Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание

Подождите немного. Документ загружается.

âõ

Ðèñ. 2.15

Ðèñ. 2.16

120

RRR

, (2.38)

òî ïðè âêëþ÷åíèè ê òî÷êàì 2$2¢

èëè 1$1¢ ðåçèñòèâíîãî ýëåìåíòà ñ

ñîïðîòèâëåíèåì R

, âõîäíîå ñîïðî-

òèâëåíèå öåïè ñî ñòîðîíû âõîäà 1$

1¢ è âûõîäà 2$2¢ áóäåò îäèíàêîâî è

ðàâíî R

. Â ýòîì ìîæíî ëåãêî

óáåäèòüñÿ, åñëè ñâåðíóòü ñõåìó ê

òî÷êàì 1$1¢ èëè 2$2¢ ñîîòâåòñòâåí-

íî. Îòíîøåíèå âûõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ êî âõîäíîìó òàêîãî àòòåíþ-

àòîðà

==+

21001

()

ÊUURRR

, (2.39)

ò. å. ïîëíîñòüþ îïðåäåëèòñÿ îòíîøåíèåì ñîïðîòèâëåíèÿ äåëèòåëÿ

è R

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûñîêîòî÷íîãî äåëåíèÿ àòòåíþàòîð îáû÷íî âû-

ïîëíÿþò â âèäå íåñêîëüêèõ çâåíüåâ, âêëþ÷åííûõ êàñêàäíî äðóã çà

äðóãîì (ðèñ. 2.16).

Ïðè ýòîì êîýôôèöèåíò äåëåíèÿ

==+

21001

()

ÊUURRR, (2.40)

ò. å. ìíîãî ìåíüøå åäèíèöû.

Ìàñøòàáíûé óñèëèòåëü. Â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íàäî ïîëó÷èòü



1, ïðèìåíÿþò îáû÷íî ìàñøòàáíûå óñèëèòåëè, ïðåäñòàâëÿþùèå

ñîáîé ðåçèñòèâíóþ öåïü, ñîäåðæàùóþ àêòèâíûé ýëåìåíò. Íà

ðèñ. 2.17, à ïîêàçàíà ñõåìà ìàñøòàáíîãî óñèëèòåëÿ íà îïåðàöèîí-

íîì óñèëèòåëå (ÎÓ), âêëþ÷åííîì ïî èíâåðòèðóþùåé ñõåìå. Çà-

ìåíèì ÎÓ ýêâèâàëåíòíîé ìîäåëüþ ÈÍÓÍ ñ îïðåäåëåííûìè âõîä-

íûì R

âx

è âûõîäíûì R

âûõ

ñîïðîòèâëåíèÿìè (ðèñ. 2.17, á). Ñîñòà-

âèì äëÿ íåå óðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ ïî ìåòîäó óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ,

ïðèíÿâ ïîòåíöèàë V

= 0:

112

âõ2211

(),

VGGGVGUG

++-=

âõ

âûõ

-H

)

()

U-U

)

Ðèñ. 2.17

Ðèñ. 2.18

1222

âûõ01âûõ

(),

VGVGGGHVG

-+++=-

ãäå

===

112200

âõ âõ âûõ âûõ

1;1;1;

1;1.

GRGRGR

GRGR

Îòñþäà ïîëó÷àåì

=-==

+++++-

11 âûõ2

2232

âõ20âûõ2 âûõ2

()

()()()

UGHGG

UVVV

GGGGGGGHGG

Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ ÎÓ Í

®¥

(ñì. § 1.2), ïîëó÷àåì

211

UUU

=-=- .

Èëè îêîí÷àòåëüíî

==-

2121

KUURR

, (2.41)

ò. å. êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ ìàñøòàáíîãî óñèëèòåëÿ ïîëíîñòüþ îï-

ðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì ñîïðîòèâëåíèé R

è R

. Çíàê «$» â ðà-

âåíñòâå (2.41) ñâèäåòåëüñòâóåò îá èíâåðòèðîâàíèè ïîëÿðíîñòè U

ïî îòíîøåíèþ ê U

Âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå ìàñøòàáíîãî óñèëèòåëÿ

=»

âõ111

RUIR

. (2.42)

Ðèñ. 2.19 Ðèñ. 2.20

Óñèëèòåëü, âêëþ÷åííûé ïî íåèíâåðòèðóþùåé ñõåìå

(ðèñ. 2.18, à), Èñïîëüçóåì èäåàëüíóþ ìîäåëü ÎÓ, èçîáðàæåííîãî

íà ðèñ. 2.18, á. Ïðèíÿâ ïîòåíöèàë V

= 0, çàïèøåì óðàâíåíèå

ðàâíîâåñèÿ ïî ìåòîäó óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ:

æö

ç÷

èø

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

(

)

ïîëó÷àåì ïîòåíöèàë V

HRR

Îòêóäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî H

(1 + R

), èç óðàâíåíèÿ ðàâíî-

âåñèÿ ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëà V

æö

ç÷

èø

Òîãäà êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ

==+ (2.43)

òàêæå íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ ÎÓ.

Óñèëèòåëü ñ íåèíâåðòèðóþùèì âõîäîì ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ

êàê ïîâòîðèòåëü íàïðÿæåíèÿ, åñëè ïîëîæèòü R

= 0 R

= ¥ (ðèñ 2.19).

Êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ òàêîé ñõåìû ðàâåí Ê = 1, âõîäíîå ñîïðî-

òèâëåíèå î÷åíü âåëèêî, à âûõîäíîå î÷åíü ìàëî (ñì. § 1.2), ÷òî èñ-

ïîëüçóåòñÿ äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ âõîäíûõ ñîïðîòèâëåíèé ðàçëè÷íûõ

óñòðîéñòâ.

Ñóììàòîð. Ýòî óñòðîéñòâî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ âûïîëíåíèÿ àðèô-

ìåòè÷åñêîé îïåðàöèè âçâåøåííîãî ñóììèðîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ íà-

ïðÿæåíèé. Íà ðèñ. 2.20 èçîáðàæåíà ñõåìà àêòèâíîãî ñóììàòîðà

äâóõ íàïðÿæåíèé U

è U

, âûïîëíåííîãî íà áàçå ÎÓ, âêëþ÷åííî-

ãî ïî èíâåðòèðóþùåé ñõåìå.

Â ñîîòâåòñòâèè ñ (2.41) äëÿ êîýôôèöèåíòîâ óñèëåíèÿ K

è Ê

èìååì

=-=-

;

Íàïðÿæåíèå íà âûõîäå ÎÓ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì íàëî-

æåíèÿ

¢¢¢

=+=+=--

333112212

UUUKUKUUU

ò. å. ðàâíî âçâåøåííîé ñ êîýôôèöèåíòàìè Ê

è Ê

àðèôìåòè÷åñêîé

ñóììå âõîäíûõ íàïðÿæåíèé. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîñòðî-

èòü àêòèâíûé ñóììàòîð íà ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî n âõîäíûõ íà-

ïðÿæåíèé:

. (2.44)

Îòëè÷èòåëüíîé ÷åðòîé ñóììàòîðà ýòîãî òèïà ÿâëÿåòñÿ õîðîøàÿ

«ðàçâÿçêà» âõîäíûõ öåïåé, ÷òî îáóñëîâèëî åãî øèðîêîå ïðèìåíå-

íèå â òåõíèêå ñâÿçè.

Êîíâåðòîð îòðèöàòåëüíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ (ÊÎÑ). Êîíâåðòî-

ðàìè îòðèöàòåëüíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ íàçûâàþò àêòèâíóþ ðåçè-

ñòèâíóþ öåïü, âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå êîòîðîé ðàâíî ñîïðîòèâëå-

íèþ íàãðóçêè ñ îòðèöàòåëüíûì çíàêîì. Îäíà èç âîçìîæíûõ ñõåì

ÊÎÑ èçîáðàæåíà íà ðèñ. 2.21, à.

Ñîñòàâèì äëÿ ýêâèâàëåíòíîé ñõåìû ÊÎÑ (ðèñ. 2.21, á) óðàâ-

íåíèå ïî ìåòîäó óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ äëÿ óçëà 1, ïðèíÿâ V

= 0

(áàçèñíûé óçåë) è ó÷òÿ, ÷òî U

= V

, U

= V

, ïîëó÷èì

( )

æö

ç÷

èø

Îòñþäà íàõîäèì ïîòåíöèàë V

(1)

RHR

Òîê â ñîïðîòèâëåíèè íàãðóçêè R

îïðåäåëèì ñîãëàñíî çàêîíà

Îìà:

122

í21í

[(1)]

RHRV

RRHRR

Òîãäà âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå ÊÎÑ

==×

âõí

112

(1)

RHR

IRHR

Ó÷òÿ, ÷òî H

1, îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì:

)

()

U-U

)

Ðèñ. 2.21

»-

âõí

Åñëè ñîïðîòèâëåíèå R

= R

, òî ïîëó÷àåì R

âõ

= $R

, ò. å.

ÊÎÑ ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü îòðèöàòåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå, ÷òî øèðî-

êî èñïîëüçóåòñÿ íà ïðàêòèêå äëÿ êîìïåíñàöèè ïîòåðü â ðàçëè÷íûõ

öåïÿõ.

2.8. Àëãîðèòìû àíàëèçà ëèíåéíûõ ðåçèñòèâíûõ

öåïåé íà ÝÂÌ

Â îñíîâå ìàøèííûõ ìåòîäîâ àíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ëå-

æàò ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, çàäàâàåìûå ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû óðàâ-

íåíèé, êîòîðûå îïèñûâàþò ñâÿçü ìåæäó òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè íà

åå îòäåëüíûõ ýëåìåíòàõ (êîìïîíåíòàõ). Ýòè óðàâíåíèÿ èìåþò íà-

çâàíèå êîìïîíåíòíûõ óðàâíåíèé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.

Ê ÷èñëó ïîäîáíûõ êîìïîíåíòíûõ óðàâíåíèé îòíîñÿòñÿ óðàâíå-

íèÿ (1.6), (1.9) è (1.12), ñâÿçûâàþùèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ íà ðåçè-

ñòèâíûõ, èíäóêòèâíûõ è åìêîñòíûõ ýëåìåíòàõ. Ñëîæíûå ìíîãî-

ïîëþñíûå ýëåìåíòû (ýëåêòðîííûå ëàìïû, òðàíçèñòîðû, îïåðàöè-

îííûå óñèëèòåëè è äð.) îïèñûâàþòñÿ ìîäåëÿìè èç íåñêîëüêèõ

êîìïîíåíòíûõ óðàâíåíèé.

Êðîìå êîìïîíåíòíûõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè öåïåé

âêëþ÷àþò â ñåáÿ òîïîëîãè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, êîòîðûå âûòåêàþò èç

òîïîëîãèè öåïè è çàïèñûâàþòñÿ íà îñíîâàíèè çàêîíîâ Êèðõãîôà

(1.18) è (1.20).

Äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ìîãóò èñïîëüçî-

âàòüñÿ ðàçëè÷íûå áàçèñû, íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì èç êîòîðûõ

äëÿ ðåçèñòèâíûõ öåïåé ÿâëÿåòñÿ ìåòîä óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ. Ïðè

èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ èñõîäíûì ÿâëÿåòñÿ ñî-

ñòàâëåíèå óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ öåïè â ôîðìå (2.33):

óóó

GVI

. (2.45)

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôîðìèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (2.45) íà îñíî-

âàíèè ÇÒÊ (1.18), óðàâíåíèÿ ñâÿçè (2.30) è êîìïîíåíòíûõ óðàâ-

íåíèé íà áàçå çàêîíà Îìà (2.17) ðàññìîòðåíû â §§ 2.4, 2.5.

Ïîñëå ôîðìèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ â ôîðìå

(2.45) îñóùåñòâëÿåòñÿ åãî ðåøåíèå òåì èëè èíûì ñïîñîáîì. Òàêèì

îáðàçîì, ñóòü ìàøèííûõ ìåòîäîâ àíàëèçà ëèíåéíûõ ðåçèñòèâíûõ

öåïåé çàêëþ÷àåòñÿ â ôîðìèðîâàíèè è ðåøåíèè ìàòðè÷íîãî óðàâíå-

íèÿ ñîñòîÿíèÿ öåïè â ôîðìå óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ (2.45). Ðàññìîò-

ðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåàëèçàöèè îáîèõ ýòèõ ýòàïîâ íà ÝÂÌ.

Ôîðìèðîâàíèå óðàâíåíèÿ óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ. Â êà÷åñòâå

ïåðâîãî øàãà îñóùåñòâëÿåòñÿ ââîä â ÝÂÌ äàííûõ î òîïîëîãèè è

ïàðàìåòðàõ öåïè. Äëÿ ýòîãî âûáèðàåòå áàçèñíûé óçåë, ïîòåíöèàë

êîòîðîãî ïðèíèìàåòñÿ ðàâíûì íóëþ. Çàòåì îñóùåñòâëÿåòñÿ íóìå-

ðàöèÿ îñòàëüíûõ óçëîâ îò 1 äî (n

$ 1), à òàêæå íóìåðàöèÿ âåòâåé

îò 1 äî n

. Ïîñëå ýòîãî íà îñíîâàíèè ïðàâèëà, èçëîæåííîãî â § 1.3,

ôîðìèðóåòñÿ ñòðóêòóðíàÿ ìàòðèöà öåïè À

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ìàòðèöå À

îáû÷íî ñîäåðæèòñÿ ìíîãî íóëåâûõ

ýëåìåíòîâ (ðàçðÿæåííàÿ ìàòðèöà), åå óäîáíî ââîäèòü â ïàìÿòü

ÝÂÌ íå â âèäå äâóìåðíîãî ìàññèâà, à ñ ïîìîùüþ îäíîìåðíîãî

ìàññèâà òðîéêè öåëûõ ÷èñåë (l, k, m), õàðàêòåðèçóþùèõ íîìåð

âåòâè $ l, íîìåð óçëà $ k, èç êîòîðîãî âåòâü âûõîäèò, è íîìåð óç-

ëà $ ò, â êîòîðûé îíà âõîäèò.

Ïîñëå ôîðìèðîâàíèÿ òàêèì îáðàçîì íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ ìàò-

ðèöû À

îñóùåñòâëÿåòñÿ ââîä â ÝÂÌ ïàðàìåòðîâ âåòâåé. Ïðè ýòîì

êàæäàÿ îäíîýëåìåíòíàÿ âåòâü õàðàêòåðèçóåòñÿ íîìåðîì âåòâè; íî-

ìåðàìè óçëîâ, èç êîòîðûõ îíà âûõîäèò è â êîòîðûé âõîäèò; òèïîì

ýëåìåíòà (ðåçèñòîð, íåçàâèñèìûå èñòî÷íèêè íàïðÿæåíèÿ è òîêà);

ïàðàìåòðîì ýëåìåíòà (ñîïðîòèâëåíèåì ðåçèñòîðà, çàäàþùèì íà-

ïðÿæåíèåì U

èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ, çàäàþùèì òîêîì I

èñòî÷-

íèêà òîêà).

Äàëåå â ñîîòâåòñòâèè ñ àëãîðèòìîì, èçëîæåííûì â § 2.5, ôîð-

ìèðóåòñÿ ìàòðèöà óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé G

è ìàòðèöà óçëîâûõ

òîêîâ I

. Ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ ñòàíäàðòíûå ïîäïðîãðàììû ïå-

ðåìíîæåíèÿ ìàòðèö À

, À

Ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ. Óðàâíåíèå

(2.45) îòíîñèòñÿ ê êëàññó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé òèïà

AxB

, (2.46)

ãäå A = G

, X = V

, B = J

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ òèïà (2.46) ÿâëÿåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé çà-

äà÷åé â ìåòîäå óçëîâûõ ïîòåíöèàëîâ. Êðîìå òîãî, ðåøåíèå òàêèõ

óðàâíåíèé ñîñòàâëÿåò îäíó èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ïðîöå-

äóð ïðè ðåøåíèè äðóãèõ çàäà÷, íàïðèìåð, ïðè àíàëèçå íåëèíåéíûõ

öåïåé (ñì. ãë. 11). ×èñëåííûì ìåòîäàì ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2.46)

ïîñâÿùåíà îáøèðíàÿ ëèòåðàòóðà; âñå èõ ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå

áîëüøèå ãðóïïû: ïðÿìûå è èòåðàöèîííûå. Â áîëüøèíñòâå ìàøèí-

íûõ ïðîãðàìì èñïîëüçóþòñÿ ïðÿìûå ìåòîäû, îáåñïå÷èâàþùèå ïî-

ëó÷åíèå ðåøåíèÿ çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ.

Îñíîâíûå ïðîáëåìû, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ïðè

èñïîëüçîâàíèè ïðÿìûõ ìåòîäîâ $ ýòî áîëüøàÿ ðàçðÿæåííîñòü ìàò-

ðèöû G

, ïðèâîäÿùàÿ ê áîëüøèì çàòðàòàì ìàøèííîãî âðåìåíè è

áûñòðîå âîçðàñòàíèå îøèáîê îêðóãëåíèÿ ïðîìåæóòî÷íûõ ðå-

çóëüòàòîâ, ïðèâîäÿùèõ ê áîëüøèì ïîãðåøíîñòÿì.

Äëÿ ðåøåíèÿ ýòèõ ïðîáëåì èñïîëüçóþò ðàçëè÷íûå ìîäèôèêàöèè

ïðÿìûõ ìåòîäîâ, êîòîðûå ìîæíî ðàçáèòü íà òðè ãðóïïû: îá-

ðàùåíèÿ ìàòðèöû G

, ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû G

íà ñîìíîæèòåëè è

ìåòîäû äëÿ ìàòðèö G

ñïåöèàëüíîãî âèäà. Îñíîâíûì ìåòîäîì ïåð-

âîé ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ ìåòîä Ãàóññà è åãî ðàçíîâèäíîñòè.

×èñëî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé ïî ìåòîäó Ãàóññà

»+-

2(32),

ãäå ïîðÿäîê ìàòðèöû

Nnnn

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñëîæíîé ñõåìû ÷èñëî îïåðàöèé ìîæåò îêà-

çàòüñÿ î÷åíü áîëüøèì. Äëÿ ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè ìåòîäà Ãà-

óññà èñïîëüçóþò ìåòîä ðàçðÿæåííûõ ìàòðèö.

Ìåòîäû îáðàùåíèÿ ìàòðèöû G

ïðèìåíÿþòñÿ, êàê ïðàâèëî,

äëÿ ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûõ ñõåì, òàê êàê äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïàðà-

ìåòðà G

òðåáóåòñÿ áîëüøå îïåðàöèé, ÷åì äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû

(2.46) ìåòîäàìè ïåðâîé ãðóïïû. Êðîìå òîãî, ïðè ïðÿìîì îáðàùå-

íèè ìàòðèöû áûñòðî âîçðàñòàåò åå ðàçðÿæåííîñòü, ÷òî ñóùåñòâåííî

ñíèæàåò ýôôåêòèâíîñòü ýòîãî ìåòîäà.

Ìåòîäû òðåòüåé ãðóïïû ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ìàòðèö óçëîâîé ïðî-

âîäèìîñòè ñïåöèàëüíîãî âèäà: ëåíòî÷íîãî, áëî÷íî-äèàãîíàëüíîãî è

äð. Ìàòðèöó G

ëåíòî÷íîãî òèïà èìåþò, íàïðèìåð, ýëåêòðîííûå

ñõåìû êàñêàäíîé ñòðóêòóðû áåç îáðàòíûõ ñâÿçåé (ñì. ãë. 12).

Ìåòîä Ãàóññà. Àëãîðèòì Ãàóññà ñîñòîèò èç ïðÿìîãî è îáðàò-

íîãî õîäîâ. Ïðÿìîé õîä âêëþ÷àåò ïîñëåäîâàòåëüíîå èñêëþ÷åíèå

íåèçâåñòíûõ õ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (2.46). Ïðè ýòîì íà ïåðâîì

øàãå ïîëó÷àåì ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ õ

12131

1231

111111

aaa

xxxxb

aaa

=----+

. (2.47)

Ïîäñòàâèâ õ

âî âñå îñòàâøèåñÿ óðàâíåíèÿ, èñêëþ÷àåì èç íèõ

ïåðåìåííóþ õ

, ÷òî ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ êîýôôèöèåíòà à

â ýòèõ

óðàâíåíèÿõ.

Íà âòîðîì øàãå îïðåäåëÿåòñÿ â ÿâíîé ôîðìå õ

, ïîñëå ÷åãî îíî

èñêëþ÷àåòñÿ èç òðåòüåãî è ïîñëåäóþùèõ óðàâíåíèé è ò. ä. Ïðè÷åì,

èñêëþ÷åíèå ïåðåìåííîé ïðèâîäèò ê ïåðåñ÷åòó êîýôôèöèåíòîâ ïî

ôîðìóëå

,(1),

ijij

ikkjkk

aaaaaikn

=-=+

)

. (2.48)

Ïðîöåäóðà èñêëþ÷åíèÿ ïðîèçâîäèòñÿ äëÿ âñåõ òîêîâ i. Â ðå-

çóëüòàòå ïðÿìîãî õîäà ìàòðèöà À ïðåîáðàçóåòñÿ ê òðåóãîëüíîìó

âèäó.

Îáðàòíûé õîä ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ñîñòàâëÿþùèå èñêîìîãî

âåêòîðà õ, íà÷èíàÿ ñ ïîñëåäíåãî ýëåìåíòà. Äåéñòâèòåëüíî, â ðå-

çóëüòàòå ïðÿìîãî õîäà â ïîñëåäíåì ï-ì óðàâíåíèè îñòàëàñü åäèí-

ñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ x

)

nnn

. Ïîñëå íàõîæäåíèÿ x

îïðåäåëÿ-

åòñÿ èç (ï $ 1) óðàâíåíèÿ x

è ò. ä. Íà ðèñ. 2.22 èçîáðàæåíà

ñõåìà àëãîðèòìà ðàñ÷åòà ïî ìåòîäó Ãàóññà.

Ìåòîä ðàçðÿæåííûõ ìàòðèö. Èäåÿ ýòîãî ìåòîäà ñîñòîèò â

òîì, ÷òî åñëè ïðè ïðÿìîì õîäå Ãàóññà, õîòÿ áû îäèí êîýôôèöèåíò

(à

èëè à

,) ðàâåí íóëþ, òî êîýôôèöèåíò

)

ïî ôîðìóëå (2.48)

ìîæíî íå ïåðåñ÷èòûâàòü, ÷òî ïðè âûñîêîé ñòåïåíè ðàçðÿæåííîñòè

ìàòðèöû À ìîæåò ñóùåñòâåííî ñîêðàòèòü îáúåì âû÷èñëåíèé. Ïðè

ýòîì òàêæå îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü õðàíèòü â ïàìÿòè ÝÂÌ íó-

ëåâûå êîýôôèöèåíòû, ÷òî óìåíüøàåò çàòðàòû ìàøèííîé ïàìÿòè.

Äëÿ ðåàëèçàöèè ýòîé èäåè èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ìåòîäû

óïîðÿäî÷åíèÿ ìàòðèö, îáåñïå÷èâàþùèå ìèíèìàëüíûé îáúåì âû-

÷èñëåíèé. Ïðîñòåéøèì èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé: ñòðîêè ñ

ìåíüøèì ÷èñëîì íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ äîëæíû ðàñïîëàãàòüñÿ âûøå

ñòðîê ñ áîëüøèì ÷èñëîì íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ.

Ïóñòü ñòðîêè è ñòîëáöû ìàòðèöû óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé G

ðàñïîëàãàþòñÿ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ íîìåðîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ èì

óçëîâ. Òîãäà äëÿ ìèíèìèçàöèè îáúåìà âû÷èñëåíèé íóìåðàöèþ óç-

ëîâ íåîáõîäèìî ïðîèçâîäèòü â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ êîëè÷åñòâà íå-

íóëåâûõ ýëåìåíòîâ â ñòðîêå. Ïðè ýòîì îáúåì âû÷èñëåíèé áóäåò ðà-

âåí:

ò. å. ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé ÷èñëà óçëîâ ï = n

â ýêâèâàëåíò-

íîé ñõåìå öåïè.

Ìåòîäû îáðàùåíèÿ ìàòðèöû óçëîâîé ïðîâîäèìîñòè. Ñ ïî-

ìîùüþ ýòèõ ìåòîäîâ ðåøåíèå ñèñòåìû (2.46) èùåòñÿ â âèäå

xAB

. (2.49)

Íà ðèñ. 2.23 èçîáðàæåíà ñõåìà àëãîðèòìà ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷å-

ñêîé öåïè ïî ìåòîäó îáðàùåíèÿ óçëîâîé ïðîâîäèìîñòè.

Êðîìå ìîäåëåé èíäóêòèâíûõ è åìêîñòíûõ ýëåìåíòîâ â âèäå

(1.8) è (1.11) â ïîñëåäíåå âðåìÿ â ïðîãðàììàõ ìàøèííîãî àíàëèçà

ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé íàøëè ïðèìåíåíèå äèñêðåòíûå ìîäåëè L- è

Ñ-ýëåìåíòîâ, îñíîâàííûå íà íåÿâíûõ ìåòîäàõ ÷èñëåííîãî èí-

òåãðèðîâàíèÿ [1]. Òàê, çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé x

â ñîîòâåòñòâèè ñ

íåÿâíîé ôîðìóëîé Ýéëåðà ìîæíî çàâèñàòü êàê

k = 1

Íà÷àëî

ik = + 1

;0;

ikkkik

maaa

ijij

a a ma

= -

bbmb

1kn

íåò

äà

íåò

nnn

xbain

==-

Âûâîä

1;0jis

=+=

ijj

ssax

äà

íåò

()

iii

Âûâîä

i 1

íåò

äà

Êîíåö

Ðèñ. 2.22

Ôîðìèðîâàíèå èñõîäíûõ

ìàòðèö

Íà÷àëî

Ââîä ñõåìû

A,G,E,J

Ôîðìèðîâàíèå ìàòðèöû

y 0 0

G AGA

Ôîðìèðîâàíèå ìàòðèöû

J A(JGE)

= -

Îáðàùåíèå ìàòðèöû

Îïðåäåëåíèå ìàòðèöû

y y y

V GJ

Îïðåäåëåíèå ìàòðèöû

0 y

V AV

Îïðåäåëåíèå ìàòðèöû

B B B

I G(V E)

= +

Êîíåö

Ðèñ. 2.22

à òàê êàê ñîãëàñíî (1.12) i

= Cdu

/dt, òî äëÿ òîêà i

â ìîìåíò

t = t

n +1

ìîæíî çàïèñàòü:

+++

=-=-

111

nnnnn

iuuGuGu

ãäå Dt = t

n+1

$ t

, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðåçèñòèâíîé ñõåìå çàìåùåíèÿ

åìêîñòíîãî ýëåìåíòà, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.23, à, ãäå G=C/Dt;

= Gu

Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü äèñêðåòíóþ ìîäåëü äëÿ ýëåìåíòà

èíäóêòèâíîñòè: