Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание

Подождите немного. Документ загружается.

521

Ðèñ. 19.13

Êàê ñëåäóåò èç ïðåäñòàâëåííûõ ãðàôèêîâ óâåëè÷åíèå ïåðèîäà

äèñêðåòèçàöèè T > 1/2F

; F

< 2F

ïðèâîäèò ê íàëîæåíèþ ñìåæ-

íûõ ñïåêòðîâ â (19.8), ÷òî ïðèâîäèò ê íàëîæåíèþ ñïåêòðà Õ

(f).

Ýòè èñêàæåíèÿ íàçûâàþòñÿ îøèáêàìè íàëîæåíèÿ. ×òîáû èõ óñò-

ðàíèòü íåîáõîäèìî ÷àñòîòó äèñêðåòèçàöèè óâåëè÷èòü äî F

 2F

Ïðèìåð. Ðàññ÷èòàåì èíòåðâàë äèñêðåòèçàöèè è ìèíèìàëüíî äîïóñòèìóþ

÷àñòîòó äèñêðåòèçàöèè ñèãíàëà, ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü êîòîðîãî ðàâíà íóëþ

ïðè çíà÷åíèÿõ ÷àñòîòû âûøå 100 êÃö.

Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà ñïåêòðà F

ðàâíà

100 êÃö. Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Êîòåëüíèêîâà èìååì èíòåðâàë äèñ-

êðåòèçàöèè

ìêñ

210010

===

××

Ìèíèìàëüíî äîïóñòèìàÿ ÷àñòîòà äèñêðåòèçàöèè f

= 2F

= 2 × 100 = 200 êÃö.

Ïðèìåð. Îïðåäåëèì äèñêðåòíûå îòñ÷åòû ñèãíàëà äëèòåëüíîñòüþ t

= 3 ìñ,

ïðèâåäåííîãî íà ðèñ. 19.14, à, åñëè â êà÷åñòâå ãðàíè÷íîé ÷àñòîòû ñïåêòðà F

ïðèíÿòü çíà÷åíèå 3

, âûøå êîòîðîãî âñå çíà÷åíèÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè

óìåíüøàþòñÿ áîëåå ÷åì â 10 ðàç ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàêñèìàëüíûì.

)

0,5

1,5

2,5

51 22 43 6

2 2

4 4

()

Ðèñ. 19.14

522

Õîòÿ ñèãíàë êîíå÷íîé äëèòåëüíîñòè èìååò áåñêîíå÷íûé ñïåêòð ÷àñòîò, îä-

íàêî ïî÷òè âñåãäà ìîæíî îïðåäåëèòü ãðàíè÷íóþ ÷àñòîòó ñïåêòðà òàêèì îáðà-

çîì, ÷òîáû îòñåêàíèå ÷àñòîò ïðåâûøàþùèõ F

, ïðèâåëî ê ïðåíåáðåæèìî ìà-

ëûì èçìåíåíèÿì ýíåðãèè èñõîäíîãî ñèãíàëà. Òàêîå óñëîâèå çàäàíî â ïðèìåðå.

Ãðàíè÷íàÿ ÷àñòîòà ñïåêòðà F

= 3

(3 × 10

) = 1 êÃö.

Èíòåðâàë äèñêðåòèçàöèè T = 1

(2F

) = 1

(2 × 1 × 10

) = 0,5 ìñ.

Áåðåì îòñ÷åòû ñèãíàëà, ïðèâåäåííîãî íà ðèñ. 19.14, à, ÷åðåç èíòåðâàë âðå-

ìåíè T = 0,5 ìñ è ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x{k} = {0; 2; 3,2; 4; 1; 0,3; 0},

èçîáðàæåííóþ ãðàôè÷åñêè íà ðèñ. 19.14, á.

Îòìåòèì, ÷òî àíàëîãîâûé ñèãíàë x(t) ìîæíî ïîëíîñòüþ âîññòà-

íîâèòü ïî åãî äèñêðåòíûì îòñ÷åòàì x(kT) ñ ïîìîùüþ ÔÍ×, ÷àñòî-

òà ñðåçà êîòîðîãî w

= 0,5w

= w

. Ýòîò âûâîä õîðîøî èëëþñòðè-

ðóåò ðèñ. 19.13, à èç êîòîðîãî âèäíî, ÷òî ñïåêòð ñèãíàëà íà âûõîäå

ÔÍ× ñîâïàäàåò ñî ñïåêòðîì àíàëîãîâîãî ñèãíàëà x(t).

Äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû

(19.8) X

(jw) èìååò ïåðèîäè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ñ w

= 2p/T. Ïðè-

÷åì, êàê è ñïåêòð àíàëîãîâîãî ñèãíàëà X(jw) ñïåêòð äèñêðåòíîãî

ñèãíàëà X

(jw) ÿâëÿåòñÿ ñïëîøíûì (ñì. ðèñ. 19.9, á). Âìåñòå ñ

òåì ïðè öèôðîâîé îáðàáîòêå ñèãíàëîâ èñïîëüçóåòñÿ íå òîëüêî

äèñêðåòèçàöèÿ âî âðåìåíè, íî è äèñêðåòèçàöèÿ â ÷àñòîòíîé îá-

ëàñòè.

Ðèñ. 19.15

523

Äëÿ ñèãíàëà x(t) îãðàíè÷åííîãî âî âðåìåíè èíòåðâàëîì T

(ðèñ. 19.15, à) ñïðàâåäëèâà îáðàòíàÿ òåîðåìà Êîòåëüíèêîâà, êîòîðàÿ

ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç (19.3) ïóòåì çàìåíû t ® w; w

® T

/2; Ò ® Dw:

( )

c â

sin

nTF

XjXn

w-Dw

w=Dw

w-Dw

(19.11)

ãäå Dw = 2p/T

; T

$ äëèòåëüíîñòü ñèãíàëà; X(nDw) $ îòñ÷åòû

ñïåêòðà ñèãíàëà â ÷àñòîòíîé îáëàñòè.

Ïåðåõîäÿ ê äèñêðåòíîìó ñèãíàëó x

(t) (ðèñ. 19.15, á) îòìåòèì,

÷òî îáùåå êîëè÷åñòâî îòñ÷åòîâ ñèãíàëà áóäåò ðàâíî

NTT

ãäå T = 2p/w

= p/w

Äèñêðåòíûé ñïåêòð (ðèñ. 19.15, å) ìîæåò áûòü ïîëó÷åí ïóòåì

ïåðèîäè÷åñêîãî ïîâòîðåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {x(kT)} ñ ïåðèîäîì

= NT (ðèñ. 19.15, â). Ïðè ýòîì ÷àñòîòíûé èíòåðâàë ìåæäó äèñ-

êðåòíûìè îòñ÷åòàìè ñïåêòðà (ðèñ. 19.15, å) ñîñòàâëÿåò

22.

TNT

Dw=p=p

(19.12)

Ñ ó÷åòîì âûøåèçëîæåííîãî äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå

(ÄÏÔ) ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè â ïðåîáðàçîâàíèè (19.9) ñäåëàòü çà-

ìåíó w = nDw. Òîãäà ïîëó÷èì

( )

jnkT

XjnxkTe

-Dw

Dw=

èëè ñ ó÷åòîì (19.12)

( )

jnk

XjnxkTe

Dw=

(19.13)

ãäå n = 0; ±1; ±2; ± ... N/2.

Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè àðãóìåíò nDw è kT îáû÷íî çàìåíÿþò èí-

äåêñîì n è k ñîîòâåòñòâåííî è îïóñêàþò èíäåêñ T, ïðè ýòîì (19.13)

ïðèìåò âèä

( )

jkn

Xjnxke

(19.14)

êîòîðîå îïðåäåëÿåò ïðÿìîå ÄÏÔ.

Ñ ïîìîùüþ (19.14) ìîæíî îïðåäåëèòü îòñ÷åòû ñïåêòðà X(jn) ïî

âðåìåííûì îòñ÷åòàì ñèãíàëà x(k).

Îáðàòíîå ÄÏÔ ìîæíî ïîëó÷èòü èç (19.14) âîñïîëüçîâàâøèñü

äóàëüíîñòüþ ïðÿìîãî è îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå:

524

( )

jkn

xkXjne

(19.15)

Ïðè k < 0 îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îïðåäåëèò x(k),

ðàñïîëîæåííóþ ñëåâà îò 0 (ðèñ. 19.15, â).

Äëÿ ÄÏÔ ïî àíàëîãèè ñ íåïðåðûâíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ôó-

ðüå ñïðàâåäëèâû îñíîâíûå òåîðåìû è ñâîéñòâà (ñì. § 9.2).

Â ÷àñòíîñòè, ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè

( )

llll

axkaXjn

åå

(19.16)

ñäâèã äèñêðåòíîãî ñèãíàëà:

( )

jnm

xkmXjne

(19.17)

ò.å. ñäâèã ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îòñ÷åòîâ ñèãíàëà íà m èíòåðâà-

ëîâ ïðèâîäèò ëèøü ê èçìåíåíèþ ôàçîâîãî ñïåêòðà äèñêðåòíîãî

ñèãíàëà.

Òåîðåìà ñâåðòêè:

( ) ( )

1212

XnXnxmkxk

(19.18)

ãäå N = N

+ N

; N

, N

$ ÷èñëî îòñ÷åòîâ õ

è õ

ñîîòâåòñòâåííî.

Àíàëîãè÷íî ìîæíî çàïèñàòü è äðóãèå òåîðåìû äëÿ ÄÏÔ. Çàìå-

òèì, ÷òî ÄÏÔ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ íå òîëüêî

ñïåêòðà äèñêðåòíûõ ñèãíàëîâ, íî è ñïåêòðà àíàëîãîâûõ ñèãíàëîâ,

äëÿ ÷åãî èõ íåîáõîäèìî äèñêðåòèçèðîâàòü ñîãëàñíî òåîðåìû Êî-

òåëüíèêîâà (19.3).

Ïðèìåð. Ðàññ÷èòàåì ÄÏÔ äèñêðåòíîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà, çàäàííîãî

òðåìÿ îòñ÷åòàìè x{k} = {0; 1; 2}.

Äëÿ ðàñ÷åòà âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé ÄÏÔ (19.14).

( )

() ( )

111

200210220

333

00120123;

jjj

Xjxexexe

-p×××-p×××-p×××

=++=++=

( )

() ()

111

201211221

120240

333

1012012;

jjj

Xjxexexeee

-p×××-p×××-p×××

=++=++

()

ooo

0240480

2012.

jjj

Xjeee

---

=++

Ïîñêîëüêó

120480

eej

==- ,

240

=-+ ,

òî

( )

150

1331,74

Xjje=-+= ,

525

2 3

11,5

. . .

()

Ðèñ. 19.16

0,5

0,25

0,5

0,25

. . .

()

1 23 4 5 67 8 9

Ðèñ. 19.17

( )

210

2331,74

Xjje=--=

Ãðàôèêè çàäàííîãî äèñêðåòíîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ñèãíàëà x(k) è ðàññ÷èòàí-

íîãî äèñêðåòíîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ñïåêòðà àìïëèòóä X(n) ïðèâåäåíû íà

ðèñ. 19.16.

Ïðèìåð. Ðàññ÷èòàåì çíà÷åíèÿ äèñêðåòíîãî ñèãíàëà x(k), ÄÏÔ êîòîðîãî

èìååò âèä X[n] = {0; 1; 0; 1}.

Çíà÷åíèÿ äèñêðåòíîãî ñèãíàëà x(k) áóäåì ðàññ÷èòûâàòü ïî ôîðìóëå

(19.15)

( ) ( )

() ( )

( )

{

}

oooo

0000

001230,5

jjjj

xXeXeXeXe=+++=

;

()

( )

() ( )

( )

{ }

10123

01010;

xXeXeXeXe

ìü

ïï

=+++=

íý

ïï

îþ

=++-=

()

() ( )

( )

{

}

{ }

023

20123

01010,5;

jjjj

xXeXeXeXe

ppp

=+++=

=-+-=-

( ) ( )

() ()

( )

{ }

30123

000.

xXeXeXeXe

ìü

ïï

=+++=

íý

ïï

îþ

=-++=

Ãðàôèê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x{k} = {0,5; 0; $0,5; 0} ïðèâåäåí íà

ðèñ. 19.17. Ñèãíàë x(k) äèñêðåòíûé è ïåðèîäè÷åñêèé.

