Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів
Подождите немного. Документ загружается.
21
Частина 1. Елементи математичной логіки
6. Запишіть з використанням знаків
,
такі висловлення:
1) Не усякий простий дріб виражається скінченним десятковим
дробом.
2) Яким би не було натуральне число х, знайдеться таке нату!
ральне число у, що х + у — просте число.
3) Яким би не було натуральне число х, можна підібрати таке
натуральне число у, що х
2
+ у
2
< 100.
4) Яким би не було натуральне число у, серед натуральних чисел
знайдеться таке число х, що х + у буде парним числом.
5) Якою би не була точка х на прямій l, існує на цій прямій така
точка у, що відстань між точками х та у дорівнює 3 одиницям.
7. Сформулюйте теорему А
В та обернену до неї, а також виз!
начте, чи буде обернена теорема вірна.
А
{натуральне число а ділиться на 9};
В
{сума цифр числа а ділиться на 3}.
8. Сформулювати та довести теорему, обернену до теореми Піфа!
гора.
9. Для невизначених висловлень
A
{усі сторони основи піраміди Р рівні між собою};
В
{усі бокові ребра піраміди Р рівні між собою};
С
{піраміда Р є правильною}.
Визначити вірність теореми:
А
В
С ; С
А
В.
10. Для невизначених висловлень, заданих на множині N усіх
натуральних чисел:
А(х)
{х ділиться на 2}; В(х)
{х ділиться на 3},
визначити смисл невизначеного висловлення
(
А(х))
(
B(x)).
22
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Частина 2
ПОЧАТОК АЛГЕБРИ
2.1. Дійсні числа та дії з ними
В шкільному курсі математики теорія дійсного числа викладаєть!
ся досить не повно тому, що основні визначення та доведення твер!
джень цієї теорії виходять за рамки шкільного курсу. Але дійсні числа
постійно і широко використовуються і тому потрібне більш глибоке
розуміння їх властивостей.
В цьому розділі зібрані (як правило, без доведень) властивості
раціональних та дійсних чисел, які дають математично правильне
уявлення про множину дійсних чисел.
Першими числами, з якими ми знайомимось у молодших класах
школи, є натуральні числа: 1, 2, 3, 4, ... Множина N усіх натуральних
чисел нескінченна. У цій множині N завжди можна виконати дві
операції: додавання та множення. Сума та добуток будь!яких двох
натуральних чисел знову будуть натуральними числами. Обернені
дії, віднімання та ділення, виконуються у множині натуральних чи!
сел не завжди.
Наприклад, 7–9 та 3:5 неможливо обчислити без виходу за межі
множини N усіх натуральних чисел. Щоб зробити ці операції мож!
ливими треба до множини N додати нові числа: 0, від’ємні цілі числа
та дробові, тобто одержати множину R усіх раціональних чисел. Часто
раціональні числа визначають так:
Будь&яке дійсне число, що можна представити у вигляді відношен&
ня
a
b
деяких двох цілих чисел а та b (де
0b
) називається раціо
нальним.
Але дійсні числа є більш складне поняття у порівнянні з раціо!
нальними числами. Тому визначення раціональних чисел через дійсні
числа не коректне.
23
Частина 2. Початок алгебри
Виникає питання: яким чином можна точно визначити множину
R раціональних чисел?
Аналогічні труднощі були і в геометрії при визначенні точки та
прямої. Шляхом введення аксіом геометрії, які дозволили одержати
необхідні властивості точки та прямої, а тим самим – їх «непряме
визначення». За допомогою властивостей, що вказані в аксіомах,
доводяться усі теореми геометрії.
Отже, коректного визначення раціональних чисел не існує. Зали!
шається інший (аксіоматичний) шлях побудови множини R раціо!
нальних чисел. Для цього без визначення вводять термін «раціональ!
не число» і формулюють властивості раціональних чисел, тобто
аксіоми, які по суті є «непрямим визначенням» множини раціональ!
них чисел. Множина R усіх раціональних чисел повністю характери!
зується такими групами властивостей:
a) Для будь&яких двох раціональних чисел а, b визначена їх сума
а+b. Операція додавання комутативна та асоціативна, тобто
a+b=b+a; (а+b)+с=а+(b+с).
Крім того, є число 0 таке, що а+0 = а.
Існує одне раціональне число х — корінь рівняння а+х=b.
Це число називається різницею чисел b та а і позначається b–а.
Різниця 0–а позначається –а.
b) В множині R раціональних чисел містяться усі цілі числа (0,
±1, ±2, ±…).
c) Для будь&яких двох раціональних чисел a, b визначений їх добу&
ток ab. Операція множення комутативна, асоціативна та дистри&
бутивна, тобто
ab=ba; (ab)c=a(bc); a(
b+c)=ab+bc.
При
0b
існує лише одне раціональне число, яке буде розв’язком
рівняння bx=а. Це число позначається
a
b
, а відповідна операція нази&
вається діленням.
d) Будь&яке раціональне число можна записати у вигляді
a
b
, де а
та b — деякі цілі числа (
0b
).
