Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание

Подождите немного. Документ загружается.

ïðè ïîäà÷å u

íà âõîä 2 íàïðÿæåíèå u

ìåíÿåò ñâîþ ïîëÿðíîñòü íà

ïðîòèâîïîëîæíóþ.

Èäåàëüíûé ÎÓ (ðèñ. 1.8, á) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÈÍÓÍ ñ áåñ-

êîíå÷íî áîëüøèì êîýôôèöèåíòîì óñèëåíèÿ (H

® ¥), áåñêîíå÷íî

áîëüøèìè âõîäíûì ñîïðîòèâëåíèåì è âûõîäíîé ïðîâîäèìîñòüþ

(âûõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå ðàâíî íóëþ).

Ðåàëüíûé ÎÓ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ÈÍÓÍà ñ êîíå÷íûìè

âõîäíûì R

âõ

è âûõîäíûì R

âûõ

ñîïðîòèâëåíèÿìè (ðèñ. 1.8, â).

Êðîìå ÎÓ â êà÷åñòâå àêòèâíûõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ýëåêòðîííûå è ïîëóïðîâîäíèêî-

âûå ïðèáîðû: ýëåêòðîííûå ëàìïû, áèïîëÿðíûå è ïîëåâûå òðàíçèñ-

òîðû è äð.

Íà ðèñ. 1.9, à ïðèâåäåíà ýëåêòðîííàÿ ëàìïà (òðèîä) è åå ìîäåëè

(ýêâèâàëåíòíûå ñõåìû çàìåùåíèÿ) â ôîðìå ÈÒÓÍ (ðèñ. 1.9, á) è

ÈÍÓÍ (ðèñ. 1.9, â), ãäå îáîçíà÷åíû G

= 1|R

, $ âíóòðåííÿÿ ïðî-

âîäèìîñòü ëàìïû, S = di

|du $ êðóòèçíà; m = SR

, $ êîýôôèöèåíò

óñèëåíèÿ ëàìïû. Ïàðàìåòðû G

, S, m îáû÷íî ïðèâîäÿòñÿ â ñïðà-

âî÷íèêàõ. Ýòè ýêâèâàëåíòíûå ñõåìû ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè è ìîãóò

èñïîëüçîâàòüñÿ â îáëàñòè íèçêèõ ÷àñòîò. Â íåëèíåéíîì ðåæèìå ðà-

áîòû àêòèâíîãî ýëåìåíòà èñïîëüçóþòñÿ áîëåå ñëîæíûå ìîäåëè (ñì.

ãë. 10, 11). Â îáëàñòè âûñîêèõ ÷àñòîò â ìîäåëÿõ àêòèâíûõ ýëåìåí-

òîâ ïîÿâëÿþòñÿ êðîìå ðåçèñòîðîâ, ðåàêòèâíûå ýëåìåíòû $ îáû÷íî

åìêîñòü (ñì. òàáë. 1.1).

)

Ðèñ. 1.9

)

âõ

)

Ðèñ. 1.10

Óðàâíåíèå ìîäåëè

= =

R d

;

K 22 12

;

= =

11 12

;

R R

di d

= =

21 22

;

R R

Ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà â

îáëàñòè Â÷

KÑ

ÀÑ

$ åìêîñòü àíîä-

ñåòêà

ÑÊ

$ åìêîñòü ñåòêà-

êàòîä

ÀÊ

$ åìêîñòü àíîä-

êàòîä

$ åìêîñòü êîëëåê-

òîðà

Ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà â

îáëàñòè Í÷

Îáîçíà÷åíèå íà ñõåìå

À $ àíîä

Ê $ êàòîä

Ñ $ ñåòêà

Á $ áàçà

Ê $ êîëëåêòîð

Ý $ ýìèòòåð

Òàáëèöà 1.1

Òèï àêòèâíîãî

ýëåìåíòà

Òðèîä

Áèïîëÿðíûé

òðàíçèñòîð

(ÎÁ)

Óðàâíåíèå ìîäåëè

- a

;

(

)

(

)

ÑÈ

Ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà â

îáëàñòè Â÷

ÑÈ

ÇÈ

ÇÑ

ÇÈ

$ åìêîñòü çàòâîð-

èñòîê

ÇÑ

$ åìêîñòü çàòâîð-

ñòîê

ÑÈ

$ åìêîñòü ñòîê-èñ-

òîê

Ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà â

îáëàñòè Í÷

ÑÈ

Îáîçíà÷åíèå íà ñõåìå

Ç $ çàòâîð

È $ èñòîê

Ñ $ ñòîê

Îêîí÷àíèå òàáë. 1.1

Òèï àêòèâíîãî

ýëåìåíòà

Áèïîëÿðíûé

ð-n-p òðàíçèñòîð

(ÎÝ)

Ïîëåâîé òðàíçè-

ñòîð ñ êàíàëîì

n-òèïà

Áèïîëÿðíûé òðàíçèñòîð p-n-p òèïà èìååò ìîäåëü àíàëîãè÷íóþ p-n-p.

Ïîëåâîé òðàíçèñòîð ñ p-êàíàëîì èìååò ìîäåëü àíàëîãè÷íóþ êàíàëà n-òèïà.

Òðàíçèñòîðû, êàê ïðàâèëî, èìåþò áîëåå ñëîæíóþ ñòðóêòóðó,

÷åì ëàìïû è îïèñûâàþòñÿ â çàâèñèìîñòè îò ðåøàåìûõ çàäà÷ áîëåå

ñëîæíûìè ìîäåëÿìè [2]. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè äëÿ áèïî-

ëÿðíûõ òðàíçèñòîðîâ ÿâëÿþòñÿ Ò-îáðàçíûå è Ï-îáðàçíûå ýê-

âèâàëåíòíûå ñõåìû çàìåùåíèÿ, ïðè÷åì, ïîñëåäíèå ìîæíî ïîëó÷èòü

èç ïåðâûõ ìåòîäàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ «çâåçäà $ òðåóãîëüíèê» (ñì.

§ 1.5). Â òàáë. 1.1 ïðèâåäåíû Ò-îáðàçíûå ñõåìû çàìåùåíèÿ áèïî-

ëÿðíûõ òðàíçèñòîðîâ, âêëþ÷åííûõ ïî ñõåìå ñ îáùåé áàçîé (ÎÁ) è

îáùèì ýìèòòåðîì (ÎÝ) â îáëàñòè íèçêèõ è âûñîêèõ ÷àñòîò è îñ-

íîâíûå ñîîòíîøåíèÿ, îïèñûâàþùèå èõ ìîäåëè.

Èíîãäà äëÿ àíàëèçà öåïåé ñ áèïîëÿðíûìè òðàíçèñòîðàìè èñ-

ïîëüçóþòñÿ ìîäåëü ÈÒÓÍ ñ êîíå÷íûì âõîäíûì ñîïðîòèâëåíèåì

(ðèñ. 1.10). Äëÿ ïîëåâûõ òðàíçèñòîðîâ îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ ìî-

äåëü â ôîðìå ÈÒÓÍ (òàáë. 1.1).

Êðîìå ðàññìîòðåííûõ ýêâèâàëåíòíûõ ñõåì íåðåäêî (îñîáåííî â

ñïðàâî÷íîé ëèòåðàòóðå) ýëåêòðîííûå ëàìïû è òðàíçèñòîðû ðàñ-

ñìàòðèâàþòñÿ êàê áåññòðóêòóðíûå ÷åòûðåõïîëþñíèêè ñ òîé èëè

èíîé ñèñòåìîé ïàðàìåòðîâ (ñì. ãë. 12).

Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ çàâèñèìûõ èñòî÷íèêîâ ÿâëÿåòñÿ

èõ íåîáðàòèìîñòü, ò. å. öåïè ñ ýòèìè èñòî÷íèêàìè èìåþò ÷åòêî

âûðàæåííûé âõîä è âûõîä. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ öåïåé ñ çàâèñè-

ìûìè èñòî÷íèêàìè ðàçëè÷àþò ïóòü ïðÿìîãî ïðîõîæäåíèÿ ñèãíàëà

(îò âõîäà ê âûõîäó) è îáðàòíîãî ïðîõîæäåíèÿ (ñ âûõîäà íà

âõîä), ðåàëèçóåìîãî ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíûõ öåïåé îáðàòíîé ñâÿ-

