Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание
Подождите немного. Документ загружается.
31
u
ã
1
+
u
2
ã
+
u
n
ã
+
1
2
+
1
2
u
ãããã
= u + u + … u
12
-
n
Ðèñ. 1.15
G
1
u
i
à
)
i
1
G
2
i
2
G
n
i
n
L
1
u
i
á
)
i
1
L
2
i
2
L
n
i
n
C
1
u
i
â
)
i
1
C
2
i
2
C
n
i
n
Ðèñ. 1.16
ãäå
=
=
å
1
11
n
k
k
CC
. (1.24)
Òàêèì îáðàçîì, öåïü èç ï ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçè-
ñòèâíûõ, èíäóêòèâíûõ èëè åìêîñòíûõ ýëåìåíòîâ ìîæåò áûòü çàìå-
íåíà îäíèì ýêâèâàëåíòíûì ðåçèñòèâíûì, èíäóêòèâíûì èëè åì-
êîñòíûì ýëåìåíòîì ñ ïàðàìåòðàìè, îïðåäåëÿåìûìè ôîðìóëàìè
(1.22) $ (1.24). Ïðè÷åì, ïðè íàõîæäåíèè ýêâèâàëåíòíîãî ñîïðîòèâ-
ëåíèÿ èëè ýêâèâàëåíòíîé èíäóêòèâíîñòè íåîáõîäèìî ñóììèðîâàòü
ñîïðîòèâëåíèÿ è èíäóêòèâíîñòè îòäåëüíûõ ðåçèñòèâíûõ è èíäóê-
òèâíûõ ýëåìåíòîâ, à äëÿ íàõîæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíîé îáðàòíîé åì-
êîñòè $ ñóììèðîâàòü âåëè÷èíû, îáðàòíûå åìêîñòè îòäåëüíûõ åì-
êîñòíûõ ýëåìåíòîâ.  ÷àñòíîñòè, ïðè n = 2
(
)
=+
1212
CCCCC
. (1.25)
Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè íåçàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ íà-
ïðÿæåíèÿ îíè çàìåíÿþòñÿ îäíèì ýêâèâàëåíòíûì èñòî÷íèêîì íà-
ïðÿæåíèÿ ñ çàäàþùèì íàïðÿæåíèåì u
ã
, ðàâíûì àëãåáðàè÷åñêîé
ñóììå çàäàþùèõ íàïðÿæåíèé îòäåëüíûõ èñòî÷íèêîâ. Ïðè÷åì ñî
çíàêîì «+» áåðóòñÿ çàäàþùèå íàïðÿæåíèÿ, ñîâïàäàþùèå ñ çà-
äàþùèì íàïðÿæåíèåì ýêâèâàëåíòíîãî èñòî÷íèêà, à ñî çíàêîì «$» $
íåñîâïàäàþùèå (ðèñ. 1.15).
Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòîâ. Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäè-
íåíèè ýëåìåíòîâ ñîãëàñíî ÇÍÊ ê íèì áóäåò ïðèëîæåíî îäíî è òî
æå íàïðÿæåíèå (ðèñ. 1.16). Ñîãëàñíî ÇÒÊ äëÿ òîêà êàæäîé èç
ñõåì, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 1.16, ìîæíî çàïèñàòü
=
=
å
1
n
k
k
ii
. (1.26)
32
Íà îñíîâàíèè ýòîãî, óðàâíåíèÿ ñ ó÷åòîì ôîðìóë (1.6), (1.9) è
(1.12) ïîëó÷àåì:
äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ðåçèñòèâíûõ ýëåìåíòîâ
=
==
å
1
n
k
k
iuGuG
,
ãäå
=
=
å
1
n
k
k
GG
; (1.27)
äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ åìêîñòíûõ ýëåìåíòîâ
1
n
k
k
dudu
iCC
dtdt
=
==
å
,
ãäå
1
n
k
k
CC
=
=
å
; (1.28)
äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ èíäóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ
=
==
å
òò
1
11
n
k
k
iudtudt
LL
,
ãäå
=
=
å
1
11
n
k
k
LL
. (1.29)
Ñëåäîâàòåëüíî, öåïü èç ï ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòèâ-
íûõ, èíäóêòèâíûõ èëè åìêîñòíûõ ýëåìåíòîâ ìîæíî çàìåíèòü îä-
íèì ýêâèâàëåíòíûì ðåçèñòèâíûì, èíäóêòèâíûì èëè åìêîñòíûì
ýëåìåíòîì ñ ïàðàìåòðàìè, îïðåäåëÿåìûìè ôîðìóëàìè (1.27)%
(1.29).
