Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание

Подождите немного. Документ загружается.

)

Ðèñ. 3.9

Âåëè÷èíà X = X

$ X

= wL $ 1/(wC) íàçûâàåòñÿ ðåàêòèâíûì

ñîïðîòèâëåíèåì, à âåëè÷èíà

ZRX

(3.33)

$ ïîëíûì ñîïðîòèâëåíèåì öåïè.

Òðåóãîëüíèê íà âåêòîðíîé äèàãðàììå, îáðàçîâàííûé íàïðÿæå-

íèÿìè U

, U

íàçûâàþò òðåóãîëüíèêîì íàïðÿæåíèé. Åñëè

> U

> X

), òî öåïü íîñèò èíäóêòèâíûé õàðàêòåð (ïðèëî-

æåííîå íàïðÿæåíèå îïåðåæàåò òîê) è òðåóãîëüíèê íàïðÿæåíèé èìååò

âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 3.9, à; åñëè U

< U

< X

), òî

öåïü íîñèò åìêîñòíûé õàðàêòåð (ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå îòñòàåò

îò òîêà) è òðåóãîëüíèê íàïðÿæåíèé ïðèíèìàåò âèä, èçîáðàæåííûé

íà ðèñ. 3.9, â. Òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè R, X, Z ïîäîáíûé òðå-

óãîëüíèêó íàïðÿæåíèé, íàçûâàåòñÿ òðåóãîëüíèêîì ñîïðîòèâëåíèé

(ðèñ. 3.9, á, ã). Èç òðåóãîëüíèêîâ ñîïðîòèâëåíèé è íàïðÿæåíèé

ñëåäóåò:

=+=

mmmm

UUUZI

, (3.34)

j==

=j=j

arctg()arctg(),

cos;sin.

UUXR

RZXZ

(3.35)

Òðåóãîëüíèêè íàïðÿæåíèé è ñîïðîòèâëåíèé ïîçâîëÿþò óïðîñ-

òèòü àíàëèç ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.

3.5. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ â öåïè ïðè ïàðàëëåëüíîì

ñîåäèíåíèè R, L, Ñ-ýëåìåíòîâ

Ïðèëîæèì ê öåïè, ñîäåðæàùåé ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûå ýëå-

ìåíòû R, L, Ñ (ðèñ. 3.10), íàïðÿæåíèå

(

)

w+j

= sin

uU . (3.36)

Ñîãëàñíî ÇÒÊ òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè

RLC

iiiiGuudtC

Ldt

=++=++

. (3.37)

Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ è èç (3.36) â (3.37), ïîëó÷èì

I=-I

Ðèñ. 3.10 Ðèñ. 3.11

)

Ðèñ. 3.12

( ) ( )

( )

w+jw+j-p

=++

w+j+p

sinsin

sin.

(3.38)

Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (3.38) â âèäå

(

)

(

)

( )

=++

w+j

sinsin

sin,

mRmL

iII

(3.39)

ãäå

====

j=jj=j-pj=j+p

;;;

;2;2.

mRmmmLLmmCCm

RuLuCu

IURGUIBUIBU

(3.40)

Íà ðèñ. 3.11 èçîáðàæåíà âåêòîðíàÿ äèàãðàììà òîêîâ, îïèñûâàåìûõ

óðàâíåíèåì (3.39).

Òîê â ðåçèñòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè I

íàçûâàþò àêòèâíîé ñî-

ñòàâëÿþùåé òîêà I

, à ðàçíîñòü òîêà I

= I

$ ðåàê-

òèâíîé ñîñòàâëÿþùåé òîêà. Äëÿ I

è I

ñïðàâåäëèâû ñîîòíî-

øåíèÿ

(

)

===

;

mmmmm

IGUIUBU

. (3.41)

Âåëè÷èíà B = B

$ B

= 1/(wL) $ wC íàçûâàåòñÿ ðåàêòèâíîé

ïðîâîäèìîñòüþ öåïè, à âåëè÷èíà

YGB

(3.42)

$ ïîëíîé ïðîâîäèìîñòüþ öåïè.