çè (ÎÑ) (ãë. 14). Íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ â àêòèâíûå öåïè ÎÑ

îáúÿñíÿåòñÿ ðÿäîì âàæíûõ êà÷åñòâ, êîòîðûìè ýòè öåïè îáëàäàþò:

âîçìîæíîñòüþ ìîäåëèðîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé (ñì. § 2.7)

(ñóììèðîâàíèå, èíòåãðèðîâàíèå, äèôôåðåíöèðîâàíèå è äð.), ãå-

íåðèðîâàíèåì è óñèëåíèåì êîëåáàíèé, ìîäåëèðîâàíèåì ïàññèâíûõ

ýëåìåíòîâ òèïà R, L, Ñ è èõ ïðåîáðàçîâàíèåì (íàïðèìåð, Ñ è L),

ïåðåìåùåíèå íóëåé è ïîëþñîâ ôóíêöèè öåïè (ñì. ãë. 14, 15) è äð.

1.3. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà, òîïîëîãèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè

Êðîìå ïîíÿòèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè â èíæåíåðíîé ïðàêòèêå øè-

ðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå íàøåë òåðìèí «ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà». Â

òåîðèè öåïåé ñõåìîé íàçûâàþò ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ýëåêò-

ðè÷åñêîé öåïè. Ýëåìåíòàì ñõåìû ñîîòâåòñòâóþò àêòèâíûå è ïàñ-

ñèâíûå ýëåìåíòû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.

Â ìèêðîýëåêòðîíèêå ïîíÿòèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è ýëåêòðîííîé

ñõåìû ÷àñòî îòîæäåñòâëÿþò ìåæäó ñîáîé. Òàê, ìèêðîñõåìîé (èíòå-

ãðàëüíîé ñõåìîé) íàçûâàþò èíòåãðàëüíóþ ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, ñî-

äåðæàùóþ ñîòíè è òûñÿ÷è ïðîñòåéøèõ àêòèâíûõ è ïàññèâíûõ ýëå-

ìåíòîâ. ×òîáû íå ëîìàòü ñëîæèâøóþñÿ òðàäèöèþ, áóäåì èñïîëüçî-

âàòü òåðìèí «ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà» èëè ïðîñòî «ñõåìà» ïðèìåíè-

òåëüíî ê ãðàôè÷åñêîìó èçîáðàæåíèþ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè èëè ýëåê-

òðîííîé ñõåìû è òåðìèíû «ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü» èëè «ýëåêòðîííàÿ

(ìèêðîýëåêòðîííàÿ, èíòåãðàëüíàÿ) ñõåìà» ïðèìåíèòåëüíî ê ìîäå-

ëÿì ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ýëåêòðè÷åñêèõ èëè ýëåêòðîííûõ óñò-

ðîéñòâ.

Äëÿ àíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé â ïîñëåäíåå âðåìÿ âñå áîëü-

øåå ðàñïðîñòðàíåíèå íàõîäÿò ìàòðè÷íî-òîïîëîãè÷åñêèå ìåòîäû.

Â èõ îñíîâå ëåæèò ïðåäñòàâëåíèå ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû ñ ïîìîùüþ

ãðàôà öåïè. Ãðàôîì öåïè íàçûâàþò ãåîìåòðè÷åñêóþ ñèñòåìó ëèíèé

(âåòâåé), ñîåäèíÿþùèõ çàäàííûå òî÷êè (óçëû). Åñëè âåòâè ãðàôà

îðèåíòèðîâàíû ïî íàïðàâëåíèþ òîêîâ âåòâåé, òî ãðàô íàçûâàåòñÿ

îðèåíòèðîâàííûì (íàïðàâëåííûì). Íà ðèñ. 1.11, à èçîáðàæåíà

ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà è åå îðèåíòèðîâàííûé (ðèñ. 1.11, á) ãðàô. Ãðàô

ñîäåðæèò âñþ èíôîðìàöèþ î ãåîìåòðè÷åñêîé ñòðóêòóðå ñõåìû.

