Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів
Подождите немного. Документ загружается.
31
Частина 2. Початок алгебри
2.2. Алгебраїчні перетворення
Алгебраїчні перетворення використовують для доведення алгеб!
раїчних тотожностей, спрощення алгебраїчних виразів, для розв’язу!
вання алгебраїчних рівнянь, при обчисленні значень складних алгеб!
раїчних виразів, при розв’язуванні задач оптимізації.
У ході цих перетворень використовують формули скороченого
множення:
1.
22
()()abab a b
.
2.
2233
()( )aba abb a b
.
3.
2233
()( )aba abb a b
.
4.
22 2
() 2ab a abb
.
5.
33 2 233 3
() 3 3 3()abaababbaababb
.
6.
33 2 233 3
() 3 3 3()abaababbaababb
.
та властивості дій із степенями:
1.
;
n
n
n
aa
bb
;
m
n
m
n
aa
nnn
ab a b
.
2.
;
n
n
n
aa
b
b
1
k
k
a
a
.
3.
;
mn mn
aa a
;
m
mn
n
a
a
a
()
nn n
ab ab
. 4.
.
n
mmn
aa
9. Якщо на підводу накладати по 450 кг картоплі, тоді усю кар!
топлю можна перевезти на 16 підводах. Скільки треба підвід для
перевезення уciєї картоплі, якщо у кожну підводу накладати 480 кг?
10. Що буде з дробом, якщо
a) чисельник його помножити на 7?
b) чисельник його поділити на 5?
c) знаменник його помножити на 5?
d) знаменник його поділити на 8?
32
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Приклад 1. Спростити вирази:
а)
22 22
2
:
22
ab b b
abab ab
;
b)
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
:1.
1
11
x
xx
x
x
xx
xx
Розв’язання.
а)
22 22 22
22
22
22()2
::
22
2
2()
.
4444
ab b b ab b a b b
abab ab ab
ab
ab ab b ab b b a b a b
bbb
b)
1
22
2
2
1
2
22
1
1
1
:1
1
11
x
xx
x
x
xx
xx
2
1
2
2
22
2
2
222
2
22
22
22
22
1
1
11
1
:1 :
111
1
1
11
:1 :1
1
xx
xx
xx x x
x
x
x
xx xx x x
x
xx xx
xx
xx
33
Частина 2. Початок алгебри
222222
2
22 22 2
22
211211
1
22 1122 114 1
4.
11
xxxx xxxx
x
x xx x xx xx
x
xx
Приклад 2. Розкласти на множники
18 18
29
і вказати мен!
ший, що
1
.
Розв’язання.
33 2 2
18 18 6 6 6 6 6 6 6 6
22422412 612
29 2 9 292 299
2922992 189.
Меншим буде
22
29855.
Приклад 3. Обчислити
4
24012 3548 275 41527
.
Розв’язання.
Кожен доданок запишемо добутком степенів:
1111 11 11 1111
2224 24 42 2242
11 11 11 11 11
24 24 42 42 24
11
24
222523 3532235 43533
85 3 65 3 23 5 123 5 145 3
14 5 3 0.
34
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Вправи до розділу 2.2
1. Виконати вказані операції та спростити:
a)
573 329ab ba
; b)
25 32ab ab
;
c)
223
261354tt tt t
; d)
22 22xy x y
;
e)
7225xy yx
.
2. Розкласти на множники:
a) x
2
+ x – 2; b) x
2
– 15x + 54; c) 2x
2
+ 2x – 12;
d) 2x
2
+ 5x + 1; e) 2t
2
+ tu – 6u
2
;
3. Спростити:
a)
22
21 1
xx
xx
;b)
22
11
56 32xx xx
;
c)
2
2
32
2
xx
x
x
;d)
3
2
2
7
6
2
x
x
x
x
.
2.3. Рівняння з однією змінною
В цьому розділі розглянемо розв’язання таких типів алгебраїч!
них рівнянь, які найчастіше використовують у навчальному процесі
та в практиці фахівців з економіки та менеджменту.
2.3.1. Розв’язування лінійних рівнянь
Загальний вигляд лінійного рівняння ах + b = 0, де а та b деякі
дійсні числа. Розв’язок цього рівняння знаходять за формулою:
,
b
x
a
0.a
У разі відсутності навичок розв’язання лінійних рівнянь доціль!
но виконувати дії у такій послідовності: спочатку перенести вільний
від х член рівняння у праву частину (цей член змінить свій знак
35
Частина 2. Початок алгебри
на протилежний), а потім треба одержати коефіцієнт при х, рівний
одиниці. Для цього поділяють обидві частини рівняння ах = –b на а
і одержують розв’язок рівняння.
Приклад 1. Розв’язати рівняння:
a) 3х + 4 = 0; b)
1
2
х – 5 = 0; c) 5х –
1
3
= 0.
Розв’язання:
a)
4
3403 4 ;
3
xxx
b)
11
50 5 2510;
22
xxx
c)
1111
505 .
333515
xxx
Приклад 2. Чоловік старіший від своєї жінки на 7 років, а 10
років тому він був старіший від неї вдвічі. Скільки років зараз чоло!
віку та його жінці?
Розв’язання. Позначимо через х кількість років чоловіка у те!
перішній час. Тоді в цей час його жінці х – 7 років. Десять років
тому чоловіку було х – 10 років, а жінці х – 7 – 10 = x – 17 років.
Згідно з умовою в той час чоловік був вдвічі старший від жінки, тобто
х – 10 = 2(x – 17)
х – 10 = 2x – 34
х – 24 = 0
x = 24.
Таким чином, зараз чоловіку 24 роки, а його жінці 24 – 7 = 17
років.
2.3.2. Розв’язування квадратних рівнянь
Квадратним рівнянням називають рівняння вигляду
ax
2
+ bx + c = 0,
де а, b, с – дійсні числа, коефіцієнти рівняння.
Розв’язки цього рівняння доцільно шукати за формулою
2
1,2
4
2
bb ac
x
a
. (1)
36
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Якщо вираз D = b
2
–
4ac, що стоїть під знаком квадратного коре!
ня, буде додатним дійсним числом, тоді з формули (1) одержимо два
різних розв’язки
2
1
4
2
bb ac
x
a
та
2
2
4
2
bb ac
x
a
.
Якщо D = 0, тоді одержимо два рівних дійсних кореня
12
2
b
xx
a
.
Якщо D < 0, тоді одержимо пару спряжених комплексних розв’язків
квадратного рівняння вигляду
1
,
x
i
2
,
x
i
де
1,i
;
2
b
a
2
4
.
2
ac b
a
Якщо квадратне рівняння зведено до вигляду
х
2
+ px + q = 0,
тоді його розв’язки можна знаходити за формулою
2
1,2
24
pp
x
q
. (2)
Приклад 3. Знайти розв’язок рівняння 6х
2
+ 7х + 1 = 0.
Розв’язання. Це повне квадратне рівняння, тому будемо шука!
ти його розв’язок за формулою (1):
1,2
74924 725 75
;
12 12 12
x
1
1
;
6
x
2
1.x
Зауваження. Деякі квадратні рівняння не мають раціональ&
них коренів. В таких випадках найчастіше беруть їх наближене зна&
чення.
37
Частина 2. Початок алгебри
Приклад 4. Розв’язати рівняння 2х
2
– х – 2 = 0.
Розв’язання. За формулою (1) маємо
1,2
1116117
44
x
.
Одержали два дійсних різних кореня
1
1
1171,281;
4
x
2
1
1 17 0,781
4
x
.
2.3.3. Розв’язування біквадратних рівнянь
Біквадратним рівнянням називають рівняння вигляду
ax
4
+ bx
2
+ c = 0.
Такі рівняння підстановкою x
2
= t, t > 0 зводять до квадратного
рівняння відносно змінної t. Після знаходження коренів одержаного
квадратного рівняння повертаються до шуканої невідомої х.
Приклад 5. Розв’язати рівняння х
4
– 3х
2
– 7 = 0.
Розв’язання. Задане біквадратне рівняння заміною x
2
= t, t > 0
зводиться до квадратного рівняння t
2
– 3t – 7= 0. Розв’язок цього
рівняння знайдемо .за формулою (2):
1,2
39 3928337
7.
24 2 4 22
t
Отже,
1
337
4,54;
22
t
2
337
1,54.
22
t
Корінь t
2
від’ємний, тому він не підходить.
З рівності
22
1
1
337
2
xt x
одержуємо шукані значен!
ня невідомого
1,2
1
337 4,542,13.
2
x
38
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
2.3.4. Розв’язування раціональних рівнянь
Раціональними рівняннями будемо називати такі рівняння, що
містять відношення багаточленів, залежних від невідомого.
Перед розв’язуванням таких рівнянь треба визначити область
припустимих значень розв’язків, тобто тих значень невідомих, при
яких знаменник дробу не дорівнює нулеві.
При розв’язуванні таких рівнянь доцільно вільні від невідомого
члени рівняння перенести у праву частину рівняння, а усі члени, що
містять невідоме, перенести у ліву частину рівняння і звести до
спільного знаменника. Потім обидві частини рівняння помножити
на знаменник, перенести праву частину рівняння у ліву частину і
розв’язати одержане рівняння.
Приклад 6. Розв’язати рівняння
22
11
23 .
43
xx
x
x
Розв’язання. Спочатку знайдемо область припустимих значень:
х
4, х
–3. Отже областю припустимих значень буде
,3 3,4 4, .
Запишемо задане рівняння у вигляді
22
11
23
43
xx
x
x
.
Ліву частину рівняння приведемо до спільного знаменника:
22
32
13 14
23 3 3
43
xx xx
xxx
xx
32 32 3
442343 33
x
xx x x x xx x
222
4423437212323xx x x x x x x
2
23 12 0 16 25 275 0xx
.
Знайдемо розв’язки цього квадратного рівняння за формулою (1):
39
Частина 2. Початок алгебри
1,2
25 25 25 4 16 25 11 25 5 729 25 135
;
216 32 32
x
1
5,x
2
110 55
.
32 16
x
Обидва розв’язки х
1
та х
2
належать області припустимих значень.
2.3.5. Розв’язування ірраціональних рівнянь
Ірраціональними називають такі рівняння, в яких невідоме
міститься під знаком кореня. При знаходженні області припустимих
значень розв’язків слід керуватися тим, що вираз під коренем парної
степені повинен бути
0.
Якщо область припустимих значень знайти важко, то після роз!
в’язування рівняння роблять перевірку шляхом підстановки знайде!
ного розв’язку у задане рівняння.
Приклад 7. Розв’язати рівняння
31 1180xx
.
Розв’язання. Знайдемо область припустимих значень:
1
310
1
.
3
11 0 3
11
x
x
x
x
x
Запишемо задане рівняння у вигляді
318 11.xx
Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:
3 1 64 16 11 11 16 11 64 2 10
81137.
xxxxx
xx
Корінь
+ 11 0x
тому
37 0 37xx
.
40
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
2.3.6. Розв’язування показникових рівнянь
Показниковими рівняннями називають такі рівняння, які містять
невідоме у показнику степеня.
Наприклад, 2
3х
= 8.
При розв’язуванні показникових рівнянь використовують влас
тивості показникового виразу та спеціальні прийоми: зведення обох
частин рівняння до однакової основи; винесення за дужки спільного
множника, введення нового невідомого, ділення обох частин рівнян
ня на однаковий вираз, логарифмування обох частин.
Приклад 8. Знайти розв’язки рівнянь
a)
2
21
1
1
33 81;
3
xx
x
x
x
b)
2
535 140;
xx
c)
2
35360;
xx
d)
22
27.
xx
Розв’язання.
а) Зведемо обидві частини рівняння до однієї основи
0.x
Отже, розв’язки рівняння повинні належати
1
,37 .
3
Шляхом
піднесення до квадрату останнього рівняння одержимо:
222
2
1,2
64 1 37 2 37 138 665 0
69 69 665 69 64;
xxxxx
x
1
1
133 ,37 ,
3
x
тому x
1
не підходить.
2
5x
,
1
5,37,
3
тому х
2
є розв’язком рівняння.