Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание
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1
L
1
i
2
L
2
a
)
M
i
1
L
1
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2
L
2
á
)
M
Ðèñ. 3.18
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u
R
1
L
1
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2
L
2
a
)
M
i
u
R
1
L
1
R
2
L
2
á
)
M
Ðèñ. 3.19
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (3.73) â (3.71) ñ ó÷åòîì (3.72) ïîëó÷èì äëÿ
êîýôôèöèåíòà ñâÿçè
=
12
kMLL
, (3.74)
ãäå Ì
12
= Ì
21
= Ì.
Çíà÷åíèå k èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 0 (îòñóòñòâèå ñâÿçè) äî 1
(æåñòêàÿ èëè ïîëíàÿ ñâÿçü). Èíäóêòèâíàÿ ñâÿçü ñóùåñòâåííûì
îáðàçîì çàâèñèò îò ïîòîêîâ ðàññåÿíèÿ Ô
1s
è Ô
2s
, ïîýòîìó ñòåïåíü
ñâÿçè èíîãäà õàðàêòåðèçóþò êîýôôèöèåíòîì ðàññåÿíèÿ s
2
= 1 $ k
2
.
Äëÿ êîìïàêòíîñòè è óäîáñòâà èçîáðàæåíèÿ ñõåì ýëåêòðè÷åñêèõ
öåïåé ñ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòüþ ââîäÿò ïîíÿòèå îäíîèìåííûõ
çàæèìîâ. Ïîñëåäíèìè ïðèíÿòî íàçûâàòü óçëû, îòíîñèòåëüíî êî-
òîðûõ îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàííûå òîêè ñîçäàþò ñêëàäûâàþùèåñÿ
ïîòîêè ñàìî- è âçàèìîèíäóêöèè. Íà ðèñ. 3.18 ñõåìàòè÷íî èçîáðà-
æåíû îäíîèìåííûå çàæèìû äëÿ ñëó÷àÿ ñîãëàñíîãî è âñòðå÷íîãî
âêëþ÷åíèé êàòóøåê L
1
è L
2
. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îïðåäåëåíèÿ âè-
äà âêëþ÷åíèÿ L
1
è L
2
íà ñõåìå äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü, êàê îðè-
åíòèðîâàíû òîêè i
1
è i
2
îòíîñèòåëüíî îäíîèìåííûõ çàæèìîâ (íà
ðèñ. 3.18 îáîçíà÷åíû òî÷êîé): ïðè îäèíàêîâîé îðèåíòàöèè èìååì
ñîãëàñíîå (ðèñ. 3.18, à), à ïðè ðàçíîé $ âñòðå÷íîå âêëþ÷åíèå
(ðèñ. 3.18, á).
Ó÷åò âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè ñóùåñòâåííî âëèÿåò íà ðåçóëü-
òàòû àíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîå è
ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå èíäóêòèâíî-ñâÿçàííûõ êàòóøåê ñ èíäóê-
òèâíîñòÿìè L
1
è L
2
è ïîòåðÿìè R
1
è R
2
, íàõîäÿùèõñÿ ïîä äåé-
ñòâèåì ãàðìîíè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ:
(
)
=
w+j
sin
m
u
uU
t
(3.75)
Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå. Äëÿ ñîãëàñíîãî âêëþ÷åíèÿ êà-
òóøåê (ñì. ðèñ. 3.19, à) â ñîîòâåòñòâèè ñ ÇÍÊ è óðàâíåíèÿìè
(3.66) è (3.67) ìîæíî çàïèñàòü:
92
j
+
j
i
j
u
U
R
1
j
ýñ
U
1
U
U
2
U
L
1
U
R
2
U
L
2
U
M
U
M
a
)
j
+
j
i
j
u
U
R
1
j
ýâ
U
1
U
U
2
U
L
1
U
R
2
U
L
2
U
M
U
M
á
)
I
I
Ðèñ. 3.20
( ) ( )
=+++++=
+++
=+
1122
1212
2
.