Ïðèìåð. Îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ ÄÏÔ ñïåêòð àíàëîãîâîãî ñèãíàëà, èçî-

áðàæåííîãî íà ðèñ. 19.18, à.

526

Xjn

()

xte

()=

-a

)

Ðèñ. 19.18

Îãðàíè÷èì äëèòåëüíîñòü ñèãíàëà T

, ãäå

-a

e (ðèñ. 9.18, à). Íàïðè-

ìåð, ïðè T

= 3/a,

-a

;

0,05

ee . Âûáåðåì ÷èñëî îòñ÷åòîâ N = 10, îïðå-

äåëèì ÷àñòîòó äèñêðåòèçàöèè

222

TNTT

ppp

Dw===

××

Ñîãëàñíî (19.14) íàõîäèì îòñ÷åòû ñïåêòðà ñèãíàëà

(

)

000000

0000

010,7160,5310,370,2630,189

0,1350,09340,070,053,41;

jjjjjj

jjjj

Xjeeeeee

eeee

------

----

=×++++++

++++=

()

481216

5555

2024283236

55555

........................................

410,7160,5310,370,263

0,1890,1350,09340,070,050,6

jjjj

jjjjj

Xjeeeee

eeeee

-p-p-p-p

-p-p-p-p-p

=×+++++

+++++=

è ò.ä.

Â òàáëèöå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ñïåêòðà,

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

X(jn)

3,4 3,3 2,8 1,6 0,6 0,4 0,6 1,6 2,8

3,3

à íà ðèñ. 19.18, á ñïåêòð ñèãíàëà X(jn). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì

T (óìåíüøåíèå ÷èñëà îòñ÷åòîâ N) ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè x(t) óâåëè÷è-

âàåòñÿ (ñì. ðèñ. 19.8, à).

Êàê ñëåäóåò èç âûøåïðèâåäåííûõ ïðèìåðîâ è ôîðìóë (19.14),

(19.15), äëÿ âû÷èñëåíèÿ ÄÏÔ ñîäåðæàùèõ N îòñ÷åòîâ íåîáõîäèìî

îñóùåñòâèòü â îáùåì ñëó÷àå N

îïåðàöèé ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëà-

ìè. Åñëè äëèíà îáðàáàòûâàåìûõ ìàññèâîâ äîñòàòî÷íî âåëèêà, òî

âû÷èñëåíèå ÄÏÔ äàæå íà ñîâðåìåííûõ áûñòðîäåéñòâóþùèõ ÝÂÌ

çàíèìàåò äîñòàòî÷íî ìíîãî âðåìåíè. Äëÿ ñîêðàùåíèÿ âû÷èñëåíèé

èñïîëüçóþò îáû÷íî àëãîðèòì áûñòðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå

(ÁÏÔ). Ñóùåñòâóåò ìíîãî ðàçíîâèäíîñòåé ÁÏÔ. Çäåñü ìû ðàñ-

ñìîòðèì îäèí àëãîðèòì, îñíîâàííûé íà ïðîðåæèâàíèè ïî âðåìåíè.

Áûñòðîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå. Ïîëîæèì, ÷òî ÷èñëî îòñ÷åòîâ

N = 2

, ãäå q $ öåëîå ÷èñëî. Ðàçîáüåì äèñêðåòíóþ ïîñëåäîâàòåëü-

íîñòü îòñ÷åòîâ {x(k)} íå äâå ÷àñòè:

÷åòíóþ {x(k)}

÷ò

= {x(2k)}

527

è íå÷åòíóþ {x(k)}

í÷

= {x(2k + 1)}, ãäå k = 0, 1, 2, ... N/2 $ 1.

