Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание

Подождите немного. Документ загружается.

i=Ñ/t u

ãë

)

G=t

Ñ/

i=i

ãí

)

G=t/L

Ðèñ. 2.24

+++

=-=-

111

nnnnn

iuuGuGu

ãäå G = Dt/L.

Íà ðèñ. 2.24, á ïîêàçàíà ýêâèâàëåíòíàÿ äèñêðåòíàÿ ñõåìà çà-

ìåùåíèÿ L-ýëåìåíòà.

Èñïîëüçîâàíèå äèñêðåòíûõ ìîäåëåé ýëåìåíòîâ ïîçâîëÿåò ñâåñòè

RLC-öåïü ê ñîîòâåòñòâóþùåé ðåçèñòèâíîé öåïè, ÷òî ñóùåñòâåííî

óïðîñòèò èõ ìàøèííûé àíàëèç.

Âîïðîñû è çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè

1. Ïðèíöèï ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé ìåòîäîì çàêîíîâ Êèðõãîôà.

2. Êàêèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè ïðè ïåðåõîäå

îò ñîåäèíåíèÿ «òðåóãîëüíèêà» â «çâåçäó» è îáðàòíî?

3. ×åì îïðåäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî ÷àñòè÷íûõ ñõåì ïðè ðàñ÷åòå òîêîâ

â öåïè ìåòîäîì íàëîæåíèÿ?

4. Êàêèå çàêîíû Êèðõãîôà èñïîëüçóþòñÿ ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíå-

íèé ïî ìåòîäàì êîíòóðíûõ òîêîâ è óçëîâûõ íàïðÿæåíèé?

5. Ðàññ÷èòàòü òîêè âåòâåé â öåïè ðèñ. 2.26 ìåòîäàìè íàëîæåíèÿ çà-

êîíîâ Êèðõãîôà, êîíòóðíûõ òîêîâ, óçëîâûõ íàïðÿæåíèé, åñëè

èçâåñòíî, ÷òî: U

ã1

= 5 Â; U

ã3

= 10 Â; J = 0,5 À; R

= R

= 10 Îì.

Îòâåò: I

= 0,5 À; I

= 0 À; I

= 1 À.

6. Êàêèå òåîðåìû èñïîëüçóþòñÿ ïðè îïðåäåëåíèè òîêà â îòäåëüíî

âçÿòîé âåòâè ìåòîäîì ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðà?

7. Ìåòîäîì ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðà â öåïè ðèñ. 2.24 îïðåäåëèòü

ñîïðîòèâëåíèå R

, êîãäà â íåì âûäåëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ

ìîùíîñòü, åñëè U = 3 Â; J = 0,5 À; R

= R

= 2 Îì.

Îòâåò: R

= 3,33 Îì; Ð = 216 ìÂò.

8. Â ñîãëàñîâàííîì èëè íåñîãëàñîâàííîì ðåæèìå ðàáîòàþò âûñîêî-

òî÷íûå àòòåíþàòîðû è ïî÷åìó?

Ðèñ. 2.25 Ðèñ. 2.26

9. Îïðåäåëèòü â àòòåíþàòîðå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 2.15, ðåçèñòî-

ðû R

è R

, åñëè èçâåñòíî ÷òî R

= 50 Îì; Ê = 0,1.

Îòâåò: R

= 450 Îì; R

= 5,55 Îì.

10. ×åì îïðåäåëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû ïåðåäà÷è ìàñøòàáíûõ óñèëè-

òåëåé, âêëþ÷åííûõ ïî èíâåðòèðóþùåé è íåèíâåðòèðóþùåé

ñõåìàì?

11. Äëÿ êîíâåðòîðà îòðèöàòåëüíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, èçîáðàæåííîãî

íà ðèñ. 2.21, îïðåäåëèòü R

, åñëè R

âõ

= 1 êÎì; R

= 50 Îì;

= 500 Îì.

Îòâåò: R

= 25 Îì.

12. Â ÷åì îñîáåííîñòè àëãîðèòìîâ àíàëèçà ëèíåéíûõ ðåçèñòèâíûõ

öåïåé íà ÝÂÌ ìåòîäîì óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ?

