Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів
Подождите немного. Документ загружается.
71
Частина 3. Прогресії та математика фінансів
У таблиці 1 знаходимо
5
0,08
3,99271,a
тому
8000
2003,65.
3,99271
P
Отже, для погашення боргу студент повинен в кінці кожного року
сплачувати фонду навчання 2 003,65 доларів.
Вправи до розділу 3.4
1. Кожного року батьки вносять Р доларів на свій рахунок нако!
пичення із щорічним прибутковим зростанням рахунку на R
відсотків. Обчислити суму коштів, накопичених за п років.
а) Р = 800; R = 2; n = 17; b) Р = 500; R = 1/2; n = 12;
c) Р = 300; R = 3; n = 25; d) Р = 200; R = 3; n = 18;
e) Р = 500; R = 5; n = 27; f) Р = 150; R = 2; n = З0;
g) Р = 250; R= 1/2; n = 11; h) Р = 80; R = 5; n = 29.
2. Батько бажає відкрити рахунок ренти на ім’я доньки у стра!
ховій компанії, яка сплачує R щорічних прибуткових відсотків. Його
умова – сплачувати на початку кожного року Р доларів на протязі n
років, починаючи з наступного року. Яку кількість А коштів він по!
винен зараз покласти на рахунок?
а) P = 2000; R = 8; n = 3; b) Р = 3000; R = 6; n = 3;
c) Р = 6000; R = 6; n = 5; d) Р = 7000; R = 6; n = 5;
e) Р = 4000;
R = 8; n = 4; f) Р = 5500; R = 6; n = 4;
g) Р = 2800; R = 8; n = 2; h) Р = 3000; R = 8; n = 12.
3. На час навчання студент університету отримав з фонду навчання
в борг А доларів. Цю позику йому надано із R% щорічного зростання і
умовою щорічного повернення боргу на протязі п років (на початку
кожного року після закінчення університету). Скільки коштів повинен
повертати студент кожного року після закінчення університету?
а) А = 10000; R = 8; n = 5; b) А = 9000; R = 8; n = 5;
с) А = 6000; R = 6; n= 10; d) А = 18000; R = 8; n = 20;
e) А = 12000; R = 6; n = 15; f) А = 6000; R = 6; n = 8;
g) А = 7500; R = 8; n = 5; h) А = 12000; R = 6; n = 17.
72
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
3.5. Різницеві рівняння
Означення 1. Нехай y
0
, у
1
, у
2
, у
3
, ... – послідовність дійсних чисел.
Різницевим рівнянням порядку k називають рівняння, що зв’язує y
0
,
у
1
, у
2
, у
3
, ... y
n+k
для кожного
значення n (n = 0, 1, 2, 3, ...).
Приклад 1. Визначити порядок різницевих рівнянь:
а)
3
3;
nn
y
ny
b) у
п
+2
=2 – 5у
п
+1
= у
п
; с)
23
1
84
nnn
yyy
.
Рівняння а) 3 порядку тому, що зв’язує у
n
з у
n+3
.
Рівняння b) 2 порядку тому, що зв’язує у
n
, у
n+1
, y
п
+2
.
Рівняння с) першого порядку тому, що зв’язує у
n
, у
n+1
.
Зауваження. В означенні 1 індекс п змінюється від 0 і приймає
цілі додатні значення. Але n може починати змінюватись не обов’язко&
во з 0, а з інших значень. Наприклад, з (–1) або 3 і таке інше. У таких
випадках п буде приймати відповідні можливі значення.
Означення 2. Розв’язком різницевого рівняння називають
таку множину значень у
n
, яка задовольняє різницеве рівняння для усіх
можливих значень n, при яких у
n
визначена як функція п.
Приклад 2. Показати, що послідовність
1
1,1,2,3,
2
n
ynn
(1)
є розв’язком різницевого рівняння
1
.
nn
y
yn
(2)
Розв’язання. Підставимо у формулу (1) значення n = 1, 2, 3, 4.
Одержимо:
1
1
111 1;
2
y
2
1
221 3;
2
y
3
1
331 6;
2
y
4
1
441 10.
