Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание

Подождите немного. Документ загружается.

561

ãäå

$ åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.

Òàêèì îáðàçîì, çíàÿ íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå äèñêðåòíîé öåïè

(

)

q , ìîæíî âû÷èñëèòü êîìïîíåíòû âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ

(

)

q íà

ëþáîì øàãå n (ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè). Ïðè÷åì, êàê è â ñëó÷àå

àíàëîãîâîé öåïè (6.98) ðåøåíèå (19.57) ñîäåðæèò äâå ñîñòàâëÿþ-

ùèõ: ïåðâàÿ $ ðåàêöèÿ öåïè ïðè íóëåâîì âõîäíîì ñèãíàëå; âòî-

ðàÿ $ ðåàêöèÿ öåïè ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè.

Óðàâíåíèå ðåàêöèè öåïè (19.56) ïðè ýòîì ïðèìåò âèä:

( ) ( )

( )

=××+×+×

nnk

ynxkxn

CAqCABD (19.58)

Íà îñíîâàíèè (19.58) ìîæíî íàéòè îòñ÷åòû èìïóëüñíîé è ïåðå-

õîäíîé õàðàêòåðèñòèê äèñêðåòíîé öåïè.

Ïðèìåð. Îïðåäåëèòü èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó öåïè, èçîáðàæåííîé íà

ðèñ. 19.55.

Ðåøåíèå. Ó÷òÿ, ÷òî èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà öåïè $ ýòî åå ðåàêöèÿ íà

åäèíè÷íûé èìïóëüñ x

(n) = {1, 0, 0, ¾} è ïðèíÿâ

(

)

q , ïîëó÷èì èç (19.58)

óðàâíåíèå èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè öåïè

( )

=×+×

hnxkxn

CABD.

Îòñþäà ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ó÷åòîì (*), (**) îòñ÷åòû èìïóëüñíîé õàðàêòåðè-

ñòèêè

(

)

(

)

(

)

()

( ) ( )

()

( ) ( )

=×=×=

=××=××=++´=

=××=++´´=

=+++

0000

011022

022

011022

2111020

è ò.ä.

hxnaxna

habaaba

aba

habaaba

abababa

CABCIB

CAB

Äëÿ n-ãî îòñ÷åòà èìååì (n > 0)

( )

=×

CAB

. (19.59)

Êàê ñëåäóåò èç (19.59) äëÿ âû÷èñëåíèÿ âûõîäíîé ðåàêöèè äèñêðåòíîé öå-

ïè òðåáóåòñÿ âû÷èñëåíèå áîëüøèõ ñòåïåíåé ìàòðèöû

. Â ëèòåðàòóðå îïèñà-

íû ïðîöåäóðû, óïðîùàþùèå ýòè îïåðàöèè (ñì. íàïðèìåð, [1] «Îñíîâû öèô-

ðîâîé îáðàáîòêè ñèãíàëîâ $ Ñïá: ÁÕÂ $ Ïåòåðáóðã $2003, 608 ñ.»).

Ðåøåíèå â z-îáëàñòè. Ïî àíàëîãèè ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ñî-

ñòîÿíèÿ àíàëîãîâîé öåïè îïåðàòîðíûì ìåòîäîì (7.38), (7.39) ìîæ-

íî ðåøèòü óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ äëÿ äèñêðåòíîé öåïè â z-îáëàñòè.

Ïðèìåíèì ïðÿìîå z-ïðåîáðàçîâàíèå ê óðàâíåíèÿì (19.55) è

(19.56) è ó÷òåì ñâîéñòâà z-ïðåîáðàçîâàíèÿ:

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

-=×+×0

zzzz

QqAQBX , (19.60)

562

0,5

()

() =

0,1()

() =

= 20 lg ( )

()

aç

aï

= 1

0,1

min

0,1

min

)

0,5

aç

aï

= 1

0,1

Ðèñ. 19.56

(

)

(

)

(

)

=×+×

Yzzz

CQDX , (19.61)

ãäå

(

)

(

)

(

)

zzz

QYX $ z-èçîáðàæåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåêòî-

ðîâ ñîñòîÿíèÿ

(

)

, âûõîäíîãî y(n) è âõîäíîãî x(n) ñèãíàëîâ ñî-

îòâåòñòâåííî.