Ïî àíàëîãèè ñ òðåóãîëüíèêîì íàïðÿæåíèé è ñîïðîòèâëåíèé ïðè

ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ ìîæíî ââåñòè òðåóãîëüíèêè

òîêîâ è ïðîâîäèìîñòåé (ðèñ. 3.12, à, á). Êàê ñëåäóåò èç ýòèõ ðè-

ñóíêîâ, ïðè I

> I

> B

) öåïü íîñèò èíäóêòèâíûé õàðàêòåð

(îáùèé òîê îòñòàåò îò ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ) è ïðè I

< I

< B

) åìêîñòíûé õàðàêòåð (òîê îïåðåæàåò ïðèëîæåííîå íà-

ïðÿæåíèå). Èç òðåóãîëüíèêîâ òîêîâ è ïðîâîäèìîñòåé ñëåäóåò:

=+=

j==

=j=j

ap,

arctg()arctg(),

cos,sin.

mmmm

IIIYU

IIBG

GYBY

(3.43)

Ñðàâíåíèå òðåóãîëüíèêîâ òîêîâ è ïðîâîäèìîñòåé ñ òðåóãîëüíè-

êàìè íàïðÿæåíèé è ñîïðîòèâëåíèé ïîêàçûâàåò èõ äóàëüíûé õà-

ðàêòåð. Äóàëüíû òàêæå è âñå ñîîòíîøåíèÿ, îïèñûâàþùèå öåïè ïðè

ïîñëåäîâàòåëüíîì è ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ, äóàëüíû

è ñàìè öåïè.

3.6. Ñèìâîëè÷åñêèé ìåòîä ðàñ÷åòà ðàçâåòâëåííûõ öåïåé

Ðàñ÷åò ðàçâåòâëåííûõ öåïåé ïðè ñìåøàííîì ñîåäèíåíèè ýëå-

ìåíòîâ â ðåæèìå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé îáû÷íî îñóùåñòâëÿåòñÿ

ñèìâîëè÷åñêèì ìåòîäîì. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî êëàññè÷åñêèé

ìåòîä ðàñ÷åòà ïðèâîäèò ê ãðîìîçäêèì èíòåãðàëüíî-äèôôåðåí-

öèàëüíûì óðàâíåíèÿì è òðåáóåò áîëüøîãî îáúåìà òðèãîíîìåòðè-

÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ñèìâîëè÷åñêèé ìåòîä ïîçâîëÿåò òðèãîíî-

ìåòðè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ãàðìîíè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè è ãåîìåò-

ðè÷åñêèå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè ñâåñòè ê àëãåáðàè÷åñêèì îïåðà-

öèÿì íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, ÷òî ñóùåñòâåííî óïðîùàåò ðàñ-

÷åò. Ïðè ýòîì ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû âñå ìåòîäû ïðåîáðàçîâà-

íèé è àíàëèçà, èçëîæåííûå â ãë. 1, 2. Äîïóñòèìîñòü èñïîëüçîâàíèÿ

ñèìâîëè÷åñêîãî ìåòîäà îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî â ëèíåéíûõ öåïÿõ â

ðåæèìå ãàðìîíè÷åñêèõ âîçäåéñòâèé â öåïè óñòàíàâëèâàþòñÿ ãàðìî-

íè÷åñêèå êîëåáàíèÿ òîé æå ÷àñòîòû. Òàêèì îáðàçîì, íåèçâåñòíûìè

ïàðàìåòðàìè òîêîâ è íàïðÿæåíèé áóäóò ëèøü àìïëèòóäû è ôàçû,

îïðåäåëÿåìûå îäíîçíà÷íî èõ êîìïëåêñíûìè àìïëèòóäàìè. Çàïèøåì

îñíîâíûå çàêîíû ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé â ñèìâîëè÷åñêîé ôîðìå.