2
y
Перевіримо, що усі ці значення задовольняють рівняння (2).
73
Частина 3. Прогресії та математика фінансів
Мaємо:
у
2
– у
1
= 3 – 1 = 2
2; у
3
– у
2
= 6 – 3 = 3
3; у
4
– у
3
= 10 – 6 = 4
4.
Щоб закінчити розв’язування, треба показати, що послідовність
вигляду (1) задовольняє рівняння (2) для усіх можливих n. Для цього
спочатку знайдемо у
n–1
. Член послідовності визначено для усіх n = 1,
2, 3, ... формулою (1). Підставивши замість п у формулу (1) (n – 1),
одержимо
1
11
111 1
22
n
ynn nn
.
Тепер підставимо у
n
та у
n–1
у ліву частину рівняння (2). Тоді
1
111
1111.
222
nn
y
ynn nn nnnnn
Отже, послідовність (1) задовольняє різницеве рівняння (2) для
усіх n = 1, 2, 3,..., тому ця послідовність і буде розв’язком рівняння
(2).
Теорема 1. Загальним розв’язком різницевого рівняння виг
ляду
1
,
nn
y
ay
де
a
задана стала, буде
,
n
n
y
ca
де
c
довільна стала. Значення
сталої
c
визначається за формулою
,
p
p
c
y
a
якщо заданий один член послідовності
p
y
.
Доведення. Різницеве рівняння для n = 1, 2, 3, ... має вигляд:
n = 1: y
1
= ау
0
n = 2: у
2
= аy
1
= а(ау
0
) = а
2
у
о
n = 3: у
3
= ay
2
= a(a
2
y
0
) = a
3
y
0
(3)
… …
n = n: y
n
= a
n
y
0
Перша частина теореми доведена із с = у
0
.
Якщо у формулі (3) взяти n = р, тоді одержимо y = а
р
у
0
, aлe
у
0
= с, тому у
p
= а
p
с
с = у
p
а
–p
, що і треба було довести.
74
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Розв’язок у
n
= са
n
різницевого рівняння у
n
= ау
n–1
зростає за по!
казниковим законом при а > 1 і спадає при 0 < а < 1.
Відмітимо, що запільний розв’язок різницевого рівняння залежить
від довільної сталої с. Для її знаходження треба мати ще якусь інфор!
мацію.
Приклад 3. Знайти розв’язок рівняння y
п
+1
= –0,5у
п
, для якого
y
5
= 2.
Розв’язaння. У даному випадку а = –0,5 і згідно з теоремою 1
загальним розв’язком рівняння буде
у
n
= с(–0,5)
n
,
де с = у
p
а
–
р
= у
5
(–0,5)
–5
= 2(–0,5)
–5
= –2
6
.
Підставивши знайдене с у загальний розв’язок рівняння, одер!
жимо
1
66
1
212
2
n
n
n
n
y
.
Ознайомимось тепер з іншою теоремою, яка має особливе зна!
чення в математиці фінансів.
Теорема 2. Загальним розв’язком різницевого рівняння
1
,
nn
y
ay b
(4)
де
a
та
b
— задані сталі,
1a
, є послідовність
1
n
n
b
yca
a
,
де
c
— довільна стала. Значення
c
можна визначити, якщо зада
но хоча б один член послідовності
n
y
. Якщо відомий
p
y
, тоді
.
1
p
p
b
ca y
a
Доведення. Позначимо
.
1
nn
b
zy
a
75
Частина 3. Прогресії та математика фінансів
Тоді
111
1
11 1
nn n n n n
ba
bb
zaz y ay yay
aa a
. (5)
Із рівняння (4) випливає, що
1
,
nn
y
ay b
1
1
1
a
a
, тому (5)
можна записати так z
n
– az
n
= b – b = 0.
Отже, z
n
задовольняє рівняння z
n
– az
n
=0, тому за твердженням
теореми 1 загальним розв’язком цього рівняння буде z
n
=ca
n
, де
c
—
довільна стала. Повертаючись від z
n
до у
п
, одержимо:
,
11
n
nn
bb
yz ca
aa
що й було потрібно.