Èç (19.60) ïîëó÷àåì íåïîñðåäñòâåííîå ðåøåíèå

( ) ( ) ( ) ( )

( )

=-×+

zzzzQIABXq. (19.62)

Èëè ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (

(

)

q = 0):

( ) ( ) ( )

=-×

zzz

QIABX . (19.63)

Îòñþäà ìîæíî íàéòè èñêîìûé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ äèñêðåòíîé öåïè

(

)

(

)

qQ.

19.7. Äèñêðåòíûå ôèëüòðû è èõ ñèíòåç

Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è ýòàïû ñèíòåçà. Äèñêðåòíàÿ öåïü ìîæåò

îñóùåñòâëÿòü ëþáûå îïåðàöèè: ôèëüòðàöèþ ñèãíàëà, êîððåêòèðî-

âàíèå õàðàêòåðèñòèê è ò.ï., ò.å. âûïîëíÿòü ôóíêöèè ëþáîé àíàëî-

ãîâîé öåïè.

Â ÷àñòíîñòè, ïðè ñèíòåçå äèñêðåòíûõ ÷àñòîòíûõ ôèëüòðîâ íóæ-

íî íàéòè òàêèå êîýôôèöèåíòû ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè (19.41), èëè

(19.42), ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà êîòîðîé óäîâëåòâîðÿëà áû íîð-

563

ìàì îñëàáëåíèÿ ôèëüòðà â ïîëîñàõ ïðîïóñêàíèÿ è íåïðîïóñêàíèÿ

(ðèñ. 19.56, à). Îïðåäåëåíèå êîýôôèöèåíòîâ $ ýòî çàäà÷à àïïðîê-

ñèìàöèè. Èçâåñòåí öåëûé ðÿä ìåòîäîâ åå ðåøåíèÿ. Íàèáîëåå ðàñ-

ïðîñòðàíåííûì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé ìåòîä. Ñíà÷àëà ðàññ÷èòûâàþò

àíàëîãîâûé Í×-ïðîòîòèï è ïîëó÷àþò åãî ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ

H(p), çàòåì ïóòåì çàìåíû êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé p = Ô{z} ïåðå-

õîäÿò îò H(p) ê ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè äèñêðåòíîé öåïè H(z).

Èñïîëüçîâàíèå ñòàíäàðòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ z = e

èëè p =

(

)

1ln

íå ïðèâåäåò ê äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè. Ïîýòîìó

äëÿ ÔÍ× ïðèìåíÿþò áèëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå

=g=g

(19.64)

(g $ íåêîòîðûé ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü), êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì

ïðèáëèæåíèåì ñòàíäàðòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðè ðàçëîæåíèè åãî â

ðÿä Òåéëîðà:

( )

1211111

135

zzz

TTz

éù

---

==+++

êú

ëû

. (19.65)

Èç ðàçëîæåíèÿ (19.65) ñëåäóåò, ÷òî íåîáõîäèìî âûáèðàòü

. Îäíàêî, äàëåå ìû ïîêàæåì, ÷òî óäîáíåå áðàòü äðóãèå çíà-

÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà g.

Áèëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå (19.64) ïåðåâîäèò âñå òî÷êè èç ëå-

âîé ïîëóïëîñêîñòè ïåðåìåííîé p â òî÷êè íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè

ïëîñêîñòè z. Òàê ÷òî, åñëè áûëà óñòîé÷èâà àíàëîãîâàÿ öåïü, áóäåò

óñòîé÷èâîé è äèñêðåòíàÿ. Ïîäòâåðäèì ýòè óòâåðæäåíèÿ íà ïðèìåðå.

Ïðèìåð. Íàéäåì ïîëîæåíèÿ òî÷åê íà z-ïëîñêîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëå-

äóþùèì çíà÷åíèÿì ïåðåìåííîé p: p

= $2; p

= $2 + j2; p

= j2.