Äëÿ ðåçèñòèâíîãî ýëåìåíòà R ñâÿçü ìåæäó êîìïëåêñíûìè àì-

ïëèòóäàìè òîêà I

è íàïðÿæåíèÿ U

ìîæíî îïðåäåëèòü ñîãëàñíî

çàêîíó Îìà (1.6) ïóòåì çàìåíû ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé òîêîâ i è íà-

ïðÿæåíèé è èõ êîìïëåêñíûìè àìïëèòóäàìè:

URI

. (3.44)

Äëÿ èíäóêòèâíîãî ýëåìåíòà L ñâÿçü ìåæäó I

è U

îïðåäåëÿ-

åòñÿ ñîãëàñíî (1.9) ñ ó÷åòîì (3.24):

();

mmm

IUjLUjLIjXI

=w=w=

, (3.45)

ãäå j = e

$ ìíîæèòåëü, õàðàêòåðèçóþùèé ôàçîâûé ñäâèã ìåæ-

äó âåêòîðàìè òîêà I

è íàïðÿæåíèÿ U

(ñì. ðèñ. 3.6). Óðàâíåíèå

(3.45) îòðàæàåò çàêîí Îìà äëÿ èíäóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ. Ñðàâíåíèå

(3.45) ñ (1.9) ïîêàçûâàåò, ÷òî îïåðàöèÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ d/dt

ñîîòâåòñòâóåò â êîìïëåêñíîé ôîðìå óìíîæåíèþ íà jw.

Äëÿ åìêîñòíîãî ýëåìåíòà Ñ íà îñíîâàíèè (1.12) ìîæíî çàïèñàòü:

=w=-=-

èëè

mmm

IjCUUjIjXI

, (3.46)

ò. å. îïåðàöèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóåò â êîìïëåêñíîé ôîðìå

äåëåíèþ íà jw. Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ (3.44) $ (3.46) ñïðàâåäëèâû

è äëÿ êîìïëåêñíûõ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé:

==-

=-=

äëÿ:,

äëÿ:(),

RIURGU

LIUjXjBU

CIUjXjBU

(3.47)

ãäå =

II ; =

Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà â

êîìïëåêñíîé ôîðìå. Òàê, äëÿ ÇÒÊ (1.16) çàìåíèâ ìãíîâåííûå çíà-

÷åíèÿ òîêîâ i

èõ êîìïëåêñíûìè àìïëèòóäàìè I

, ïîëó÷èì

I , (3.48)

à äëÿ ÇÍÊ (1.17)

U . (3.49)

Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ çàêîíîâ Îìà è Êèðõãîôà â êîìïëåêñíîé

ôîðìå ëåæàò â îñíîâå ñèìâîëè÷åñêîãî ìåòîäà ðàñ÷åòà ëèíåéíûõ

öåïåé ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ. Ïðè÷åì, êàê ïîêàçûâàåò

àíàëèç óðàâíåíèé (3.24), (3.26), (3.45) è (3.46), ïðè ïåðåõîäå ê

êîìïëåêñíîé çàïèñè îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ çàìåíÿþòñÿ óì-

íîæåíèåì íà jw, îïåðàöèè èíòåãðèðîâàíèÿ $ äåëåíèåì íà jw. Â

ðåçóëüòàòå âìåñòî ñèñòåìû èíòåãðàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-

íåíèé ïîëó÷àåì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ðåøåíèå êîòî-

ðîé îïðåäåëÿåò àìïëèòóäû è íà÷àëüíûå ôàçû èñêîìûõ òîêîâ è íà-

ïðÿæåíèé.