ÃËÀÂÀ 3. ËÈÍÅÉÍÛÅ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÖÅÏÈ

Â ÐÅÆÈÌÅ ÃÀÐÌÎÍÈ×ÅÑÊÈÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÈ

3.1. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

è îïðåäåëåíèÿ

Ýëåêòðè÷åñêèå öåïè ìîãóò íàõîäèòüñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ïîñòî-

ÿííûõ èëè ïåðåìåííûõ íàïðÿæåíèé è òîêîâ. Ñðåäè ýòèõ âîçäåéñò-

âèé âàæíåéøóþ ðîëü èãðàþò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Ïîñëåäíèå

øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïåðåäà÷è ñèãíàëîâ è ýëåêòðè÷åñêîé

ýíåðãèè, à òàêæå ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ â êà÷åñòâå ïðîñòåéøåãî èñïû-

òàòåëüíîãî ñèãíàëà. Èññëåäîâàíèå ðåæèìà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáà-

íèé âàæíî è ñ ìåòîäè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ïîñêîëüêó àíàëèç ýëåê-

òðè÷åñêèõ öåïåé ïðè íåãàðìîíè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ ìîæíî ñâåñòè

ê àíàëèçó öåïè îò ñîâîêóïíîñòè ãàðìîíè÷åñêèõ âîçäåéñòâèé. Â

ýòîì ñìûñëå ìåòîäèêó àíàëèçà è ðàñ÷åòà öåïåé ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ

âîçäåéñòâèÿõ ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü è íà öåïè ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ

íåñèíóñîèäàëüíûõ, à òàêæå íåïåðèîäè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ (ñì.

ãë. 5, 9).

()

Ðèñ. 3.1

Ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå i(t)

(ðèñ. 3.1) õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþ-

ùèìè îñíîâíûìè ïàðàìåòðàìè: àìï-

ëèòóäîé I

; óãëîâîé ÷àñòîòîé w,

íà÷àëüíîé ôàçîé j

. Àìïëèòóäîé

íàçûâàþò ìàêñèìàëüíîå àáñîëþòíîå

çíà÷åíèå òîêà i (t). Àíàëèòè÷åñêè

ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå ìîæíî çà-

ïèñàòü â âèäå

(

)

(

)

(

)

==Y

w+j

sinsin

mmi

iII

(3.1)

ãäå Y

(t) = wt + j

$ íàçûâàåòñÿ òåêóùåé ôàçîé (èëè ïðîñòî ôàçîé)

ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ, òàê êàê îíà ðàñòåò ëèíåéíî âî âðåìåíè ñ

óãëîâîé ñêîðîñòüþ w = dY

/dt. Âìåñòî ôîðìóëû (3.1) ãàðìî-

íè÷åñêîå êîëåáàíèå ìîæíî âûðàçèòü è â êîñèíóñîèäàëüíîé ôîðìå:

(

)

(

)

w+j

cos

, (3.2)

ãäå j

¢ = j

+p/2.

Íàèìåíüøèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ïî èñòå÷åíèè êîòîðîãî çíà÷åíèÿ

ôóíêöèè i (t) ïîâòîðÿþòñÿ, íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì Ò. Ìåæäó ïåðèî-

äîì Ò è óãëîâîé ÷àñòîòîé w ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ ñâÿçü:

=pw

. (3.3)

Âåëè÷èíó, îáðàòíóþ ïåðèîäó, íàçûâàþò öèêëè÷åñêîé ÷àñòî-

òîé: f = l/T. Èç âûøåèçëîæåííîãî ñëåäóåò, ÷òî w = 2pf. Åäèíèöåé

èçìåðåíèÿ ÷àñòîòû f ÿâëÿåòñÿ ãåðö (Ãö), óãëîâîé ÷àñòîòû w $ ðàäè-

àí â ñåêóíäó (ðàä/ñ). Òàê êàê ðàäèàí $ âåëè÷èíà áåçðàçìåðíàÿ, òî

[w] èçìåðÿåòñÿ â 1/ñ èëè ñ

Â ðàäèîòåõíèêå è ýëåêòðîñâÿçè èñïîëüçóþò ãàðìîíè÷åñêèå ñèã-

íàëû îò äîëåé ãåðö (èíôðàíèçêèå ÷àñòîòû) äî äåñÿòêîâ è ñîòåí ãè-

ãàãåðö (ñâåðõâûñîêèå ÷àñòîòû).