Èç ôîðìóëû (19.64) íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ ðàñ÷åòà z:

Ïîäñòàâëÿÿ â ýòó ôîðìóëó çíà÷åíèå ïîëþñà p = p

= $2, ëåæàùåãî â ëå-

âîé ïîëóïëîñêîñòè ïëîñêîñòè p, ïîëó÷àåì

Ïîñêîëüêó g $ ÷èñëî âåùåñòâåííîå è ïîëîæèòåëüíîå, òî ÷èñëèòåëü (g $ 2)

ìåíüøå çíàìåíàòåëÿ (g + 2), è çíà÷èò z < 1, ò. å. òî÷êà z ëåæèò âíóòðè åäè-

íè÷íîé îêðóæíîñòè, ÷òî ãîâîðèò îá óñòîé÷èâîñòè öåïè.

Ïðè p = p

= $2 + j2 ïîëó÷àåì

g-+

g+-

Íàéäåì ìîäóëü z

564

( )

g-+

g++

Îí ìåíüøå åäèíèöû, ïîñêîëüêó ìîäóëü ÷èñëèòåëÿ ìåíüøå ìîäóëÿ çíàìå-

íàòåëÿ, ò. å. òî÷êà z òàêæå ëåæèò âíóòðè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè.

Ïðè p = p

= j2 ïîëó÷àåì

2arctg

g+g+

Ìîäóëü z ðàâåí 1, ò.å. òî÷êà p = j2, ëåæàùàÿ íà ìíèìîé îñè ïëîñêîñòè p,

ïåðåõîäèò â òî÷êó íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ïëîñêîñòè z ïðè èñïîëüçîâàíèè

áèëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.

Ïåðåõîä ê àíàëîãîâîìó ïðîòîòèïó ïðèìåíÿåòñÿ îáû÷íî äëÿ

äèñêðåòíûõ ôèëüòðîâ, èìåþùèõ áåñêîíå÷íóþ èìïóëüñíóþ õàðàê-

òåðèñòèêó h(k), ïðèíèìàþùóþ íåíóëåâûå çíà÷åíèÿ íà áåñêîíå÷íîì

ìíîæåñòâå çíà÷åíèé k = 0, 1, ... .

Äèñêðåòíûå öåïè ñ êîíå÷íîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé,

ïðèíèìàþùåé íåíóëåâûå çíà÷åíèÿ ëèøü ïðè k = 0, 1, ..., N $ 1,

íå èìåþò àíàëîãîâ ñðåäè ïàññèâíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ ôèëüòðîâ, ïî-

ýòîìó äëÿ èõ ðàñ÷åòà ïðèìåíÿþòñÿ äðóãèå ìåòîäû.

Íåðåêóðñèâíûå ôèëüòðû ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé (19.43) âñå-

ãäà èìåþò êîíå÷íûå èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè. Ðåêóðñèâíûå

ôèëüòðû ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé (19.41) ìîãóò èìåòü êàê êîíå÷-

íûå, òàê è áåñêîíå÷íûå èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè.

Ïðèìåð. Íàéäåì äèñêðåòíûå èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè ôèëüòðîâ, èìåþ-

ùèõ ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè

( )

20,53

Hzzz

=+-

( )

(

)

110,5Hzz

=- ,

( )

Äèñêðåòíàÿ èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà h(k) ñâÿçàíà ñ ïåðåäàòî÷íîé

ôóíêöèåé îáðàòíûì z-ïðåîáðàçîâàíèåì (ñì. ôîðìóëó (19.30)):

( )

hkHzzdz



, (19.66)

ò.å.

( )

{

}

hkzHz

= . Íåðåêóðñèâíîé öåïè ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé H

(z)

ñîîòâåòñòâóåò h{ k } = {2; 0,5; $3}, ò.å. ýòî ôèëüòð ñ êîíå÷íîé èìïóëüñíîé õà-

ðàêòåðèñòèêîé.

Èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà öåïè ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé H

(z) ðàññ÷è-

òûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå h(k) = 0,5

, ò.å. ýòî ðåêóðñèâíûé ôèëüòð ñ áåñêîíå÷íîé

èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé.

