Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів
Подождите немного. Документ загружается.
91
Частина 4. Матриці та визначники
Підставимо ці значення мінорів у відповідні рівності (4), одер!
жимо шукані алгебраїчні доповнення
21
13;
A
33
5.
A
Тепер можемо сформулювати правило обчислення визначника
n!го порядку.
Правило. Визначник n&го порядку дорівнює сумі добутків усіх еле&
ментів будь&якого стовпця (або рядка) на відповідні їм алгебраїчні
доповнення.
У випадку використання і!гo рядка це правило математично мож!
на записати так
11 12 1 1
21 22 2 2
11 22
12
12
kn
kn
i i i i ik ik in in
i i ik in
n n nk nn
aa a a
aa a a
A
aA aA aA aA
aa a a
aa a a
. (5)
Рівність (5) називають розкладом визначника за елементами
ігo рядка. Визначник можна розкласти і за елементами k!го стовпця
(k = 1, 2, ..., n).
Отже, обчислення визначника n!го порядку зводиться до обчис!
лення визначників (n – 1) порядку шляхом розкладу визначника за
елементами будь!якого рядка або стовпця.
Зауваження. Для скорочення обчислень визначника доцільно його
розкласти за елементами такого рядка чи стовпця, який містить
найбільшу кількість нулів. У такому випадку не треба знаходити
33
23 1
23
142 2413835
14
31 4
M
92
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
алгебраїчні доповнення до елементів, що дорівнюють 0 (добуток 0 на
будь&яке алгебраїчне доповнення дорівнює нулеві).
Таким чином, для ефективного використання методу обчислен!
ня визначника шляхом його розкладу за елементами будь!якого ряд!
ка або стовпця треба навчитись робити еквівалентні перетворення
визначника, які дають можливість одержати нулі у деякому рядку
або стовпці.
Виконання таких перетворень здійснюється з використанням
деяких властивостей визначника.
Властивості визначників
1. Визначник при транспонуванні не змінюється.
Пояснення дамо на прикладі визначників другого порядку. Не!
хай
34
15 8 23,
25
A
32
15 8 23
45
T
A
.
Праві частини рівні, тому і ліві також рівні, тобто
(А) =
.
T
A
Наслідок. У визначнику рядки та стовпці мають однакові вла&
стивості.
2. Якщо у визначнику поміняти місцями будь&які два рядки
(стовпці), то визначник змінить знак на протилежний.
Наприклад
34
23;
25
25
815 23,
34
тому
34 25
25 3 4
.
3. Якщо визначник має два однакових рядки (стовпця), то він до&
рівнює нулю.
Дійсно, якщо ми поміняємо місцями рівні рядки (стовпці), то
визначник не зміниться, але згідно властивості 2 він повинен зміни!
ти знак на протилежний. Тому визначник повинен дорівнювати 0.
93
Частина 4. Матриці та визначники
Наприклад:
32
660
32
.
4. Якщо у визначнику усі елементи одного рядка (стовпця) помно&
жити на однакове дійсне число k, то визначник зросте також в k разів.
Наприклад
45
415 11
31
A
,
1
45
415 11
31
kk
Akkk
.
тобто
(A
1
) = k(A), але |A
1
| одержано з визначника |А| шляхом мно!
ження усіх елементів першого рядка на k.
Наслідок 1. Спільний множник усіх елементів будь&якого ряд&
ка (стовпця) визначника можна винести за знак визначника.
Наслідок 2. Якщо усі елементи будь&якого рядка (стовпця)
визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.
5. Визначник, у якого відповідні елементи двох будь&яких рядків
(стовпців) пропорційні, дорівнює нулю.
Доведення цієї властивості випливає з властивостей 3 та 4.
6. Якщо у визначнику елементи і&го рядка (k&го стовпця) є сумою
двох доданків, тоді він дорівнює сумі двох відповідних визначників.
Наприклад,
11 1 12 2 13 3 11 12 13 1 2 3
21 22 23 21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33 31 32 33
ababab aaa bb b
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
.
