Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів

Подождите немного. Документ загружается.

201

Частина 7. Вступ до математичного аналізу

скінченною величиною. Отже, дріб









буде нескінченно ма!

лою величиною, яку позначимо через



. Тепер маємо:





або





Знайдемо границю обох частин останньої рівності:

lim

lim .

lim

xa x



що і треба було довести.

Розпишемо деякі особливі випадки обчислення границі част!

ки

1. Якщо

lim ,



– обмежена величина, тоді

lim lim lim lim 0.

zz z









Наприклад,

sin

lim 0.





2. Якщо

lim 0



, a

lim 0



, тоді

lim lim lim lim

zz z

 

 

 

 

тому, що

– нескінченно велика величина.

Наприклад,

lim









202

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

7.3.5. Чудові границі

Перша чудова границя

При

знаходженні границі виразів, що містять тригонометричні

функції

, часто використовують границю

sin

lim 1





, (1)

яку називають першою чудовою границею.

Для

доведення рівності (1) побудуємо коло одиничного радіуса

та

кут АOВ = х (радіан), де





(див. мал. 3).

Побудуємо лінію синуса ВС та лінію тан!

генса AD. Із мал. 3 видно, що площа

AOB

менше площі сектора АОВ, а остання менше

площі

AOD

Площа

OAB

дорівнює

sin

, площа

сектора

OАВ дорівнює

, а площа

OAD

дорівнює

. Отже, маємо нерівності

sin tgxx x

При





маємо

sin 0x 

, тому нерівності можна поділити

на

sin x

. Одержимо

sin cos



Для обернених величин можна записати такі нерівності

sin

cos 1



. (2)

Мал. 3.

203

Частина 7. Вступ до математичного аналізу

Оскільки

limcos 1





, то за першою ознакою існування границі

змінної

величини із нерівностей (2) одержимо

sin

lim 1





 . (3)

Отже, рівність (1) доведена для

0x 

. При



позначимо

,0,

xtt

 

тоді



sin

sin sin sin

xtt

xttt







Тому, для

0x 

маємо

sin sin

lim lim 1







. (4)

Із рівностей (3) та (4) випливає рівність (1), яку треба було до!

вести.



Наприклад,

00 0

sin5 5sin5 sin5

lim lim 5lim 5.

xx x

xxx

xx x

 



Друга чудова границя

Розглянемо

послідовність

1,1,2,3,



 







та підрахує!

мо декілька її значень



12,25;



 





12,37;



  





2,441;









2,488;











204

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Бачимо, що

12345

uuuuu



Можна довести, що для будь!

якого п має місце нерівність





яка означає, що змінна

монотонно зростає. В той же час усі підраховані значення

задо!

вольняють нерівність

u 

. Можна показати, що ця нерівність має

місце

для усіх значень n. Отже, змінна

монотонно зростає і зали!

шається обмеженою зверху числом 3. Згідно другої ознаки існуван!

ня границі змінної величини робимо висновок, що ця змінна

має

скінченну

границю.



Означення 18. Скінченну границю послідовності









1, 2, 3,

n  

називають числом

, тобто

lim 1











. (5)

Оскільки для будь!яких значень

1n 

мають місце нерівності



, тому число

задовольняє нерівностям

23e

Число

– ірраціональне, воно часто використовується в мате!

матиці та економіці і дорівнює



2,718281... .

В практичних підрахунках наближено приймають

2,72



Рівністю (5) ми визначили число

при



, коли n приймає

лише

цілі та додатні значення. Можна довести таке твердження:

Якщо змінна



, приймаючи будь&які дійсні (раціональні та

ірраціональні

) додатні значення, то функція











має

своєю

границею також число

, тобто

lim 1











. (6)

205

Частина 7. Вступ до математичного аналізу

7.4. Неперервні функції та дії з ними

7.4.1. Неперервність функції в точці і на відрізку

Нехай





і аргумент х змінюється від значення



, до

значення



. Різницю між цими значеннями аргументу назива!

ють приростом аргументу і позначають

x

Отже,

 

При



, маємо





, а при



маємо





Різницю функції, яка викликана зміною аргументу, називають при

ростом функції

і позначають



Отже,



21 1 1

yy y f

    

Якщо в лівій частині рівності (6) зробити заміну





то ця

рівність

приймає вигляд



lim 1







. (7)

Рівності (6) та (7) називають другою чудовою границею. Цю

границю

часто використовують в різних галузях техніки, економіки.



Приклад 1. Обчислити

lim 1











при постійному а.



Розв’язання. Будемо використовувати другу чудову границю.

Маємо:

lim 1 lim 1 lim 1

xx x

aa a

xx x

  

 



  



    



  



  



 

206

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

Тепер можна перейти до поняття неперервності функції. Дамо

два

означення неперервності функції в точці, які досить часто вико!

ристовуються.



Означення 19. Якщо нескінченно малому приросту аргументу

x

в точці

x

відповідає нескінченно малий приріст



функції,

що визначена в точці

та в її околі, то функцію



fx

назива&

ють неперервною при

x

або в точці

Із цього означення випливає, що для дослідження неперервності

функції

в точці

x

достатньо впевнитись, що при



буде





Означення 20. Функцію





називають неперервною

при

x

, якщо:



існує при

x

та в деякому околі точки

;

існує скінченна границя



lim



;

  

lim

xfx





незалежно від способу прямування

до

тобто

   

lim lim .

xx xx

xfxfx

 



Останню умову можна записати так:

  

lim lim

xx xx











Ця ознака нижче буде використана для класифікації точок розриву.