RLMLMR
uuuuuuu
RRLLM
ididt
(3.76)
 êîìïëåêñíîé ôîðìå óðàâíåíèå (3.76) ñîãëàñíî § 3.6 çàïèøåòñÿ â
âèäå
(
)
(
)
+++
=+w
1212
2RRLLM
UIjI
. (3.77)
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Z êîìïëåêñíîå ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå
âñåé öåïè ïðè ñîãëàñíîì âêëþ÷åíèè êàòóøåê
=+w
ýýñ
ýñ
ZRjL
, (3.78)
ãäå
=+=++
ý12ýñ12
;2
RRRLLLM
. (3.79)
Òîãäà óðàâíåíèå (3.77) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
=
ýñ
UZI
, (3.80)
îòðàæàþùåì çàêîí Îìà äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé öåïè.
Ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó òîêîì i è ïðèëîæåííûì íàïðÿæåíèåì è
(
)
w
j=j-j=
ýñý
ýñ
arctg
ui
LR
. (3.81)
Íà ðèñ. 3.20, à èçîáðàæåíà âåêòîðíî-òîïîãðàôè÷åñêàÿ äèàãðàì-
ìà íàïðÿæåíèé íà îòäåëüíûõ ýëåìåíòàõ öåïè ïðè ñîãëàñíîì âêëþ-
÷åíèè L
1
è L
2
.
Êîìïëåêñíîå íàïðÿæåíèå íà êàòóøêå L
1
ñ ïîòåðÿìè R
1
ðàâíî
+w+
éù
=
ëû
11
1
()
RjLM
UI
. (3.82)
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ êîìïëåêñíîå íàïðÿæåíèå íà âòîðîé êà-
òóøêå L
2
ñ ïîòåðÿìè R
2
:
+w+
éù
=
ëû
22
2
()
RjLM
UI
. (3.83)
Ïðè âñòðå÷íîì âêëþ÷åíèè êàòóøåê (ñì. ðèñ. 3.19, á) óðàâíåíèÿ
(3.76) è (3.77) ïðèíèìàþò âèä
93
( ) ( )
=+-++-=
++-
=+
1122
1212
2
;
RLMLRM
uuuuuuu
RRLLM
i
(3.84)
(
)
(
)
++-
=+w
1212
2RRLLM
UIjI
. (3.85)
Êîìïëåêñíîå ýêâèâàëåíòíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè ïðè âñòðå÷-
íîì âêëþ÷åíèè
=+w
ýýâ
ýâ
ZRjL
, (3.86)
ãäå
=+-
ýâ 12
2
LLLM
(3.87)
$ ýêâèâàëåíòíàÿ èíäóêòèâíîñòü öåïè ïðè âñòðå÷íîì âêëþ÷åíèè
êàòóøåê èíäóêòèâíîñòè.
Êàê ñëåäóåò èç (3.78) è (3.87) ýêâèâàëåíòíàÿ èíäóêòèâíîñòü ïðè
ñîãëàñíîì âêëþ÷åíèè áîëüøå íà 2Ì, à ïðè âñòðå÷íîì ìåíüøå íà
2Ì ñóììàðíîé èíäóêòèâíîñòè L
1
+ L
2
.
Óðàâíåíèÿ äëÿ òîêà I, ôàçîâîãî ñäâèãà j
ýâ
è íàïðÿæåíèé U
1
,
U
2
àíàëîãè÷íû (3.80)$ (3.83):
=j=j-j=w
ü
ý
=+w-=+w-
þ
ýâ ýâ ý
ýâ
1122
12
;arctg(),
[()];[()].
ui
UZILR
URjLMIURjLMI
(3.88)
Íà ðèñ. 3.20, á èçîáðàæåíà âåêòîðíî-òîïîãðàôè÷åñêàÿ äèàãðàì-
ìà íàïðÿæåíèé äëÿ ñëó÷àÿ âñòðå÷íîãî âêëþ÷åíèÿ. Ïðè âñòðå÷íîì
âêëþ÷åíèè êàòóøåê ìîæåò íàáëþäàòüñÿ «åìêîñòíûé ýôôåêò», êî-
ãäà ôàçîâûé ñäâèã ìåæäó òîêîì è íàïðÿæåíèåì îäíîé èç êàòóøåê
áóäåò îòðèöàòåëüíûé. Ýòî ìîæåò èìåòü ìåñòî ïðè âûïîëíåíèè óñ-
ëîâèÿ L
2
< M.  ýòîì ñëó÷àå U
L
2
< U
Ì
è
j=w-<
2ýâ 22
arctg[()]0
LMR (3.89)
è íàïðÿæåíèå U
2
áóäåò îòñòàâàòü îò òîêà I. Îäíàêî âñÿ öåïü âñå-
ãäà áóäåò íîñèòü èíäóêòèâíûé õàðàêòåð, òàê êàê ïðè ëþáûõ çíà÷å-
íèÿõ ïàðàìåòðîâ L
1
, L
2
è Ì ñïðàâåäëèâî óñëîâèå
j=w+->
ýâ 12ý
arctg[(2)]0
LLMR . (3.90)
Ýòî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç óñëîâèÿ, ÷òî ïðè
=>
12
0
kM
LL
,
L
1
+ L
2
2M > 0. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó
->
2
2
1
()0
LL
, òî
+>
1212
2
LLLL
. Íî èç (3.74) íàõîäèì, ÷òî
12
M
LL
(òàê êàê
k
l), ñëåäîâàòåëüíî, L
1
+ L
2
> 2M îòñþäà è ñëåäóåò óñëîâèå
(3.90).
