Отже,
речення які містять змінну х, можна назвати невизначеними вислов!
леннями. В математиці їх часто називають предикатами.
А
{13 ділиться на 4},
А
{13 не ділиться на 4}.
Але цей простий прийом не можна застосувати, якщо саме вис!
ловлення містить «не».
Наприклад, висловлення В
{17 не ділиться на 5}. У цьому ви!
падку для утворення заперечення
В не можна додавати ще одне «не»
тому, що не можна казати «17 не не ділиться на 5». У цьому випадку
краще записати
В
{17 ділиться на 5}.
Отже, якщо в деякому висловленні Е перед присудком вже є
частиця «не», тоді для утворення заперечення Е достатньо відкину!
ти частицю «не».
Нехай А — довільне висловлення. Його заперечення
А також
буде висловленням. Тому можна розглядати і його заперечення, тоб!
то висловлення
А. Таке висловлення називають подвійним запере!
ченням висловлення А.
Закон заперечення заперечення. Подвійне заперечення
А
істинне лише у тому випадку, коли істинне висловлення А. Якщо А
хибне, тоді і
А також хибне.
14
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Кожна з цих предикат виражає деяку властивість натурального
числа х. Наприклад, С(х) виражає властивість бути простим числом,
А(х) — властивість ділитися на 5.
Невизначені висловлення можна задавати на будь!якій множині,
а не лише на N.
Часто доводиться розглядати невизначені висловлення з двома
або більшою кількістю змінних.
Розглянемо, наприклад, висловлення, в яких х та у довільні на!
туральні числа:
A(х, у)
{х < у}; В(х, у)
{х + у = 10};
С(х, у)
{х ділиться на у}; D(x, y)
{х + у — просте число}.
Про істинність та хибність цих тверджень можна казати лише для
конкретних значень х та у.
Наприклад
А(1, 3)
{1 < 3} — істинне висловлення;
А(2, 2)
{2 < 2} — хибне висловлення;
В(8, 2)
{8 + 2 = 10} — істинне висловлення.
1.4. Знаки загальності та існування
Операція заперечення дозволяє з невизначеного висловлення
А(х) одержати нове невизначене висловлення
А(x) — його запере!
чення.
Іноді студентам важко сформулювати заперечення
А в тому ви!
падку, коли висловлення А містить слова «усі», «кожен», «хоч би
один», «знайдеться», «існує».
Наприклад, якщо А
{кожне просте число непарне}, тоді вис!
ловлення В
{кожне просте число парне} не є запереченням до А.
Вірною буде відповідь:
А
{не кожне просте число непарне},
іншими словами
А
{існує просте число, яке буде парним},
або
А
{хоч би одне просте число парне}.
Останнє висловлення істинне: існує (тільки одне!) парне просте
число 2.
15
Частина 1. Елементи математичной логіки
Коли висловлення А починається словами «усі», «кожен»,
«будьякий», тоді для одержання заперечення
А треба або за
писати «не» перед вказаними словами, або записати «не» після
цих слів, але тоді ці слова треба замінити на «хоч би один»,
«знайдеться», «існує».
Має місце і зворотне твердження: якщо спочатку висловлення є
слова «хоч би один», «знайдеться», «існує», тоді якщо після цих слів
записати «не», обов’язково потрібно замінити ці слова на «усі», «ко!
жен», «будь!який».
Отже, доцільно додавати «не» перед цими словами тому, що тоді
не треба робити заміни слів.
Приклад:
А
{кожне з чисел a, b, c ділиться на 7};
А
{не кожне з чисел a, b, c ділиться на 7};
А
{хоч би одне з чисел a, b, c не ділиться на 7}.
Іноді використовують знаки
,
. Перший з них називається
знаком загальності і замінюється при формулюванні словами: будь!
який, кожен, усі.
Другий знак називається знаком існування, він замінюється у
формулюваннях словами: існує, знайдеться, який!небудь, хоч би один.
Якщо Р(х) — деяке невизначене висловлення, х
М, тоді запис
(
x) Р(х) означає: для будь!якого х з множини М має місце Р(х).
Запис (
x) Р(х) є висловлення, а не невизначене висловлення.
Якщо Р(х) хибне, то це висловлення також хибне. Якщо Р(х) —
деяке невизначене висловлення, тоді запис (
х) Р(х) означає: існує
елемент х множини М, для якого має місце або знайдеться хоча б
один елемент х, для якого має місце Р(х).
Запис (
х) Р(х) є висловленням. Воно буде істинним, якщо
можна в множині М знайти елемент а, для якого Р(а) буде істин!
ним. Якщо в М не має такого елемента, тоді висловлення (
х) Р(х)
буде хибним.
Приклад. Нехай на множині N задано невизначене вислов!
