Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів

Подождите немного. Документ загружается.

211

Частина 7. Вступ до математичного аналізу



D(x) = D(3200) – D(3100) = (1003200 – 0,013200] –

–[1003200 – 0,013100] = 217600 – 213900 = 3700.

Позначимо прибуток Р(х). Тоді

P(x) = D(x) – V(x) = 100х – 0,01х

– (20000 +40х) =

=60

х – 0,01х

– 20000.

Приріст прибутку буде



Р(х) = Р(3200) – Р(3100) = [60



3200 – 0,013200

– 20000] –

–[603100 – 0,013100

– 20000] = 69600 – 69900 = –300.

Отже, прибуток зменшиться на 300 гривень.

Середня величина приросту прибутку на одиницю приросту про!

дукції буде



300

100









Отже, кожна одиниця додаткової продукції зменшує прибуток на

3 гривні.



Приклад 5. (Зміна кількості населення). Зміна кількості

населення

деякого міста за час t, що вимірюється роками, здійснюєть!

ся за формулою

P(t) = 10000 + 1000t – 120t

Визначити середню швидкість зростання населення в період між

часом

: a) t = 3 та t = 5; b) t = 3 та t =



Розв’язання. Середню швидкість зростання населення міста за

час

t знайдемо за формулою

 

tPttPt







a) В цьому випадку:



t = 5 – 3 = 2



P(t) = Р(5) – Р(3) = [10000 + 5000 – 120



25] –

–[10000 + 3000 – 1209] = 2000 – 1920 = 80.

Середня швидкість зростання населення міста в цей період буде

80:2 = 40.

212

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

b) В цьому випадку:

  

 

111

3 3 10000 3 1000 120 3

222

Pt P P





 

     





 

 













10000 3000 120 9 500 390 110



Отже, середня швидкість зростання населення міста в цей час буде

110

220.



7.6. Вправи

Знайти значення функції в заданих точках.

а) F(x, у) = х

– 3ху – у

+ 2х + у при х = 4, у = 3;



2cos4 1fx x x

при х = 0;



2ln





при x = 1;











при t = 1;

у = 8х – 2х

при х = 1 та при х =

Задану функцію записати у вигляді ланцюга рівностей, кожна

ланка

якого містить основну елементарну функцію:

а)



arcsin 3 ;





lgsin3

x

; c)



3cos ln2 .

yx

Знайти область існування функції:

;







3cos2 2;

fx x x



ln 1 ;

x

sin 3yx

; e)







213

Частина 7. Вступ до математичного аналізу

4. Довести, що задана змінна є нескінченно малою або нескінчен!

но великою:

;







;





;

















5. Знайти вказані границі:



lim 3 7 1 ;





lim ;



 

341

lim ;









lim 1 2 ;







lim 2 3 1 ;





lim ;





lim ;





tg sin

lim ;





272

lim ;

643







lim ;





 

sin

lim ;





lim 2 3 ln 2 ln ;













lim ;







12 4

lim ;



 



214

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

1cos3

lim ;







lim ln 3 4 ln3 ;













lim ;







lim ;





cos cos

lim ;

sin2









lim 2 1 .





Задана функція





та два значення аргументу

та

Треба: 1) встановити, чи буде функція неперервною в кожній точці;

у випадку розриву функції знайти її однобічні границі зліва та

справа

; 3) зробити схематичний малюнок.

а)

5, 2, 4;

yxx





6, 4, 3;

yxx





с)

7, 7, 5;

yxx



d)

10 , 8, 9;

yxx





4, 3, 1;

yxx





8, 4, 2.

yxx





Задачі економічного змісту.

а) мале підприємство встановило, що витрати на виготовлення х

окремих

виробів задовольняють такій закономірності

V(x) = 0,001x

– 0,3x

+ 40x + 1000.

Знайти: приріст витрат, коли кількість виробів зросте з 50 до 100

та середні витрати на виготовлення кожної одиниці виробу, коли їх

кількість

зросте з 50 до 60.

загальний щотижневий доход D в гривнях, одержаний

підприємством

після продажу виготовлених х одиниць виробів, має

таку

закономірність



500 2 .

xxx



Визначити середнє значення доходу на одиницю приросту виго!

товленої продукції, якщо її кількість х зросте з 100 до 120.

215

Частина 7. Вступ до математичного аналізу

7.7. Завдання для індивідуальної самостійної роботи

Знайти область визначення функції:

а)



xNxN





log 1 .

xNxN





2. Знайти границі:

lim ;









lim .







3. Дослідити неперервність функції та побудувати її графік:

,1;





















31,1;

,1.

xxx

xNx x



 













216

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Частина 8

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

8.1. Похідна і диференціал

8.1.1. Деякі задачі, що привели до поняття похідної

а) Задача про швидкість прямолінійного руху

Нехай

тіло рухається прямолінійно вздовж осі

, але нерівномір!

но. Тоді координата

точки буде змінюватись з часом за деяким

законом

, тобто

()

sst



. Починаючи з деякого моменту

, за час

t

тіло пройде шлях

()()

st t st

  

Середня швидкість

руху за проміжок

t

буде







. Серед!

ня швидкість дає лише наближене уявлення про рух в окремі мо!

менти часу. Так, на початку проміжку

t

тіло могло рухатись при!

скорено, а в кінці цього проміжку часу – уповільнено.

Коли проміжок часу

t

зменшується, тоді

наближається до

швидкості

руху в момент

, що відповідає початку проміжку

t



Означення 1. Миттєвою швидкістю

(або швидкістю в

момент

) називають границю відношення приросту шляху



до

приросту

часу

t

, коли

0t

, тобто

() lim









, (1)

Миттєва швидкість

залежить від часу

, а також від вигляду

функції

()

sst



217

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

b) Задача про дотичну

Нехай

задана функція

()

x

. Графіком цієї функції на пло!

щині

буде деяка крива лінія.



Означення 2. Дотичною до кривої

()

x

в точці М

(

)

(точка дотику) називають граничне положення МТ січної ММ

, коли

точка М

, рухаючись вздовж кривої, прямує до точки дотику М (див.

мал. 1).

З малюнка видно, що тангенс

кута

нахилу січної ММ

до осі

буде

fx x fx

()()









Із означення дотичної випли!

ває, що її кутовий коефіцієнт

k tg





є границя, до якої пря!

мує кутовий коефіцієнт





січної при необмеженому набли!

женні точки М

до точки М, тоб!

то при



Отже, одержали

()()

tg lim lim



 



 



. (2)

с) Задачі про маргінальні вартість, доход, прибуток

Маргінальними витратами називають

гранично можливі витра!

ти в умовах хоча б постійного відтворення виробництва відповідної

продукції

. Аналогічно визначають маргінальні доходи та прибуток.

Позначимо через

()

та

()

витрати, доходи та при!

буток виробництва х одиниць продукції. Кожна з цих величин є

певною

функцією кількості одиниць х виробленої та проданої про!

дукції.

y

xx



Мал. 1.

218

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Якщо підприємство збільшує випуск продукції на



одиниць,

то ці функції одержать приріст

() ( ) ()

Vx Vx x Vx



;

() ( ) ()

xDxxDx



;

() ( ) ()

xPxxPx



Відношення приросту функцій до



характеризує приріст відпо!

відної функції на одиницю приросту продукт, а границя цього відно!

шення при



стає маргінальною.

Отже, маємо:

Маргінальна вартість

() ( ) ()

lim lim

Vx Vx x Vx

 







. (3)

Маргінальний доход

() ( ) ()

lim lim

xDxxDx

 







. (4)

Маргінальний прибуток

() ( ) ()

lim lim

xPxxPx

 







. (5)

Розглядаючи різні задачі, ми одержимо однакові формули (1)–

(5)

для їх розв’язків, а саме, шукану величину знаходять шляхом

застосування

граничного переходу до відношення приросту функції

до

приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

8.1.2. Означення похідної та деякі її інтерпретації



Означання 3. Похідною функції

()

x

за аргументом

називають границю відношення приросту функції



до приросту

аргументу



, коли



довільним образом прямує до нуля. Якщо ця

границя

існує, то її позначають через

()



або



або

, або

219

Частина 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

()df x

. Отже, математично похідна функції визначається за фор&

мулою:

()()

( ) lim



  







. (6)

Відмітимо, що похідну

()



одержали за допомогою гранично!

го переходу при постійному

, тому при



вона приймає кон!

кретне значення, яке позначають

()



або





Означання 4. Операцію знаходження похідної функції

()



називають диференціюванням цієї функції. Функцію

()

яка має похідну в точці х, називають диференційованою в точці х.

Якщо функція має похідну в кожній точці деякого проміжку, то її

називають

диференційованою у цьому проміжку.

Повертаючись до розглянутих вище задач, які привели до понят!

тя похідної, робимо такі висновки:

1) механічний зміст похідної: похідна

()



є величиною миттє!

вої швидкості в момент

тіла, що рухається за законом

()

SSt



;

2) геометричний зміст похідної: похідна

()



дорівнює куто!

вому коефіцієнту дотичної до графіка функції

()



в точці з

абсцисою

;

3) економічний зміст похідної: похідні

()



()



()



до!

рівнюють маргінальній вартості, доходу та прибутку, відповідно.

Нижче, у розділі 8.6, буде детально розглянуто ще один при!

клад економічного змісту похідної першого порядку, а саме елас!

тичність функції, яку часто застосовують при розв’язанні економіч!

них задач.

220

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

8.1.3. Зв’язок між неперервністю та диференційованістю

функції



Теорема. Якщо функція y = f(x) диференційована в деякій

точці

, то вона в цій точці неперервна.

Доведення

. Якщо

()



диференційована в точці

, то згідно

означенням похідної при



існує скінченна границя

lim ( )











В силу того, що границя змінної величини відрізняється від самої

змінної

лише на нескінченно малу



, то з останньої рівності маємо

() ()

fx y fx x x











 



. (7)

Оскільки

()



–

постійна величина, то з властивостей не!

скінченно малих випливає, що обидва доданки в правій частині (7)

є нескінченно малих величинами. Їз (7) випливає, що



, тоб!

то функція

()



неперервна в точці

. Теорема доведена.



Наслідок. З цієї теореми випливає, що неперервність функції є

необхідною умовою диференційованості функції. Це означає, що в точ&

ках розриву функція не має похідних, тобто вона не диференційована.

Функція, яка неперервна в точці

, може бути не диференційо!

ваною в цій точці. Наприклад, функція

x

неперервна в точці



, але не має похідної в цій точці тому, що

lim 1









, а

lim 1









тобто границя відношення



залежить від способу прямуван!

ня