Óðàâíåíèÿ (3.79) è (3.87) ìîæíî ïîëîæèòü â îñíîâó ýêñïåðè-
ìåíòàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñòè Ì. Äëÿ ýòîãî
äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü òîê I, íàïðÿæåíèå U, ìîùíîñòü Ð â öåïè
ïðè ñîãëàñíîì è âñòðå÷íîì âêëþ÷åíèÿõ êàòóøåê è íàéòè
====
22
ýcc ââ ýñcýââ
;;
RPIPIZUIZUI
,
94
i
u
R
1
L
1
a
)
M
i
1
R
2
L
2
i
2
i
u
R
1
L
1
á
)
M
i
1
R
2
L
2
i
2
Ðèñ. 3.21
ãäå èíäåêñû «ñ» è «â» îòíîñÿòñÿ ê ñîãëàñíîìó è âñòðå÷íîìó âêëþ-
÷åíèÿì.
Ðåàêòèâíûå ñîñòàâëÿþùèå êîìïëåêñíûõ ñîïðîòèâëåíèé ïðè ñî-
ãëàñíîì è âñòðå÷íîì âêëþ÷åíèÿõ ìîæíî îïðåäåëèòü êàê
=-=-
2222
ýñýñýýâ ýâý
;
XZRXZR
.
Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî
=w++
ýñ12
(2)
XLLM
è
=w+-
ýâ 12
(2)
XLLM
,
íàõîäèì âçàèìíóþ èíäóêòèâíîñòü:
=-w
ýñýâ
()4
MXX . (3.91)
Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå. Äëÿ ñëó÷àÿ ñîãëàñíîãî âêëþ÷åíèÿ
êàòóøåê (ðèñ. 3.21, à) â ñîîòâåòñòâèè ñ ÇÒÊ è ÇÍÊ ìîæíî çàïè-
ñàòü:
=+
ü
ï
=+
ý
ï
=+
þ
12
11212
121222
,
,
,
III
UIZIZ
UIZIZ
(3.92)
ãäå
=+w=+w==w
1122
121221
;;
ZRjLZRjLZZjM
.
Ðåøàÿ ñèñòåìó (3.92) îòíîñèòåëüíî I
1
è I
2
, ïîëó÷àåì
=--
=--
2
11212212
2
21212112
/()();
/()().
IUZZZZZ
IUZZZZZ
(3.93)
Âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå â çíàìåíàòåëÿõ (3.93), èìåþò ñìûñë ýêâè-
âàëåíòíûõ êîìïëåêñíûõ ñîïðîòèâëåíèé èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõ
âåòâåé Z
1ýc
è Z
2ýc
:
=--
=--
2
1ýñ1212212
2
2ýñ1212212
()();
()().