Äëÿ ïèòàíèÿ ðàçëè÷íûõ ýëåêòðîýíåðãåòè÷åñêèõ óñòàíîâîê â

Ðîññèè è ðÿäå äðóãèõ ñòðàí ïðèíÿòà ïðîìûøëåííàÿ ÷àñòîòà

f = 50 Ãö. Â êà÷åñòâå èñòî÷íèêîâ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ïðî-

ìûøëåííîé ÷àñòîòû èñïîëüçóþòñÿ ýëåêòðîìàøèííûå ãåíåðàòîðû

ðàçëè÷íîãî òèïà. Ïðèíöèï ðàáîòû ïðîñòåéøåãî ýëåêòðîìàøèííî-

ãî ãåíåðàòîðà èëëþñòðèðóåò ðèñ. 3.2. Â ñîñòàâ ãåíåðàòîðà âõîäÿò:

ñòàòîð, ñîçäàþùèé ìàãíèòíîå ïîëå ñ ìàãíèòíîé èíäóêöèåé Â, è

ðîòîð, âðàùàþùèéñÿ â ýòîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ óãëîâîé ÷àñòîòîé

w. Ïðè ïåðåñå÷åíèè âèòêàìè êàòóøêè ðîòîðà ìàãíèòíîãî ïîòîêà

Ô â íèõ ñîãëàñíî çàêîíó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè íàâîäèòñÿ

ÝÄÑ

=-=-

dtdt

, (3.4)

Ñòàòîð

Ðîòîð

Ðèñ. 3.2

ãäå Y = wÔ $ ïîòîêîñöåïëåíèå

êàòóøêè ñ ìàãíèòíûìè ïîòîêàìè; w $

÷èñëî âèòêîâ êàòóøêè. Ïðè ïîñ-

òîÿííîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ ðîòîðà

äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÝÄÑ ñèíóñîèäàëüíîé

ôîðìû ïðèìåíÿþòñÿ ïîëþñà ñïåöè-

àëüíîé ôîðìû. ×àñòîòà íà âûõîäå ãå-

íåðàòîðà

fpv ,

ãäå ð

÷èñëî ïàð ïîëþñîâ ðîòîðà;

v $ ÷àñòîòà âðàùåíèÿ ðîòîðà, îá/ìèí.

Ýëåêòðîìàøèííûå ãåíåðàòîðû èñ-

ïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ãàðìîíè-

÷åñêèõ íàïðÿæåíèé è òîêîâ íå âûøå

5...8 êÃö. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ ñèãíàëîâ áîëåå âûñîêèõ

÷àñòîò îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ëàìïîâûå è ïîëóïðîâîäíèêîâûå ãåíå-

ðàòîðû (ñì. ãë. 15).

Âàæíûìè ïàðàìåòðàìè ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ÿâëÿþòñÿ èõ

äåéñòâóþùåå è ñðåäíåå çíà÷åíèÿ. Äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ãàðìî-

íè÷åñêîãî òîêà

Iidt

. (3.5)

Çäåñü i = i(t) $ ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ãàðìîíè÷åñêîãî òîêà, êî-

òîðîå îïðåäåëÿåòñÿ èç âûðàæåíèÿ

(

)

w+j

sin

. (3.6)

Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå i èç (3.6) â (3.5), ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ

äåéñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ òîêà ïîëó÷èì

=»

20,707

III

. (3.7)

Àíàëîãè÷íî (3.1)$ (3.5) îïðåäåëÿåòñÿ ìãíîâåííîå è äåéñòâóþ-

ùåå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ. Òàê, äëÿ äåéñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ íà-

ïðÿæåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü:

0,707

Äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé íàçûâàþò åùå èõ

ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèìè çíà÷åíèÿìè.

Îïðåäåëèì òåïëîâóþ ýíåðãèþ, êîòîðàÿ âûäåëÿåòñÿ ãàðìîíè÷å-

ñêèì êîëåáàíèåì i (t) çà ïåðèîä Ò â ðåçèñòèâíîì ýëåìåíòå ñ ñî-

ïðîòèâëåíèåì R:

===

òò

WpdtRidtTRI

. (3.8)

Òàêèì îáðàçîì, äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå òîêà ÷èñëåííî ðàâíî òàêî-

ìó ïîñòîÿííîìó òîêó, êîòîðûé çà ïåðèîä Ò íà òîì æå ñîïðîòèâëåíèè

âûäåëÿåò òî æå êîëè÷åñòâî òåïëà, ÷òî è ãàðìîíè÷åñêèé òîê.

Ñðåäíåå çíà÷åíèå ãàðìîíè÷åñêîãî òîêà

ñð

Iidt

. (3.9)

Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå i èç (3.6) â (3.9), íàõîäèì, ÷òî I

ñð

= 0.

Ýòîò ðåçóëüòàò âïîëíå ïîíÿòåí, åñëè ó÷åñòü, ÷òî óðàâíåíèå (3.9)

îïðåäåëÿåò ïëîùàäü, îãðàíè÷åííóþ êðèâîé i (t) çà ïåðèîä Ò (ñì.

ðèñ. 3.1). Åñëè çíà÷åíèå òîêà îïðåäåëåíî çà ïîëïåðèîäà, òî ìîæíî

çàïèñàòü:

()

==»

ñð

0,637

IidtI

. (3.10)

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåì, ÷òî Uñð(1) » 0,637U

3.2. Ñïîñîáû ïðåäñòàâëåíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé

Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ðàçëè÷íûìè ñïî-

ñîáàìè: ôóíêöèÿìè âðåìåíè (âðåìåííûå äèàãðàììû) (ñì.

ðèñ. 3.1); âðàùàþùèìèñÿ âåêòîðàìè (âåêòîðíûå äèàãðàììû); êîì-

ïëåêñíûìè ÷èñëàìè; àìïëèòóäíûìè è ôàçîâûìè ñïåêòðàìè. Òîò

èëè èíîé ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ ïðèìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò õà-

ðàêòåðà ðåøàåìûõ çàäà÷.

Âðåìåííîå ïðåäñòàâëåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé íàãëÿäíî,

îäíàêî åãî èñïîëüçîâàíèå â çàäà÷àõ àíàëèçà öåïåé çàòðóäíèòåëüíî,

òàê êàê òðåáóåò ïðîâåäåíèÿ ãðîìîçäêèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ïðå-

îáðàçîâàíèé. Áîëåå óäîáíî âåêòîðíîå ïðåäñòàâëåíèå ãàðìîíè-

÷åñêèõ êîëåáàíèé, ïðè êîòîðîì êàæäîìó êîëåáàíèþ ñòàâèòñÿ â ñî-

îòâåòñòâèå âðàùàþùèéñÿ âåêòîð îïðåäåëåííîé äëèíû ñ çàäàííîé

íà÷àëüíîé ôàçîé. Â êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ðèñ. 3.3 ïîêàçàíî âåêòîð-

íîå ïðåäñòàâëåíèå äâóõ êîëåáàíèé òîêîâ i

è i

(

)

( )

w+j

sin

(3.11)

Èõ ñóììó i

ëåãêî ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëàì ñóììèðîâàíèÿ

âåêòîðîâ:

(

)

w+j

=+=

3123

sin

iiiI , (3.12)

ãäå

( )

j-j

=++

j+j

31212

1122

2cos;

sinsin

arctg.

coscos

mmmmm

IIIII

Ðèñ. 3.3

{}

-I/

{}

-w

)

Ðèñ. 3.4

Âåëè÷èíà j = j

$ j

íàçûâàåòñÿ

ôàçîâûì ñäâèãîì ìåæäó êîëåáàíèÿìè

è i

. Îí îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî íà÷àëü-

íûìè ôàçàìè j

è j

è íå çàâèñèò îò

íà÷àëà îòñ÷åòà âðåìåíè. Íåòðóäíî âè-

äåòü, ÷òî ñóììèðîâàíèå (íàëîæåíèå)

ëþáîãî ÷èñëà ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé

ñ ÷àñòîòîé w ïðèâîäèò ê ãàðìîíè÷åñêîìó

êîëåáàíèþ òîé æå ÷àñòîòû w.

Ñîâîêóïíîñòü âåêòîðîâ, èçîáðàæà-

þùèõ ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, íàçûâàþò

âåêòîðíîé äèàãðàììîé. Âåêòîðíûå äèàãðàììû ìîæíî ñòðîèòü êàê

äëÿ àìïëèòóäíûõ, òàê è äëÿ äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé òîêîâ è íà-

ïðÿæåíèé.

Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè ÿâëÿþòñÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ãàðìî-

íè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ ïîìîùüþ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ýòè ïðåäñòàâ-

ëåíèÿ ëåæàò â îñíîâå ñèìâîëè÷åñêîãî ìåòîäà ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷å-

ñêèõ öåïåé $ ìåòîäà êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä. Ïðåäñòàâèì òîê i,

îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëîé (3.6), íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Äëÿ

ýòîãî èçîáðàçèì âåêòîð I

íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñ ó÷åòîì íà-

÷àëüíîé ôàçû j

, (ðèñ. 3.4, à). Çíàêîì «+» îáîçíà÷åíî ïîëîæè-

òåëüíîå íàïðàâëåíèå âåùåñòâåííîé îñè, à j =

$ ïîëîæèòåëü-

íîå íàïðàâëåíèå ìíèìîé îñè. Áóäåì âðàùàòü ýòîò âåêòîð â ïîëî-

æèòåëüíîì íàïðàâëåíèè (ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè) ñ óãëîâîé ÷àñ-

òîòîé w. Òîãäà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ïîëîæåíèå âðàùàþùåãîñÿ

âåêòîðà îïðåäåëèòñÿ êîìïëåêñíîé âåëè÷èíîé (êîìïëåêñíûì ãàðìî-

íè÷åñêèì êîëåáàíèåì):

()

w+j

==w+j+w+j

()

cos()sin()

mmimi

iIeItjIt

(3.13)

Ïåðâàÿ ÷àñòü ñëàãàåìîãî (3.13) îòðàæàåò ïðîåêöèþ âðàùàþùåãî-

ñÿ âåêòîðà íà âåùåñòâåííóþ îñü, à âòîðàÿ ÷àñòü $ íà ìíèìóþ

îñü. Ñðàâíèâ âòîðîå ñëàãàåìîå â (3.13) ñ (3.6), ïðèõîäèì ê âû-

âîäó: ñèíóñîèäàëüíûé òîê i íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ïðåäñòàâ-

ëÿåòñÿ â ôîðìå ïðîåêöèè íà ìíèìóþ îñü âðàùàþùåãîñÿ âåêòîðà

(3.13)

w+j

éù

ëû

()

ImIm

, (3.14)

ãäå Im $ ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå ñëîâà Imaginarins (ìíèìûé);

IIe

. (3.15)

Âåëè÷èíà I

íîñèò íàçâàíèå êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû òîêà.

Âàæíûì ñâîéñòâîì êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî

îíà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå çàäàííîé ÷àñ-

òîòû w, òàê êàê ñîäåðæèò èíôîðìàöèþ îá åãî àìïëèòóäå è íà-

÷àëüíîé ôàçå.

Åñëè ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå çàäàåòñÿ â ôîðìå êîñèíóñîèäû,

íàïðèìåð

=w+j

cos()

iIt, (3.16)

òî íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ýòîìó òîêó ñîîòâåòñòâóåò ïðîåêöèÿ

âåêòîðà (3.13) íà âåùåñòâåííóþ îñü:

w+j

éù

ëû

()

ReRe

, (3.17)

ãäå Re $ ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå ñëîâà Realis (äåéñòâèòåëüíûé,

âåùåñòâåííûé).

Âîçìîæíà è äðóãàÿ ôîðìà ïðåäñòàâëåíèÿ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëå-

áàíèé íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ó÷òåì, ÷òî ñîãëàñíî ôîðìóëàì

Ýéëåðà

j-jj-j

j=+j=-

cos()2;sin()2

iiii

jjjj

eeeej

. (3.18)

Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ òîêà i èç (3.6) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

w+j-w+j

w-w

éù

ëû

êú

ëû

()()

jtjt

. (3.19)

Àíàëîãè÷íî äëÿ òîêà i èç óðàâíåíèÿ (3.16):

w+j-w+j

w-w

éù

ëû

êú

ëû

()()

jtjt

, (3.20)

ãäå

-j

IIe $ ñîïðÿæåííàÿ êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà òîêà.

Òàêèì îáðàçîì, òîê i èç (3.6) ñîãëàñíî (3.19) ìîæíî ïðåäñòà-

âèòü êàê ãåîìåòðè÷åñêóþ ðàçíîñòü âåêòîðîâ I

/2 è I

*/2, âðàùàþ-

ùèõñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ ñ óãëîâîé ÷àñòîòîé w, à

òîê èç (3.16) $ êàê ãåîìåòðè÷åñêóþ ñóììó ýòèõ âåêòîðîâ

(ðèñ. 3.4, á). Â ïåðâîì ñëó÷àå i ðàñïîëàãàåòñÿ íà ìíèìîé, à âî

âòîðîì ñëó÷àå $ íà äåéñòâèòåëüíîé îñÿõ. Êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó

ñèíóñîèäàëüíîé ôóíêöèè çàäàííîé ÷àñòîòû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü

êàê ïðåîáðàçîâàíèå âðåìåííîé ôóíêöèè â ÷àñòîòíóþ îáëàñòü.

)

Ðèñ. 3.5

Ñïåêòðàëüíîå (÷àñòîòíîå) ïðåäñòàâëåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëå-

áàíèé ñîñòîèò â çàäàíèè àìïëèòóäíîãî è ôàçîâîãî ñïåêòðîâ êîëå-

áàíèÿ (ðèñ. 3.5). Áîëåå ïîäðîáíî ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå è

ìåòîäû àíàëèçà öåïåé, îñíîâàííûå íà ýòîì ïðåäñòàâëåíèè, ðàñ-

ñìîòðåíû â ãë. 5, 9.

3.3. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ â ðåçèñòèâíûõ,

èíäóêòèâíûõ è åìêîñòíûõ ýëåìåíòàõ

Ðåçèñòèâíûå öåïè. Ïóñòü ê ðåçèñòèâíîìó ýëåìåíòó R ïðèëîæå-

íî ãàðìîíè÷åñêîå íàïðÿæåíèå

(

)

w+j

= sin

. (3.21)

Ñîãëàñíî çàêîíó Îìà ÷åðåç ýëåìåíò R áóäåò ïðîòåêàòü òîê

( ) ( )

w+jw+j

===sinsin

, (3.22)

ãäå I

= U

/R $ àìïëèòóäà; j

= j

$ íà÷àëüíàÿ ôàçà òîêà. Òà-

êèì îáðàçîì, òîê i è íàïðÿæåíèå è â ðåçèñòèâíîì ýëåìåíòå ñîâïà-

äàþò ïî ôàçå äðóã ñ äðóãîì (ðèñ. 3.6, à). Ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä Ò

ìîùíîñòü, âûäåëÿåìàÿ â ðåçèñòîðå R,

=====

òò

ñð

PpdtuidtUIIRUG

. (3.23)

Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì èëè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèÿõ íåñêîëü-

êèõ ðåçèñòèâíûõ ýëåìåíòîâ òîê â öåïè îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì,

àíàëîãè÷íûì (3.22), ãäå R îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (1.22) äëÿ ïî-

ñëåäîâàòåëüíîãî è (1.27) äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèé ýëåìåíòîâ.

Ïðè ýòîì ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó òîêîì è ïðèëîæåííûì íà-

ïðÿæåíèåì îñòàåòñÿ ðàâíûì íóëþ.

Èíäóêòèâíûå öåïè. Ïîä äåéñòâèåì íàïðÿæåíèÿ (3.21) â èíäóê-

òèâíîì ýëåìåíòå áóäåò ïðîòåêàòü òîê ñîãëàñíî (1.9):

( )

æö

w+j

===

w+j-

ç÷

èø

sinsin

iudtUI

, (3.24)

)

Ðèñ.3.6

ãäå I

= U

/(wL) = U

; X

= wL $ èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâ-

ëåíèå; j

= j

$ p/2 $ íà÷àëüíàÿ ôàçà òîêà.

Âåëè÷èíó, îáðàòíóþ X

, íàçûâàþò èíäóêòèâíîé ïðîâîäèìîñòüþ

= 1/(wL). Êàê ñëåäóåò èç ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé, òîê â èíäóê-

òèâíîñòè îòñòàåò îò ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ íà p/2, ò. å. ôàçî-

âûé ñäâèã ìåæäó òîêîì i è íàïðÿæåíèåì è (ðèñ. 3.6, á)

j=j-j=p

. (3.25)

Íà âåêòîðíîé äèàãðàììå ôàçîâûé ñäâèã j îòêëàäûâàåòñÿ îò âåê-

òîðà òîêà ê âåêòîðó íàïðÿæåíèÿ. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ñðåäíÿÿ çà

ïåðèîä ìîùíîñòü â èíäóêòèâíîì ýëåìåíòå ðàâíà íóëþ.

Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì è ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèÿõ èíäóêòèâ-

íûõ ýëåìåíòîâ òîê â öåïè îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì, àíàëîãè÷íûì

(3.24), ãäå L íàõîäèòñÿ ñîãëàñíî (1.23) äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî è

(1.29) äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèé.

Åìêîñòíûå öåïè. Äëÿ åìêîñòíîãî ýëåìåíòà ñîãëàñíî óðàâíåíèþ

(1.12) èìååì:

( )

æö

w+j

==w=

w+j+

ç÷

èø

sinsin

iCCUI

, (3.26)

ãäå I

= wCU

; B

= wC $ åìêîñòíàÿ ïðîâîäèìîñòü; j

= j

+ p/2 $ íà÷àëüíàÿ ôàçà òîêà. Âåëè÷èíó, îáðàòíóþ B

, íàçû-

âàþò åìêîñòíûì ñîïðîòèâëåíèåì X

= 1/(wC). Ôàçîâûé ñäâèã

ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì íà åìêîñòíîì ýëåìåíòå

j=j-j=-p

. (3.27)

Èç ïðèâåäåííûõ óðàâíåíèé ñëåäóåò, ÷òî òîê â åìêîñòè îïåðå-

æàåò ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå íà óãîë p/2 (ðèñ. 3.6, â), ïðè÷åì

çíàê «$» ñâèäåòåëüñòâóåò îá îòñòàâàíèè íàïðÿæåíèÿ è îò òîêà i.

Ñðåäíÿÿ çà ïåðèîä ìîùíîñòü â åìêîñòíîé öåïè òàêæå ðàâíà íóëþ.

Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì è ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèÿõ åìêîñòíûõ

ýëåìåíòîâ òîê â öåïè îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (3.26), ãäå Ñ íàõî-

äèòñÿ èç (1.24) äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî è (1.28) äëÿ ïàðàëëåëüíîãî

ñîåäèíåíèé.

-U=U

Ðèñ. 3.7 Ðèñ. 3.8

3.4. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ â öåïè ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì

ñîåäèíåíèè R, L, Ñ-ýëåìåíòîâ

Äîïóñòèì, ÷òî â öåïè, ñîäåðæàùåé ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåí-

íûå ýëåìåíòû R, L, Ñ (ðèñ. 3.7), ïðîòåêàåò òîê

(

)

w+j

= sin

iI . (3.28)

Ñîãëàñíî ÇÍÊ íàïðÿæåíèå íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ öåïè îïðåäå-

ëÿåòñÿ óðàâíåíèåì

=++=++

RLC

uuuuRiLidt

dtC

. (3.29)

Ïîäñòàâèâ â (3.29) çíà÷åíèå òîêà èç (3.28), ïîëó÷èì

(

)

(

)

( )

w+jw+j-p

=+w+

w+j+p

sinsin

sin,

uRILI

èëè

(

)

(

)

( )

=++

w+j

sinsin

sin,

mRmL

uUU

(3.30)

ãäå

===

j=jj=j-pj=j+p

;;;

;2;2.

mRmmLLmmCCm

RiLiCi

URIUXIUXI

(3.31)

Íà ðèñ. 3.8 èçîáðàæåíà âåêòîðíàÿ äèàãðàììà íàïðÿæåíèé, îïè-

ñûâàåìûõ óðàâíåíèé (3.30).

Íàïðÿæåíèå U

íà ðåçèñòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè R íàçûâàåòñÿ

àêòèâíîé ñîñòàâëÿþùåé ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ è îáîçíà÷à-

åòñÿ U

= U

, ðàçíîñòü íàïðÿæåíèé U

= U

íàçûâà-

åòñÿ ðåàêòèâíîé ñîñòàâëÿþùåé. Ñîãëàñíî ýòîìó îïðåäåëåíèþ è

ôîðìóëàì (3.31) èìååì:

(

)

===

;

mmmmm

URIUIXI

. (3.32)