Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів

Подождите немного. Документ загружается.

161

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

xx yy





. (17)

Якщо точка М(х, у) не лежить

на

прямій, тоді вектори





та



не будуть паралельними і

рівність

(17) не виконується.

Отже, рівність (17) є рівнян!

ням прямої, що проходить через

точку М

(х

, у

) паралельно векто!

ру



slm



Рівняння вигляду (17) називають канонічним рівнянням пря

мої

, а вектор



,slm



– напрямним вектором прямої.

d) Якщо напрямним вектором прямої взяти вектор



12 2 12 1

,MM x x y y 



тоді одержимо рівняння прямої, що про

ходить через дві задані точки



111

та



222

вигляду

21 21

xyy







. (18)

е) З рівняння (18) легко отримати рівняння прямої вигляду

, (19)

яке називають рівнянням прямої у відрізках, оскільки пряма відти!

нає від координатних осей відрізки а та b (див. мал. 5).

Дійсно, пряма проходить через точки А(а, 0) та В(0, b). Підста!

вивши координати цих точок у рівняння (18), одержимо

xybxy

abab



  



Мал. 4.

M(x, y)

, y

)



162

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»



Зауваження 3. Якщо дві прямі

задані

канонічними рівняннями

xyy





та

xyy





то умовою їх перпендикулярності

буде

12 1 2

0ll mm  . (20)

Умова паралельності прямих має вигляд:



. (21)

Косинус кута



між цими прямими знаходять за формулою:

12 1 2

2222

1122

cos

ll mm

lm lm



 



 

. (22)

f) Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Нехай



кут нахилу прямої до осі Oх, тобто кут, на який по!

трібно повернути вісь Oх, щоб вона співпала з прямою.

Знайдемо рівняння прямої, що проходить через точку М

(х

, у

) з

кутом

нахилу



(див. мал. 6).

Нехай напрямним вектором буде



cos ,cos .s







Але









тому

cos cos sin















, тому



cos ,sin .s







Використовуючи канонічне рівняння прямої (17), одержимо:



cos sin

xx yy

yxx







   

Мал. 5.

163

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

Позначимо

tg k





тоді остан!

ня рівність буде виглядати так:

y –

= k(х – х

). (23)

Це рівняння прямої, що прохо!

дить через точку М

(х

, у

) з куто!

вим коефіцієнтом k.

Якщо в рівнянні (23) розкрити

дужки

і позначити у

– kx

= b, то

рівняння

(23) прийме вигляд:

y = kx + b. (24)

При х = 0 ця пряма перетинає вісь Oу в точці В(0, b).

Рівняння (24) називають рівнянням прямої з кутовим кое

фіцієнтом

tgk





де



– кут нахилу прямої до осі Ox, b – відрізок,

який відтинає пряма від осі Oу.



Зауваження 4. Рівняння з кутовим коефіцієнтом вигляду (24)

часто використовується в економічних задачах, тому треба вміти

будувати

пряму в системі хОу по її рівнянню з кутовим коефіцієн&

том.

Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом

= k

х + b та y = k

x + b

тоді кут



між цими прямими знаходять за формулою:









, (25)

умова паралельності прямих має вигляд:

,kk (26)

а умова перпендикулярності виглядає так:

1kk

або



. (27)



Зауваження 5. Рівняння прямої у різних формах дуже часто

використовуються

, тому для більш глибокого їх засвоєння доцільно усі

поняття

, позначення та формули систематизувати, наприклад, та&

ким чином, як у таблиці 4, що додається в кінці цього підручника.

Мал. 6.







164

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

6.2.5. Криві лінії другого порядку



Означення 3. Кривими лініями другого порядку називають

лінії

, координати точок яких задовольняють рівняння другого степеня.

а) Рівняння кола



Означення 4. Колом називають геометричне місце точок,

рівновіддалених від фіксованої точки – центра кола.

Знайдемо рівняння кола.

Позначимо С(х

, y

) – центр кола радіуса R. Візьмемо довільну

точку

М(х, у) кола (див. мал. 7).

Тоді, за означенням кола,





= R. Але





= (х–х

, у–у

Тому



xx yy R

Звідси одержимо:



xx yy R

. (28)

Цю рівність задовольняють ко!