7. Якщо до всіх елементів будь&якого рядка (стовпця) визнач&
ника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця) цього виз&
начника, помножені на одне й те ж саме число, то визначник не
зміниться.
94
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Приклад 4. Нехай заданий визначник
321
123
242
.
Використовуючи а
13
=1, одержимо два 0 в третьому стовпці.
Перетворимо визначник таким чином:
1) елементи першого рядка визначника помножимо на (–3) та
додамо до відповідних елементів другого рядка визначника;
2) елементи першого рядка визначника помножимо на (–2) та
додамо до відповідних елементів третього рядка визначника
.
Отримаємо визначник, який позначимо
1
:
1
321
840
400
.
Перевіримо, що
1
=
. Для цього обчислимо ці визначники:
321
1 2 3 322 232 141 122 122 433
242
121244436 16
,
1
321
8 40 0001600 16
400
.
Отже, цей приклад ілюструє:
1) справедливість властивості 7;
2) цю властивість доцільно застосувати до перетворення визнач!
ників 4!го та вищих порядків, щоб одержати якомога більше нулів у
95
Частина 4. Матриці та визначники
якомусь стовпці (або рядку) і тим самим спростити обчислення за!
даного визначника.
Приклад 5. Обчислити визначник 4!го порядку
12 23
012 4
32 1 5
51 13
.
Розв’язання. Перетворимо цей визначник таким чином, щоб
зробити якомога більше нулів у якомусь стовпчику, краще у першо!
му, бо там вже є один нуль. Для цього елементи першого рядка по!
множимо на 3 та додамо до відповідних елементів третього рядка,
потім елементи першого рядка помножимо на (–5) та додамо до
відповідних елементів четвертого рядка. Одержимо визначник:
12 2 3
01 2 4
08 514
099 12
.
Тепер визначник доцільно розкласти за елементами першого
стовпця:
11
12 4 12 4
11 8 51438 514
99 12 33 4
.
Тут ми використали наслідок 1 властивості 4 і спростили виз!
начник. Обчислимо його:
= 3(20 – 96 – 84 + 60 – 42 + 64) = 3(–78) = –234.
96
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Вправи до розділу 4.3
Обчислити визначники:
1.
24
15
. 2.
23
15
. 3.
23
24
. 4.
34
25
.
5.
13
25
. 6.
13
34
. 7.
32
21
. 8.
12
21
.
9.
213
432
143
. 10.
516
165
651
. 11.
123
456
389
. 12.
23 4
4916
82764
.
13.
584
752
537
. 14.
975
75 3
48 8
. 15.
314
203
134
.
16.
14 1
03 1
342
. 17.
1023
2020
3145
5000
. 18.
11 1 1
21 3 4
41 9 16
8 1 27 64
.
19.
23115
1152
31 3 2
31 3 4
. 20.
22115
11 52
2332
1 334
. 21.
3211 2
11 5 1
12 3 3
11 3 3
.
22.
3222
98510
5858
6547
. 23.
6584
9752
7537
48 8 3
. 24.
81 1 1
23 3 4
42916
112764
.
97
Частина 4. Матриці та визначники
4.4. Ранг матриці та обернена матриця
Нехай задана матриця А розміру
mn
11 12 1
21 22 2
12
n
n
mm mn
aa a
aa a
A
aa a
.
Виберемо в ній довільно k рядків та k стовпців. Елементи, що
знаходяться на перетині виділених рядків та стовпців, утворюють
квадратну матрицю k!го порядку, визначник якої називають міно!
ром k!го порядку матриці А. Обираючи різними способами k рядків
та k стовпців, одержимо деяку кількість мінорів k!го порядку. Мат!
риця має мінори будь!якого порядку: від першого (елементи матриці!
мінори 1!го порядку) до найменшого із чисел m та n.
Розглянемо в матриці А ті її мінори різних порядків, які відмінні
від нуля і нехай їх найбільший порядок = r.
Означення 1. Рангом матриці називають найбільший поря&
док її мінорів, відмінних від нуля.
Ранг матриці позначають r(А) або r
A
або просто r. Ранг матриці
можна знаходити методом обвідних мінорів або простіше – методом
елементарних перетворень.