лення
16
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
С(х)
{х
3
– 14х
2
+ 49х – 1 < 0}.
При х = 1, 2, 3, 4 одержимо висловлення
С(1)
{1 –
14 1
+
49 1
– 1 < 0}, тобто С(1)
{35 < 0};
С(2)
{49 <0}; С(3)
{47 < 0}.
Усі ці висловлення хибні. Але С(7)
{7
3
–
2
14 7
+
49 7
– 1 < 0},
тобто С(7)
{–1 < 0}. Отже, С(7) буде істинним висловленням.
Таким чином, ми знайшли таке х = 7, для якого висловлення
істинне. Тому (
х) С(х) — істинне висловлення.
1.5. Необхідні та достатні умови
В більшості теорем можна виділити умову і твердження. Умова
та твердження теореми є деякими невизначеними висловленнями.
Розглянемо, наприклад, теорему: діагоналі ромба взаємно перпенди!
кулярні. Умовою теореми буде: чотирикутник ABCD є ромб, а твер!
дження теореми: його діагоналі взаємно перпендикулярні. Якщо чо!
тирикутник позначити через Q, тоді умову теореми можна записати
у вигляді
A(Q)
{чотирикутник Q — ромб, тобто АВ = ВС = CD = DA}.
Твердження теореми:
B(Q)
{діагоналі чотирикутника Q взаємно перпендикулярні,
тобто, АС
BD}.
Уся теорема тепер може бути записана так:
(
Q)A(x)
B(Q) (1)
тобто для будь!якого чотирикутника Q з висловлення А випливає
B(Q).
Іншими словами, якщо для Q висловлення A(Q) істинне, тоді
висловлення B(Q) також істинне.
Часто для скорочення замість запису вигляду (1) записують
A
B.
Такий запис означає, що висловлення А є достатньою умовою для
В, а висловлення В є необхідною умовою для А.
17
Частина 1. Елементи математичной логіки
1.6. Обернена та протилежна теореми
Нехай А та В — деякі невизначені висловлення.
Теореми А
В та В
А називаються оберненими.
З двох взаємно обернених теорем А
В, В
А кожна може бути
вірною або невірною.
Будь!яка з цих двох теорем може бути названа прямою, тоді дру!
га теорема буде оберненою до неї.
Якщо обидві теореми вірні, тоді цей факт записують так А
В
або А
В, в цьому випадку кожне висловлення А, В є необхідною
і достатньою умовою для іншого висловлення.
Відмітимо, що термін «умова» часто заміняють словом «озна
ка». Якщо у деякій теоремі А
В замінити і умову А і твердження
В їх запереченнями, тоді одержимо нову теорему
А
В, яку нази!
вають протилежною до початкової.
Приклад.
Позначимо А
{багатокутник Q є чотирикутником}, а
В
{сума внутрішніх кутів багатокутника Q дорівнює 2
}.
Теорема А
В може бути сформульованою так:
якщо багатокутник Q є чотирикутником, тоді сума його
внутрішніх кутів дорівнює 2
.
Протилежна теорема
А
В:
якщо багатокутник Q не є чотирикутником, тоді сума його
внутрішніх кутів не дорівнює 2
.
У цьому випадку обидві теореми вірні. Часто буває так, що у
випадку вірної теореми А
В, протилежна теорема
А
В вірна
або хибна.
Чудовим є те, що теорема
А
В, протилежна оберненій, вірна
тоді і тільки тоді, коли вірна пряма теорема А
В. На цьому факті
базується метод доведення «від супротивного»: замість потрібної
теореми А
В проводять доведення теореми
А
В.
18
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
1.7. Кон’юнкція та диз’юнкція
Кон’юнкція та диз’юнкція — це операції, які дозволяють з двох
(або більшої кількості) висловлень одержати нові висловлення.
Диз’юнкція позначається знаком
і іноді називається «опера+
цією або».
Запис A
B означає: має місце хоч би одне з висловлень А, В. Ди!
з’юнкцію висловлень точніше читати так: «або А, або В, або А та В».
Якщо хоч би одне з висловлень А, В буде істинним, тоді A
B
також буде істинним висловленням.
Якщо обидва висловлення хибні, тоді буде хибним і висловлен!
ня A
B.
Приклад.
Розглянемо невизначені висловлення на множині N усіх натураль!
них чисел
А(х)
{х — складове число}
В(х)
{х — непарне число}.
Диз’юнкція A
B — невизначене висловлення.
Якщо а — парне число, більше двох, тоді диз’юнкція A(a)
B(a)
буде істинним висловленням тому, що а — складове число і А(а) —
буде істинним висловленням.
Якщо а — непарне число, тоді A(a)
B(a) також буде істинним
висловленням тому, що тепер В(а) — істинне. Висловлення
A(2)
B(2) — хибне тому, що 2 не є складовим числом і парне.
Отже, одержали, що A(x)
B(x) буде істинним висловленням
при х = 2 і хибним при х = 2, тобто A(x)
B(x) = С(х) = {х
2}.
Операція кон’юнкції висловлень А та В позначається
читаєть!
ся «А та В» і означає, що мають місце одночасно висловлення А та
висловлення В.
Висловлення А
В буде істинним лише тоді, коли будуть істинни!
ми обидва висловлення А та В, і буде хибним в усіх інших випадках.
Приклад.
Нехай М — множина коштів, що складається з коштів інвестора,
власника та співвласників для розвитку підприємства, а
М.
19
Частина 1. Елементи математичной логіки
Позначимо:
А(а)
{а — сума коштів, сплачених за нове обладнання},
В(а)
{а — кошти інвестора}.
Тоді кон’юнкція
А(а)
В(а)
С(а)
{нове обладнання сплачено коштом інвестора}.
1.8. Властивості прямих та обернених теорем
Теорема. Нехай А
1
(х), А
2
(х),..., A
N
(x), та В
1
(х), В
2
(х),...,
B
N
(x) – невизначені висловлення, що задані на деякій множині М
та мають такі властивості:
1) для будь&якого х множини М має місце хоч би одне з висловлень
А
1
(х), А
2
(х),..., A
N
(x);
2) вірні теореми А
1
(х)
В
1
(х), А
2
(х)
В
2
(х),..., A
N
(x)
B
N
(x);
3) висловлення В
1
(х), В
2
(х),..., В
N
(х) взаємно виключають одне
одного, тобто (для довільно взятого х), якщо одне з них буде істин&
ним, то всі останні обов’язково хибні. Тоді усі обернені теореми
В
1
(х)
А
1
(х), В
2
(х)
А
2
(х), … B
N
(x)
A
N
(x) також будуть вірні.
Доведемо справедливість теореми В
К
(х)
А
К
(х), для будь!яко!
го К (К=1, 2, N).
Нехай висловлення В
К
(х) буде істинним. Висловлення А
М
(х) при
M
К не може бути істинним тому, що інакше згідно з умовою 2
теореми було б істинним і В
М
(х), а це не можливо згідно з умовою
3. Але якщо усі висловлення крім А
К
хибні, тоді згідно з першою
умовою теореми повинно бути істинним висловлення А
К
(х).
Отже, якщо істинне В
К
(х), тоді істинне і А
К
(х), тобто має місце
теорема В
К
(х)
А
К
(х).
Зауваження. При вказаних умовах теореми завжди має місце
хоча б одне з висловлень В
1
(х), B
2
(х),..., B
N
(x), а висловлення А
1
(х),
А
2
(х),..., A
N
(x) взаємно виключають одне одного.
Приклад. Розглянемо квадратне рівняння
ax
2
+ bx + c = 0 (2)
з дійсними коефіцієнтами та D = b
2
– 4ас.
Розглянемо невизначені висловлення на множині усіх рівнянь
вигляду (2):
20
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
А
1
{D > 0}, А
2
{D < 0}, А
3
{D = 0},
В
1
{корені рівняння (2) дійсні та різні},
В
2
{рівняння (2) не має дійсних коренів},
В
3
{корені рівняння (2) співпадають}.
Неважко бачити, що усі висловлення А
1
, А
2
, А
3
, В
1
, В
2
, В
3
задо!
вольняють умовам наведеної теореми. Тому вірні не тільки прямі
теореми але й обернені.
Наприклад, перша з цих обернених теорем така:
якщо корені рівняння (2) дійсні та різні, тоді D > 0.
1.9. Вправи до частини 1
1. Прочитати словами висловлення, що записані знаками
а) 5 < 2; b) 11 + 3 = 18; с) 2 + 4
10;
d) 5
3
= 125; e) 6
3
216.
2. Сформулювати та записати заперечення до таких висловлень:
М
{257 — парне число}; Q
{число раціональне};
R
{число 7 додатне}; S
{число 5 від’ємне}.
3. Утворити заперечення до висловлень:
С
{27 не ділиться на 2};
D
{не існує парних простих чисел};
Е
{
57 35
}.
Встановити, які з цих висловлень та їх заперечень будуть істинними.
4. Для кожного з наведених висловлень скласти заперечення, а
потім подвійне заперечення. Впевнитись, що подвійне заперечення
співпадає за смислом з початковим висловленням:
А
{15 ділиться на 3}; В
{5 — додатне}; С
{3 < 7}.
5. На множині М, яка складається з чисел
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
задане невизначене висловлення
Е(х, у)
{х + у належить множині М}.
Вказати усі пари (а, b) елементів множини М, для яких вислов!
лення Е(а, b) буде істинним.