ZZZZZZ
ZZZZZZ
(3.94)
Ýòè ñîïðîòèâëåíèÿ ñêëàäûâàþòñÿ èç äâóõ ñîñòàâëÿþùèõ: ñîáñò-
âåííûõ ñîïðîòèâëåíèé âåòâåé Z
1
è Z
2
è ñîïðîòèâëåíèé, âíîñèìûõ
çà ñ÷åò èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé Z
1âíñ
è Z
2âíñ
:
=+=+
1
ýñ11âíñ2ýñ22âíñ
;ZZZZZZ . (3.95)
95
j
+
U
R
1
j
ýñ
I
1
U
I
2
U
L
1
U
R
2
U
L
2
a
)
I
U
Ì
2
U
Ì
1
0
j
+
U
R
1
j
ýâ
I
1
U
I
2
U
L
1
U
R
2
U
L
2
á
)
I
U
Ì
2
U
Ì
1
0
Ðèñ. 3.22
Êîìïëåêñíûå âíîñèìûå ñîïðîòèâëåíèÿ Z
1âíñ
è Z
2âíñ
ìîæíî îï-
ðåäåëèòü, ðåøèâ ñîâìåñòíî (3.94) è (3.95):
ü
=--
ï
ý
=--
ï
þ
2
1âíñ11212212
2
2 âíñ21212112
()(),
()().
ZZZZZZ
ZZZZZZ
(3.96)
Òîê â íåðàçâåòâëåííîé ÷àñòè öåïè I ñ ó÷åòîì (3.93)
=
ýñ
IUZ
,
ãäå
=-+-
2
ýñ12122212
()(2)
ZZZZZZZ
. (3.97)
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ èíäóêòèâíîé ñâÿçè
(Z
12
= Z
21
= 0) ýêâèâàëåíòíîå êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè
Z
ýñ
= Z
1
Z
2
/(Z
1
+ Z
2
), ÷òî ñîîòâåòñòâóåò èçâåñòíîé ôîðìóëå ïàðàë-
ëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ Z
1
è Z
2
.
Íà ðèñ. 3.22, à èçîáðàæåíà âåêòîðíî-òîïîãðàôè÷åñêàÿ äèàã-
ðàììà äëÿ ñëó÷àÿ ñîãëàñíîãî âêëþ÷åíèÿ L
1
è L
2
. Àíàëîãè÷íûì îá-
ðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ âñòðå÷íîãî
âêëþ÷åíèÿ êàòóøåê (ñì. ðèñ. 3.21, á). Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî
ó÷åñòü, ÷òî â óðàâíåíèÿõ ïåðåä ñëàãàåìûìè ñ Z
12
è Z
21
íåîáõîäèìî
çàìåíèòü çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé. Òàê, óðàâíåíèÿ (3.94), (3.96),
(3.97) ïðèíèìàþò âèä
=-+
=-+
2
1ýâ1212212
2
2ýâ 1212112
()();
()();
ZZZZZZ
ZZZZZZ
(3.98)
=-++
=-++
2
1âíâ11212212
2
2
âí â 21212112
()();
()();
ZZZZZZ
ZZZZZZ
(3.99)
=-++
2
ýâ 12121212
()(2)
ZZZZZZZ. (3.100)
Íà ðèñ. 3.22, á èçîáðàæåíà âåêòîðíî-òîïîãðàôè÷åñêàÿ äèàãðàì-
ìà äëÿ ñëó÷àÿ âñòðå÷íîãî âêëþ÷åíèÿ.
96
Èç óðàâíåíèé (3.94), (3.98) íåòðóäíî íàéòè ýêâèâàëåíòíûå èí-
äóêòèâíîñòè âåòâåé:
=-
=-
m
m
2
1ý122
2
2ý121
()();
()(),
LLLMLM
LLLMLM
(3.101)
ãäå çíàê «$» îòíîñèòñÿ ê ñîãëàñíîìó, à «+» $ ê âñòðå÷íîìó âêëþ-
÷åíèþ èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõ ýëåìåíòîâ.
3.8. Îñîáåííîñòè àíàëèçà èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõ öåïåé
Ïðè ðàñ÷åòå èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõ öåïåé îáû÷íî èñïîëüçóþò
çàêîíû Êèðõãîôà è ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ. Äðóãèå ìåòîäû ëèáî
íåöåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü èç-çà ãðîìîçäêîñòè ðåøåíèÿ, ëèáî
íåëüçÿ ïðèìåíÿòü âñëåäñòâèå íàëè÷èÿ èíäóêòèâíîé ñâÿçè (ìåòîäû
óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ, ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðà). Äëÿ òîãî ÷òîáû
ìîæíî áûëî èñïîëüçîâàòü âñå ðàññìîòðåííûå ðàíåå ìåòîäû ðàñ÷å-
òà, ïðèìåíÿþò «ðàçâÿçêó» èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé. Ðàññìîòðèì ñóù-
íîñòü ýòèõ ìåòîäîâ íà ïðèìåðå öåïè, ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íà
ðèñ. 3.23.