Ïðèìåíèì ñèìâîëè÷åñêèé ìåòîä ê àíàëèçó ãàðìîíè÷åñêèõ êî-

ëåáàíèé â öåïè ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì (ñì. § 3.4) è ïàðàëëåëüíîì

(ñì. § 3.5) ñîåäèíåíèÿõ ýëåìåíòîâ R, L, Ñ. Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî

ñîåäèíåíèÿ R, L, Ñ ñîãëàñíî ÇÍÊ (3.49) èìååì U

= U

+ U

èëè ñ ó÷åòîì (3.44), (3.45), (3.46):

(

)

[

]

(

)

=+==

w-w+1

mmm

URjIIZI

LCRjX

. (3.50)

Âåëè÷èíà Z â óðàâíåíèè (3.50) åñòü êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëå-

íèå öåïè:

ZRjX

. (3.51)

R X

)

1 2

)

Ðèñ. 3.13

1 2

)

Ðèñ. 3.14

Êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå Z ìîæíî âûðàçèòü â ïîêàçàòåëüíîé

èëè òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå:

cossin

ZZeZjZ

==j+j

. (3.52)

Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðåííîå ðàíåå ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öå-

ïè (3.33) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ:

==+

ZRX

à ôàçîâûé ñäâèã j $ àðãóìåíò (arg) êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ:

(

)

j==

argarctgZ

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ òîêîâ è íà-

ïðÿæåíèé â êîìïëåêñíîé ôîðìå äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ

ýëåìåíòîâ R, L, Ñ (ñì. § 3.5). Òàê óðàâíåíèå (3.39) â êîìïëåêñíîé

ôîðìå ïðèìåò âèä

(

)

(

)

===-

éù

ëû

mmm

IUUYU

GjB

. (3.53)

Âåëè÷èíà Y â (3.53) åñòü êîìïëåêñíàÿ ïðîâîäèìîñòü öåïè:

-j

=-==j-j

èëècossin

YGjBYYeYjY . (3.54)

Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëíàÿ ïðîâîäèìîñòü öåïè Y ðàâíà ìîäóëþ

êîìïëåêñíîé ïðîâîäèìîñòè Y = |Y|, à ôàçîâûé ñäâèã j $ àðãóìåí-

òó êîìïëåêñíîé ïðîâîäèìîñòè j = arg Y = arctg(B/G).

Ïðè àíàëèçå ðàçëè÷íûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ÷àñòî âîçíèêàåò

íåîáõîäèìîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ ñõåìû ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåí-

íûõ ýëåìåíòîâ â ýêâèâàëåíòíîå ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå è íàî-

áîðîò (ðèñ. 3.13). Â îñíîâå ïîäîáíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ëåæèò ïðèí-

öèï ýêâèâàëåíòíîñòè (ñì. § 1.5). Ñîãëàñíî ýòîìó ïðèíöèïó òîê I è

íàïðÿæåíèå U

â èñõîäíîé (ðèñ. 3.13, à) è ïðåîáðàçîâàííîé

(ðèñ. 3.13, á) ñõåìàõ äîëæíû îñòàòüñÿ íåèçìåííûìè. Äëÿ ïåðâîé

ñõåìû I = U

/Z, äëÿ âòîðîé I = U

Y. Èç ðàâåíñòâà òîêîâ I è

íàïðÿæåíèé U

äëÿ îáåèõ ñõåì èìååì:

=+====+

2222

GjBGB

ZRjXj

YGjB

GBYY

. (3.55)

Èç ðàâåíñòâà (3.55) ñëåäóþò ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïàðàë-

ëåëüíîãî ó÷àñòêà (ðèñ. 3.13, á) â ýêâèâàëåíòíûé ïîñëåäîâàòåëüíûé

(ðèñ. 3.13, à):

;

RGYXBY

. (3.56)

Àíàëîãè÷íî èç ðàâåíñòâà Y = 1/Z ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëû

ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ó÷àñòêà (ðèñ. 3.13, à) â ýêâè-

âàëåíòíûé ïàðàëëåëüíûé (ðèñ. 3.13, á):

;

GRZBXZ

. (3.57)

Ïðåîáðàçîâàíèå (3.56) è (3.57) ìîæíî ïîëîæèòü â îñíîâó ðàç-

ëîæåíèÿ òîêà â ïîñëåäîâàòåëüíîì ó÷àñòêå è íàïðÿæåíèÿ â ïà-

ðàëëåëüíîì íà àêòèâíóþ è ðåàêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùèå.