Означення 21. Якщо функція неперервна в кожній точці дея&

кого інтервалу



,,ab

то її називають неперервною в інтервалі



. Якщо функція визначена при

xa

 

lim ,

xfa





то

кажуть

, що



неперервна в точці

справа.

207

Частина 7. Вступ до математичного аналізу

Якщо



визначена при

xb

 

lim ,

xfb





то кажуть,

що



в точці

xb

неперервна зліва.

Якщо



неперервна в кожній точці інтервалу



,ab

та непе&

рервна на кінцях інтервалу, відповідно справа та зліва, то функцію



називають неперервною на відрізку





,ab



Приклад 2. Знайти інтервал неперервності функції

x



Розв’язання. Будемо використовувати означення 19 неперерв!

ності функції. Візьмемо довільну точку

на числовій осі та позна!

чимо через

x

приріст

. Тоді функція

x

одержить приріст

   

222

22 2

0000 00

x x xx xx x x xx x   

Якщо

0,x

то згідно з властивостями нескінченно малих величин,



тобто



є нескінченно малою. Отже, функція неперервна в

точці

. Це твердження має місце для будь!якої точки числової осі,

тому функція

x

неперервна на всій числовій осі.



Приклад 3. Знайти

lim



Разв’язання. В прикладі 2 одержали, що функція

x

неперер!

вна при

   

Тому для знаходження її границі при

3x 

достатньо замість х підставити х = 3, тобто перейти до границі під

знаком

функції



lim 3 9





208

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»

7.4.2. Класифікація розривів функції

Якщо

при деякому

x

будь!яка із умов неперервності озна!

чення 20 не виконується, то кажуть, що функція в цій точці має

розрив

, а точку х, називають точкою розриву функції.

Поняття неперервності та розриву функції можна наочно пока!

зати на графіку функції (див. мал. 4).

В околі точки

графік має вигляд неперервної лінії. При будь!

якому прямуванні

x

  



. В точках

та

інша

ситуація

. При наближенні

до

зліва



,fx a

а при

x

справа



,fx b

тобто



lim



залежить від способу прямуван!

ня х до

. В точці х

умова неперервності функції також не вико!

нується тому, що



lim ,





тобто не існує скінченної границі.

Графік функції, що зображений на малюнку 4, має розриви в

точках

та







Мал. 4.

209

Частина 7. Вступ до математичного аналізу

7.4.3. Властивості неперервних функцій та дії з ними

Приведемо

без доведень властивості неперервних функцій.



Теорема 7 (Вейєрштрасса). Якщо функція





непе

рервна на відрізку





, то вона обмежена на цьому відрізку,

тобто існують такі числа

та

, що



mfx M

для усіх





xab

Розриви функції бувають ліквідовні та неліквідовані:

1) якщо функція



не визначена в точці

або визначена,

але мають місце співвідношення

   

lim lim ,

xx xx

fx fx fx

 



то розрив в точці

називають ліквідовним. В цьому випадку функ!

цію можна визначити або змінити її значення в точці

так, щоб вико!

нувались рівності

   

lim lim

xx xx

 



неліквідовні розриви поділяються на розриви першого та дру

гого роду:

a) якщо однобічні границі функції



lim ,





lim



існу!

ють та скінченні, але не рівні між собою, то

називають точкою

розриву першого роду

, а різницю

 

lim lim

xx xx

xfx

 



назива!

ють стрибком функції;

якщо хоча б одна з однобічних границь не існує або дорівнює



, то розрив в цій точці називають розривом другого роду.

На малюнку 4 функція має розрив першого роду в точці

її

стрибок

дорівнює b – а, а в точці

функція має розрив другого роду.

210

Барковський В.В., Барковська Н.В. «Вища математика для економістів»



Теорема 8. Усі основні елементарні функції неперервні в

кожній точці своєї області існування.



Теорема 9. Алгебраїчна сума, добуток (скінченної кількості

доданків та множників) та частка функцій, неперервних при

x

(в останньому випадку дільник в цій точці не повинен

дорівнювати нулю) є також неперервна функція при

x



Теорема 10. Неперервна функція від неперервної функції є

також неперервна функція.



Теорема 11. Будьяка елементарна функція неперервна в

кожній точці своєї області існування.

7.5. Задачі економічного змісту



Приклад 4. (Витрати, доход та прибуток). Економічним

підрозділом

заводу встановлено, що при виробництві х одиниць про!

дукції А щоквартальні витрати V(x) виражаються формулою

V(x) = 20000 + 40х (гривень),

а доход D(x), одержаний від продажу х одиниць цієї продукції, вира!

жається формулою

D(x) = 100х – 0,001х

(гривень).

Кожного кварталу завод виробляє 3100 одиниць продукції А, але

бажає

збільшити випуск цієї продукції до 3200 одиниць. Обчислити

приріст

витрат, доходу та прибутку. Знайти середню величину при!

росту прибутку на одиницю приросту продукції.



Розв’язання. Запланований приріст продукції буде

x

= 3200 – 3100 = 100 (одиниць продукції А).

Приріст витрат



V(x) = V(3200) – V(3100) = [20000 + 40



3200] –

–[20000+ 40



3100] = 148000 – 144000 = 4000.

Приріст доходу