Ïðîñòûì óçëîì íàçûâàþò ìåñòî ñîåäèíåíèÿ çàæèìîâ äâóõ ýëå-

ìåíòîâ (ðèñ. 1.12, à), à ñëîæíûì $ ìåñòî ñîåäèíåíèÿ çàæèìîâ

òðåõ è áîëåå ýëåìåíòîâ (ðèñ. 1.12, á).

Âåòâüþ íàçûâàþò ÷àñòü öåïè, âêëþ÷åííîé ìåæäó äâóìÿ óçëà-

ìè, ÷åðåç êîòîðûå îíà îáìåíèâàåòñÿ ýíåðãèåé ñ îñòàëüíîé öåïüþ.

Âåòâè, ïîäñîåäèíåííûå ê îäíîé ïàðå óçëîâ, îáðàçóþò ïàðàëëåëü-

íîå ñîåäèíåíèå (ðèñ. 1.12, â).

Ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûå âåòâè, ñâÿçûâàþùèå äâà çàäàí-

íûõ óçëà îáðàçóþò ïðîñòîé ïóòü, åñëè â íåì íåò ïîâòîðÿþùèõ

óçëîâ. Íàïðèìåð, ìåæäó óçëàìè 1 è 4 (ðèñ. 1.11, á) ïðîñòîé ïóòü

¢¢

III

)

3 4

1 2

III

)

Ïðîñòûå óçëû

Óçåë ñëîæíûé

()

)

Êîíòóð

)

Ðèñ. 1.11 Ðèñ. 1.12

)

3 4

1 2

)

3 4

1 2

Ðèñ. 1.13

îáðàçóåòñÿ âåòâÿìè 3, 5 èëè 3, 4 è ò. ä. Çàìêíóòûé ïóòü íàçûâàåò-

ñÿ êîíòóðîì (ðèñ. 1.12, â).

Ïîäãðàôîì íàçûâàþò ÷àñòü ãðàôà. Ïîäãðàô ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíûì,

åñëè ëþáûå åãî äâà óçëà ñâÿçàíû, ò. å. ñîåäèíåíû âåòâÿìè.

Äåðåâîì ãðàôà íàçûâàþò ñâÿçíûé ïîäãðàô, ñîäåðæàùèé âñå

óçëû, íî íå ñîäåðæàùèé íè îäíîãî êîíòóðà (ðèñ. 1.13). Âåòâè äå-

ðåâà íàçûâàþò ðåáðàìè (íà ðèñ. 1.13 ïîêàçàíû ñïëîøíûìè ëè-

íèÿìè).

Â òåîðèè ãðàôîâ äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ÷èñëî âåòâåé äåðåâà, ñî-

äåðæàùåãî n

óçëîâ, îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì

ä ó

nn . (1.14)

Ñîâîêóïíîñòü âåòâåé íå âõîäÿùèõ â ñîñòàâ äåðåâà, îáðàçóåò åãî

äîïîëíåíèå (íà ðèñ. 1.13 ïîìå÷åíî øòðèõîâûìè ëèíèÿìè). Âåòâè

äîïîëíåíèÿ íàçûâàþò õîðäàìè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ÷èñëî õîðä

=-+

x â ó

nnn , (1.15)

ãäå n

îáùåå ÷èñëî âåòâåé èñõîäíîãî ãðàôà.

Ñå÷åíèåì ãðàôà íàçûâàþò ìèíèìàëüíîå ìíîæåñòâî âåòâåé, óäà-

ëåíèå êîòîðûõ ðàçáèâàåò ãðàô íà äâå íåñâÿçàííûõ ÷àñòè (ïîä-

ãðàôû). Íà ðèñ. 1.11, á ïîêàçàí ïðèìåð äâóõ ñå÷åíèé, îáðàçîâàí-

íûõ âåòâÿìè 1, 2, 4, 5 (ïî ëèíèè À%À) è 3, 6 (ïî ëèíèè Â%Â).