Ïðèìåð. Ïðåîáðàçîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíûé RÑ-ó÷àñòîê (ðèñ 3.14, à) â ýê-

âèâàëåíòíûé ïàðàëëåëüíûé (ðèñ. 3.14, á). Îïðåäåëèòü àêòèâíûå è ðåàêòèâíûå

ñîñòàâëÿþùèå òîêîâ è íàïðÿæåíèé íà îáîèõ ó÷àñòêàõ.

Â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (3.57) ïîëó÷àåì

( )

( ) ( )

www

====

+++

www

222

2222

222

111

RRCCC

RRR

CCC

Èç ðèñ. 3.14 íàõîäèì óðàâíåíèÿ äëÿ àêòèâíîé è ðåàêòèâíîé ñîñòàâëÿþùèõ

íàïðÿæåíèÿ è òîêà:

(

)

====

apap

,;,

URIUIIGUIBU

Ñèìâîëè÷åñêèé ìåòîä îñîáåííî ýôôåêòèâåí ïðè àíàëèçå ñëîæ-

íûõ ðàçâåòâëåííûõ öåïåé. Ïðè÷åì ïîñêîëüêó âñå ìåòîäû ðàñ÷åòà

ïîäîáíûõ öåïåé (ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ, óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ,

íàëîæåíèÿ è äð.) áàçèðóþòñÿ íà çàêîíàõ Îìà è Êèðõãîôà, òî ýòè

ìåòîäû ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ è ïðè êîìïëåêñíîé ôîðìå ñ çàìåíîé

ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí (òîêîâ, íàïðÿæåíèé, ñîïðîòèâëåíèé,

ïðîâîäèìîñòåé) èõ êîìïëåêñíûìè çíà÷åíèÿìè.

Ïðèìåð. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî íà ïðèìåðå ðàñ÷åòà öåïè, èçîáðàæåííîé íà

ðèñ. 3.15 ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè â êîìïëåêñíîé ôîðìå. Çàìåíèì ýëåìåíòû âåò-

âåé â èñõîäíîé ñõåìå èõ êîìïëåêñíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè, à èñòî÷íèêè íà-

ïðÿæåíèÿ è òîêè èõ êîìïëåêñíûìè çíà÷åíèÿìè (ðèñ. 3.16):

(

)

(

)

w-w

=+w=-=+

11233

;;

ZRjLZRjZRj

Ðàññ÷èòàåì òåïåðü ýòó öåïü ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè â ñèìâîëè÷åñêîé ôîðìå,

èñïîëüçóÿ êîìïëåêñû äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé.

ê1

ê2

Ðèñ. 3.15 Ðèñ. 3.16

1. Ìåòîä íàëîæåíèÿ. Ñðàâíåíèå ñõåì, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 3.16 è

ðèñ. 2.5. à ïîêàçûâàåò èõ îäèíàêîâóþ òîïîëîãèþ. Òàêèì îáðàçîì, ïóòåì ïåðå-

õîäà îò R ê Z, îò U

ê U

è îò I ê I ìîæíî ñðàçó ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå

óðàâíåíèÿ äëÿ òîêîâ I

, I

(ñì. § 2.3).

2. Ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ. Â ñîîòâåòñòâèè ñ § 2.4 ñîñòàâëÿåì ñèñòåìó èç

äâóõ óðàâíåíèé äëÿ êîíòóðîâ I è II:

11 ê112ê2

ê1

21 ê122ê2

ê2

ZIZIU

(3.58)

ãäå

=+=+====

113222312213

ê1 ã1ê2 ã2

;;;;

ZZZZZZZZZUUUU

Ðåøàÿ ñèñòåìó (3.58) ñîãëàñíî (2.14), (2.15), ïîëó÷àåì

DDDD

=+=+

DDDD

11211222

ê2ê2

ê1ê2

ê1ê1

;

ZZZZ

IUUIUU

ãäå D=

1112

2122

DDDD

11122122

,,, $ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ îïðåäåëè-

òåëÿ

Òîêè âåòâåé íàéäóòñÿ èç ðàâåíñòâ:

===+

ê12ê23ê1ê2

;;

IIIIIII

3. Ìåòîä óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ìåòîäîì (§ 2.5) äëÿ

çàäàííîé ñõåìû, ñîãëàñíî (2.27) íåîáõîäèìî ñîñòàâèòü òîëüêî îäíî óðàâíåíèå

äëÿ óçëà 1:

1112

ó1

YVYVI

ãäå

==++=++=+

1112123123

ó112

ã1 ã2

111;

YYYYYZZZIUYUY

Òîãäà

(

)

(

)

123

1212

ã1 ã2

UVV

UYUY

YYY

=-=

+ ++

. Òîêè

123

III

íàé-

äåì ïî çàêîíó Îìà äëÿ ó÷àñòêà öåïè â êîìïëåêñíîé ôîðìå:

(

)

(

)

===

112233

ã112 ã212

;;

IZIZIUZ

UUUU

Ïðè ýòîì äîëæåí âûïîëíÿòüñÿ ÇÒÊ:

--+=

123

III .

4. Ìåòîä ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðà. Îïðåäåëèì òîê I

ìåòîäîì ýêâèâà-

ëåíòíîãî ãåíåðàòîðà íàïðÿæåíèÿ. Ðàçîìêíóâ âåòâü ñ Z

ïî àíàëîãèè ñ

ðèñ. 2.12, á, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ =-=+

ã 1212

õõ ã2

è ()

UUIZZZZZZ

Òîê I

íàéäåì èç (2.34) çàïèñàííîãî â êîìïëåêñíîé ôîðìå:

õõ

()

IUZZ

Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèé òîêîâ I è íàïðÿæåíèé U ìîæíî çà-

ïèñàòü óðàâíåíèÿ äëÿ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé i è u. Òàê, åñëè óãëîâàÿ ÷àñòîòà

çàäàþùèõ èñòî÷íèêîâ ñèíóñîèäàëüíûõ êîëåáàíèé u

ã1

è u

ã2

ðàâíà w, òî ìãíî-

âåííîå çíà÷åíèå òîêà

=w+j

333

sin()

iIt

, ãäå

II; j=

arg

;

IIe

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå ýëåêò-

ðè÷åñêèõ öåïåé, ñîäåðæàùèõ êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèÿ.

Êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèÿ, ñîåäèíåííûå çâåçäîé ïðåîáðàçó-

þòñÿ â òðåóãîëüíèê ïóòåì çàìåíû â ôîðìóëàõ (2.6)$(2.9) ïà-

ðàìåòðîâ R è G íà ñîîòâåòñòâóþùèå êîìïëåêñû Z è Y. Òî÷íî

òàêæå îñóùåñòâëÿåòñÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå òðåóãîëüíèê$

çâåçäà.

Íàïðèìåð, ñ ó÷åòîì óðàâíåíèé (1.9) è (1.12) ìîæíî ïîëó÷èòü

ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ «çâåçäà$òðåóãîëüíèê» èíäóêòèâíûõ è

åìêîñòíûõ ýëåìåíòîâ. Òàê, äëÿ åìêîñòíûõ ýëåìåíòîâ ïðè ïðåîá-

ðàçîâàíèè «òðåóãîëüíèê$çâåçäà» èìååì:

=++

11231123123

22312231231

33123312312

CCCCCC

(3.59)

à ïðè îáðàòíîì ïðåîáðàçîâàíèè «çâåçäà$òðåóãîëüíèê»

=++

1212123

2323123

3131123

(),

().

CCCCCC

(3.60)

Ïðåîáðàçîâàíèå «òðåóãîëüíèê$çâåçäà» è îáðàòíî äëÿ èíäóê-

òèâíûõ ýëåìåíòîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ôîðìóëàì, àíàëîãè÷íûì

(2.6)$ (2.8).