Твердження теореми відносно знаходження
c
випливає з остан!
ньої рівності, а саме
.
1
p
p
b
yca
a
Зауваження. При а = 1 в рівнянні (4) загальний розв’язок буде
мати вигляд
0n
yy
nb
. (6)
Приклад 4. Знайти розв’язок різницевого рівняння
1
23;
nn
yy
1
5.y
Розв’язання. Задане рівняння має вигляд (4) при а = 2, b = 3.
Тому його загальним розв’язком буде
3
223.
121
nnn
n
b
yca c c
a
Поклавши у цій рівності n = 1 і використовуючи значення у
1
,
одержимо
1
1
23235 4yc c c
.
Отже, шуканий розв’язок буде таким
42 3
n
n
y
.
76
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
3.5.1. Застосування різницевих рівнянь в математиці фінансів
У фінансових розрахунках часто використовують різницеві
рівняння замість геометричної прогресії. Для розуміння цього спо!
собу розв’язування фінансових задач розв’яжемо, з використанням
різницевих рівнянь, приклад 1 розділу 3.4.
Приклад 5. Кожного місяця робітник вносить 100 гривень на
свій рахунок накопичення з одержанням прибутку
1
2
% за кожен
місяць. Треба знайти величину його накопичень:
a) одразу після здійснення n!гo внеску;
b) одразу після здійснення 25 внеску.
Розв’язання. Нехай у
n
– значення рахунку відразу після n вкла!
да. Тоді перше, початкове значення величини рахунка буде у
1
= 100.
Ми можемо виразити у
n
через у
n–1
таким чином:
Значення рахунку після п вкладу = значенню після
(n – 1) вкладу + відсоток прибутку + останній вклад,
тобто
y
n
= y
n–1
+ 0,005 y
n–1
+ 100
y
n
= 1,005 y
n–1
+ 100.
Остання рівність є різницевим рівнянням вигляду, який вказано
у теоремі 2. Згідно з твердженням цієї теореми загальним розв’язком
рівняння буде
100
1,005 1,005 20000.
11,0051
nn
n
n
b
yca c c
a
При n = 1 будемо мати y
1
= с
1,005 – 20000 = 100
с = 20000.
Отже, розв’язком для випадку а) буде
y
n
= 20000
[(1,005)
n
– 1],
у випадку b) одержимо:
у
25
= 20 000
[(1,005)
25
– 1] =20 000
[1,1380– 1] = 2 655,91.
Одержані відповіді співпадають з відповідями прикладу 1 розді!
лу 3.4, але одержані іншим способом.
77
Частина 4. Матриці та визначники
Вправи до розділу 3.5
1. Визначити порядок різницевих рівнянь:
а) nу
n+1
+ (n + 1)у
n
= n
3
;b)
32
;
nnn
y
yy
c)
41
3;
nnn
y
ny y
d)
2
52.
nn
y
yn
2. Показати, що послідовність
2
n
n
y
є розв’язком різницевого
рівняння
21
560
nnn
yyy
.
3. Обчислити перших 4 члена послідовності
2
1
2,
nn n
y
yyn
якщо
0
2y
.
4. Знайти розв’язок рівняння у
n
= –5 у
n–1
, якщо у
2
= –3.
5. Знайти при у
0
= 2 розв’язки рівнянь:
a)
1
3;
nn
yy
b)
1
33.
nn
yy
6. 2000 гривень зберігаються з простим 8% прибутком за кожен
рік, у
n
– величина вкладу після а років зберігання. Запишіть різни!
цеве рівняння для у
n
і його розв’язку. Чому буде дорівнювати вели!
чина вкладу через 10 років?
У загальному випадку, коли перший внесок на рахунок накопи!
чення Р, відсоток прибутку кожного місяця або року R, одержимо
величину накопиченого у
n
за формулою:
,
nn
i
y
ps
де
;
100
R
i
n
i
s
– табульовані.
