Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів
Подождите немного. Документ загружается.
131
Частина 5. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
333 449 320
0112640
476 337 880
2380 3720 8000
П
.
4.
Виробничі витрати цехів одержимо шляхом множення, матриці!
рядка вартостей V на матрицю повних витрат
333 449 320
0112640
5; 12; 2; 1,2 5473; 8751; 20640
476 337 880
2380 3720 8000
.
Отже, вартість витрат першого цеху 5473, другого – 8 751, третьо!
го – 20640.
5.
Внутрішньовиробничі витрати на одиницю товарної продукції
цехів
знаходять множенням рядка вартостей V на матрицю М пря!
мих витрат:
1, 9 8 2, 9 4 1, 37
0,17 0,84 2,11
5; 12; 2; 1,2 35,2; 59,6; 72,3
2,52 2,61 3,09
15,2 24,8 28,3
.
Зауваження. У випадку більшої кількості видів сировини та
наявності
інших видів витрат задача розв’язується таким же чи&
ном.
132
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
5.5. Завдання для індивідуальної роботи з частини 5
Методом Гаусса!Жордана, з використанням розрахункової таб!
лиці, знайти загальний, базисний та фундаментальні розв’язки сис!
теми (N – номер варіанта):
1.
12 34
1234
12 34
0
32
23 2 4
xx xx
x
Nxxx N
xx xx
.
2.
12 34
123 4
123 4
11
2
0
xxNxNx
xxx xN
Nx x x x
.
3.
12 3 4
123 4
12 3 4
2
0
10
xx x x N
xNxx Nx
xx Nx x
.
4.
123 4
1234
1234
20
32
12
xxxNx
xxxx
Nxxxx N
.
133
Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія
Частина 6
ВЕКТОРНА АЛГЕБРА ТА АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
6.1. Векторна алгебра і деякі її застосування
6.1.1. Вектори
Означення 1. Вектором називають величину, яка характери&
зується не тільки своїм числовим значенням (довжиною), але й на&
прямком.
Вектори позначають
,,abc
або
,
A
BCD
або а, b, с.
При позначенні вектора двома літерами (наприклад,
A
B
) перша
літера
вказує точку початку вектора, а друга – точку його кінця.
В економіці вектори часто позначають однією великою літерою.
Довжину (модуль) вектора позначають
,.aAB
Геометрично вектор зображують як напрямлений відрізок (див.
мал. 1).
Зображені на цьому малюнку вектори мають довжину:
4a
,
5b
,
8AB
, якщо одиниця масштабу: .
Нульовим вектором називають вектор, початок і кінець якого
співпадають
.
Такий вектор позначають
0
, його довжина дорівнює нулю, а
напрям
– довільний.
Мал. 1.
АВ
a
b
134
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Рівними називають вектори, які мають однакові довжини та на&
прямки:
ab
.
Колінеарними називають вектори, які розташовані на одній
прямій
або паралельних прямих (див. мал. 2).
Усі зображені на мал. 2 вектори колінеарні.
Протилежними називають колінеарні протилежно спрямовані
вектори
однакової довжини.
Вектор, протилежний вектору
a
позначають
a
.
Ортом вектора
a
називають вектор
0
a
, довжина якого дорів&
нює одиниці, а напрям співпадає з
a
, тобто
0
aaa
.
Компланарними називають вектори, що лежать в одній площині.
В економічних дослідженнях
n
упорядкованих параметрів розг!
лядають як вектор n!вимірного простору
n
E
.
Матриця!рядок та матриця!стовпець містять упорядковані еле!
менти, тому їх можна розглядати як вектори простору відповідного
виміру
.
Наприклад:
54
1
2
3; 2; 0; 1; 6 ;
3
4
E
E
.
Елементи вектора!рядка та вектора!стовпця називають коорди
натами вектора
. Смисл такої назви пояснимо нижче, після визна!
чення проекцій вектора на координатні осі.
Мал. 2.
b
c
d
a
e
135
Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія
6.1.2. Деякі економічні приклади
В розділі
4 частини 5 наведені приклади застосування векторів
до
задач мікроекономіки.
Так, використовувались вектор!рядок вартості
1234
,,,V vvvv
,
компоненти якого – вартості різної сировини, палива, робочої люди!
но!години, та вектор!стовпець потреб
1
2
3
d
Dd
d
інших галузей до
продукції
цехів 1, 2, 3.
Зараз ознайомимось з іншими прикладами застосування векторів.
Продуктивна функція. При аналізі закономірностей виробницт&
ва використовується продуктивна функція, яка, по суті, є співвідно&
шенням між використаними у виробництві ресурсами і випущеною
продукцією
.
Нехай в деякому виробничому процесі є п виробничих ресурсів.
Кількість і!го ресурсу, який використали за проміжок часу t, позна!
чимо
i
x
. Тоді виробничі ресурси – це вектор
12
,,, .
n
X
xx x
Нехай підприємство випускає m різних виробів. Кількість j
виробу позначимо
i
y
. Тоді випуск усіх виробів буде вектор
12
,,.
m
Y
yy y
Нехай
12
,,,
p
aaa a
– вектор параметрів ви!
робництва (наприклад, різні види транспортних чи інших витрат).
Продуктивна функція пов’язує вектори ресурсів X, випуску Y та
параметрів
a
, тобто
,, 0FXYa
.
Продуктивна функція задається аналітично або таблично.
Продуктивну функцію, розв’язану відносно Y, тобто вигляду
,Y
f
Xa
,
називають функцією випуску, а розв’язану відносно вектора X, тобто
вигляду
136
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
6.1.3. Координати векторів
Спочатку
нагадаємо поняття числової осі та систем координат.
Числовою віссю називають пряму, на якій визначено:
1)
напрям
зростання;
2)
початок відліку (точка 0);
3)
відрізок, який приймають за одиницю масштабу.
Дві взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком
відліку
(точка 0) називають прямокутною декартовою системою
координат на площині
(у двовимірному просторі Е
2
).
Три взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком
відліку
(точка 0) називають прямокутною декартовою системою
координат у просторі
(у тривимірному просторі Е
3
).
На малюнку 3 зображені:
a)
прямокутна декартова система координат на площині;
b)
прямокутна декартова система координат у просторі.
,
X
Ya
,
називають функцією виробничих витрат.
Зрозуміло, що ці функції у конкретних випадках (коли вказано
закони
f
та
) використовують правила дій з векторами.
Математичні моделі економічних задач
Навіть
найпростіші лінійні статистичні економічні моделі опису!
ються з використанням векторів.
Для дослідження динамічних моделей різних процесів стан еко!
номічної системи, що вивчається, в момент часу t описується за до!
помогою вектора X із n!вимірного простору, а керування процесом
в
той самий момент часу описується за допомогою вектора
()
Ut
із
т
&вимірного простору.
Таким чином, в динамічних моделях використовуються вектори
n& та т&вимірних просторів, координати яких залежать від часу t.
137
Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія
Вісь Ох називають віссю абсцис; Оу – вісь ординат; Оz – вісь
аплікат
. Орт осі Ох позначають
i
, орт осі Оу – вектор
j
, орт осі
О
z – вектор
k
.
Упорядкована пара чисел що відповідає точці М площини хОу,
називається декартовими прямокутними координатами точки М,
це позначають М(х, у).
Упорядкована трійка чисел (x, y, z), що відповідає точці М про!
стору Оzyx, називається координатами точки М декартової прямо
кутної системи координат у просторі
, це позначають M(x, y, z).
Відмітимо, що існують інші системи координат на площині та у
просторі
.
Дамо поняття проекції вектора на вісь. Нехай заданий вектор
A
B
та вісь l . З точок А і В опускаємо перпендикуляри на вісь l. Одержи!
мо точки
1
A
та
1
B
– проекції точок А та В.
Означення 2. Проекцією вектора
AB
на вісь називається
довжина
вектора
11
A
B
, яка взята із знаком «+», якщо напрям співпа&
дає з напрямом осі та із знаком «–», якщо напрями протилежні (див.
мал. 4).
Позначають:
l
пр
AB
.
Y
X
Z
x
y
z
1
1
1
M(x, y, z)
0
Мал. 3.
a) b)
Y
X
x
y
1
M(x, y)
0
1
138
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Означення 3. Кутом між двома векторами (або між век
тором та віссю
) називають найменший кут між їх напрямами при
умові
, що вектори зведені до спільного початку (див. мал. 4).
Знайдемо
l
пр AB
.
У випадку а) маємо:
11
cos
l
пр AB A B AC AB
.
У випадку b) маємо:
11
cos 180 cos
l
пр AB A B AC AB AB
.
Таким чином, проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжи!
ни вектора на косинус кута між вектором і віссю.
Означення 4. Координатами вектора називають проекції век&
тора на осі координат.
Нехай вектор
a
має координати
,,
x
yz
aaa
тобто
,,
xy
z
aaaa
і
утворює
з осями координат кути
,,,
тоді,
cos ,
x
aa
cos ,
y
aa
cos
z
aa
.
cos ,
cos ,
cos ,
називають напрямними косинусами вектора.
З попередніх формул маємо:
cos ,
x
a
a
cos ,
y
a
a
cos
z
a
a
.
Мал. 4.
А
С
А
А
1
А
1
B
1
B
1
B
B
С
ll
а)
b)
139
Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія
Розглянемо вектор
12
,aMM
де
111
,
M
x
y
– початок вектора,
222
,
M
x
y
– кінець вектора (див.
мал. 5). В цьому випадку
012 21
,
x
пр MM x x
012 21
,
y
пр MM y y
тобто координати вектора
12
M
M
–
це впорядкована пара чисел
2121
;.xxyy
Аналогічно одержуємо, що координатами вектора
12
M
M
у про!
сторі буде впорядкована трійка чисел
212121
;;xxyyzz
.
Отже, можна сформулювати правило:
Координати вектора
12
M
M
дорівнюють різниці відповідних ко&
ординат кінця та початку вектора.
Наприклад, вектор
a
, початок якого знаходиться в точці
1
2, 3,0M
, кінець – в точці
2
1,1, 2M
, має координати
a
=(1 – 2; 1 + 3; 2 – 0) = (–1; 4; 2).
Зауваження. Вектор
OA
(де точка О – початок координат)
називають радіусомвектором точки А і позначають
r
. Коорди&
нати вектора
r
співпадають з координатами точки А.
По аналогії з векторами
,
xy
aaa
із
2
E
та
3
,,
xyz
bbbb E
вектор!рядок та вектор!стовпець, які містять n елементів, розгляда!
ють як вектори із n!вимірного простору
n
E
, а їх елементи називають
координатами вектора
.
Y
X
x
2
y
2
0
y
1
x
1
M
1
M
2
Мал. 5.
140
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
6.1.4. Дії з векторами
Означення 5. Сумою двох векторів
a
та
b
називають век&
тор
c
, який сполучає початок автора
a
з кіпцем вектора
b
при
умові
, що початок вектора
b
вміщено в кінець вектора
a
.
Наприклад, задані вектори
a
та
b
(мал. 6, а). Для побудування
суми
цих векторів
a
перенесли паралельно самому собі, в його кінець
вмістили
початок вектора
b
та сполучили початок вектора
a
з
кінцем
вектора
b
(мал. 6, b).
Суму кількох векторів
,,,
ab l
визначають аналогічно: поча!
ток кожного наступного вектора вміщують в кінець попереднього.
Одержують ламану лінію і тоді вектор, який сполучає початок пер!
шого вектор з кінцем останнього і є сумою цих всіх векторів.
Зауваження. Різницю двох векторів
a
та
b
будують як суму
вектора
a
та вектора
b
.
Наприклад,
12 7 7
,,,
X
xx x E
;
1
2
4
3
4
y
y
YE
y
y
.
Мал. 6.
a) b)
a
a
b
b
c=a+b