Ïîäîáíûì æå îáðàçîì ïðåîáðàçóþòñÿ ìàòðè÷íî-òîïîëîãè÷åñêèå

óðàâíåíèÿ öåïåé â êîìïëåêñíóþ ôîðìó. Íàïðèìåð, ìàòðè÷íûå

óðàâíåíèÿ (1.18), (1.20), (2.17) â êîìïëåêñíîé ôîðìå ïðèíèìàþò

ñëåäóþùèé âèä:

0 â

ÇÒÊ:0

AI , (3.61)

ÇÍÊ:0

BU . (3.62)

Çàêîí Îìà: (ïðè íàëè÷èè âåòâåé ñ èñòî÷íèêàìè òîêà J

ãâ

(

)

âãââ

ãââ

IIY

. (3.63)

Óðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ óçëîâ ïîòåíöèàëîâ (2.33) ñ ó÷åòîì J

ãâ

(

)

(

)

===

ãâ

óó

ãâ

JYU

YVVAI

AYA

. (3.64)

Óðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ êîíòóðíûõ òîêîâ (2.23)

êê

ZIU

, (3.65)

)

Ðèñ. 3.17

ãäå Y

, Y

$ ìàòðèöû êîìïëåêñíîé ïðîâîäèìîñòè âåòâåé è êîìï-

ëåêñíîé óçëîâîé ïðîâîäèìîñòè.

, Z

$ ìàòðèöà êîìïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ âåòâè è ìàòðèöà

êîìïëåêñíîãî êîíòóðíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ.

ãâ

, J

ãâ

, U

% ìàòðèöû-ñòîëáöû êîìïëåêñíûõ çàäàþùèõ íàïðÿ-

æåíèé è òîêîâ âåòâè è íàïðÿæåíèé âåòâåé.

3.7. Ýëåêòðè÷åñêèå öåïè ñ èíäóêòèâíûìè ñâÿçÿìè

Â ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôàõ ýòîé ãëàâû ðàññìàòðèâàëèñü öåïè

áåç ó÷åòà ÿâëåíèÿ âçàèìíîé èíäóêöèè. Â òî æå âðåìÿ, ïðè ïðîòå-

êàíèè òîêà i

â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè ñ ïàðàìåòðîì L

â îêðó-

æàþùåì ïðîñòðàíñòâå ñîãëàñíî çàêîíó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè

ñîçäàåòñÿ ìàãíèòíûé ïîòîê Ô

(ðèñ. 3.17, à). Åñëè êàêàÿ-ëèáî

÷àñòü ýòîãî ïîòîêà Ô

ïðîíèçûâàåò âèòêè äðóãîé êàòóøêè ñ L

, òî

â ïîñëåäíåé íàâîäèòñÿ ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè, îïðåäåëÿåìàÿ çà-

êîíîì Ìàêñâåëëà%Ôàðàäåÿ:

12M

, (3.66)

ãäå êîýôôèöèåíò M

íîñèò íàçâàíèå âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè

êàòóøåê L

è L

. Åäèíèöà èçìåðåíèÿ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè %

Ì ãåíðè (Ãí).

Çíàê «$» â óðàâíåíèè (3.66) îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî ïðàâèëó

Ëåíöà íàïðàâëåíèåì èíäóêöèîííîãî òîêà, êîòîðûé èìååò òàêóþ

îðèåíòàöèþ, ÷òîáû ñîçäàâàåìûé èì ìàãíèòíûé ïîòîê ïðåïÿòñòâî-

âàë òîìó èçìåíåíèþ ìàãíèòíîãî ïîòîêà Ô

, êîòîðîå ýòîò òîê âû-

çûâàåò. Íàïðÿæåíèå âçàèìîèíäóêöèè íà çàæèìàõ êàòóøêè èí-

äóêòèâíîñòè L

=-=

12MM

ueM

. (3.67)

Åñëè íàïðÿæåíèå è ïðèëîæåíî ê êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè L