Остання формула співпадає з одержаною раніше іншим спосо!
бом формулою (4) розділу 3.4.
78
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Частина 4
МАТРИЦІ ТА ВИЗНАЧНИКИ
4.1. Різновиди матриць
Означення 1. Матрицею називають таблицю упорядкованих
чисел або будь&яких інших об’єктів, розташованих в m рядках та п
стовпцях.
Матриці позначають великими літерами, наприклад А, В, С... та
круглими дужками.
Матриця, яка має m рядків та п стовпців, називається матрицею
розміру
mn
(перший множник завжди вказує кількість рядків).
Така матриця має вигляд
11 12 1
21 22 2
12
n
n
mm mn
aa a
aa a
A
aa a
.
Кожен елемент
i
j
a
матриці А має два індекси: перший індекс і
вказує номер рядка, в якому знаходиться цей елемент, другий
індекс j вказує номер стовпця, який містить цей елемент. Так,
елемент а
23
знаходиться на перетині другого рядка та третього
стовпця матриці А.
Матриця розміру
1m
називається матрицєюстовпцем або
векторомстовпцем. Матриця розміру
1 n
називається матри
цєюрядком або векторомрядком.
Наприклад, нехай задані матриці
328
;
014
A
3451
6892;
2345
B
79
Частина 4. Матриці та визначники
3
2
;
4
1
C
812 36.D
Матриця А має розмір
23
, матриця В розміру
34
, С – мат!
риця!стовпець розміру
41
, D – матриця!рядок
14
.
Матрицю називають квадратною порядку n, якщо кількість її
рядків однакова з кількістю стовпців і дорівнює n.
Наприклад, квадратна матриця А порядку n має вигляд
11 12 1
21 22 2
12
n
n
nn nn
aa a
aa a
A
aa a
.
Множина елементів а
11
, а
22
, а
33
, ..., а
nn
квадратної матриці А по!
рядку n утворюють головну діагональ матриці, а множина елементів
11
21 32
,,,,
nn
nn
aa a a
утворює допоміжну (або неголовну) діа
гональ матриці.
Квадратна матриця, у якій
0
ij
a
лише при і = j називається
діагональною. Діагональна матриця з елементами
1
ii
a
називаєть!
ся одиничною матрицею і найчастіше позначається Е або І.
Наприклад, нехай задані матриці
1000
0100
;
0030
0005
B
100
010;
001
E
000
0000
000
.
В – діагональна матриця 4&го порядку, Е – одинична матриця
порядку 3, 0 – нульова квадратна матриця порядку 3.
80
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Для скорочення матриці можна записати у вигляді
,
ij
a
коли
розмір матриці А відомий, або
.
ij
mn
a
Матриці А та В називають рівними, якщо:
1) вони мають однаковий розмір;
2) їх відповідні елементи рівні, тобто
ij ij
ab
для усіх і = 1, 2, ..., m;
j = 1, 2 , ..., n.
Якщо в матриці А рядки записати стовпцями із збереженням їх
порядку, то одержану матрицю називають транспонованою і позна!
чають А
T
, а вказана операція перетворення матриці А називається
транспонуванням матриці А. Наприклад,
якщо
245
389,
11 4 1
B
тоді
2311
48 4.
59 1
T
B
Матриці широко використовуються в плануванні виробництва та
транспортних перевезень. Вони дозволяють розробляти різні варіан!
ти плана, полегшують дослідження залежності між різними економіч!
ними показниками.
Приклад 1. Мале підприємство виробляє 4 види продукції –
А, В, С та D, використовуючи на кожну з них різну кількість двох
матеріалів та праці (кількості робочих годин). Конкретна інформа!
ція вказана у таблиці.
У цій ситуації є 12 дійсних чисел, які можна впорядкувати і за!
писати у вигляді матриці
250 300 170 200
160 230 75 0
80 85 120 100
F
Вироби: А В С D
Одиниць матеріалу X: 250 300 170 200
Одиниць матеріалу Y: 160 230 75 0
Кількість робочих годин: 80 85 120 100