24
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Отже, раціональними називаються числа, що задовольняють
вказаним групам а) – d) властивостей.
Множина R раціональних чисел достатня для усіх арифметич!
них операцій. Але раціональних чисел не достатньо для розв’я!зання
багатьох алгебраїчних рівнянь (наприклад, х
2
= 5), вимірювання дов!
жини відрізка прямої, дій з нескінченним неперіодичним десятко!
вим дробом. Тому виникає потреба доповнити множину раціональ!
них чисел R ірраціональними числами, що разом з R утворюють
множину дійсних чисел D.
У шкільному курсі математики ірраціональним називають число,
яке можна записати у вигляді нескінченного неперіодичного десят!
кового дробу. Але таке визначення ірраціонального числа не коректно
тому, що воно вказує лише форму запису ірраціонального числа і
нічого не говорить про дії з такими числами.
Виникає потреба аксіоматичного опису властивостей множини
дійсних чисел D, частину яких складають ірраціональні числа.
Множина D усіх дійсних чисел повинна задовольняти 5 групам
властивостей.
1. Множина D містить усі раціональні числа.
2. Для будь&яких дійсних чисел a, b визначена їх сума а+b. Опера&
ція додавання комутативна та асоціативна. Існує одне дійсне число –
розв’язок рівняння b+х=а; це число називається різницею чисел а та
b і позначається а–b.
3. Для будь&яких дійсних чисел a, b визначений їх добуток ab.
Множення комутативне, асоціативне та дистрибутивне. Існує одне
дійсне число – розв’язок рівняння bх=а, яке позначається
a
b
, операція
знаходження їх відношення називається діленням.
4. Має місце співвідношення а > b (або b < а), якщо число а–b додат&
не. Якщо а від’ємне, тоді –а – додатне. Для будь&якого додатного дійсного
числа а знайдеться таке додатне раціональне число r, що r < а.
5. В множині дійсних чисел D кожна обмежена монотонна по&
слідовність має границю.
Відмітимо, що будь!яке твердження відносно дійсних чисел можна
довести з використанням цих властивостей.
25
Частина 2. Початок алгебри
Тепер розглянемо визначення та основні властивості абсолютної
величини дійсного числа.
Означення. Абсолютною величиною
a
дійсного числа а на&
зивається число а, якщо а додатне або дорівнює нулеві, та число –а,
якщо а від’ємне, тобто
,0;
,0.
aякщоа
a
аякщоа
Абсолютну величину дійсного числа можна визначити іншим
способом, а саме формулою
2
aa
.
Розглянемо два приклади, у яких одержимо основні властивості
абсолютної величини, що дуже часто використовуються.
Приклад 1. Довести, що нерівність
ab
еквівалентна
співвідношенням
bab
.
Розв’язання. Нехай має місце нерівність
ab
. Але
a
найб!
ільше з двох чисел а, –а, тому кожне з них задовольняє нерівність
ab
,
ab
.
Помножимо другу нерівність на (–1), одержимо
ba
. Поєднає!
мо нерівності
ba
та
ab
, тоді
bab
.
Зворотне, нехай має місце
bab
, тобто
ba
та
ba
.
Помножимо першу нерівність на (–1) і запишемо у вигляді
ab
.
Таким чином, кожне з чисел а, –а не більше b, а тому й найбільше з
них буде не більше b, тобто
ab
.
Приклад 2. Довести, що для будь!яких двох дійсних чисел а,
b має місце нерівність
a+b a + b
.
26
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Розв’язання. Запишемо для чисел а та b нерівності
aaa
;
bbb
.
Шляхом додавання цих нерівностей одержимо
aba+bab
або
()ab a+bab
.
Таким чином, число
cab
задовольняє нерівностям
ca+bc
і тому, в силу прикладу 1,
a+b c
тобто
a+b a b
,
що і треба було довести.
В багатьох життєвих ситуаціях та фінансових розрахунках треба
робити поділ дійсного числа на декілька прямо або обернено про!
порційних частин та знаходити певну кількість відсотків числа.
Розглянемо ці дії з дійсними числами.
Означення. Величини А та В називають прямо пропорційни
ми, якщо існує коефіцієнт пропорційності k такий, що виконується
рівність
А = kВ.
Правило. Для поділу числа А на частини, пропорційні числам В, С,
D треба ввести коефіцієнт пропорційності k. Тоді шукані частини
числа А будуть kВ, kC, kD, а тому
А = kВ + kC + kD
A = k(B + C + D)
A
k
B
CD
.
Знання k дозволяє знайти шукані частини у вигляді
A
B
BC D
,
A
C
B
CD
,
A
D
B
CD
.
Приклад 3. До нового року дідусь подарував онукам, яким 14,
6 та 3 роки, 759 гривень з умовою, що вони будуть поділені пропор!
ційно їх віку. Скільки коштів одержить кожен з онуків?
Розв’язання. Треба поділити число 759 на частини пропорційні
числам 14, 6, 3. Нехай k коефіцієнт пропорційності. Тоді шуканими
числами будуть 14k, 6к та 3k. З рівності
27
Частина 2. Початок алгебри
759 = 14k + 6k+3k
759
33
23
k
.
Таким чином,
старший онук одержить
33 14 462
(гривень),
середній онук одержить
33 6 198
(гривень),
молодший онук одержить
33 3 99
(гривень).
Означення. Величини А та В називаються обернено пропор
ційними, якщо існує таке k, що виконується рівність
k
B
A
.
Правило. Для поділу заданого числа А на частини обернено про&
порційні числам В, С, D треба шукані частини вважати рівними
,,
kkk
BC D
. Тоді з рівності
kkk
A
B
CD
знаходимо k:
111
AABCD
k
CD BD BC
BC D
.
Знання k дозволяє знайти шукані частини.
Приклад 4. Власник підприємства виділив 88 гривень на зао!
хочення трьох працівників і вирішив розподілити ці кошти оберне!
но пропорційно кількості втрачених робочих годин. Скільки коштів
одержить кожен працівник, якщо один
З
них втратив 3 години, дру!
гий –
25
16
години, третій — 5 годин?
Розв’язання. Треба поділити число 88 на частини обернено
пропорційні числам 3,
25
16
, 5.
Нехай k — коефіцієнт пропорційності. Тоді шуканими частина!
ми будуть
28
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
;
3
k
16
;
25
25
16
kk
.
5
k
Отже,
16 25 48 15 88
88 88 88 75.
3255 75 75
kkk kkk k
k
Таким чином, працівник, що втратив 3 робочих години, одержить
75
25
3
(гривень). Працівник, що втратив
25
16
робочих години, одер!
жить
75 75 16
48
25
25
16
(гривень). Працівник, що втратив 5 робочих
годин, одержить
75
15
3
(гривень).
Приклад 5. Сума 4 чисел дорівнює 388. Перше відноситься до
другого, як 3:2, друге до третього, як 1:3, а третє число так відносить!
ся до четвертого, як 5:7. Знайти найменше з цих чисел.
Розв’язання. Нехай перше число А, друге В, третє С, четверте
D. Тоді маємо
A + B + C + D = 388. (1)
Згідно з умовою
33
22
A
AB
B
, (2)
1
3
3
B
CB
C
, (3)
57721
3
7555
C
D
CBB
D
. (4)
Підставимо (2), (3) та (4) у рівність (1). Одержимо
29
Частина 2. Початок алгебри
3 21 15103042
3 388 388
25 10
97 3880
388 40.
10 97
BBBB
BB B B
BB
З формул (2), (3) та (4) випливає, що А > В, С > B, D > B. Отже,
В є найменшим числом. Відповідь: найменшим з цих чисел буде 40.
Означення. Відсотком числа С називають
1
100
– його час&
тину. А відсотків числа С буде
100
C
A
.
Приклад 6. Знайти:
а) 8% від 1250 грн.; b) 4,5% від 3,6 тони; с) 120% від 350.
Розв’язання.
а)
1250 125 4
8 25 4 100
100 5
(грн.);
b)
3,6 4,5 3600 4,5 36 45
18 9 162
100 100 10
ткг
(кг);
с)
350
120 35 12 420
100
.
Приклад 7. Знайти число, 3% якого дорівнюють 36.
Розв’язання. Позначимо шукане число А. Згідно з умовою
3 36 3 3600 1200
100
A
AA
.
Приклад 8. В січні завод виконав план на 108%, а в лютому
виробив продукції на 7% більше, ніж у січні. Скільки продукції було
30
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
зроблено понад план за січень та лютий, якщо за місячним планом
завод повинен виробляти 90 000 одиниць продукції?
Розв’язання. Згідно з умовою задачі у січні завод одержав про!
дукції на 8% більше плана, а в лютому він перевиконав план на
8% +
108 7
100
= (8 + 7,56)% = 15,56%.
Таким чином, за січень та лютий план перевиконано на
(8 + 15,56)% = 23,56%.
Цей відсоток дозволяє знайти кількість одиниць продукції, зробленої
понад план
90000
23,56 21204
100
(одиниць продукції).
Вправи до розділу 2.1
1. Знайти абсолютну величину чисел:
77, –61, 24, 0, –11.
2. Яким нерівностям задовольняє кожне з чисел а, b, с, якщо
6a
;
9
b
;
1
2
c
.
3. Число 100 поділити на три частини, прямо пропорційні чис!
лам
135
,,
246
.
4. Число 1510 поділити на частини, обернено пропорційні чис!
лам
21
;0.7;1
32
.
5. Знайти 13,4% від 180 км.
6. Знайти 154% від 540.
7. Для якого числа 50,1 складає 0,6%?
8. Поїзд пройшов 793 км за 13 годин; з тією ж швидкістю він
пройшов відстань між двома селищами за 6 годин. Яка відстань між
цими селищами?