, òî

ïîä äåéñòâèåì òîêà i

â êàòóøêå L

òàêæå áóäåò íàâåäåíà ÝÄÑ âçà-

èìíîé èíäóêöèè:

21M

. (3.68)

Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì âçàèìíîñòè (ñì. § 1.7) äëÿ ëèíåé-

íûõ öåïåé M

= M

Ðàññìîòðåííàÿ íèæå èíäóêòèâíàÿ ñâÿçü íîñèò îäíîñòîðîííèé

õàðàêòåð: òîê i

âûçûâàåò ÝÄÑ âçàèìîèíäóêöèè å

, èëè òîê i

ÝÄÑ å

. Â ñëó÷àå çàìûêàíèÿ êàòóøêè L

íà êîíå÷íîå ñîïðîòèâ-

ëåíèå R (ðèñ. 3.17, á) â ïîñëåäíåé ïîä âîçäåéñòâèåì u

, ïîòå÷åò

èíäóêöèîííûé òîê i

, êîòîðûé â ñâîþ î÷åðåäü, âûçîâåò â ïåðâîé

êàòóøêå L

ÝÄÑ âçàèìîèíäóêöèè å

(3.68). Òàêèì îáðàçîì, óñòà-

íîâèòñÿ äâóõñòîðîííÿÿ èíäóêòèâíàÿ ñâÿçü êàòóøåê L

è L

. Ïðè

ýòîì êàæäàÿ èç êàòóøåê L

è L

áóäåò ïðîíèçûâàòüñÿ äâóìÿ ìàã-

íèòíûìè ïîòîêàìè: ñàìîèíäóêöèè, âûçâàííûì ñîáñòâåííûì òîêîì,

è âçàèìîèíäóêöèè, âûçâàííûì òîêîì äðóãîé êàòóøêè. Ñëå-

äîâàòåëüíî, â êàòóøêå L

èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ

=+=--

1121LM

didi

eeeLM

dtdt

, (3.69)

à â êàòóøêå L

ÝÄÑ

=+=--

2212LM

didi

eeeLM

dtdt

. (3.70)

Âçàèìíîå íàïðàâëåíèå ïîòîêîâ ñàìî- è âçàèìîèíäóêöèè çàâèñèò

êàê îò íàïðàâëåíèÿ òîêîâ â êàòóøêàõ, òàê è îò èõ âçàèìíîãî ðàñ-

ïîëîæåíèÿ.

Åñëè êàòóøêè âêëþ÷àþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî ïîòîêè ñàìî- è

âçàèìîèíäóêöèè ñêëàäûâàþòñÿ, òî òàêîå âêëþ÷åíèå íàçûâàåòñÿ ñî-

ãëàñíûì. Åñëè æå ïîòîêè ñàìî- è âçàèìîèíäóêöèè âû÷èòàþòñÿ, òî

òàêîå âêëþ÷åíèå ïðèíÿòî íàçûâàòü âñòðå÷íûì. Íà ðèñ. 3.17, á

ïîêàçàí ñëó÷àé ñîãëàñíîãî âêëþ÷åíèÿ.

Ñòåïåíü ñâÿçè ìåæäó L

è L

îöåíèâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ñâÿçè

1221

kkk

. (3.71)

ãäå êîýôôèöèåíòû

121211212122

ÔÔèÔÔkk (3.72)

õàðàêòåðèçóþò îäíîñòîðîííþþ ñâÿçü ìåæäó êàòóøêàìè L

è L

Ìàãíèòíûå ïîòîêè Ô

, Ô

è Ô

ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïà-

ðàìåòðû êàòóøåê L

, L

, Ì

è òîêè i

, i

ñ ïîìîùüþ ôîðìóë

11111121212

212121222222

Ô;Ô;

Ô;Ô,

LiwMiw

MiwLiw

(3.73)

ãäå w

, w

$ ÷èñëî âèòêîâ êàòóøåê L

è L

ñîîòâåòñòâåííî.