Îòñ÷åòû èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè ðåêóðñèâíîé öåïè ñ ïåðåäàòî÷íîé

ôóíêöèåé H

(z) áóäóò êîíå÷íûìè è ðàâíûìè 1 òîëüêî äëÿ k = 0, 1, 2, 3, 4, à

äëÿ k



5 h(k) = 0. Çíà÷èò ýòîò ðåêóðñèâíûé ôèëüòð èìååò êîíå÷íóþ èì-

ïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó.

565

Òðåáîâàíèÿ ê àíàëîãîâîìó ôèëüòðó-ïðîòîòèïó. Ñëåäóåò èìåòü

â âèäó, ÷òî ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà àíàëîãîâîãî ôèëüòðà îïðåäå-

ëåíà íà âñåé ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè ÷àñòîò, â òî âðåìÿ êàê ó äèñ-

êðåòíîãî ôèëüòðà îíà èìååò òîò æå ñìûñë òîëüêî äî ÷àñòîòû 0,5f

çàòåì îíà ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿåòñÿ (ðèñ. 19.47). ßñíî, ÷òî øêàëà

÷àñòîò äèñêðåòíîãî ôèëüòðà îêàçûâàåòñÿ äåôîðìèðîâàííîé îòíîñè-

òåëüíî øêàëû ÷àñòîò àíàëîãîâîãî ôèëüòðà. Ñîîòâåòñòâèå ýòèõ øêàë

ëåãêî óñòàíîâèòü èç áèëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (19.64). Ïåðåïè-

øåì åãî â âèäå:

(

)

(

)

=g+g-

zpp

. (19.67)

Îáîçíà÷èì, âî èçáåæàíèå ïóòàíèöû, íîðìèðîâàííóþ ÷àñòîòó

äëÿ àíàëîãîâîãî ôèëüòðà-ïðîòîòèïà W

, îáû÷íóþ (ò.å. íåíîðìèðî-

âàííóþ) ÷àñòîòó äëÿ äèñêðåòíîãî ôèëüòðà áóäåì, êàê è ðàíåå, îáî-

çíà÷àòü áóêâîé f, à íîðìèðîâàííóþ $ áóêâîé W. Òåïåðü çàìåíèì â

(19.67) êîìïëåêñíóþ ïåðåìåííóþ p íà jW

, à êîìïëåêñíóþ ïåðå-

ìåííóþ z íà

22jfTj

ppW

= è óñòàíîâèì ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ÷àñòî-

òàìè f (èëè W) è W

2arctg

jfTj

eee

ppW

g+W

===

g-W

Îòñþäà ëåãêî ïîëó÷èòü, ÷òî

p=pW=

arctgfT

èëè

tgtgtg

W=gp=gp=gpW

. (19.68)

Ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû f îò 0 äî 0,5f

, èëè íîðìèðîâàííîé ÷àñòîòû

W îò 0 äî 0,5, íîðìèðîâàííàÿ ÷àñòîòà W

â øêàëå àíàëîãîâîãî ïðî-

òîòèïà áóäåò ïðîáåãàòü çíà÷åíèÿ îò 0 äî áåñêîíå÷íîñòè (ðèñ. 19.56).

Âî ìíîãèõ ñïðàâî÷íèêàõ ïî ðàñ÷åòó ôèëüòðîâ ãðàíè÷íàÿ ÷àñòî-

òà ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ ïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé W

àï

= 1. ×òîáû ÷àñòî-

òà f

(èëè W

) äèñêðåòíîãî ôèëüòðà ïåðåñ÷èòûâàëàñü â W

àï

= 1

(ðèñ. 19.56, á), èç (19.68) ÿñíî, ÷òî êîýôôèöèåíò g íóæíî âçÿòü

ðàâíûì:

ïï

tgtgfT

g==

ppW

. (19.69)

Ïðèìåð. Ðàññ÷èòàåì äèñêðåòíûé ÔÍ× ñ ïàðàìåòðàìè: f

= 8 êÃö; f

= 1 êÃö; f

= 3 êÃö; DA = 1,4 äÁ; A

min

= 40 äÁ.