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ðåçèñòèâíûõ, åì-
êîñòíûõ è èíäóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ äëÿ íàõîæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíûõ
ïðîâîäèìîñòåé è åìêîñòè öåïè ïðîâîäèìîñòè èëè åìêîñòè îò-
äåëüíûõ ýëåìåíòîâ ñêëàäûâàþòñÿ. Ýêâèâàëåíòíàÿ îáðàòíàÿ èí-
äóêòèâíîñòü öåïè íàõîäèòñÿ ñóììèðîâàíèåì îáðàòíûõ èíäóêòèâíî-
ñòåé îòäåëüíûõ èíäóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ.  ÷àñòíîñòè, ïðè ï = 2
(
)
(
)
=+=+
12121212
;
RRRRRLLLLL
. (1.30)
Ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûå íåçàâèñèìûå èñòî÷íèêè òîêà ìîæíî
çàìåíèòü îäíèì ýêâèâàëåíòíûì èñòî÷íèêîì òîêà ñ çàäàþùèì òî-
êîì, ðàâíûì àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå çàäàþùèõ òîêîâ îòäåëüíûõ èñ-
òî÷íèêîâ. Ïðè÷åì ñî çíàêîì «+» áåðóòñÿ çàäàþùèå òîêè, ñî-
âïàäàþùèå ïî íàïðàâëåíèþ ñ çàäàþùèì òîêîì ýêâèâàëåíòíîãî èñ-
òî÷íèêà, à ñî çíàêîì «$» $ íå ñîâïàäàþùèå (ðèñ. 1.17).
Ïðè ðàñ÷åòå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ÷àñòî âîçíèêàåò íåîáõîäè-
ìîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè u
ã
è
33
i
ã
1
i
ãããã
= i i + … + i
12
-
n
i
2
ã
i
n
ã
1
2
1
2
Ðèñ. 1.17
R
ã
(ñì. ðèñ. 1.5, ä) â ýêâèâàëåíòíûé èñòî÷íèê òîêà ñ ïàðàìåòðàìè
i
ã
è G
ã
(ñì. ðèñ. 1.5, å), èëè íàîáîðîò $ ïðåîáðàçîâàíèå èñòî÷íèêà
òîêà â ýêâèâàëåíòíûé èñòî÷íèê íàïðÿæåíèÿ. Ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ
îñóùåñòâëÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè
==
ããããã
;1
iuRGR
, (1.31)
êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç ÇÍÊ è ÇÒÊ äëÿ ñõåìû íà
ðèñ. 1.5, ä, å è ïðèíöèïà ýêâèâàëåíòíîñòè.
1.6. Ïðèíöèï íàëîæåíèÿ
Ïðèíöèï íàëîæåíèÿ (ñóïåðïîçèöèè) èìååò âàæíåéøåå çíà÷åíèå
â òåîðèè ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. Ïîäàâëÿþùåå ÷èñëî ìå-
òîäîâ àíàëèçà ëèíåéíûõ öåïåé áàçèðóåòñÿ íà ýòîì ïðèíöèïå. Åñëè
ðàññìàòðèâàòü íàïðÿæåíèÿ è òîêè èñòî÷íèêîâ êàê çàäàþùèå âîç-
äåéñòâèÿ, à íàïðÿæåíèå è òîêè â îòäåëüíûõ âåòâÿõ öåïè êàê ðå-
àêöèþ (îòêëèê) öåïè íà ýòè âîçäåéñòâèÿ, òî ïðèíöèï íàëîæåíèÿ
ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ðåàêöèÿ ëèíåéíîé
öåïè íà ñóììó âîçäåéñòâèé ðàâíà ñóììå ðåàêöèé îò êàæäîãî
âîçäåéñòâèÿ â îòäåëüíîñòè.
Ïðèíöèï íàëîæåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ íàõîæäåíèÿ ðå-
àêöèè â ëèíåéíîé öåïè, íàõîäÿùåéñÿ êàê ïîä âîçäåéñòâèåì íå-
ñêîëüêèõ èñòî÷íèêîâ, òàê è ïðè ñëîæíîì ïðîèçâîëüíîì âîçäåéñò-
âèè îäíîãî èñòî÷íèêà.