ординати довільної точки М(х, у),

що належить колу, і не задоволь!

няють координати точки, що не належить колу.

Отже, рівність (28) є рівнянням кола, яке називають канонічним

рівнянням кола

Якщо центр кола знаходиться в точці 0(0, 0). тоді рівняння кола

спрощується

і приймає вигляд

22 2

yR





b) Рівняння еліпса



Означення 5. Еліпсом називають геометричне місце точок,

сума відстаней яких до двох заданих точок (фокусів) дорівнює

постійній

величині 2а.

Знайдемо рівняння еліпса. Позначимо через

та

фокуси

еліпса

. Вісь абсцис Oх проведемо через фокуси

та

, а вісь Oу

, y

)

M(x, y)

Мал. 7.

165

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

проведемо через середину

відрізка

, F

] перпендикулярно

до

осі Oх (див. мал. 8).

Позначимо відстань між фо!

кусами 2с. У такій системі коор!

динат F

(–c, 0), F

(c, 0), 2а >2с.

Візьмемо довільну точку М(х, у)

еліпса. За означенням 5 еліпса

маємо

MFM a

але



;FM x c y



Mxcy

тому одержуємо рівняння еліпса вигляду:

 

a 

Будемо спрощувати це рівняння. Перенесемо один корінь у пра!

ву частину рівняння та піднесемо до квадрату обидві частини:

  

222

22 2 2

44xc y a a xc y xc y  



axc y cxa 

Знову піднесемо до квадрату обидві частини, тоді одержимо

22 2 22 22 22 2 4

22ax acx ac ay cx acx a

 

222 22 222

acxayaac





Поділимо обидві частини останньої рівності на



22 2

aa c

і одер!

жимо:

222

aac





Оскільки

ac

, то можна позначити

= a

– c

, (29)

Мал. 8.

M(x, y)

(c, 0)F

(–c, 0)

166

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

тоді рівняння еліпса матиме вигляд



. (30)

Рівняння (30) називають

канонічним рівнянням еліп

са

. Дослідження рівняння еліп!

са дозволяє зробити висно!

вок, що параметри рівняння а

та

b дорівнюють півосям еліп!

са, що розташовані на осях

координат

Ох та Оу, відпові!

дно. Еліпс має форму, зобра!

жену на мал. 9.

с) Рівняння гіперболи



Означення 6. Гіперболою називають геометричне місце то&

чок, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох заданих то&

чок (фокусів) дорівнює постійній величині 2а.

Виведення рівняння гіперболи здійснюється аналогічно до виве!

дення рівняння еліпса. Таким же чином позначаються фокуси

та довільна точка М гіперболи. За означенням гіперболи маємо;

12 12

22FM FM a FM FM a 

Перехід в останній рівності до координатної форми та алгебраїчні

перетворення

дозволяють одержати рівняння гіперболи вигляду:

222

aac





Для гіперболи

,ca

тому

222

bca

і рівняння гіперболи

буде

мати вигляд:



, (31)

який називають канонічним рівнянням гіперболи.

Мал. 9.

(c, 0)

(–c, 0)

(0,–b)

(0,b)

(–a, 0)

(a, 0)

167

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

Дослідження рівняння (31) дозволяє одержати властивості гіпер!

боли та її вигляд (див. мал. 10).

d) Парабола та її рівняння



Означення 7. Параболою називають геометричне місце то&

чок, відстань яких до заданої прямої (директриси) та заданої точки

(фокуса) рівні.

Для одержаним рівнян!

ня параболи у системі коор!

динат хОу вісь Ох побудує!

мо перпендикулярно до

директриси

і так, щоб вона

проходила

через фокус па!

раболи – точку F. Початок

координат

візьмемо посере!

дині між фокусом та дирек!

трисою (див. мал. 11).

Відстань між фокусом F

та директрисою позначимо р.

Тоді

,0 ,







рівнянням директриси буде

x 

Візьмемо дов!

ільну точку М(х, у) параболи.

Згідно з означенням параболи маємо:

|FM| = |

КМ|.

У координатній формі ця рівність має вигляд:

Мал. 10.

(0, –b)

(0, b)

–c –a a c





Мал. 11.

M(x, y)















168

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

xxy



  





Ця рівність є рівнянням параболи. Піднесемо до квадрату обидві

частини

і, спростивши одержаний вираз, одержимо рівняння вигляду:

= 2рх, (32)

яке називають канонічним рівнянням параболи.



Зауваження 6. Парабола

px

розташована зліва від осі

Оу

, симетрично з параболою

px

Рівняння х

= 2qy визначає параболу, віссю симетрії якої буде

вісь

Оу, а рівняння директриси має вигляд:

y 



Зауваження 7. Якщо задано алгебраїчне рівняння другого сте&

пеня вигляду

0,Ax By Cx Dy F

(33)

то для визначення геометричного образу, який описує це рівняння, тре&

ба звести це рівняння до одного з канонічних рівнянь кривих ліній другого

порядку

шляхом виділення повних квадратів.



Приклад 3. Визначити лінію, рівняння якої

2х

– 8х + у

+ 6у + 1 = 0,

та побудувати її.



Розв’язання. Спочатку об’єднаємо члени рівняння, які містять

х та у окремо, тоді одержимо:



28 610xxyy

Рівняння не зміниться, якщо ми у першу дужку додамо та відніме!

мо 8, а в другій дужці 9. Тоді матимемо.



2888 69910xx yy 

Виділимо повні квадрати:

169

Частина 6. Векторна алгебра та аналітична геометрія

 

22 22

22 3891022 3xy xy 



16 1

816

xy







. (34)

Позначимо

xxxx

yyyy



  









  



Якщо ми побудуємо нову систему координат

xOy



, початок якої

точці

(

2, 3

)





, а осі



та



паралельні осям старої системи

Ох

та Оу, тоді у новій системі



координат рівняння (34) має

вигляд

 

816





Це є канонічне рівняння еліпса

півосями

22 2,82a 

, b = 4.

Отже, задане рівняння є рівнян!

ням еліпса, який можна зобразити

системі координат (див. мал. 12).



Зауваження 8. Для зведення

рівняння

вигляду Ax

+ By

+ Cx

+ F =

= 0

до канонічного рівняння треба

мати

на увазі таке:

якщо коефіцієнти А та В од&

ного знаку і рівні, то це буде рівнян&

ня кола;

якщо А та В одного знаку, але

не

рівні, то це буде рівняння еліпса;

якщо А та В різних знаків, то

це

буде рівняння гіперболи;

якщо А = 0 або В = 0, то це буде рівняння параболи.

Мал. 12.

3 41



2222

–1

–2

–3

–4

–1

–2

–3

–4

170

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

6.2.6. Задачі економічного змісту

а) Дослідження впливу розширення тракторного парку на

зростання врожаю зернових

1980 р. держава мала 108,5 тисяч тракторів і одержала з одного

гектара

8,5 ц зернових.

В 1995 р. держава мала 510 тисяч тракторів і одержала з одного

гектара

21 ц зернових.

Позначимо час – х, кількість тисяч тракторів – у; врожай, який

одержали

з одного гектара, позначимо – z (центнерів).

За умовою задачі маємо чотири точки:



11 1 1

, : 1980, 108,5

Ax y x y

;



22 2

, : 1995, 510Bx y x y

;



111 1 1

, : 1980, 8,5

Mxz x z

;



222 2 2

, : 1995, 21

Mxz x z

Знайдемо рівняння прямих – графіків зростання тракторного

парку

та врожайності зернових з одного гектара за 1980–1995 роки у

вигляді

у = kх + b – рівняння прямої з куто!вим коефіцієнтом.

Використовуючи рівняння прямої, що проходить через дві задані

точки

, одержимо:

1980 108,5 1980 108,5

1995 1980 510 108,5 15 401,5

xyxy











401,5 401,5 1980 15 15 108,5x

 

15 15 108,5 401,5 401,5 1980

x     

401,5 793342,5

15 401,5 793342,5

15 15

yx y x

   

Таким чином, кутовий коефіцієнт прямої зростання тракторного

парку

буде:

401,5

26,77

k 