Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів
Подождите немного. Документ загружается.
121
Частина 5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Приклад 3. Виконати крок перетворень Гаусса!Жордана з ви!
користанням розрахункової таблиці для системи
123
123
123
452 12
32213
234 8
xxx
xxx
xxx
.
Розв’язання. Запишемо задану систему у вигляді розрахунко!
вої таблиці 1.
Елементи останнього контрольного стовпця повинні дорівнюва!
ти сумі елементів відповідного рядка таблиці.
За алгоритмом кроку перетворень Гаусса!Жордана зробимо пе!
рехід до розрахункової таблиці 2:
1) обираємо розв’язувальний елемент а
13
= 2;
2) елементи першого рядка таблиці (розв’язувального) ділимо на
2 і запишемо у перший рядок таблиці 2.
3) у третьому (розв’язувальному) стовпці
13
1a
, а інші елемен!
ти дорівнюють нулю;
Таблиця 1 Таблиця 2
4) решту елементів таблиці 2 обчислюємо за формулою (1) з ви!
користанням схеми прямокутника:
21
32 4 2
68
7;
22
a
31
2244
416
10;
22
a
x
1
x
2
x
3
b
i
k x
1
x
2
x
3
b
i
k
4 –5
2
–12 –11
2 –5/2 1 –6 –11/2
3 2 –2 13 16
7 –3 0 1 5
–2 3 4 –8 –3
–10 13 0 16 19
122
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
22
22 2 5
410
3.
22
a
Аналогічно знаходимо:
24
1a
;
25
5a
;
32
13a
;
34
16a
;
35
19a
.
5) перевіримо правильність розрахунків
2 – 5/2 + 1 – 6 = –11/2; –11/2 = –11/2;
7 – 3 + 1 = 5; 5 = 5;
–10 + 13 + 16 = 19; 19 = 19.
Рекомендації для скорочення розрахунків
1. Розв’язувальним елементом доцільно обирати одиницю, тоді
формули (1) спрощуються.
2. Якщо у розв’язувальному стовпці розрахункової таблиці є нуль,
то відповідний рядок з цієї таблиці переписують без змін.
3. Якщо в розв’язувальному рядку розрахункової таблиці є нуль,
то відповідний стовпець переписуємо без змін.
Наприклад, в і розв’язувальному рядку а
il
= 0, тоді l&й стовпець
таблиці переписуємо без змін.
4. Якщо в таблиці є два пропорційних рядки, то один з них мож!
на викреслити.
Наступні кроки перетворень Гаусса&Жордана виконуються таким
же чином, при цьому кожного разу розв’язувальний елемент треба
обирати з інших рядків та стовпців.
Після послідовного виконання максимально можливого числа
кроків перетворення Гаусса!Жордана, наприклад r, одержимо систе!
му, яка може бути записана у вигляді таблиці 3.
x
1
x
2
… x
k
… x
r
x
r+1
… x
n
b
i
k
1 0 … 0 … 0 b
1r+1
… b
1n
c
1
k
1
0 1 … 0 … 0 b
2r+1
… b
2n
c
2
k
2
0 0 … 0 … 0 … … … … …
0 0 … 1 … 0 … … … … …
0 0 … 0 … 1 b
rr+1
… b
rn
c
r
k
r
Таблиця 3
123
Частина 5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Система, що записана у таблиці 3, зветься системою у базисно
му вигляді.
Можливі такі випадки:
1) r = n, тоді система має єдиний розв’язок x
k
= c
k
, k = 1, 2,..., n.
2) r
m < n, тоді система має множину розв’язків.
Загальний розв’язок системи буде
11111 1
22211 2
11
rr nn
rr nn
rrrrr rnn
xcbx bx
xcbx bx
xcbx bx
. (2)
Невідомі х
1
, х
2
...., х
r
, відносно яких система розв’язана, називають
базисними, а невідомі х
r
+1
, х
r
+2 …
x
n
, називають вільними або неба
зисними.
Якщо у загальному розв’язку (2) усі вільні невідомі прирівняти
нулю, то одержимо базисний розв’язок системи:
x
1
= с
1
, х
2
= с
2
,..., x
r
= c
r
, x
r+1
= 0, …, x
n
= 0.
Якщо одну вільну невідому прирівняти одиниці, а інші нулю, тоді
одержимо фундаментальний розв’язок.
Невід’ємний базисний розв’язок системи називають опорним роз
в’язком цієї системи.
3) При перетворенні системи одержали рівняння, усі коефіцієн!
ти якого дорівнюють нулю, а права частина с
j
не дорівнює нулю. В
цьому випадку система несумісна.
Приклад 4. Розв’язати методом Гаусса!Жордана систему
12345
1234 5
2345
12345
7
32 3
2
226
23
5433
12
xxxxx
xxxx x
xxxx
xxxxx
.
124
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Розв’язання. Розв’язання будемо проводити з використанням
розрахункової таблиці 4 та формул (1).
Отже, задана система сумісна і має множину розв’язків. Базисні
невідом і
х
1
та х
2
, вільні невідомі х
3
, х
4
та х
5
.
Загальним розв’язком заданої системи буде
1345
2345
16 5
23 2 2 6
x
xx x
x
xxx
.
Базисним розв’язком системи буде
16
23
0
0
0
b
X
.
Фундаментальних розв’язків три:
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
c
i
k
1
1 1 1 1 7 12
3 2 1 1 –3 –2 2
0 1 2 2 6 23 34
5 4 3 3 –1 12 26
1 1 1 1 1 7 12
0 –1 –2 –2 –6 –23 –34
0
1
2 2 6 23 34
0 –1 –2 –2 –6 –23 –34
1 0 –1 –1 –5 –16 –22
0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 2 6 23 34
0 0 0 0 0 0 0
Таблиця 4
125
Частина 5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Вправи до розділу 5.3
Розв’язати методом Гауса!Жордана системи:
1.
12 3 4
13
234
22
4743
23 1
xx x x
xxx
xxx
. 2.
12 34
1234
12 3 4
21
21
23 1
xx xx
xxxx
xx x x
.
3.
12 3 4
12 3 4
12 3 4
1
0
22 0,5
xx x x
xx x x
xx x x
. 4.
12 3 4
12 3 4
12 3 4
24 5 3 0
36 4 2 0
4817110
xx x x
xx x x
xx x x
.
5.
1234
123 4
1234
3524 2
74 3 5
5746 3
xxxx
xxx x
xxxx
. 6.
123
123
123
123
258 8
439 9
235 7
8712
xxx
xxx
xxx
xxx
.
7.
123
123
12 3
243 1
243
352
xxx
xxx
xx x
. 8.
1234
1234
1234
1234
253
5
373
1
5962
7
463
8
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
.
1
15
21
;
1
0
0
E
2
15
21
;
0
1
0
E
3
11
17
.
0
0
1
E
При базисних невідомих х
1
та х
2
базисний розв’язок X
b
не є опор!
ним (перша компонента від’ємна).
Але при розв’язуванні системи можна взяти інші розв’язуванні
елементи і одержати базисними інші невідомі, наприклад, х
2
та х
3
. При
цих базисних невідомих базисний розв’язок можливо буде опорним.
126
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
5.4. Задачі економічного змісту
Задача знаходження коефіцієнтів повних та непрямих
витрат, плану та програми виробництва
Підприємство складається з трьох цехів, кожен з яких виробляє
один вид продукції. Прямі виграти одиниць і!го цеха, що використо!
вуються (проміжний продукт) для випуску одиниці виробу продукції
j&го цеха, а також кількість одиниць продукції і!го цеха, призначених
до реалізації (кінцевий продукт), задані у таблиці 5.