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà â ëèíåéíîé öåïè äåéñòâóåò
íåñêîëüêî èñòî÷íèêîâ.  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì íàëîæåíèÿ äëÿ
íàõîæäåíèÿ òîêà i èëè íàïðÿæåíèÿ è â çàäàííîé âåòâè îñóùåñòâèì
ïîî÷åðåäíîå âîçäåéñòâèå êàæäûì èñòî÷íèêîì è íàéäåì ñîîòâåòñò-
âóþùèå ÷àñòíûå ðåàêöèè i
k
è u
k
íà ýòè âîçäåéñòâèÿ. Òîãäà ðåçóëü-
òèðóþùàÿ ðåàêöèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì íàëîæåíèÿ îïðåäå-
ëèòñÿ êàê
==
==
åå
11
;
nn
kk
kk
iiuu
, (1.32)
ãäå ï $ îáùåå ÷èñëî èñòî÷íèêîâ.
Åñëè â ëèíåéíîé öåïè ïðèëîæåíî íàïðÿæåíèå ñëîæíîé ôîðìû,
ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà íàëîæåíèÿ ïîçâîëÿåò ïîñëå ðàçëîæåíèÿ ýòî-
34
1
¢
Ëèíåéíàÿ
öåïü
2
¢
1
2
xt
()
yt
()
Ðèñ. 1.18
ãî âîçäåéñòâèÿ íà ñóììó ïðîñòåéøèõ íàé-
òè ðåàêöèþ öåïè íà êàæäîå èç íèõ â
îòäåëüíîñòè ñ ïîñëåäóþùèì íàëîæåíèåì
ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ. Ñëåäóåò îòìå-
òèòü, ÷òî ïðèíöèï íàëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ
ñëåäñòâèåì ëèíåéíîñòè óðàâíåíèé, êîòî-
ðûå îïèñûâàþò öåïü, ïîýòîìó åãî ìîæíî
ïðèìåíèòü ê ëþáûì ôèçè÷åñêèì âåëè÷èíàì, êîòîðûå ñâÿçàíû ìåæ-
äó ñîáîé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ (íàïðèìåð, òîê è íàïðÿæåíèå). Â
òî æå âðåìÿ ýòîò ïðèíöèï íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü ïðè âû÷èñëåíèè
ìîùíîñòè, òàê êàê îíà ñâÿçàíà ñ íàïðÿæåíèåì è òîêîì êâàäðàòè÷-
íîé çàâèñèìîñòüþ (1.7).
Ïðèíöèï íàëîæåíèÿ ëåæèò â îñíîâå áîëüøèíñòâà âðåìåííûõ è
÷àñòîòíûõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà ëèíåéíûõ öåïåé, êîòîðûå ðàññìàò-
ðèâàþòñÿ â ïîñëåäóþùèõ ãëàâàõ.  îòëè÷èå îò ëèíåéíûõ äëÿ íå-
ëèíåéíûõ öåïåé ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè íåïðèìåíèì $ è ýòî îá-
ñòîÿòåëüñòâî ÷àñòî ñëóæèò êðèòåðèåì îöåíêè ëèíåéíîñòè èëè íå-
ëèíåéíîñòè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.
Äëÿ îöåíêè ëèíåéíîñòè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïîäàäèì íà åå âõîä
âîçäåéñòâèå x(t) â âèäå íàïðÿæåíèÿ èëè òîêà (ðèñ. 1.18) è áóäåì
íàáëþäàòü ðåàêöèþ y(t) íà âûõîäå. Åñëè ïðè âîçäåéñòâèè kx (t)
(ãäå k $ âåùåñòâåííîå ÷èñëî) ðåàêöèÿ ðàâíà ky(t), òî äàííàÿ öåïü
áóäåò ëèíåéíîé. Åñëè òàêîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè íåò, òî öåïü ÿâ-
ëÿåòñÿ íåëèíåéíîé.
Ìíîãèå íåëèíåéíûå öåïè â ðåæèìå ìàëûõ ñèãíàëîâ òàêæå ìîãóò
ñ÷èòàòüñÿ ëèíåéíûìè è ê íèì ìîæåò áûòü ïðèìåíåí ïðèíöèï ñóïåð-
ïîçèöèè. Âñå ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î ÷ðåçâû÷àéíî âàæíîì ìåñòå, êîòî-
ðûé çàíèìàåò ïðèíöèï íàëîæåíèÿ â òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.
Áîëüøàÿ ÷àñòü ðàäèîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ è ñèñòåì îòíîñèòñÿ
ê êëàññó ëèíåéíûõ öåïåé: ýòî óñèëèòåëè, ôèëüòðû, êîððåêòîðû,
èíòåãðàòîðû, äèôôåðåíöèàòîðû, äðóãèå öåïè, ïðåäíàçíà÷åííûå
äëÿ ëèíåéíîé îáðàáîòêè ñèãíàëîâ.  òî æå âðåìÿ èìååòñÿ çíà÷è-
òåëüíîå êîëè÷åñòâî óñòðîéñòâ, êîòîðûå íåëüçÿ îòíåñòè ê êëàññó
ëèíåéíûõ öåïåé è äëÿ èõ àíàëèçà íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ñïåöè-
àëüíûå ìåòîäû (ñì. ãë. 10, 11, 15).
1.7. Òåîðåìà çàìåùåíèÿ
Ïðè îáîñíîâàíèè íåêîòîðûõ ìåòîäîâ àíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öå-
ïåé èñïîëüçóåòñÿ òåîðåìà çàìåùåíèÿ, êîòîðóþ ìîæíî ñôîðìó-
ëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: çíà÷åíèå âñåõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé
â öåïè íå èçìåíèòñÿ, åñëè ëþáóþ âåòâü öåïè ñ íàïðÿæåíèåì è è
òîêîì i (ðèñ. 1.19, à) çàìåíèòü èñòî÷íèêîì íàïðÿæåíèÿ ñ çà-
äàþùèì íàïðÿæåíèåì u
ã
= u (ðèñ. 1.19, á) èëè èñòî÷íèêîì òîêà ñ
çàäàþùèì òîêîì i
ã
(ðèñ. 1.19, â).
35
Ýëåêòðè÷åñêàÿ
öåïü
0
1
u
Ã
i
u
R
à
)
Ýëåêòðè÷åñêàÿ
öåïü
0
1
i
á
)
+
u
1
Ýëåêòðè÷åñêàÿ
öåïü
0
1
ã
)
+
R
2
3
u
2
+
Ýëåêòðè÷åñêàÿ
öåïü
0
â
)
1
i
Ã
Ðèñ. 1.19
Äîêàæåì ýòó òåîðåìó íà ïðèìåðå èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ
(ðèñ. 1.19, á). Äëÿ ýòîãî âêëþ÷èì â âåòâü ñ R (ðèñ. 1.19, à) äâà
èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ ñ çàäàþùèì íàïðÿæåíèåì u
1
= u
2
= Ri è
íàïðàâëåííûå íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó (ðèñ. 1.19, ã).
Ïðèíÿâ ïîòåíöèàë óçëà V
0
= 0, íàéäåì ïîòåíöèàëû óçëîâ V
3
,
V
2
,
V
1
:
==-=-==+=
3232121
,0;
VRiVVuRiRiVVuRi
.
Òàêèì îáðàçîì, ïîòåíöèàë óçëà I â ñõåìå ðèñ. 1.19, à è â ñõåìå
ðèñ. 1.19, ã îêàçûâàåòñÿ îäèíàêîâûì. À òàê êàê V
2
= 0 è V
0
= 0,
òî çàêîðà÷èâàÿ èõ ìåæäó ñîáîé, ïðèõîäèì ê ñõåìå ðèñ. 1.19, á, ÷òî
è äîêàçûâàåò òåîðåìó. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ è òåîðåìà çàìå-
ùåíèÿ èñòî÷íèêîì òîêà (ðèñ. 1.19, â).
Òåîðåìà çàìåùåíèÿ ñïðàâåäëèâà êàê ïî îòíîøåíèþ ê ëèíåéíûì,
òàê è íåëèíåéíûì öåïÿì, òàê êàê ïðè åå äîêàçàòåëüñòâå íå íàêëà-
äûâàåòñÿ íà âûäåëåííóþ âåòâü íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé, êðîìå òîãî,
÷òî îíà îáìåíèâàåòñÿ ýíåðãèåé ñ îñòàëüíîé ÷àñòüþ öåïè òîëüêî ÷å-
ðåç çàæèìû 1$0 ñ ïîìîùüþ òîêà i.
1.8. Òåîðåìà îá àêòèâíîì äâóõïîëþñíèêå
Òåîðåìà îá àêòèâíîì äâóõïîëþñíèêå èñïîëüçóåòñÿ îáû÷íî â ñëó-
÷àå, êîãäà íàäî íàéòè ðåàêöèþ öåïè (òîê èëè íàïðÿæåíèå) â îäíîé
âåòâè. Ïðè ýòîì óäîáíî âñþ îñòàëüíóþ ÷àñòü öåïè, ê êîòîðîé ïîä-
êëþ÷åíà äàííàÿ âåòâü, ðàññìàòðèâàòü â âèäå äâóõïîëþñíèêà (íà
ðèñ. 1.20, à) ïîêàçàíà ðåçèñòèâíàÿ âåòâü). Äâóõïîëþñíèê íàçûâàþò
àêòèâíûì, åñëè îí ñîäåðæèò èñòî÷íèêè ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè, è
ïàññèâíûì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Íà ðèñóíêàõ àêòèâíûé äâóõïî-
ëþñíèê áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâîé À, à ïàññèâíûé $ Ï. Áîëåå ïîäðîá-
íî îïðåäåëåíèå è îáùàÿ òåîðèÿ äâóõïîëþñíèêîâ èçëàãàåòñÿ â ãë. 4.
36
À
a
)
R
i
R
i
u
ã
= u
õõ
+
RR
ãý
=
á
)
R
i
â
)
Ðèñ. 1.20
À
á
)
R
+
u
ã
1
= u
õõ
+
u
ã
2
= u
õõ
i
À
a
)
R
u
õõ
i =
0
Ðèñ. 1.21
Ðàçëè÷àþò äâå ìîäèôèêàöèè òåîðåìû îá àêòèâíîì äâóõïîëþñ-
íèêå: òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîì èñòî÷íèêå íàïðÿæåíèÿ (òåîðåìà
Òåâåíèíà) è òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîì èñòî÷íèêå òîêà (òåîðåìà
Íîðòîíà).
Òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîì èñòî÷íèêå íàïðÿæåíèÿ. Ñîãëàñíî
òåîðåìå Òåâåíèíà òîê â ëþáîé âåòâè ëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öå-
ïè íå èçìåíèòñÿ, åñëè àêòèâíûé äâóõïîëþñíèê, ê êîòîðîìó ïîä-
êëþ÷åíà äàííàÿ âåòâü, çàìåíèòü ýêâèâàëåíòíûì èñòî÷íèêîì
(ãåíåðàòîðîì) íàïðÿæåíèÿ ñ çàäàþùèì íàïðÿæåíèåì, ðàâíûì
íàïðÿæåíèþ õîëîñòîãî õîäà íà çàæèìàõ ðàçîìêíóòîé âåòâè è
âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì, ðàâíûì ýêâèâàëåíòíîìó âõîäíîìó
ñîïðîòèâëåíèþ ïàññèâíîãî äâóõïîëþñíèêà ñî ñòîðîíû ðàçîìê-
íóòîé âåòâè (ðèñ. 1.20, á).
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîé òåîðåìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî öåïü íå ñî-
äåðæèò çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ. Òîãäà, ðàçîìêíóâ âåòâü ñ ýëåìåíòîì
R, îïðåäåëèì ðàñ÷åòíûì èëè ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïóòåì íàïðÿæå-
íèå õîëîñòîãî õîäà u
xx
(ðèñ. 1.21, à). Çàòåì âêëþ÷èì â ýòó âåòâü
íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó äâà èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ ñ çàäàþùèì íà-
ïðÿæåíèåì u
ã
= u
xx
(ðèñ. 1.21, á). Òîê â âåòâè ñ R ïðè ýòîì
(ðèñ. 1.21, á) íå èçìåíèòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ òîêîì i â èñõîäíîé
ñõåìå (ðèñ. 1.20, à). Ðåçóëüòèðóþùèé òîê â âûäåëåííîé âåòâè íàé-
äåì â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì íàëîæåíèÿ: i = i
A
+ i
1
+ i
2
, ãäå
i
A
$ ÷àñòè÷íûé òîê, îáóñëîâëåííûé àêòèâíûì äâóõïîëþñíèêîì;
i
1
$ òîê, îáóñëîâëåííûé äåéñòâèåì èñòî÷íèêà u
ã1
; i
2
$ òîê, îáó-
ñëîâëåííûé äåéñòâèåì èñòî÷íèêà u
ã2
. Îäíàêî íàïðÿæåíèå àê-
òèâíîãî äâóõïîëþñíèêà è çàäàþùåå u
ã2
äåéñòâóåò íàâñòðå÷ó äðóã
äðóãó, ïîýòîìó i
A
+ i
2
= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, òîê â öåïè i = i
1
áóäåò
37
îáóñëîâëåí òîëüêî äåéñòâèåì èñòî÷íèêà ñ u
ã1
= u
xx
(ñì.
ðèñ. 1.20, á). ×àñòè÷íûé òîê i
1
ìîæåò áûòü íàéäåí, åñëè ïîëîæèòü
âñå çàäàþùèå íàïðÿæåíèÿ è òîêè àêòèâíîãî äâóõïîëþñíèêà ðàâ-
íûìè íóëþ. Ïîëó÷èâøèéñÿ ïðè ýòîì ïàññèâíûé äâóõïîëþñíèê
ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóåòñÿ ñâîèì ýêâèâàëåíòíûì ñîïðîòèâëåíèåì
R
ý
= R
ã
îòíîñèòåëüíî âûäåëåííûõ çàæèìîâ. Òàêèì îáðàçîì, ïðè-
õîäèì ê ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1.20, á è òåîðåìà äîêàçàíà.
Òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîì èñòî÷íèêå òîêà (òåîðåìà Íîðòîíà):
òîê â ëþáîé âåòâè ëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè íå èçìåíèòñÿ,
åñëè àêòèâíûé äâóõïîëþñíèê, ê êîòîðîìó ïîäêëþ÷åíà äàííàÿ
âåòâü, çàìåíèòü ýêâèâàëåíòíûì èñòî÷íèêîì òîêà ñ çàäàþùèì
òîêîì, ðàâíûì òîêó êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ ýòîé âåòâè, è âíóò-
ðåííåé ïðîâîäèìîñòüþ, ðàâíîé ýêâèâàëåíòíîé âõîäíîé ïðîâîäè-
ìîñòè ñî ñòîðîíû ðàçîìêíóòîé âåòâè (ñì. ðèñ. 1.20, â).
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ïðîùå âñåãî îñóùåñòâèòü ïóòåì
ïðåîáðàçîâàíèÿ ýêâèâàëåíòíîãî èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ (ñì.
ðèñ. 1.20, á) â ýêâèâàëåíòíûé èñòî÷íèê òîêà (ðèñ. 1.20, â) ñ ïàðà-
ìåòðàìè
===
ãããêçõõ ã
1;
GRiiuG
, (1.33)
ãäå i
êç
$ òîê êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé âåòâè.
Èç (1.33) ñëåäóåò ôîðìóëà, êîòîðóþ ìîæíî ïîëîæèòü â îñíîâó
ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ïàññèâíîãî äâóõïî-
ëþñíèêà:
===
ý ããõõêç
1
RRGui
. (1.34)
Òåîðåìà îá àêòèâíîì äâóõïîëþñíèêå ñóùåñòâåííî óïðîùàåò
ðàñ÷åò ñëîæíîé öåïè, òàê êàê ïîçâîëÿåò åå ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðî-
ñòåéøåé ñõåìû ýêâèâàëåíòíîãî èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ èëè òîêà ñ
êîíå÷íûì âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì R
ã
èëè âíóòðåííåé ïðîâî-
äèìîñòüþ G
ã
.  îòëè÷èå îò èäåàëüíûõ èñòî÷íèêîâ íàïðÿæåíèÿ è
òîêà (ñì. § 1.2) íàïðÿæåíèå è òîê ýòèõ èñòî÷íèêîâ çàâèñÿò îò ñî-
ïðîòèâëåíèÿ R âåòâè.
Òåîðåìà îá àêòèâíîì äâóõïîëþñíèêå ñïðàâåäëèâà è äëÿ ñëó÷àÿ,
êîãäà ïîñëåäíèé ñîäåðæèò çàâèñèìûå èñòî÷íèêè ñ îãðàíè÷åííûìè
çàäàþùèìè íàïðÿæåíèÿìè è òîêàìè. Ïðè ýòîì ïðè íàõîæäåíèè
ïàðàìåòðîâ ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðà ñëåäóåò ïîëîæèòü ðàâíûìè
íóëþ çàäàþùèå íàïðÿæåíèÿ è òîêè ëèøü íåçàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ.
1.9. Ïðèíöèï äóàëüíîñòè
Àíàëèç óðàâíåíèé äëÿ íàïðÿæåíèé è òîêîâ, ïîëó÷åííûõ â ïðå-
äûäóùèõ ðàçäåëàõ, ïîçâîëÿåò ñôîðìóëèðîâàòü âàæíûé ïðèíöèï
òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé $ ïðèíöèï äóàëüíîñòè (äâîéñòâåííî-
ñòè). Ýòîò ïðèíöèï ãëàñèò: åñëè äëÿ äàííîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè
38
Òàáëèöà 1.2
Ïîíÿòèÿ
Èñõîäíûå Äóàëüíûå
Íàïðÿæåíèå u
Ñîïðîòèâëåíèå R
Èíäóêòèâíîñòü L
Çàäàþùåå íàïðÿæåíèå u
ã
Òîê i
Ïðîâîäèìîñòü G
Åìêîñòü Ñ
Çàäàþùèé òîê i
ã
ÇÒÊ:
=
å
0
k
k
i
==;
RL
di
uRiuL
dt
=
ò
1
C
uidt
C
Òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîì ãåíåðà-
òîðå íàïðÿæåíèÿ
ÇÍÊ:
=
å
0
k
k
u
==;
RC
du
iGuuC
dt
=
ò
1
L
iudt
L
Òåîðåìà îá ýêâèâàëåíòíîì ãåíåðàòî-
ðå òîêà
Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå
=
å
k
k
RR
=
å
k
k
LL
=
å
11
k
k
CC
Ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå
=
å
k
k
GG
=
å
k
k
CC
=
å
11
k
k
LL
ñïðàâåäëèâû íåêîòîðûå çàêîíû, óðàâíåíèÿ èëè ñîîòíîøåíèÿ, òî
îíè áóäóò ñïðàâåäëèâû è äëÿ äóàëüíûõ âåëè÷èí â äóàëüíîé öåïè.
Ýòîò ïðèíöèï ïðîÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, â ñõîäñòâå çàêîíîâ èçìåíå-
íèÿ íàïðÿæåíèÿ â îäíîé öåïè è çàêîíîâ èçìåíåíèÿ òîêîâ â äðóãîé
öåïè (äóàëüíîé). Òàáë. 1.2 èëëþñòðèðóåò äâîéñòâåííûé õàðàêòåð
îñíîâíûõ çàêîíîâ è ñîîòíîøåíèé â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ.
Èñïîëüçîâàíèå ïðèíöèïà äóàëüíîñòè â ðÿäå ñëó÷àåâ ïîçâîëÿåò
ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ðàñ÷åò. Òàê, åñëè íàéäåíû óðàâíåíèÿ äëÿ
îäíîé öåïè, òî èñïîëüçóÿ äóàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ ìîæíî ñðàçó çà-
ïèñàòü çàêîíû èçìåíåíèÿ äóàëüíûõ âåëè÷èí â äóàëüíîé öåïè.
1.10. Òåîðåìà Òåëëåäæåíà. Áàëàíñ ìîùíîñòè
Òåîðåìà Òåëëåäæåíà ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç íàèáîëåå îáùèõ òåîðåì
òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. Ðàññìîòðèì ãðàô ïðîèçâîëüíîé ýëåê-
òðè÷åñêîé öåïè, ñîäåðæàùåé n
â
âåòâåé è n
ó
óçëîâ. Äëÿ ñî-
ãëàñîâàííûõ íàïðàâëåíèé íàïðÿæåíèé è òîêîâ âåòâåé òåîðåìà
Òåëëåäæåíà ãëàñèò: ñóììà ïðîèçâåäåíèé íàïðÿæåíèé u
k
è òîêîâ
i
k
âñåõ âåòâåé ãðàôà, óäîâëåòâîðÿþùèõ çàêîíàì Êèðõãîôà, ðàâ-
íà íóëþ.
39
R
1
i
1
i
2
R
3
i
3
L
1
u
4
u
3
u
ã
1
+
i
4
i
5
u
5
u
1
R
2
1
2
3
u
2
C
1
4
R
4
i
1
i
2
i
3
u
4
u
3
u
ã
1
+
i
4
u
1
R
2
1
3
u
2
2
4
i
ã
Ðèñ. 1.22 Ðèñ. 1.23
=
=
å
â
1
0
n
kk
k
ui
. (1.35)
Äîêàæåì ýòó òåîðåìó íà ïðèìåðå öåïè, èçîáðàæåííîé íà
ðèñ. 1.22. Ñîñòàâèì ñóììó ïðîèçâåäåíèé u
k
i
k
äëÿ êàæäîé èç âåòâåé:
(
)
-+
=++++
å
ã11
122334455
kk
k
uu
uiiuiuiuiui
.
Ñîãëàñíî ÇÍÊ äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ: $u
ã
+ u
1
= $u
2
;
u
3
= u
2
$u
4
; u
4
= u
5
. Ïîýòîìó ðàâåíñòâî (1.35) ìîæíî ïåðåïèñàòü â
ôîðìå
( ) ( )
=-++-++=
=+-++-=
å
212223434445
22314453
0,
kk
k
uiuiuiuiuiuiui
uiiiuiii
òàê êàê âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå â ñêîáêàõ, ðàâíû íóëþ ñîãëàñíî ÇÒÊ,
÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó. Íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïîñêîëüêó
òåîðåìà Òåëëåäæåíà ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî èç çàêîíîâ Êèðõãî-
ôà, òî îíà ñïðàâåäëèâà äëÿ ëþáûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé: ëèíåéíûõ
è íåëèíåéíûõ, àêòèâíûõ è ïàññèâíûõ; öåïåé, ïàðàìåòðû êîòîðûõ
èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè (ïàðàìåòðè÷åñêèõ öåïåé).  îáùåì ñëó÷àå
ýòà òåîðåìà ñïðàâåäëèâà è äëÿ ñëó÷àÿ ïîïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé u
k
è
i
l
ðàçíûõ âåòâåé, åñëè äëÿ íèõ âûïîëíÿþòñÿ ÇÍÊ è ÇÒÊ.
Èç òåîðåìû Òåëëåäæåíà âûòåêàåò ðÿä ñëåäñòâèé, âàæíåéøèì èç
êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ áàëàíñ ìîùíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ïðîèçâåäåíèå
u
k
i
k
ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.5) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìãíîâåííóþ ìîù-
íîñòü p
k
k-âåòâè, ïîýòîìó â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.35) àëãåáðàè÷åñêàÿ
ñóììà ìîùíîñòåé âñåõ âåòâåé öåïè ðàâíÿåòñÿ íóëþ. Åñëè â (1.35)
âûäåëèòü âåòâè ñ íåçàâèñèìûìè èñòî÷íèêàìè, òî áàëàíñ ìîùíîñòè
ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà
ìîùíîñòåé, îòäàâàåìûõ íåçàâèñèìûìè èñòî÷íèêàìè, ðàâíÿåòñÿ
àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ìîùíîñòåé, ïîòðåáëÿåìûõ îñòàëüíûìè
âåòâÿìè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.
Ïðèìåð. Ñîñòàâèòü áàëàíñ ìîùíîñòè äëÿ öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1.23.
Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ìãíîâåííûõ ìîùíîñòåé, ðàçâèâàåìûõ èñòî÷íèêàìè íà-
40
R
4
R
2
c
d
b
b
R
1
R
3
R
5
a
b
R
4
i
1
i
2
i
3
u
ã
1
+
i
4
R
2
1
3
2
4
i
ã
R
1
R
3
u
34
Ðèñ. 1.24 Ðèñ. 1.25
ïðÿæåíèÿ è òîêà p
èñò
= u
ã1
i
1
+ u
34
i
ã
. Ïîòðåáëÿåìàÿ ìîùíîñòü ñ ó÷åòîì çàêîíà
Îìà
=+++=+++
2222
ïîò1122334411223344
puiuiuiuiRiRiRiRi
.
 ñîîòâåòñòâèè ñ áàëàíñîì ìîùíîñòåé
=
èñòïîò
pp
.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè p
èñò
ïðîèçâåäåíèå u
ã
i
áåðåòñÿ ñî çíàêîì «+», åñëè íàïðàâëåíèÿ çàäàþùåãî íàïðÿæåíèÿ u
ã
è òîêà i íàïðàâëåíû íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó, è ñî çíàêîì «$» â ïðî-
òèâíîì ñëó÷àå. Àíàëîãè÷íîå ïðàâèëî çíàêîâ äëÿ èñòî÷íèêîâ òîêà:
åñëè íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ èñòî÷íèêà íàïðàâëåíî íàâñòðå÷ó çà-
äàþùåìó òîêó i
ã
, áåðåòñÿ çíàê «+», à åñëè íàïðÿæåíèå ñîâïàäàåò ñ
òîêîì $ çíàê «$». Áàëàíñ ìîùíîñòè âûðàæàåò íå ÷òî èíîå, êàê çà-
êîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.
Âîïðîñû è çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè
1. ×òî íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì, íàïðÿæåíèåì, ìîùíîñòüþ,
ýíåðãèåé?
2. Äàòü îïðåäåëåíèÿ àêòèâíûõ è ïàññèâíûõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷å-
ñêîé öåïè.
3. Äàòü îïðåäåëåíèÿ çàâèñèìûõ è íåçàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ ýëåê-
òðè÷åñêîé ýíåðãèè è ïðèâåñòè ïðèìåðû òåõ è äðóãèõ.
4.  ÷åì ñóòü ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè? Äëÿ êàêèõ ýëåêòðè÷åñêèõ
öåïåé îí ïðèìåíèì?
5.  ÷åì ñóòü òåîðåìû çàìåùåíèÿ? Äëÿ êàêèõ öåïåé îíà ïðèìå-
íèìà?
6.  ÷åì ñóòü òåîðåìû îá àêòèâíîì äâóõïîëþñíèêå? Êàêèå âåëè÷è-
íû ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðàìè ýêâèâàëåíòíîãî èñòî÷íèêà íàïðÿæå-
íèÿ, ýêâèâàëåíòíîãî èñòî÷íèêà òîêà?
7. ×òî îòðàæàåò áàëàíñ ìîùíîñòåé â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè? Ìîãóò
ëè íå ñîâïàäàòü çíà÷åíèÿ ìîùíîñòåé, îòäàâàåìûõ èñòî÷íèêàìè â
öåïü è ïîòðåáëÿåìûõ ýëåìåíòàìè öåïè?