Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів
Подождите немного. Документ загружается.
191
Частина 7. Вступ до математичного аналізу
7.1.6. Складні та елементарні функції
Означення 9. Якщо змінна величина
y
залежить від другої
змінної
величини
u
, яка в свою чергу є функцією
x
, то
y
називають
функцією від функції
або складною функцією. Математично це
можна
записати так:
якщо
,
yf
uu x
, то
.
y
fx
Кажуть: у – складна функція х, u – проміжний аргумент, х –
аргумент (незалежна змінна).
Наприклад:
1)
у = sin
3
x, або у = u
3
, де u = sinx.
2)
у = arctgх
2
, або у = arctgu, де u = х
2
.
Зауваження 3. Від вміння швидко розщепляти складну функ&
цію на основні елементарні залежать навички техніки диференцію&
вання.
Означення 10. Елементарною функцією називають таку
функцію
, яку можна задати однією формулою вигляду у = f(х), де
вираз
правої частиш складено з основних елементарних функцій та
постійних
за допомогою скінченної кількості операцій додавання,
віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, добування ко&
реня та побудови функції від функції.
Наприклад, функція
2
lg 4 3 arctg 10
5tg
x
xx x
y
xx
7. Обернені тригонометричні функції:
у = arcsinх, у = arccosх,
у = arctgx, у = arcctgx,
у = arcsecх, у = arccosecx.
Зауваження 2. Основні елементарні функції та їх графіки вив&
чають у середній школі, вони відіграють важливу роль в математич&
ному аналізі, тому ці функції, їх області визначення та графіки тре&
ба добре знати.
192
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
буде елементарною функцією, а
123 !
y
n
y
n
не буде еле!
ментарною функцією тому, що для одержання
y
треба зробити n опе!
рацій множення, але із зростанням n кількість таких операцій буде
необмеженою
.
7.2. Нескінченно малі та нескінченно великі величини
Означення 11. Змінна величина
x
називається нескінченно
малою
, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи
з
якого, абсолютна величина змінної стає і залишається менше будь&
якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа
,
тобто
x
.
Нескінченно малі величини найчастіше позначають літерами
,
,
.
Наприклад, величина
1
10
n
при
n
є нескінченно малою.
Зауваження 4. Нескінченно мала величина є змінною величи&
ною. Але, якщо постійну величину О розглядати як змінну величину,
що приймає одне й те ж значення, то в цьому розумінні вона є не&
скінченно малою, тобто якщо
0
, то нерівність
виконуєть&
ся для будь&якого
> 0.
Жодну іншу постійну величину, якою б малою вона не була (на!
приклад, розмір електрона), не можна назвати нескінченно малою.
Розглянемо деякі властивості нескінченно малих величин.
Теорема 1. Алгебраїчна сума будьякого скінченного числа
нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.
Доведення
. Нехай задано k нескінченно малих величин
12
,,,
k
. Доведемо, що їх алгебраїчна сума
12
k
буде величиною нескінченно малою. Візьмемо скільки завгодно мале
> 0. Згідно з означенням нескінченно малих в процесі їх зміни
наступить
такий момент, починаючи з якого будуть виконуватися
нерівності
:
193
Частина 7. Вступ до математичного аналізу
12
,,,
k
kk k
.
Звідси, використовуючи властивості модуля, одержимо:
12 1 2kk
kk k
.
Отже, маємо:
12
k
.
Ця нерівність, згідно з означенням 11, означає, що
12 k
є нескінченно малою величиною. Теорема доведена.
Теорема 2. Добуток обмеженої величини на нескінченно
малу величину є величина нескінченно мала.
Доведення
. Нехай у – обмежена величина,
– нескінченно мала.
Для обмеженої величини у існує таке число М, що
y
M
. Згідно з
означенням
нескінченно малої в процесі змінювання наступить та!
кий момент, починаючи з якого буде виконуватися нерівність
M
для будь!якого
0
. Тому, починаючи з деякого моменту,
буде виконуватись нерівність
yy M
M
.
Ця нерівність означає, що
y
є величиною нескінченно малою,
що і треба було довести.
Наслідок 1. Добуток постійної величини на нескінченно малу є
величина
нескінченно мала.
Наслідок 2. Добуток скінченної кількості нескінченно малих ве&
личин є величина нескінченно мала.
Дійсно, постійні та нескінченне малі величини обмежені величи!
ни, тому для них має місце твердження теореми 2.
Означення 12. Змінна величина
x
називається нескінченно ве
ликою
, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи
194
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
з якого абсолютна величина
x
стає і залишається більше будь&якого,
скільки завгодно великого, наперед заданого додатного числа N, тобто
|x| > N.
Наприклад, величина
10
n
при
n
є величина нескінченно
велика
.
Між нескінченно великими і нескінченно малими величинами
існує
простий зв’язок: якщо х нескінченно велика величина, то
1
y
x
– нескінченно мала, і навпаки, якщо у – нескінченно мала і
0,
y
то
1
x
y
буде нескінченно великою величиною.
Тому можна довести, що алгебраїчна сума скінченної кількості
нескінченно
великих величин буде величиною нескінченно великою,
добуток нескінченно великої величини на обмежену величину також
буде
нескінченно великою величиною.
Ділення нескінченно малих та нескінченно великих величин поки
що
не визначено і буде розглянуто далі, після визначення границі
змінної
величини.
7.3. Границя змінної та її властивості
Із всієї множини змінних величин виділимо такі, процес зміни
яких
відбувається особливим чином, що дозволяє назвати ці вели!
чини прямуючими до границі.
7.3.1. Поняття границі
Означення 13. Постійна величина а називається границею
змінної величини
x
, якщо абсолютна величина різниці
x
a
є вели&
чиною нескінченно малою, тобто
xa
.
Якщо число а є границею змінної х, то кажуть, що х прямує до
границі
а і позначають так:
lim xa
або
x
a
.
З цього означення границі випливає, що границя нескінченно
малої
величини дорівнює нулю, тобто
lim 0
або
0
.
195
Частина 7. Вступ до математичного аналізу
Нескінченно велика величина х границі не має, але умовно вва!
жають, що границя нескінченно великої величини є
, тобто
x
або
lim
x
.
Із означення 13 випливає: якщо в процесі своєї зміни змінна ве!
личина має границю, то лише одну, а сама змінна величина
відрізняється
від своєї границі на нескінченно малу величину, тобто
x
a
. Саме цей факт в математичному аналізі часто використо!
вується.
Тепер розглянемо границю різновидів змінної величини – послідов!
ності та функції.
Означення 14. Число
a
називається границею послідовності
12
,,
n
xx x
, якщо для будь&якого наперед заданого, скільки завгодно
малого
> 0 існує такий номер N, що для усіх n > N виконується
нерівність
n
xa
.
Позначають границю послідовності так:
lim
n
n
x
a
або
n
x
a
при
n
.
Відмітимо, що номер N залежить від
і найчастіше він зростає,
коли
зменшується.
Означення 15. Число А називається границею функції у = f(х)
при
0
x
x
, якщо для будь&якого наперед заданого, скільки завгодно
малого
> 0 знайдеться таке число
> 0, що для усіх х, відмінних
від
0
x
і які задовольняють нерівність
0
xx
, виконується
нерівність
()fx A
.
Відмітимо, що
залежить від
і найчастіше зменшується, коли
зменшується
.
Покажемо на графіку (мал. 2), як здійснюється прямування функції
f(х) до границі А. Відклавши на осі Oy
!окіл точки А, знайдемо
проміжок
0102
,xx
осі Ox, для усіх точок якого значення
196
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
функції f(х) не виходить із
смуги
завширшки 2
. Із
1
, та
2
візьмемо менше
і
позначимо його
. Те!
пер для усіх х, таких, що
0
xx
виконується
нерівність
()
fx A
.
Зауваження 5. Якщо функція
yf
x
має границею число
1
A
, лише при умові, що
0
x
x
зліва, то використовують такий
запис
:
0
1
0
lim
xx
A
fx
,
а число
1
A
, називають однобічною границею функції
y
fx
зліва.
Якщо число
2
A
є границею функції
y
fx
при
0
x
x
справа, то
використовують
запис:
0
2
0
lim
xx
A
fx
,
а число
2
A
називають однобічною границею функції
yf
x
спра
ва
. Ці границі функції називають однобічними.
Для існування границі А функції
fx
в точці
0
x
необхідно і
достатньо
, щоб існували в цій точці границі функції зліва та справа
і
щоб вони були рівні, тобто
12
.
A
AA
y=f(x)
Y
X
x
0
0
A
A
A
01
x
02
x
Мал. 2.
197
Частина 7. Вступ до математичного аналізу
7.3.2. Порівняння нескінченно малих та нескінченно великих
Ділення
двох нескінченно малих або двох нескінченно великих
величин
не визначено тому, що їх відношення може бути нескінчен!
но малою або нескінченно великою або постійною величиною.
Дійсно, нехай
– нескінченно мала величина, тоді
2
,
3
також нескінченно малі величини.
Маємо:
2
– нескінченно мала величина,
2
1
– нескінченно велика величина,
3
3
– постійна величина.
Використовуючи ділення, можна порівнювати нескінченно малі
та
нескінченно великі величини.
Означення 16. Нескінченно малі величини
та
називаються
нескінченно малими одного порядку малості
, якщо їх відношення
мас
скінченну границю, відмінну від нуля, тобто якщо
lim 0.
k
Якщо
1
k
, то
та
називають еквівалентними нескінченно
малими величинами
.
Означення 17. Якщо відношення двох нескінченно малиx вели&
чин є нескінченно мала величина, тобто
lim 0
, то
називають
нескінченно малою величиною вищого порядку малості в по
рівнянні з
.
Наприклад
, якщо
3
, то
3
2
lim lim lim 0.
198
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Нескінченно великі величини порівнюють таким же чином.
Знаходження границі відношення двох нескінченно малих або
двох
нескінченно великих величин називають розкриттям невизна!
ченості їх відношення.
7.3.3. Ознаки існування границі змінної величини
Не
слід вважати, що будь!яка змінна величина має границю. Роз!
глянемо, наприклад, послідовність
1
1 : 1, 1, 1, 1,
n
n
x
Ця послідовність не має границі тому, що при будь!якому п
сусідні
два значення цієї змінної відрізняються за модулем на дві
одиниці
Отже, для
1
на числовій осі не має такої точки,
!окіл
якої
містив би усі значення х, починаючи з деякого N.
В курсі математичного аналізу для студентів університетів мате!
матичної спеціальності доведені такі ознаки існування границі змінної
величини
.
Ознака 1. Якщо в одному процесі змінна величина
y
заключена
між
двома іншими змінними
x
та
z
, які мають однакову границю
a
, то й змінна величина
y
має границю, що дорівнює
a
. Іншими сло&
нами: якщо
xy
z
, та
lim , limxa za
, то
y
також має гра&
ницю
lim .
y
a
Цю ознаку іноді називають теоремою про двох міліціонерів.
Ознака 2. Обмежена монотонна змінна величина мас границю.
Ця ознака вказує умови, при яких існує границя змінної вели!
чини.
Перша ознака вказує не тільки умови існування границі змінної
величини
, але й величину самої границі.
199
Частина 7. Вступ до математичного аналізу
7.3.4. Основні властивості границі змінної величини
Теорема 3. Якщо х = С – постійна величина, то
lim ,CC
тобто, границя постійної величини дорівнює самій постійній.
Дійсно
, якщо усі значення х дорівнюють С, то виконується
нерівність
0,xC CC
де
– скільки завгодно мале до!
датне число. Ця нерівність означає, що С є границею х = С.
Теорема 4. Границя алгебраїчної суми скінченної кількості
змінних величин, що мають границі, дорівнює такій самій алгеб
раїчній сумі границь доданків, тобто
lim( ... ) lim lim ...lim
x
yz x y z
.
Доведення. Нехай
lim xa
,
lim
y
b
, ...,
lim zc
. Змінна вели!
чина відрізняється від своєї границі на нескінченно малу величину,
тому можна записати:
x
a
,
yb
,...,
zc
,
де
,
,...,
– нескінченно малі величини. Тепер маємо:
... ( ... ) ( ... )
xy z ab c
.
В останній дужці правої частини цієї рівності маємо нескінченно
малу
величину, а в першій дужці – постійна величина. Отже,
lim( ... ) ... lim lim ...lim
x
yzab c x y z
,
що й треба було довести.
Теорема 5. Границя добутку скінченної кількості змінних
величин, що мають границю, дорівнює добутку границь множ
ників, тобто
lim lim lim lim .
xy
zx
y
z
Доведення. Спочатку доведемо твердження теореми для двох
множників
. Нехай
lim xa
,
lim
y
b
, тоді
x
a
,
yb
, де
та
– нескінченно малі величини.
200
Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»
Згідно з властивостями нескінченно малих величин
ab
також нескінченно мала. Тому
xy ab
або
lim lim lim
xy
ab x
y
.
Тим самим твердження теореми для двох множників доведене.
У випадку трьох множників доведення твердження теореми вип!
ливає із доведення для двох множників та рівностей:
lim lim lim lim lim lim limxyz xy z xy z x y z
.
Аналогічно доводиться твердження теореми для будь якої
кількості
множників.
Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак гра&
ниці, тобто
lim lim lim lim
Cx C x C x
.
Наслідок 2. Границя цілого додатного степеня змінної величи&
ни дорівнює тому ж степеню границі цієї змінної величини, тобто
lim lim
n
n
xx
.
Теорема 6. Границя частки від ділення двох змінних вели
чин дорівнює частці від ділення їх границь, якщо тільки границя
дільника не дорівнює нулю, тобто
lim
lim ,
lim
xx
yy
lim 0.
y
Доведення. Нехай
lim
x
a
,
lim
y
b
. Тоді
x
a
,
yb
,
де
та
– нескінченно малі величини.
Розглянемо різницю
22
x a a a ab baba ba
ybb b
bb bb
.
Величини
,,
abb
– нескінченно малі, тому чисельник
правої
частини є нескінченно малою величиною, а знаменник –