Ïî ôîðìóëå (19.69) íàõîäèì

1tg0,1252,414214

g=p×=

è ïî ôîðìóëå

(19.68) îïðåäåëÿåì íîðìèðîâàííóþ ãðàíè÷íóþ ÷àñòîòó ïîëîñû íåïðîïóñêàíèÿ

àç

àíàëîãîâîãî Í×-ïðîòîòèïà:

566

àç

2,414214tg0,3755,82

×p×»

Òåì ñàìûì, ïðîèçâåäåí ïåðåñ÷åò òðåáîâàíèé, ïðåäúÿâëåííûõ ê äèñê-

ðåòíîìó ôèëüòðó (ðèñ. 19.56, à) â òðåáîâàíèÿ ê àíàëîãîâîìó Í×-ïðîòîòèïó

(ðèñ. 19.56, á).

Ðàñ÷åò àíàëîãîâîãî Í×-ïðîòîòèïà. Èñõîäíûìè äàííûìè äëÿ

ðàñ÷åòà ÿâëÿþòñÿ òðåáîâàíèÿ ê Í×-ïîòîòèïó (ðèñ. 19.56, á). Ïî

íèì, ïîëüçóÿñü ëþáûì ñïðàâî÷íèêîì, ðàññ÷èòûâàþò ïåðåäàòî÷íóþ

ôóíêöèþ ôèëüòðà-ïðîòîòèïà.

Ïðèìåð. Äëÿ W

àç

= 5,82, A

min

= 40 äÁ è DA = 1,4 äÁ, (ïàðàìåòðû ÔÍ×,

âçÿòûå èç ïðèìåðà), ïîëüçóÿñü ñïðàâî÷íèêîì Õðèñòèàíà Ý., Ýéçåíìàíà Å.

«Òàáëèöû è ãðàôèêè ïî ðàñ÷åòó ôèëüòðîâ» Ì.: Ñâÿçü, 1975, íàõîäèì, ÷òî

( )

1,732052

(1,200937)(1,2009371,442249)

ppp

+++

. (19.70)

Ðåàëèçàöèÿ ðåêóðñèâíîãî ôèëüòðà. Äëÿ ïåðåõîäà îò àíàëîãîâî-

ãî ôèëüòðà ê äèñêðåòíîìó âîñïîëüçóåìñÿ çàìåíîé ïåðåìåííûõ

(19.64)

Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì H(z) â âèäå äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíê-

öèè, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà.

Ïðèìåð. Îò ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè (19.70) àíàëîãîâîãî ôèëüòðà-ïðîòî-

òèïà ïåðåéäåì ê ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè H(z) äèñêðåòíîãî ôèëüòðà.

Ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå (19.70) çíà÷åíèå

2,414214

Ïîëó÷èì

( )

1,732052

3,6151511,213278

10,16998,772364,371362

=´

Äèñêðåòíûé ôèëüòð ìîæíî ðåàëèçîâàòü â âèäå êàñêàäíîãî ñîåäèíåíèÿ òèïî-

âûõ çâåíüåâ 1-ãî è 2-ãî ïîðÿäêà. Äëÿ ýòîãî ôóíêöèþ H(z) ïåðåïèøåì â âèäå:

( )

---

+++

=´

--+

112

0,27660,27660,098330,196660,09833

1,732052.

10,3356110,862580,42983

zzz

Ñõåìà ôèëüòðà, èìåþùåãî òàêóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ, ïðèâåäåíà íà

ðèñ. 19.57. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà

(

)

(

)

20lgAH

W=W

, ðàññ÷è-

òàííàÿ íà îñíîâàíèè ôîðìóë äëÿ À×Õ òèïîâûõ çâåíüåâ, ïîêàçàíà íà

ðèñ. 19.58 (êðèâàÿ 1).

567

()

0,2766

0,335610,2766

0,86258

0,42983

0,09833

1,732052

0,19666

Ðèñ. 19.57

(), äÁ

0,125

0,1875

0,275

0,375

1,25

0,5

Ðèñ. 59.58

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïðîèçâîäèòñÿ ðàñ÷åò ôèëüòðîâ ñî âñïëåñêàìè îñëàá-

ëåíèÿ (íóëÿìè ïåðåäà÷è).