Ðàñ÷åò ïî çàêîíàì Êèðõãîôà. Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ ïî ÇÒÊ è
ÇÍÊ, â êîìïëåêñíîé ôîðìå:
=+
ü
ï
+w+w-w+
ï
++w-w=-
ý
ï
-+w+w++w+
ï
+w+w=
þ
123
111312
133
2212
ã1 ã2
21
221233
21
313 ã2
31
,
()
(),
()(
1).
III
RjLIjMIjMI
RjLIIjMUU
RjLIjMIRjL
jCIjMIU
(3.102)
Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ïî ÇÍÊ íåîáõîäèìî ïîëüçîâàòüñÿ
ñëåäóþùèì ïðàâèëîì çíàêîâ: íàïðÿæåíèå âçàèìîèíäóêöèè, ñîçäà-
âàåìîå â k-é âåòâè îò òîêà, ïðîòåêàþùåãî â l-é âåòâè, áåðåòñÿ ñî
çíàêîì «+», åñëè íàïðàâëåíèå îáõîäà k-é âåòâè è ïîëîæèòåëüíîå
íàïðàâëåíèå òîêà â l-é âåòâè îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàíî îòíî-
ñèòåëüíî îäíîèìåííûõ çàæèìîâ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå áåðåòñÿ
çíàê «$».
Ðåøàÿ ñèñòåìó (3.102), ïîëó÷àåì èñêîìûå òîêè I
1
, I
2
è I
3
.
Ìåòîä êîíòóðíûõ òîêîâ. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ìåòîäîì (ñì.
§ 2.4) è ïðàâèëîì çíàêîâ óðàâíåíèÿ äëÿ êîíòóðíûõ òîêîâ I
ê1
è I
ê2
(ñì. ðèñ. 3.23) ïðèíèìàþò âèä
-++-=
ü
ý
+-+=
þ
1112 ê113122ê2
ê1
13122ê122ê2
ê2
(2)(),
(),
ZZIZZZIU
ZZZIZIU
(3.103)
121223233
1122
221213
21213
ê1 ã1 ã2
ê2 ã2
ãäå ();()1;
;;;;
.
ZRRjLLZRRjLLjC
ZRjLZjMZjMUUU
UU
=++w+=++w++w
=+w=w=w=-
=
97
+
U
ã
2
I
1
L
1
I
2
I
3
L
3
L
2
R
2
+
U
ã
1
R
1
R
3
C
3
M
13
M
12
Ðèñ. 3.23
L
1
+M
I
-M
I
2
I
1
L
2
+M
â
)
0
à
á
0
¢
L
1
-M
I
M
I
2
I
1
L
2
-M
á
)
0
à
á
0
¢
L
1
I
I
2
I
1
à
)
0
à
á
0
¢
L
2
D
D
M
+
U
ã
2
I
1
I
2
I
3
L
3
+M+M
1213
R
2
+
U
ã
1
R
1
R
3
C
3
L
1
-M+M
1213
L
2
-M+M
1213
Ðèñ. 3.24 Ðèñ. 3.25
Ðåøàÿ ñèñòåìó (3.103), íàõîäèì
êîíòóðíûå òîêè I
ê1
è I
ê2
, à çàòåì
òîêè âåòâåé I
1
= I
ê1
; I
2
= I
ê1
$ I
ê2
;
I
3
= I
ê2
.
Ðàññìîòðåííûå ìåòîäû ìîæíî
îáîáùèòü íà ñõåìû ïðîèçâîëüíîé
êîíôèãóðàöèè.
Ðàçâÿçêà èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé.
Ðàñ÷åò èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõ öå-
ïåé ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ, åñëè
èñïîëüçîâàòü ýêâèâàëåíòíûå ñõåìû,
íå ñîäåðæàùèå â ÿâíîì âèäå èíäóê-
òèâíûå ñâÿçè. Ñîñòàâëåíèå ïîäîáíûõ ýêâèâàëåíòíûõ ñõåì è ñî-
ñòàâëÿåò ñóùíîñòü ìåòîäà «ðàçâÿçêè» èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé. Ïðè
ýòîì ýêâèâàëåíòíûå ñâÿçè ó÷èòûâàþòñÿ â ýêâèâàëåíòíûõ èíäóê-
òèâíîñòÿõ ðàçâÿçàííûõ ñõåì. Ïðèìåðîì ïîäîáíîé ðàçâÿçêè ìîãóò
ñëóæèòü ýêâèâàëåíòíûå èíäóêòèâíîñòè, îïðåäåëÿåìûå óðàâíåíèÿìè
(3.79), (3,87), (3.101).
 îáùåì ñëó÷àå ðàçâÿçêó ëþáûõ äâóõ èíäóêòèâíî ñâÿçàííûõ
ýëåìåíòîâ L
1
è L
2
, ñîåäèíåííûõ â îäíîì óçëå (ðèñ. 3.24, à) ìîæíî
îñóùåñòâèòü ñ ïîìîùüþ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.24, á äëÿ
ñëó÷àÿ, êîãäà ýëåìåíòû L
1
è L
2
ñîåäèíåíû â óçëå 0¢ îäíîèìåííûìè
çàæèìàìè (×) è ñ ïîìîùüþ ñõåìû íà ðèñ. 3.24, â äëÿ ñîåäèíåíèÿ
L
1
è L
2
â óçëå 0¢ ðàçíîèìåííûìè çàæèìàìè (D). Äëÿ äîêà-
çàòåëüñòâà ýêâèâàëåíòíîñòè ýòèõ ñõåì äîñòàòî÷íî ñîñòàâèòü óðàâ-
íåíèÿ ïî çàêîíàì Êèðõãîôà äëÿ êàæäîé èç íèõ è äîêàçàòü èõ
èäåíòè÷íîñòü. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ñëó÷àÿ âêëþ÷åíèÿ îäíîèìåííû-
ìè çàæèìàìè äëÿ ñõåìû íà ðèñ. 3.24, à èìååì:
=w+w
ü
ý
=w+w
þ
1
12
à0
2
12
á0
,
.
UjLIjMI
UjMIjLI
(3.104)
Äëÿ ðàçâÿçíîé ñõåìû íà ðèñ. 3.24, á èìååì:
98
=w-+w
ü
ý
=w-+w
þ
1
1
à0
2
2
á0
(),
().
UjLMIjMI
UjLMIjMI
(3.105)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî I
1
= I
$ I
2
è I
2
= I
$ I
1
ïîñëå ïîäñòàíîâêè I
1
è
I
2
â (3.104) ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ, àíàëîãè÷íûå (3.105). Ïîäîáíûì
æå îáðàçîì äîêàçûâàåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòü è âòîðîé ñõåìû ïðè
âêëþ÷åíèè L
1
è L
2
ðàçíîèìåííûìè çàæèìàìè.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà íà ðèñ. 3.25 èçîáðàæåíà ñõåìà ñ ðàçâÿçàí-
íûìè èíäóêòèâíûìè ñâÿçÿìè, ýêâèâàëåíòíàÿ èçîáðàæåííîé íà
ðèñ. 3.23. Ïîñëå ðàçâÿçêè èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé ðàñ÷åò ïîëó÷åííîé
ýêâèâàëåíòíîé ñõåìû ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí ëþáûì èç èçâåñò-
íûõ ìåòîäîâ.
Íàëè÷èå èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ìàòðèöû
ñîïðîòèâëåíèÿ Z
â
è ïðîâîäèìîñòè Y
â
. Èç äèàãîíàëüíûõ ìàòðèö
îíè ïðåâðàùåíû â êâàäðàòíûå ìàòðèöû, ïî äèàãîíàëè êîòîðûõ çà-
ïèñûâàþòñÿ ñîáñòâåííûå êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèÿ èëè ïðî-
âîäèìîñòè âåòâåé, à íà ïåðåñå÷åíèè k-é ñòðîêè è l-ãî ñòîëáöà çà-
ïèñûâàþòñÿ ñîïðîòèâëåíèÿ èëè ïðîâîäèìîñòè âçàèìíîé ñâÿçè ìå-
æäó k-é è l-é âåòâÿìè ñî çíàêîì «+» ïðè ñîãëàñíîì âêëþ÷åíèè è ñî
çíàêîì «$» ïðè âñòðå÷íîì.
