Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів
Подождите немного. Документ загружается.
51
Частина 2. Початок алгебри
!
()
!!
k
n
n
C
nkk
. (2)
Приклад 15. На підприємстві працюють 15 співробітників, троє
з них не мають відповідної кваліфікації. Скільки можна скласти
списків:
а) по 8 співробітників;
b) по 6 кваліфікованих співробітників;
с) по 9 співробітників, два з яких не мають відповідної кваліфі!
кації?
Розв’язання:
а) при складанні списку 8 працівників з 15 нас нецікавить їх по!
рядок, тому кількість таких списків буде
8
15
15! 9101112131415
3 11 13 15 6435
7! 8! 1 2 3 4 5 6 7
C
.
b) при складанні списків 6 кваліфікованих співробітників їх
треба обирати з 12 кваліфікованих (15 – 3) співробітників, порядок
співробітників у кожному списку не враховується, тому кількість
таких списків буде
6
12
12! 7 8 9 10 11 12
924
6! 6! 1 2 3 4 5 6
C
.
c) для складання списків з 9 працівників, 2 з яких не мають відпо!
відної кваліфікації, треба обирати 7 співробітників з 12 кваліфікова!
них та 2 співробітника з 3 не кваліфікованих. Кількість потрібних
списків згідно із правилом добутку буде
72
12 3
12! 3! 8 910 11 12 1 2 3
2376.
5! 7! 1! 2! 1 2 3 4 5 1 2
CC
Означення. Комбінації з n елементів, в які входять усі п еле&
ментів і відрізняються лише порядком елементів називають переста
новками із n елементів, їх кількість позначають Р
n
і знаходять за
формулою
Р
n
= n! (3)
52
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Відмітимо, що між кількостями основних комбінацій комбінатори!
ки існує зв’язок вигляду
k
k
n
n
k
A
C
P
, (4)
mnm
nn
CC
. (5)
Запитання для самоперевірки
1. Що вивчає комбінаторика та які її основні правила?
2. Які комбінації називають розміщеннями, сполученнями, пере!
становками? За якими формулами знаходять кількості цих комбі!
націй?
Вправи до розділу 2.5
1. Скільки п’ятизначних чисел можна скласти з використанням
п’яти різних цифр?
2. Правління підприємства складається з 7 осіб. Скільки можна
скласти варіантів обрання з їх числа трьох керівників – президента,
директора та комерційного директора?
3. Скільки існує способів для розміщення 12 гостей за столом, де
стоять 12 стільців?
4. З 7 кандидатів обирають президента та віце!президента. Скільки
може бути різних комбінацій обрання?
5. Скількома способами з 10 осіб можна обрати комісію у складі
4 осіб.
53
Частина 3. Прогресії та математика фінансів
Частина 3
ПРОГРЕСІЇ ТА МАТЕМАТИКА ФІНАНСІВ
3.1. Загальні поняття послідовності
Пронумерований ряд чисел називають числовою послідовністю.
У загальному вигляді числова послідовність записується так:
12
,,,
n
aa a
або
1
.
n
k
k
a
Числа
12
,,,
n
aa a
називають членами послідовності, 1, 2,..., n —
номери членів послідовності,
k
a
— k!й член послідовності.
Щоб задати послідовність, треба вказати правило, за яким кож!
ному натуральному числу n ставиться у відповідність одне й тільки
одне число а
n
. Основний спосіб завдання послідовності аналітичний,
тобто формулою її загального члена.
Наприклад,
2
21
1
n
n
a
n
. За цією формулою можна знайти будь
який член послідовності, підставивши замість n його номер. Скажімо,
7
2
27 1 15 3
0,3
7 1 50 10
a
.
Послідовність називається скінченною, якщо множина її членів
скінченна, і нескінченною, якщо множина її членів нескінченна.
Числова послідовність називається монотонно зростаючою
(спадною), якщо кожен її член, починаючи з другого, більший (мен!
ший) за попередній, тобто а
n+1
> а
n
(а
n+1
< а
n
),
nN
.
Числова послідовність називається обмеженою зверху, якщо усі
її члени менші від певного числа М, тобто а
n
< M,
nN
.
Числова послідовність називається обмеженою знизу, якщо усі її
члени більші від певного числа m; а
n
> m,
nN
.
Числова послідовність називається обмеженою, якщо вона об!
межена зверху та знизу, тобто m < а
n
< М,
nN
.
54
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
3.2. Арифметична прогресія та прості відсотки
Означення. Арифметичною прогресією називається числова
послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попе&
редньому члену, доданому до певного сталого для даної послідовності
числа d, яке називається різницею прогресії. Арифметичну прогре&
сію позначають
.
У випадку d > 0 арифметичну прогресію називають зростаю
чою, а при d < 0 — спадною.
За означенням арифметичної прогресії маємо
1
,
nn
aad
nN
.
Теорема 1. Загальний член арифметичної прогресії може
бути знайдений за формулою
a
n
= a
1
+ (n – 1)d. (1)
Доведення. Доведення проведемо методом математичної індукції.
Згідно з формулою (1) маємо
а
2
= a
1
+ d
а
3
= а
2
+ d = a
1
+ 2d.
Нехай має місце (1) для деякого n і доведемо її для n + 1. Згідно
з означенням маємо:
а
n+1
= а
n
+ d.
Підставивши у цю рівність замість а
n
, його значення з (1), одер!
жимо:
а
n+1
= a
1
+(n – 1)d + d = a
1
+ nd або а
n+1
= a
1
[(n +1) –1]d.
Остання рівність – це формула (1) записана для n + 1, яку й треба
було довести.
Наприклад, послідовність
15
2
1
1
n
n
обмежена тому, що
2
1
01
n
.
Частинними випадками послідовності є арифметична та геомет!
рична прогресії.
55
Частина 3. Прогресії та математика фінансів
3.2.1. Властивості арифметичної прогресії
1. Кожен член арифметичної прогресії
12
,,,,
n
aa a
починаючи з
другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів,
тобто
1
,
2
kk
k
aa
a
де
2k
. (2)
Дійсно, якщо
1
,
kk
aa d
11kk kk
aadaad
.
Сума цих рівностей дає:
11
2
kk k
aa a
звідки випливає фор!
мула (2).
2. Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, рівновідда&
лених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії, тобто
11
,
knk n
aa aa
2k
. (3)
Дійсно,
11 1 1
121;
knk
aa a k d a nkd a n d
111 1
12 1.
n
aa aa n d a n d
Праві частини цих рівностей співпадають, тому їх ліві частини
рівні, тобто має місце рівність (3) для k
2.
3. Сума членів скінченної арифметичної прогресії дорівнює добут&
ку півсуми крайніх її членів на число всіх членів:
1
2
n
n
aa
Sn
. (4)
Для доведення цього твердження запишемо суму S
n
арифметич!
ної прогресії двома способами:
S
n
= а
2
+а
2
+...+ a
n–1
+ а
n
,
S
n
= а
n
+а
n–1
+...+ a
2
+ а
1
.
Додавши почленно ліву і праву частини, одержимо згідно фор!
мули (3):
2S
n
= (а
1
+ а
n
)
n,
звідки і випливає формула (4).
56
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Наслідок. Якщо замість a
n
підставити у формулу (4) його
значення у вигляді (1), тоді одержимо другу формулу для суми членів
арифметичної прогресії:
1
21
2
n
and
Sn
. (5)
Приклад 1. Між числами 7 та 35 записати 6 чисел, які разом
з заданими числами утворюють арифметичну прогресію.
Розв’язання. За умовою: а
1
= 7, n = 8, а
8
= 35.
З рівності а
8
= а
1
+ 7d одержимо: 35 = 7 + 7d
7d = 28
d = 4.
Таким чином:
7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35.
Приклад 2. Визначити a
1
, d та n арифметичної прогресії, в
якій S
3
=30, S
5
=75, S
n
=105.
Розв’язання. За умовою а
1
+ а
2
+ а
3
= 30. Але а
1
+ а
3
= 2а
2
, тому
2а
2
+ а
2
=30
а
2
= 10.
Аналогічно: а
1
+ а
2
+ а
3
+ а
4
+ а
5
= 75, але а
1
+ а
5
= а
2
+ а
4
= 2а
3
,
тому 5а
3
= 75
а
3
= 15.
Знаючи а
3
та а
2
, знаходимо різницю прогресії d = а
3
– а
2
= 10 – 5 = 5.
Але тоді а
1
= а
2
– d = 10 – 5 = 5. Згідно з умовою
1
21
105 105.
2
n
adn
Sn
Підставивши у цю рівність а
1
=5 та d = 5, знайдемо n.
10 5 1
105 10 5 5 210
2
n
nnn
22
1
552100 420 7nn nn n
не підходить тому, що кількість членів прогресії додатна, n
2
= 6.
Відповідь: а
1
= 5, d = 5, n = 6.
Приклад 3. Фірма почала використовувати нову технологічну
лінію вартістю 1 млн. 700 тис. гривень, вартість якої буде зменшува!
тися кожного року на 150 тис. гривень. Знайти значення вартості цієї
57
Частина 3. Прогресії та математика фінансів
технологічної лінії після п років. При вартості 200 тис. гривень тех!
нологічна лінія буде не придатною для виробництва. Коли цe ста!
неться?
Розв’язання. Згідно з умовою задачі вартість лінії з кожним ро!
ком зменшується на 150 тис. гривень, тому її вартість після першого,
другого, третього років і далі буде:
1700 – 150, 1700 – 2(150), 1700 – 3(150),... або 1550, 1400, 1250,...
Ця послідовність значень вартості утворює арифметичну прогре!
сію з а
1
= 1550, d = 1400 – 1550 = –150. Отже,
a
n
= a
1
+ (n – 1)d = 1550 + (n – 1)(–150) = 1700 – 150n,
де а
n
вимірюється у тисячах гривень, n — кількість років.
Тепер треба знайти значення n, при якому а
n
= 200.
З рівності 200 = 1700 – 150n одержимо
150n =1700 – 200
150n = 1500
n = 10.
Отже, цю технологічну лінію можна використовувати 10 років.
3.2.2. Поняття простих відсотків на капітал
Якщо сума коштів Р вкладена під R відсотків річних, то після
першого року буде одержано прибуток величиною d = Р
100
R
.
Якщо вкладення капітана здійснюється під простий річний відсо!
ток, тоді з кожним роком прибуток зростає на однакову величину.
Тому послідовність значень капіталу буде Р, P + d, P + 2d, P + 3d,...
тобто ці значення утворюють арифметичну прогресію.
Отже, величина капітали Р, вкладеного під простий річний
відсоток R, через п років
1.
100 100
n
RnR
aPndPnP P
Наприклад, якщо вкладено 5000 гривень під простий річний відсо!
ток 10%, тоді через 5 років вкладник матиме:
5
510 1
5000 1 5000 1 5000 2500 7500
100 2
a
гривень.
58
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
3.3. Геометрична прогресія та складні відсотки
Означення. Геометричною прогресією називається по&
слідовність, кожний наступний член якої дорівнює попередньому, по&
множеному на одне й те саме число q, яке називають знаменником
прогресії. Геометричну прогресію позначають
.
Згідно з означенням
1
,
nn
bbq
nN
. (1)
Наприклад,
1, 3, 9, 27, ... — геометрична прогресія із знамен!
ником q = 3.
Геометрична прогресія називається зростаючою, якщо |q| > 1, і
спадною, якщо |q| < 1.
Якщо кількість членів геометричної прогресії скінченна, тоді вона
називається скінченною, у протилежному випадку вона називається
нескінченною геометричною прогресією.
Методом математичної індукції можна довести, що загальний член
геометричної прогресії знаходять за формулою
1
1
n
n
bbq
. (2)
Приклад 1. Знайти шостий та дев’ятий члени геометричної
прогресії, в якій b
1
= 2, q = 3.
Розв’язання. За формулою (2) маємо:
55
61
23;bbq
88
91
23.bbq
3.3.1. Властивості геометричної прогресії
1. Будь&який член геометричної прогресії з додатними членами,
починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному двох сусідніх
з ним членів:
11kkk
bbb
. (3)
Дійсно, за формулою (2) маємо b
k
= b
k
q
k–1
21
22 1
11 1 1 1 1
.
k
kk k
kk
b b bq bq b q bq
Бачимо, що обидві частини рівності (3) однакові.
59
Частина 3. Прогресії та математика фінансів
2. Добутки членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддале&
них від її кінців, рівні між собою, тобто
11knk n
bb bb
. (4)
Дійсно,
121
11 1 1
;
knk n
knk
b b bq bq b q
121
111 1
nn
n
bb bbq bq
.
Отже, обидві частини рівності (4) однакові.
4. Сума членів скінченної геометричної прогресії може бути знай&
дена за формулою:
1
1
1
n
n
bq
S
q
. (5)
Для доведення цієї формули запишемо
21
11 1 1
n
S b bq bq bq
. (6)
Помноживши обидві частини цієї рівності на q, одержимо
23
11 1 1
n
n
qS bq bq bq bq
. (7)
Віднімемо почленно з рівності (6) рівність (7), тоді одержимо
21 21
11 1 1 1 1 1 1
nnn
nn
S qS b bq bq bq bq bq bq bq
11
n
nn
SqSbbq
,
тобто (1 – q)S
n
= b
1
(1 – q
n
). З останньої рівності випливає формула (5).
4. Суму всіх членів нескінченної спадної геометричної прогресії зна&
ходять за формулою
1
.
1
b
S
q
(8)
Доведення. Члени геометричної прогресії спадають, тому |q| < 1.
Розглянемо суму членів вказаної геометричної прогресії як границю
суми скінченної геометричної прогресії. Тоді
1
11
1
lim lim lim 1 lim1 lim
11 1
n
nn
n
nn n nn
bq
bb
SS q q
qq q
.
60
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Але
lim1 1,
n
lim 0.
n
n
q
Отже,
1
1
b
S
q
, що і треба було до!
вести.
Приклад 2. Перетворити періодичний дріб у простий дріб:
а) 0,(5); b) 0,3(7).
Разв’язання.
a) Маємо чистий періодичний дріб
55 5
0, 5 0,555 ,
10 100 1000
тобто маємо нескінченно спадну геометричну прогресію, в якій
1
51
,
10 2
b
1
.
10
q
Тому за формулою (8)
1
19 10 5
2
0, 5 : .
1
210 18 9
1
10
b) Маємо мішаний періодичний дріб
37 7 7
0,3 7 0,3777
10 100 1000 10000
Після першого доданка маємо нескінченно спадну геометричну
прогресію з першим членом
1
7
100
b
та знаменником
1
10
q
.
Тому
7
3379372773417
100
0,3 7 : .
1
10 10 100 10 10 90 90 90 45
1
10