Ïðèìåð. Íàéäåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ äèñêðåòíîãî ôèëüòðà Í× ñ À×Õ,

ðàâíîâîëíîâîé â ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ è ñî âñïëåñêîì îñëàáëåíèÿ â ïîëîñå çà-

äåðæèâàíèÿ. Ïàðàìåòðû ôèëüòðà: f

= 32 êÃö; f

= 6 êÃö; f

= 8,8 êÃö; DA =

= 1,5 äÁ; A

min

= 30 äÁ.

Îïðåäåëÿåì:

(

)

61032100,1875

W=××= è

(

)

8,81032100,275

=××= . Äàëåå íàõîäèì

ctg0,18751,496606

g=p×=

àç

1,496606tg0,2751,7523

=×p×=

Ïî ñïðàâî÷íèêó ðàññ÷èòûâàåì

( )

3,865161

0,129302

(0,510162)(0,380860,980233)

ppp

+++

è ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè

1,496606

ïåðåõîäèì ê H(z)

568

( )

---

+++

=´

--+

112

110,53246

0,103788.

10,49155810,6646820,699215

zzz

Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà

(

)

(

)

20lgAH

W=W

òàêîãî ôèëüòðà

ïîêàçàíà íà ðèñ. 19.58 (êðèâàÿ 2).

Ñèíòåç ôèëüòðîâ ñ êîíå÷íîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé. Åñ-

ëè èçâåñòíà ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ H(z) äèñêðåòíîãî ôèëüòðà, òî

äëÿ ðåàëèçàöèè ôèëüòðà ñ êîíå÷íîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé

h(k), ðàâíîé íóëþ âåçäå êðîìå



, ïîñòóïàþò ñëåäóþ-

ùèì îáðàçîì. Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó H(W) ôèëüò-

ðà äèñêðåòèçèðóþò, ðàçáèâàÿ ÷àñòîòíûé èíòåðâàë W = 0 ¸ 1 íà N

ðàâíûõ èíòåðâàëîâ. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îò-

ñ÷åòîâ À×Õ íà N ÷àñòîòàõ

, ò. å.

(

)

HnN



Ïîñêîëüêó

(

)

(

)

HnNNHn

=×

, òî, ïîäñòàâëÿÿ ýòó ïîñëåäîâàòåëü-

íîñòü â ôîðìóëó îáðàòíîãî äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå

(19.15), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ äèñêðåòíîé èìïóëüñíîé õàðàêòå-

ðèñòèêè h(k) ôèëüòðà

( )

[ ]

,01

jkn

hkHnNekN

p×

 (19.71)

Êàê èçâåñòíî, êîíå÷íóþ èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó èìåþò íå-

ðåêóðñèâíûå ôèëüòðû. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïîëó÷åííûå îòñ÷åòû äèñ-

êðåòíîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè h(k) ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåí-

òàìè óñèëåíèÿ a

, a

, ..., a

N$1

â ñõåìå íåðåêóðñèâíîãî ôèëüòðà,

ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 19.36.

Ïðèìåð. Íàéäåì èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó h(k) ôèëüòðà íèæíèõ ÷àñ-

òîò, èìåþùåãî ãðàíè÷íóþ ÷àñòîòó ïîëîñû ïðîïóñêàíèÿ W = 0,1, è À×Õ, ïðè-

âåäåííóþ íà ðèñ. 19.59. Èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó áóäåì ðàññ÷èòûâàòü äëÿ

çíà÷åíèÿ N = 30.

Â ôîðìóëå (19.57) äëÿ ðàñ÷åòà h(k) èñïîëüçóþòñÿ êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ

ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè. Åñëè âûáðàòü çíà÷åíèÿ H[n

N], ïîêàçàííûå íà

ðèñ. 19.59 (H[n

N] = 1 â ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ è H[n

N] = 0 â ïîëîñå íåïðî-

ïóñêàíèÿ) è ôàçó ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè arg H[n

N], ðàâíóþ íóëþ, òî ïåðå-

äàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ áóäåò èìåòü çàäàííûå çíà÷åíèÿ â òî÷êàõ W = n

N, íî

î÷åíü ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ îò òðåáóåìîé ôîðìû íà ÷àñòîòàõ W ìåæäó ýòèìè òî÷-

êàìè.