Ïðåäñòàâèì ñïåêòð (19.14) â âèäå

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

221

221.

jknjkn

Xjnxkexke

xkeexke

--+

=++=

=++

åå

(19.19)

Èç (19.19) ñëåäóåò, ÷òî

( ) ( ) ( )

÷òí÷

XjnXjneXjn

=+ (19.20)

ãäå n = 0, 1, 2, ..., ((N/2) $ 1).

Èç (19.20) ñëåäóåò, ÷òî ïåðâàÿ ïîëîâèíà X(jn) (n = 0, 1, 2, ...,

(N/2) $ 1) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ÄÏÔ äâóõ ÷àñòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíî-

ñòåé: X

÷ò

(jn) è X

í÷

(jn). Âòîðóþ ïîëîâèíó (n

…

N/2) X(jn) ìîæíî

íàéòè, åñëè ó÷åñòü ïåðèîäè÷íîñòü åãî ÷åòíîé è íå÷åòíîé ÷àñòè ñ

ïåðèîäîì N/2:

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

÷ò÷òí÷í÷

2;2

XjnXjnNXjnXjnN=+=+

è ñîîòíîøåíèå (ïðè n  N/2):

(

)

()

jjj

NNN

eeee

-p

=×=-

ïðè ýòîì ïîëó÷èì

( )

( ) ( )

÷òí÷

(2).

XjNnXjneXjn

éù

+=-×

ëû

(19.21)

Ôîðìóëà (19.20) è (19.21) ëåæèò â îñíîâå ÁÏÔ. Êàê ñëåäóåò èç

ýòèõ ôîðìóë äëÿ âû÷èñëåíèÿ X

÷ò

(jn) è X

í÷

(jn) òðåáóåòñÿ (N/2)

îïåðàöèé è äëÿ âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè óìíîæåíèÿ íà exp{×} $ N

îïåðàöèé:

( )

ÁÏÔ

NNN

=+ (19.22)

Äëÿ ÄÏÔ (19.14) òðåáóåòñÿ

222

ÄÏÔ

NNNN

=+= îïåðà-

öèé, ÷òî ñóùåñòâåííî âûøå, ÷åì N

ÁÏÔ

. Íàïðèìåð, ïðè N = 10

ïîëó÷àåì N

ÄÏÔ

= 10

, à N

ÁÏÔ

» 250 ×10

, ò.å. äëÿ ÁÏÔ òðåáóåòñÿ

â ÷åòûðå ðàçà ìåíüøå îïåðàöèé, ÷åì ïðè ÄÏÔ.

Â îáùåì ñëó÷àå ÷èñëî îïåðàöèé, íåîáõîäèìîå â ÁÏÔ ðàâíî

ÁÏÔ2

log

NNN

(19.23)

è âûèãðûø ïî ñðàâíåíèþ ñ ÄÏÔ ðàâíî

log

= (19.24)

528

è ìîæåò äîñòèãàòü ñîòåí è òûñÿ÷ ðàç ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ

âõîäíûõ ìàññèâàõ N.

Â çàêëþ÷åíèè îòìåòèì, ÷òî ñàì ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ ïî ôîðìó-

ëàì (19.19), (19.20) ïðîèçâîäÿò ïî èòåðàöèîííîìó ïðèíöèïó: ïî-

ñëåäîâàòåëüíîñòü îòñ÷åòîâ ñ ÷åòíûìè è íå÷åòíûìè íîìåðàìè ñíîâà

ðàçáèâàþò íà äâå ÷àñòè è ò.ä. Ïðîöåññ ðàçáèåíèÿ ïðîäîëæàåòñÿ äî

òåõ ïîð, ïîêà íå ïîëó÷èòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñîñòîÿùàÿ èç îä-

íîãî ýëåìåíòà (èñõîäíîãî ÄÏÔ). Áîëåå ïîäðîáíî ñ àëãîðèòìàìè

ÁÏÔ ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå (ñì. íàïðè-

ìåð, Ãîëüäåíáåðã Ë.Ì., Ìàòþøêèí Á.Ä., Ïîëÿê Ì.Í. Öèôðîâàÿ

îáðàáîòêà ñèãíàëîâ. Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü. 1990).

19.3. Z-ïðåîáðàçîâàíèå è åãî ñâîéñòâà

Ïðè àíàëèçå è ñèíòåçå äèñêðåòíûõ è öèôðîâûõ öåïåé øèðîêî

ïðèìåíÿþò òàê íàçûâàåìîå z-ïðåîáðàçîâàíèå. Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå

èãðàåò òàêóþ æå îñíîâîïîëàãàþùóþ ðîëü ïî îòíîøåíèþ ê äèñ-

êðåòíûì ñèãíàëàì, êàê ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ïî îòíîøåíèþ ê

àíàëîãîâûì ñèãíàëàì.

Z-ïðåîáðàçîâàíèå äèñêðåòíîãî ñèãíàëà. Çàìåíèì â óðàâíåíèè

(19.9) jw íà êîìïëåêñíóþ ïåðåìåííóþ p:

( )

pkT

XpxkTe

(19.25)

òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èì èçîáðàæåíèå ïî Ëàïëàñó äèñêðåòíîãî

ñèãíàëà. Îðèãèíàë, ò.å. ñàì äèñêðåòíûé ñèãíàë ìîæíî îïðåäåëèòü

ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà (7.4):

( )

xtXpedp

-¥

(19.26)

Óðàâíåíèå (19.26) îïðåäåëÿåò âñþ äèñêðåòíóþ ïîñëåäîâàòåëü-

íîñòü

(

)

(

)

{

}

xtxkT

= . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îäíîãî, k-ãî îòñ÷åòà

ôîðìóëà (19.26) ïðèìåò âèä

( )

pkT

xkTTXpedp

-p

(19.27)

Ñëåäóåò îäíàêî îòìåòèòü, ÷òî X

(p) ÿâëÿåòñÿ òðàíñöåíäåíòíîé

ôóíêöèåé ïåðåìåííîé ð âñëåäñòâèå íàëè÷èÿ â (19.25) è (19.27)

ìíîæèòåëÿ e

pkT

Äëÿ ïåðåõîäà ê ðàöèîíàëüíûì ôóíêöèÿì îñóùåñòâèì çàìåíó

ïåðåìåííûõ:

==+

ezxjy

(19.28)

Òîãäà ôîðìóëà (19.25) ïðèìåò âèä:

529

j0,5

-ïëîñêîñòü

Ðèñ. 19.19

( )

Xzxkz

(19.29)

Ðàâåíñòâî (19.29) íàçûâàþò ïðÿìûì îäíîñòîðîííèì z-ïðåîá-

ðàçîâàíèåì.

Îáðàòíîå z-ïðåîáðàçîâàíèå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:

( )

xkXzzdz



(19.30)

ãäå èíòåãðèðîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñîì |z| = 1.

Äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü (19.30) ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü X(z) $

ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z, àíàëèòè÷åñêàÿ â îáëàñòè |z| > r

. Ðàñ-

êðîåì ðÿä (19.29):

( ) ( )

() ()

( )

012.

Xzxxzxzxkz

---

=++++

(19.31)

Äîìíîæèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòü (19.31) íà z

k$1

( ) ( )

() ( )

( )

11231

012.

kkkk

zXzxzxzxzxkz

-----

=++++

(19.32)

Âîçüìåì êîíòóðíûé èíòåãðàë îò ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè (19.32) âäîëü êðèâîé,

ëåæàùåé öåëèêîì â îáëàñòè àíàëèòè÷íîñòè è îõâàòûâàþùåé âñå ïîëþñû X(z)

è ó÷òåì ðàâåíñòâî Êîøè:

{

p=-

¹-

ïðè 1

ïðè 1.

zdz



Òîãäà âñå ñëàãàåìûå, êðîìå k-ãî îáðàòÿòñÿ â íóëü:

( )

( ) ( ) ( )

---

===

===p

111

zzz

Xzzdzxkzdzxkzdzjxk



Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò (19.30), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó òî÷êàìè íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè p =

= a + jw è z-ïëîñêîñòè z = x + jy (ðèñ. 19.19).

Åñëè ïîëîæèòü a = 0, òî ìû áóäåì ïåðåìåùàòüñÿ ïî îñè jw â

ïëîñêîñòè ð. Ïðè ïåðåõîäå â z-ïëîñêîñòü òî÷êè ìíèìîé îñè jw áó-

äóò ðàñïîëàãàòüñÿ íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè z = e

. Ïðè÷åì,

òî÷êà j0 íà ð-ïëîñêîñòè ïåðåõîäèò â òî÷êó z = +1 íà âåùåñòâåííîé

530

-ïëîñ-

êîñòü

Îáëàñòü

ñõîäèìîñòè

Ðèñ. 19.20

îñè z-ïëîñêîñòè, à òî÷êè

0,5

±w

$ â òî÷êó z = $1. Ýòî îçíà÷àåò,

÷òî òî÷êè îòðåçêà (

ää

0,50,5

-w¸w

) ð-ïëîñêîñòè ïðîåêòèðóþòñÿ â

òî÷êè íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè z-ïëîñêîñòè. Òàê êàê ôóíêöèÿ

ïåðèîäè÷åñêàÿ, òî ïîñëåäóþùèå îòðåçêè îñè jw íà p-ïëîñ-

êîñòè òàêîé æå äëèíû áóäóò âíîâü ïðîåêòèðîâàòüñÿ íà åäèíè÷íóþ

îêðóæíîñòü.

Òî÷êàì ëåâîé ð-ïîëóïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè âíóòðè åäè-

íè÷íîé îêðóæíîñòè z-ïëîñêîñòè, à òî÷êàì ïðàâîé p-ïîëóïëîñ-

êîñòè $ òî÷êè âíå ýòîé îêðóæíîñòè.

Ïðèìåð. Ðàññ÷èòàåì z-ïðåîáðàçîâàíèå äèñêðåòíîãî ñèãíàëà x(k), èìåþùå-

ãî âèä

( )

0,0

1,1,2,3

0,3.

xkk



Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé (19.29), ïîëó÷èì

( )

123

Xzzzz

---

=++= .

Ïðèìåð. Íàéäåì z-ïðåîáðàçîâàíèå X(z) äèñêðåòíîãî ýêñïîíåíöèàëüíîãî

ñèãíàëà x(k) = e

Ïîäñòàâèì çíà÷åíèå x(k) â ôîðìóëó (19.29), ïîëó÷èì

( )

¥¥¥

--a--a-

===

=×=×=×

ååå

000

kkTkT

kkk

Xzxkzezez.

Èç òåîðèè ðÿäîâ ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ |e

×z

| < 1 ñóì-

ìà ðÿäà X(z) ðàâíà 1/(1 $ e

× z

) èëè

( )

-a

Z-ïðåîáðàçîâàíèå X(z) äèñêðåòíîãî ñèãíàëà x(k) îïðåäåëåíî

òîëüêî äëÿ îáëàñòè z, â êîòîðîé ñòåïåííîé ðÿä (19.29) ñõîäèòñÿ.

Ýòà îáëàñòü ñõîäèìîñòè âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñå çíà÷åíèÿ z, íàõîäÿ-

ùèåñÿ âíå íåêîòîðîãî êðóãà íà êîìïëåêñíîé z-ïëîñêîñòè, ðàäèóñ

êîòîðîãî

íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ñõîäè-

ìîñòè (ðèñ. 19.20), ò.å. ïðè r

< |z| < ¥

ðÿä ñõîäèòñÿ. Â îáëàñòè ñõîäèìîñòè

ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîò-

âåòñòâèå ìåæäó X(z) è x(k), ò.å. êàæäî-

ìó x(k) ñîîòâåòñòâóåò îäíî è òîëüêî

îäíî X(z), îïðåäåëåííîå äëÿ |z| > r

íàîáîðîò.

Ïðèìåð. Îïðåäåëèì ðàäèóñ ñõîäèìîñòè äëÿ

z-ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèãíàëà, çàäàííîãî â ïðåäû-

äóùåì ïðèìåðå.