Äîáàâëåíèå ëþáîé èç âåòâåé ñå÷åíèÿ äåëàåò ãðàô ñâÿçíûì. Îáû÷íî

ñå÷åíèå èçîáðàæàþò â âèäå çàìêíóòîé ëèíèè, ðàññåêàþùåé ãðàô

öåïè íà íåñâÿçàííûå êîìïîíåíòû. Ñå÷åíèå, «ðàññåêàþùåå» òîëüêî

îäíó âåòâü äåðåâà, íàçûâàþò ãëàâíûì ñå÷åíèåì. Ïðè÷åì, êàæäîìó

äåðåâó ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ñîâîêóïíîñòü ãëàâíûõ ñå÷åíèé

(ðèñ. 1.13, ñå÷åíèÿ S

). ×èñëî ãëàâíûõ ñå÷åíèé ðàâíî ÷èñ-

ëó âåòâåé äåðåâà (1.14).

Àíàëèòè÷åñêè ãðàô ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ñòðóêòóðíîé

ìàòðèöû À

(ìàòðèöû ñîåäèíåíèé, èíöèäåíöèé), ïðåäñòàâëÿþùåé

ñîáîé ïðÿìîóãîëüíóþ òàáëèöó ñ ÷èñëîì ñòîëáöîâ, ðàâíûì ÷èñëó

âåòâåé, è ÷èñëîì ñòðîê, ðàâíûì ÷èñëó óçëîâ. Åñëè ïîëîæèòåëüíîå

íàïðàâëåíèå òîêà â âåòâè l âûáðàòü îò óçëà k, òî ýëåìåíòû ñòðóê-

òóðíîé ìàòðèöû a

îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ:

åñëè âåòâü âûõîäèò èç óçëà ;

1, åñëè âåòâü âõîäèò â óçåë ;

åñëè âåòâü íå ñâÿçàíà ñ óçëîì .

alk

Íàïðèìåð, äëÿ ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 1.11, á ìàòðèöà

èìååò âèä

123456

1111000

2001110

3110001

4000111

Âåòâè

Óçëû

Àíàëèç ìàòðèöû À

ïîêàçûâàåò, ÷òî ñóììà ýëåìåíòîâ êàæäîãî

åå ñòîëáöà ðàâíà íóëþ. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì çàâèñèìîñòè îä-

íîé èç ñòðîê, ïîýòîìó åå ìîæíî èñêëþ÷èòü èç À

. Óçåë, ñòðîêà êî-

òîðîãî èñêëþ÷àåòñÿ, íàçûâàþò áàçèñíûì, à ìàòðèöà À

, îáðà-

çóþùàÿñÿ ïðè ýòîì, ðåäóöèðîâàííàÿ.

Êðîìå ìàòðèöû À

ïðè àíàëèçå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé èñïîëüçó-

åòñÿ ìàòðèöà ñå÷åíèé Ñ, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé òàáëèöó ñî ñòðî-

êàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè ñå÷åíèÿì ãðàôà è ñòîëáöàìè $ åãî âåò-

âÿìè. Åñëè çà ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ïðèíÿòü íàïðàâëåíèå

âåòâè âíóòðü îáëàñòè, îõâà÷åííîé ñå÷åíèåì, òî ýëåìåíòû ìàòðèöû

ñå÷åíèé ñ

îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

1, åñëè âåòâü íàïðàâëåíà âíóòðü îáëàñòè,

îõâà÷åííîé

ëèíèåé ñå÷åíèÿ;

1, åñëè âåòâü íàïðàâëåíà íàðóæó;

0, åñëè âåòâü íå ïðèíàäëåæèò ñå÷åíèþ.

Òàê, ìàòðèöà ãëàâíûõ ñå÷åíèé äëÿ ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà

ðèñ. 1.13, á, áóäåò èìåòü âèä

123456

1001001

2110001.

3000111

Âåòâè

Ñå÷åíèÿ

Ìàòðèöåé êîíòóðîâ Â íàçûâàþò òàáëèöó, ñ ÷èñëîì ñòðîê ðàâíûì

÷èñëó íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ, è ÷èñëîì ñòîëáöîâ ðàâíûì ÷èñëó âåò-

âåé. Ýëåìåíòû ìàòðèöû êîíòóðîâ îïðåäåëÿþòñÿ ïî ïðàâèëó

1, åñëè íàïðàâëåíèå âåòâè ñîâïàäàåò ñ í

àïðàâëåíèåì

îáõîäà êîíòóðà ;

1, åñëè íàïðàâëåíèå âåòâè ïðîòèâîïîëîæí

î íàïðàâëå-

íèþ îáõîäà êîíòóðà ;

0, åñëè âåòâü íå âõîäèò â ñîñòàâ êîíòóð

à.

Íàïðèìåð, äëÿ ãðàôà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 1.11, á, ìàòðèöà

123456

I110000

II011101.

III000110

Âåòâè

ÊîíòóðûÂ

×èñëî íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì õîðä ãðàôà

(1.15).

1.4. Çàêîíû Êèðõãîôà

Â òåîðèè öåïåé ðàçëè÷àþò äâà òèïà çàäà÷: çàäà÷è àíàëèçà è

ñèíòåçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé. Ê çàäà÷å àíàëèçà îòíîñÿòñÿ âñå çà-

äà÷è, ñâÿçàííûå ñ îïðåäåëåíèåì òîêîâ, íàïðÿæåíèé èëè ìîùíîñòåé

â ýëåìåíòàõ öåïè, êîíôèãóðàöèÿ è ïàðàìåòðû êîòîðîé èçâåñòíû. Â

çàäà÷àõ ñèíòåçà, íàïðîòèâ $ èçâåñòíû òîêè è íàïðÿæåíèÿ â îò-

äåëüíûõ ýëåìåíòàõ è òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü âèä öåïè è åå ïà-

ðàìåòðû, ò. å. ñèíòåç ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé çàäà÷åé ïî îòíîøåíèþ ê

àíàëèçó. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî çàäà÷à ñèíòåçà ñóùåñòâåííî ñëîæ-

íåå çàäà÷è àíàëèçà è áóäåò ðàññìîòðåíà â ãë. 16.

Â îñíîâå ìåòîäîâ àíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ëåæàò çàêîíû

Êèðõãîôà.

Ïåðâûé çàêîí $ çàêîí òîêîâ Êèðõãîôà (ÇÒÊ) ôîðìóëèðóåòñÿ

ïî îòíîøåíèþ ê óçëàì ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è îòðàæàåò òîò ôàêò,

÷òî â óçëàõ íå ìîãóò íàêàïëèâàòüñÿ çàðÿäû. Îí ãëàñèò: àëãåáðàè-

÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ âåòâåé, ñõîäÿùèõñÿ â ëþáîì óçëå ýëåêòðè-

÷åñêîé öåïè, ðàâíà íóëþ. Ôîðìàëüíî ýòî çàïèñûâàåòñÿ òàê:

i , (1.16)

ãäå m ÷èñëî âåòâåé, ñõîäÿùèõñÿ â óçëå.

Â óðàâíåíèè (1.16) òîêè, îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàííûå îòíîñè-

òåëüíî óçëà, èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè. Óñëîâèìñÿ çíàêè âûõîäÿ-

ùèõ òîêîâ ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûìè, à âõîäÿùèõ $ îòðèöàòåëüíû-

ìè. Òîãäà, íàïðèìåð, äëÿ óçëà 1 ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà

ðèñ. 1.11, à, ñîãëàñíî ÇÒÊ $ i

+ i

= 0. ×èñëî íåçàâèñèìûõ

óðàâíåíèé, ñîñòàâëÿåìûõ ïî ÇÒÊ, ðàâíî ÷èñëó íåçàâèñèìûõ óçëîâ

ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì (1.14).

Çàêîí òîêîâ ñïðàâåäëèâ è ïî îòíîøåíèþ ê ñå÷åíèÿì ýëåêòðè-

÷åñêîé öåïè. Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå ñå÷åíèÿ S

(ðèñ. 1.13, à).

Çàïèøåì ÇÒÊ äëÿ óçëîâ 1 è 2:

äëÿ óçëà 1: $ i

+ i

= 0;

äëÿ óçëà 2: $ i

+ i

= 0.

Ñëîæèâ ìåæäó ñîáîé ýòè óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì ÇÒÊ äëÿ ñå÷åíèÿ S

$ i

+ i

= 0.

Âòîðîé çàêîí $ çàêîí íàïðÿæåíèé Êèðõãîôà (ÇÍÊ) ôîðìóëè-

ðóåòñÿ ïî îòíîøåíèþ ê êîíòóðàì è ãëàñèò: àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà

íàïðÿæåíèé âåòâåé â ëþáîì êîíòóðå ðàâíà íóëþ:

u , (1.17)

ãäå ï $ ÷èñëî âåòâåé, âõîäÿùèõ â êîíòóð.

Â óðàâíåíèè (1.17) íàïðÿæåíèÿ, ñîâïàäàþùèå ñ íàïðàâëåíèåì

îáõîäà êîíòóðà, çàïèñûâàþòñÿ ñî çíàêîì «+», à íå ñîâïàäàþùèå $

ñî çíàêîì «$».

Ñîñòàâèì, íàïðèìåð, óðàâíåíèå ïî ÇÍÊ äëÿ öåïè, èçîáðàæåí-

íîé íà ðèñ. 1.11, à. Â ñîîòâåòñòâèè ñ íàïðàâëåíèåì äëÿ êîíòóðà I:

+ u

¢ + u

= 0 äëÿ êîíòóðà II: $u

¢ $u

² + u

+ u

= 0; äëÿ êîíòóðà III: $ u

+ u

= 0.

Îáùåå ÷èñëî ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé, ñîñòàâëÿåìûõ ïî

ÇÍÊ, îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ, ðàâíûõ ÷èñëó

õîðä (ñì. (1.15)).

Óðàâíåíèå ÇÒÊ è ÇÍÊ ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå, èñ-

ïîëüçóÿ ðåäóöèðîâàííóþ ñòðóêòóðíóþ ìàòðèöó À

è êîíòóðíóþ

ìàòðèöó Â.

Çàêîí òîêîâ ïîëó÷àåòñÿ ïóòåì ïåðåìíîæåíèÿ ìàòðèöû À

íà

ìàòðèöó-ñòîëáåö òîêîâ âåòâåé:

â 12

iiiI

ãäå Ò $ çíàê òðàíñïîíèðîâàíèÿ;

0 â

AI . (1.18)

Çàêîí òîêîâ ìîæíî çàïèñàòü è ÷åðåç ìàòðèöó ãëàâíûõ ñå÷åíèé:

ÑI

. (1.19)

Óìíîæèâ êîíòóðíóþ ìàòðèöó Â íà ìàòðèöó-ñòîëáåö íàïðÿæå-

íèÿ âåòâåé U

...

ïîëó÷èì ÇÍÊ â ìàòðè÷íîé ôîðìå:

BU . (1.20)

)

Ðèñ. 1.14

1.5. Ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè. Ïðåîáðàçîâàíèÿ

ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåì

Â îñíîâå ðàçëè÷íûõ ìåòîäîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ

ñõåì ëåæèò ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè, ñîãëàñíî êîòîðîìó íàïðÿ-

æåíèÿ è òîêè â âåòâÿõ ñõåìû, íå çàòðîíóòûõ ïðåîáðàçîâàíèåì, îñ-

òàþòñÿ íåèçìåííûìè. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåì ïðè-

ìåíÿþòñÿ äëÿ óïðîùåíèÿ ðàñ÷åòîâ. Ðàññìîòðèì íàèáîëåå òèïè÷íûå

ïðåîáðàçîâàíèÿ, îñíîâàííûå íà ïðèíöèïå ýêâèâàëåíòíîñòè.

Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå ýëåìåíòîâ. Ñîãëàñíî ÇÒÊ ïðè

ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ ÷åðåç íèõ ïðîòåêàåò îäèí

è òîò æå òîê (ðèñ. 1.14). Ñîãëàñíî ÇÍÊ íàïðÿæåíèå, ïðèëîæåííîå

êî âñåé öåïè,

. (1.21)

Òîãäà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ðåçèñòèâíûõ ýëåìåíòîâ

, R

, ... , R

(ðèñ. 1.14, à) ñ ó÷åòîì (1.6) áóäåì èìåòü

uiRiR

ãäå

. (1.22)

Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ èíäóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ L

, ... , L

ñ ó÷åòîì (1.9) ïîëó÷àåì (ðèñ. 1.14, á)

didi

uLL

dtdt

ãäå

. (1.23)

Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ åìêîñòíûõ ýëåìåíòîâ Ñ

, ... , Ñ

ñ ó÷åòîì (1.12) íàõîäèì (ðèñ. 1.14, â)

òò

uidtidt