()

0,1

0,5

0,9

Òðåáóåìàÿ

()

Ðèñ. 19.59

569

()

0,1

0,2

Ðèñ. 19.60

()

0,1

0,2

0,3

Ðèñ. 19.61

Ãîðàçäî ëó÷øèå ðåçóëüòàòû ïîëó÷àþòñÿ, åñëè âûáðàòü arg H[n

N] =

(

)

=-pW . Âûáîð òàêîé ôàçû ýêâèâàëåíòåí òîìó, ÷òî H[n

N] =

( )

=- âìåñòî 1 â ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ. Òàêîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ñîîòâåò-

ñòâóåò À×Õ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 19.60. Ïîäñòàíîâêà çíà÷åíèé H[n

N] â

ôîðìóëó (19.35) ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ðàñ÷åòà h(k):

( )

-p-p-ppp-p

=-+-+-+-

2330223023023022302330

1exp.

jkjkjkjkjkjk

hkeeeee

Ãðàôèê êîíå÷íîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè h(k) èçîáðàæåí íà ðèñ. 19.61.

Äëÿ ðåàëèçàöèè ôèëüòðà ñ òàêîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé ïî ñõåìå

ðèñ. 19.36 ïîòðåáóåòñÿ 30 óñèëèòåëåé è 29 ýëåìåíòîâ çàäåðæêè, ò.å. ñõåìà äî-

âîëüíî ãðîìîçäêàÿ. Ñõåìà ñ îáðàòíûìè ñâÿçÿìè, ðåàëèçóþùàÿ À×Õ, èçîáðà-

æåííóþ íà ðèñ. 19.59, áóäåò èìåòü ãîðàçäî ìåíüøå ýëåìåíòîâ. Îäíàêî äîñ-

òîèíñòâîì íåðåêóðñèâíûõ ôèëüòðîâ ñ êîíå÷íîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé

ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíè âñåãäà óñòîé÷èâû è, êðîìå òîãî, îáåñïå÷èâàþò ëèíåéíûå

ôàçîâûå õàðàêòåðèñòèêè.

Ñèíòåç äèñêðåòíûõ ôèëüòðîâ âåðõíèõ ÷àñòîò, ïîëîñîâûõ è

ðåæåêòîðíûõ. Òðåáîâàíèÿ ê ëþáîìó òèïó ôèëüòðà ïðåîáðàçóþòñÿ

â òðåáîâàíèÿ ê àíàëîãîâîìó ÔÍ×-ïðîòîòèïó. Çàòåì ðàññ÷èòûâàåò-

ñÿ àíàëîãîâûé ïðîòîòèï, êàê ýòî ïîêàçàíî âûøå, è ñ ïîìîùüþ çà-

ìåíû ïåðåìåííûõ ïåðåõîäÿò îò H(p) ê H(z).

Êîíå÷íî, ôîðìóëû çàìåíû ïåðåìåííûõ óæå íå òàêèå, êàê äëÿ

ÔÍ×. Îíè ïðèâåäåíû äëÿ ðàçíûõ òèïîâ ôèëüòðîâ â òàáë. 19.2.

Òðåáîâàíèÿ ê äèñêðåòíûì ôèëüòðàì ãðàôè÷åñêè èçîáðàæåíû íà

ðèñ. 19.62.

570

Ãðàíè÷íûå ÷àñòîòû àíà-

ëîãîâîãî ôèëüòðà

(

)

ãäå

(

)

ãäå

Ñâÿçü ìåæäó

÷àñòîòàìè

Ïàðàìåòð

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Ôîðìóëà çàìåíû

Ãðàíè÷íûå

÷àñòîòû

= f

ï1

= f

ï1

ï2

= f

ï2

ç1

= f

ç1

ç2

= f

ç2

ï1

= f

ï1

ï2

= f

ï2

ç1

= f

ç1

ç2

= f

ç2

Òàáëèöà 19.2 $ Ôîðìóëû çàìåíû ïåðåìåííûõ äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ôèëüòðîâ

Äèñêð.

ôèëüòð

Í×

Â×

ÏÔ

ÇÔ