Означення 2. Елементарними перетвореннями матриці на&
зивають такі перетворення:
1) перестановка рядків (стовпців) матриці;
2) множення всіх елементів рядка (стовпця) на число
0
;
3) додавання до елементів рядка(стовпця) відповідних елементів
іншого рядка (стовпця), помножених на деяке число.
Всі ці перетворення не змінюють ранг матриці, але з їх допомо!
гою матрицю зводять до матриці, у якої нижче головної діагоналі всі
елементи нулі. Тоді ранг матриці дорівнює кількості елементів го!
ловної діагоналі, відмінних від нуля.
98
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Приклад 1. Знайти ранг матриць:
a)
123
369
A
;b)
110
201
111
A
;
c)
1135
21 14
2263
A
;d)
12 13
36 3 1
36 310
A
.
Розв’язання. Ранг матриць будемо знаходити методом елемен!
тарних перетворень.
a) Елементи першого рядка матриці помножимо на (–3) і додамо
до відповідних елементів другого рядка матриці А:
123 123
369 000
A
.
Звідси випливає, що ранг цієї матриці дорівнює 1 (нижче голов!
ної діагоналі – нуль та один елемент головної діагоналі
0).
b) Зробимо такі перетворення, щоб нижче головної діагоналі були
нулі:
2, 1
110 110 110
201 021 1 021.
111 021 000
A
Звідси випливає, що r(А) = 2.
с) Знову робимо такі перетворення, щоб нижче головної діаго!
налі були нулі:
2, 2
1135 1135
21 14 03 7 6.
2263 0007
A
99
Частина 4. Матриці та визначники
Оскільки можна третій та четвертий стовпці поміняти місцями і
отримати третій елемент головної діагоналі, який
0, то r(А) = 3.
d) Перетворимо матрицю аналогічно попередньому
3, 3
12 13 12 1 3
36 3 1 00 0 10
36 310 00 0 1
A
12 1 3
00 0 1 10
00 0 10
12 13 13 12
00 01 01 00
00 00 00 00
.
Звідси випливає, що r(А) = 2.
Означення 3. Матриця А
–1
називається оберненою матри
цею до матриці А, якщо виконуються рівності
AA
–1
= A
–1
A = E, (1)
тобто матриці А та A
–1
комутують і їх добуток є одинична матриця.
Не всяка матриця має обернену. В алгебрі матриць доведено, що
матриця А має обернену матрицю A
–1
при виконанні двох умов:
1) матриця А квадратна;
2) визначник |А| матриці А не дорівнює нулю.
Обернену матрицю A
–1
до матриці А можна знаходити двома спо!
собами:
1) за формулою
11 21 1
11 11 2
1
121
...
...
1
... ... ... ...
...
n
n
nnn
AA A
AA A
A
A
AA A
, (2)
де А
ij
– алгебраїчні доповнення елементів а
ij
матриці А, (алгебраїчні
доповнення до і!го рядка розташовані у і!му стовпці (і = 1, 2, …, n).
2) а також з використанням означення оберненої матриці та еле!
ментарних перетворень матриць.
100
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Приклад 2. Знайти обернену матрицю до матриці
12 3
32 4
215
A
.
Розв’язання. Спочатку впевнимося, що матриця А має оберне!
ну А
–1
.
Матриця А має три рядки та три стовпця, тому вона квадратна
порядку 3. Її визначник
12 3
32 4
215
A
125 2 4 2 3 1 3 22 3 325 5 1 4 1
10 16 9 12 30 4 19 0
.
Отже, матриця А має обернену А
–1
, яку знайдемо за формулою
(2). У даному випадку алгебраїчними доповненнями до елементів
матриці А будуть:
11
24
6;
15
A
12
34
23;
25
A
13
32
7;
21
A
21
23
7;
15
A
22
13
11;
25
A
23
12
5;
21
A
31
23
2;
24
A
32
13
5;
34
A
33
12
4.
32
A
Таким чином, одержали
1
672
1
23 11 5
19
75 4
A
.