Åñëè öåïü óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ âçàèìíîñòè (ñì. § 2.4), òî
Z
kl
= Z
lk
, Y
kl
= Y
lk
è ìàòðèöà áóäåò ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî
ãëàâíîé äèàãîíàëè.
Íàïðèìåð, ìàòðèöà ñîïðîòèâëåíèé öåïè, èçîáðàæåííîé íà
ðèñ. 3.23, èìååò âèä
-
=
-
11213
â
212
313
0
0
ZZZ
ZZ
ZZ
Z ,
=+w=+w=+w-w
==w==w
1122333
123
1213
12211331
ãäå ;;(1);
;.
ZRjLZRjLZRjLC
ZZjMZZjM
3.9. Òðàíñôîðìàòîð
Òðàíñôîðìàòîðîì íàçûâàåòñÿ ñòàòè÷åñêîå óñòðîéñòâî, ïðåäíà-
çíà÷åííîå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ íàïðÿæåíèé è
òîêîâ. Ïðîñòåéøèé òðàíñôîðìàòîð ñîñòîèò èç äâóõ èíäóêòèâíî
ñâÿçàííûõ êàòóøåê ñ èíäóêòèâíîñòÿìè L
1
è L
2
, ðàñïîëîæåííûõ íà
îáùåì ñåðäå÷íèêå. Êàòóøêà, ê êîòîðîé ïîäêëþ÷àåòñÿ èñòî÷íèê,
íàçûâàþò ïåðâè÷íîé, à ê êîòîðîé ïîäêëþ÷àþò íàãðóçêó $ âòîðè÷-
íîé. Ñåðäå÷íèê ìîæåò áûòü âûïîëíåí èç ôåððîìàãíèòíîãî èëè íå-
ôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà. Ïðèìåðîì òðàíñôîðìàòîðà ïîñëåä-
íåãî òèïà ÿâëÿåòñÿ âîçäóøíûé òðàíñôîðìàòîð, íàõîäÿùèé øèðî-
êîå ïðèìåíåíèå â òåõíèêå ñâÿçè, èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðàõ, ðàç-
ëè÷íûõ ðàäèîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ.
99
R
1
L
1
M
i
1
R
2
L
2
i
2
u
1
u
2
Z
í
I II
Ðèñ. 3.26
R
11
I
1
a
)
R
1âí
X
11
X
1âí
U
1
R
22
I
2
á
)
R
2âí
X
22
X
2âí
U
1
Z
11
Z
12
Ðèñ. 3.27
Âîçäóøíûé òðàíñôîðìàòîð.
Íà ðèñ. 3.26 èçîáðàæåíà ñõåìà
ïðîñòåéøåãî âîçäóøíîãî òðàíñ-
ôîðìàòîðà ñ ïîòåðÿìè â ïåðâè÷-
íîé R
1
è âòîðè÷íîé R
2
êàòóøêàõ
(îáìîòêàõ), íàãðóæåííîãî íà
êîìïëåêñíîå ñîïðîòèâëåíèå Z
í
=
= R
í
+ jÕ
í
.
Ñîñòàâèì óðàâíåíèå òðàíñôîðìàòîðà ïî ÇÍÊ äëÿ I è II êîí-
òóðîâ:
}
=-
=-+
111122
1
121222
,
0,
UZIZI
ZIZI
(3.106)
ãäå
=+=+w==w
ü
ý
=+=++w+
þ
11111112
1112
22222í2í
22
;,
()().
ZRjXRjLZjXjM
ZRjXRRjLX
(3.107)
Èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (3.106) ñëåäóþò óðàâíåíèÿ äëÿ òîêîâ I
1
è I
2
:
==
--
1211
11
12
22
111222221211
;.
UUZZ
II
ZZZZZZ
(3.108)
Ïî àíàëîãèè ñ (3.93) ââåäåì ïîíÿòèå âíîñèìûõ ñîïðîòèâëåíèé:
=-=-
22
1
âí12222âí1211
;
ZZZZZZ
. (3.109)
Òîãäà óðàâíåíèÿ (3.108) ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
==
++
1211
11
12
111
âí222âí
;
UUZZ
II
ZZZZ
. (3.110)
Óðàâíåíèÿì (3.110) ñîîòâåòñòâóþò îäíîêîíòóðíûå ñõåìû çà-
ìåùåíèÿ âîçäóøíîãî òðàíñôîðìàòîðà, èçîáðàæåííûå íà ðèñ. 3.27.
Çíà÷åíèÿ âåëè÷èí R
1âí
è X
1âí
, R
2âí
è X
2âí
îïðåäåëÿþòñÿ èç (3.109)
ñ ó÷åòîì (3.107):
==
++
22
1212
1
âí222âí11
2222
22221111
;;
XX
RRRR
RXRX
(3.111)
100
I
1
I
2
L
2
-M
-
R
2
R
1
Z
í
L
1
-M
M
I
U
1
+
I
1
I
2
L
2
R
1
Z
í
L
1
U
1
+
U
2
R
2
H
z
I
2
H
z
I
1
Ðèñ. 3.28 Ðèñ. 3.29
=-=-
++
22
1212
1
âí222âí11
2222
22221111
;.
XX
XXXX
RXRX
(3.112)
Çíàê «$» â óðàâíåíèÿõ (3.112) ñâèäåòåëüñòâóåò î ðàçìàãíè-
÷èâàþùåì äåéñòâèè âòîðè÷íîé îáìîòêè íà ïåðâè÷íóþ.
Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ R
1âí
è R
2âí
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýê-
âèâàëåíòíûå ðåçèñòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ, âíîñèìûå çà ñ÷åò âçà-
èìíîé èíäóêòèâíîñòè ñîîòâåòñòâåííî â êîíòóðû I è II.
Ïðè ýòîì íà R
1âí
ïðè ïðîòåêàíèè òîêà I
1
ðàññåèâàåòñÿ òà æå
ìîùíîñòü, ÷òî è íà R
2
ïðè ïðîòåêàíèè òîêà I
2
è ñîîòâåòñòâåííî íà
R
2âí
ïðè ïðîòåêàíèè I
2
ðàññåèâàåòñÿ òà æå ìîùíîñòü, ÷òî è íà R
1
ïðè ïðîòåêàíèè I
1
.
Âîçäóøíûé òðàíñôîðìàòîð ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí äâóõêîí-
òóðíîé ñõåìîé çàìåùåíèÿ, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.28. Ýòà ñõåìà
ïîëó÷àåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.26
ïîñëå îáúåäèíåíèÿ â îäèí óçåë îäíîèìåííûõ çàæèìîâ è ðàçâÿçêè
èíäóêòèâíûõ ñâÿçåé ñîãëàñíî ðèñ. 3.24. Òàêèì, îáðàçîì, äëÿ îïðå-
äåëåíèÿ òîêîâ â âîçäóøíîì òðàíñôîðìàòîðå ìîãóò áûòü èñ-
ïîëüçîâàíû îäíî- ëèáî äâóõêîíòóðíûå ýêâèâàëåíòíûå ñõåìû çà-
ìåùåíèÿ.
Åñëè â óðàâíåíèÿõ (3.107) îáîçíà÷èòü Z
12
= jwM = Hz, òî âîç-
äóøíûé òðàíñôîðìàòîð ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñõåìîé çàìåùåíèÿ ñ
çàâèñèìûìè èñòî÷íèêàìè (ðèñ. 3.29).
Èç îáùèõ óðàâíåíèé äëÿ êîìïëåêñíûõ òîêîâ I
1
è I
2
ñ ó÷åòîì
(3.106), (3.107) ìîæíî íàéòè îòíîøåíèå êîìïëåêñíûõ òîêîâ è íà-
ïðÿæåíèé â âîçäóøíîì òðàíñôîðìàòîðå:
=+
=+-
122í12
2
2
í1112í12
12
();
[()](),
IIZZZ
UUZZZZZZ
(3.113)
ãäå U
2
= Z
í
I
2
.
Èç óðàâíåíèÿ (3.113) ñëåäóåò, ÷òî îòíîøåíèå êàê êîìïëåêñíûõ
òîêîâ, òàê è íàïðÿæåíèé â âîçäóøíîì òðàíñôîðìàòîðå ñ ïîòåðÿìè
çàâèñèò îò ñîïðîòèâëåíèÿ íàãðóçêè Z
í
.
 ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ ïîòåðü (R
1
= R
2
= 0) èìååì:
=+=
òðòð
12 í12
12
1;
IIZZkUUk
, (3.114)