Визначити:
1) коефіцієнти повних витрат;
2) план (валовим випуск) кожного цеха;
3) виробничу програму цехів;
4) коефіцієнти непрямих (посередницьких) витрат.
Розв’язання. Таблицею 5 задана матриця витратних ко!
ефіцієнтів
00,20
0,2 0 0,1
00,10,2
A
.
Позначимо: виробничу програму підприємства Х, де
2
3
x
Xx
x
,
(х
1
, х
2
, х
3
– плани валового випуску продукції цехів); валовий випуск
товарної продукції
Y, де
200
100
300
Y
.
Прямі витрати Продукція
цехів
1 2 3
Кінцевий
продукт
1 0 0,2 0 200
2 0,2 0 0,1 100
3 0 0,1 0,2 300
Таблиця 5
127
Частина 5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Виробничі взаємні зв’язки підприємства задовольняють умовам
1123
2123
3123
00,20 200
0,2 0 0,1 100
00,10,2 300
xxxx
xxxx
xxxx
12
12 3
23
0,2 200
0,2 0,1 100
0,1 0,8 300
xx
xx x
xx
. (1)
У матричному вигляді:
X –
АХ = Y
ЕХ – АХ = Y
(Е – А)Х = Y, де Е – одинична
матриця
.
Позначимо Е – А = В. Тоді система лінійних алгебраїчних рівнянь
(1) у матричному вигляді буде
BX = Y, (2)
причому
100 0 0,2 0 1 0,2 0
010 0,2 0 0,1 0,2 1 0,1
0 0 1 0 0,1 0,2 0 0,1 0,8
B
.
Елементи матриці В
–1
– це коефіцієнти повних витрат. Тому, щоб
задовольнити
першу вимогу задачі, треба знайти В
–1
. Матриця В
квадратна
3!го порядку, її визначник |В| = 0,8 – 0,01 – 0,032 = 0,758.
Тому В
–1
існує і систему (1) можна розв’язати матричним методом.
Для знаходження матриці В
–1
знайдемо алгебраїчні доповнення
до
елементів матриці В:
11 21 31
12 21 32
13 23 33
0,79; 0,16; 0,02;
0,16; 0,8; 0,1;
0,02; 0,1; 0,96.
BBB
BBB
BBB
Отже, оберненою до В матрицею буде
128
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
1
0,79 0,16 0,02 1,04 0,21 0,03
1
0,16 0,8 0,1 0,21 1,05 0,13
0,758
0,02 0,1 0,96 0,03 0,13 1,27
B
.
1.
Коефіцієнти повних витрат знайдені (це елементи матриці В
–1
).
2.
Знайдемо розв’язок системи (1) матричним методом:
1
1
2
3
1,04 0,21 0,03 200 238
0,21 1,05 0,13 100 186
0,03 0,15 1,27 300 400
x
Xx BY
x
.
Отже, плани валового випуску продукції: для першого цеху
х
1
= 238, для другого – х
2
= 186, для третього – х
3
= 400.
3.
Визначимо виробничу програму кожного цеха використовую!
чи витратні коефіцієнти а
ij
(елементи матриці А) та співвідношення:
11 11 1 12 12 2
13 13 3 21 21 1
22 22 2 23 23 3
31 22 2 32 32 2
33 33 3
0 238 0; 0,2 186 37,2 37;
0 400 0; 0,2 238 47,6 48;
0186 0; 0,1400 40;
0 186 0; 0,1 186 18,6 19;
0,2 400 80
xax xax
xax xax
xax xax
xax xax
xax
.
Таким чином одержали:
4.
Коефіцієнти непрямих (посередницьких) витрат С
ij
(елементи
матриці
С) визначається як різниця повних внутрішньовиробничих
витрат
(елементи матриці В
–1
) та прямих витрат (елементи а
ij
мат!
риці А). У матричному вигляді матриця коефіцієнтів непрямих вит!
рат буде:
1
1,04 0,21 0,03 0 0,2 0 1,04 0,01 0,03
0,21 1,05 0,13 0,2 0 0,1 0,01 1,05 0,03
0,03 0,13 1,27 0 0,1 0,2 0,03 0,03 1,07
CB A
.
Зауваження. У випадку більшої кількості цехів на підприємстві
задача
розв’язується таким же чином, але вимір матриць буде більшим.
129
Частина 5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Якщо система лінійних алгебраїчних рівнянь (аналог системи (1)) буде
залежати
від багатьох невідомих, то її розв’язок доцільно знаходити
методом
Гаусса&Жордана.
Задача знаходження витрат сировини, палива та трудових
ресурсів
У
таблиці 6 для розглянутого у цьому розділі підприємства за!
дані витратні норми двох видів сировини і палива на виробництво
одиниці
продукції кожного цеха, трудомісткість в людино!годинах
на
одиницю продукції, вартість одиниці відповідної сировини та
вартість
однієї робочої людино!години.
Треба знайти:
1)
сумарні витрати сировини, палива та трудових ресурсів для
виконання
програми виробництва;
2)
коефіцієнти прямих витрат сировини, палива та праці на оди!
ницю продукції кожного цеха;
3)
повні витрати сировини, палива та праці кожним цехом та
підприємством
;
4)
внутрішньовиробничі витрати цехів;
5)
внутрішньовиробничі витрати на кожну одиницю товарної про!
дукції.
Розв’язання. Таблиця 6 дозволяє скласти матрицю D норм
витрат
сировини, палива та праці розміру 4
3:
1, 4 2, 4 0, 8
00,61,6
21,82,2
10 20 20
D
Норми витрат цехів
Показники
1 2 3
Вартість
Сировина a) 1,4 2,4 0,8 5
Сировина b) 0 0,6 1,6 12
Паливо 2 1,8 2,2 2
Трудомісткість 10 20 20 1,2
Таблиця 6
130
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
та матрицю рядок V вартості сировини, палива, робочих людино!го!
дин: V = (5; 12; 2; 1,2).
1.
Сумарні витрати сировини, палиш, трудових ресурсів для ви!
конання програми підприємства одержимо шляхом множення мат!
риці норм витрат D на матрицю X валового випуску продукції:
1,4 2,4 0,8 1,4 238 2,4 186 0,8 400
1100
238
0 0,6 1,6 0 238 0,6 186 1,6 400
752
186
2 1,8 2,2 2 238 1,8 186 2,2 400
1692
400
1412
10 20 20 10 238 20 186 20 400
DX
.
Отже, для виконання програми підприємства треба витратити:
сировини а) – 1100 одиниць; сировини b) – 752 одиниці; палива –
1692
одиниці; робочих людино!годин – 1412.
2.
Коефіцієнти прямих витрат сировини, палива та праці на оди!
ницю продукції кожного цеха знаходимо шляхом множення матриці
норм
витрат D на матрицю коефіцієнтів повних витрат В
–1
:
1
1, 4 2, 4 0, 8
1,98 2,94 1,37
1,04 0,21 0,03
00,61,6
0,17 0,84 2,11
0,21 1,05 0,13
21,82,2
2,52 2,61 3,09
0,03 0,13 1,27
15,2 24,8 28,3
10 20 20
MDB
.
Елементи k!го стовпця одержаної матриці М вказують кількість
витрат
сировини а), сировини b), палива та робочих людино!годин
необхідну
для виготовлення одиниці продукції k!го цеха.
3.
Витрати сировини, палива та праці кожним з цехів одержимо
шляхом
множення витратної норми кожного цеху на його валовий
випуск
продукції:
1,4 333 2,4 449 0,8 320
0 0 0,6 112 1,6 640
238 ; 186 ; 400
2 476 1,8 337 2,2 880
10 2380 20 3720 20 8000
.
Отже, матриця повних витрат сировини, палива та праці усього
підприємства
буде мати вигляд: