Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание
Подождите немного. Документ загружается.
541
hkT
()
ht
()
ut
âõ
(), B
ukT
âõ
(), B
0
0
0
0
1
1
30
30
T
T
2
T
2
T
t
t
t
t
. . .
. . .
ut
âõ
()
ut
âûõ
()
R
C
Ðèñ. 19.31
( ) ( )
1
,
kTRC
hkhkTe
RC
-
==
òî ïîëó÷èì äèñêðåòíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü RC öåïè, âûõîä-
íóþ ðåàêöèþ êîòîðîé ìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþ (19.36). Ïðè ýòîì,
åñòåñòâåííî âõîäíîé ñèãíàë òàêæå äîëæåí áûòü äèñêðåòèçèðîâàí
(ðèñ. 19.31). Òî÷íî òàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü äèñêðåòíûå ìîäåëè äðó-
ãèõ àíàëîãîâûõ öåïåé. Òàêèì îáðàçîì ôîðìóëà äèñêðåòíîé ñâåðòêè
(19.36) ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî óíèâåðñàëüíîé, ïðèãîäíîé äëÿ îïèñà-
íèÿ êàê àíàëîãîâûõ, òàê è äèñêðåòíûõ öåïåé.
Ïðèìåð. Íà âõîä öåïè ïîñòóïàåò ñèãíàë â âèäå äèñêðåòíîé d-ôóíêöèè.
Ðàññ÷èòàåì âûõîäíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè y(k) öåïåé, èìåþùèõ äèñêðåòíûå
èìïóëüñíûå õàðàêòåðèñòèêè
à) h{ k } = {1; 1; 0; 0; ...};
á) h{ k } = {1; $1; 0; 0; ...};
â) h[k] = 2e
$k
/
2
.
Ãðàôèêè èìïóëüñíûõ õàðàêòåðèñòèê à), á), â) ïðèâåäåíû íà ðèñ. 19.32.
Ðàññ÷èòûâàåì çíà÷åíèÿ y(n), èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (19.36)
y(n) =
( ) ( )
0k
hkxnk
¥
=
-
å
, â êîòîðîé x(k) = d{ k }.
Äëÿ öåïè, èìåþùåé äèñêðåòíóþ èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó
à) h{ k } = {1; 1; 0; 0; ...}, ïîëó÷àåì
(
)
(
)
(
)
000111,
yh
=×d=×=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1011010111,
yhh
=×d+×d=×+×=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
20211201010010,
yhhh
=×d+×d+×d=×+×+×=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3031221300.
yhhhh
=×d+×d+×d+×d=
Âñå îñòàëüíûå çíà÷åíèÿ y(n) áóäóò òàêæå íóëåâûìè.
542
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
a
)
á
)
â
)
2
2
3
3
3
4
4
k
k
k
hk
()
hk
()
hk
()
_
1
Ðèñ. 19.32
Äëÿ öåïè ñ èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé
á) h{ k } = {1; $1; 0; 0; ...} ïîëó÷àåì
(
)
(
)
(
)
000111,
yh
=×d=×=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1011010111,
yhh
=×d+×d=×+-×=-
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
20211200.
yhhh
=×d+×d+×d=
Îñòàëüíûå çíà÷åíèÿ y(n) ðàâíû íóëþ.
Äëÿ öåïè ñ èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé
â) h{ k } = 2e
$k
/
2
= {2; 1,22; 0, 74; 0,45; 0,27; ...} ïîëó÷àåì
(
)
(
)
(
)
0002,
yh
=×d=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
101101,22,
yhh
=×d+×d=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
20211200,74.
yhhh
=×d+×d+×d=
Âñå îñòàëüíûå îòñ÷åòû âûõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè y{ k } ïîâòîðÿþò ñî-
îòâåòñòâóþùèå îòñ÷åòû äèñêðåòíîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè h(k), òàêæå
êàê è â äâóõ ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ à) è á). Ýòîò âûâîä î÷åâèäåí, ò. ê. èì-
ïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà $ ýòî ðåàêöèÿ öåïè íà d-èìïóëüñ.
Ãðàôèêè y(k) áóäóò òàêèìè æå, êàê ãðàôèêè h(k) íà ðèñ. 19.32, ÷òî ÿâëÿ-
åòñÿ î÷åâèäíûì, ò.ê. h(k) ïî îïðåäåëåíèþ åñòü ðåàêöèÿ öåïè íà d-ôóíêöèþ.
Ýëåìåíòû äèñêðåòíûõ öåïåé. Êàê ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ (19.36)
ïðè âû÷èñëåíèè ðåàêöèè äèñêðåòíîé öåïè íà çàäàííîå âîçäåéñòâèå
âûïîëíÿåòñÿ âñåãî òðè îïåðàöèè: óìíîæåíèå, çàäåðæêà è ñëîæåíèå.
Íà ðèñ. 19.33 ýòè äåéñòâèÿ ïðåäñòàâëåíû â âèäå ýëåìåíòîâ
ñòðóêòóðíîé ñõåìû. Îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ äèñêðåòíîãî ñèãíàëà
x(k) íà ÷èñëî à ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå óñèëèòåëÿ ñ êîýôôèöè-
åíòîì óñèëåíèÿ à. Íà åãî âûõîäå ïîëó÷àåì ñèãíàë y(k) = à×x(k).
Ñëîæåíèå ÷èñåë åñòåñòâåííî îòîáðàçèòü íà ñõåìå â âèäå ñóììàòîðà.
Ïîëó÷åíèå îòñ÷åòà x(k $ 1) = x(kT $ T) èç x(k) = x(kT) ìîæíî ñâÿ-
çàòü ñ çàäåðæêîé ïîñëåäíåãî íà âðåìÿ Ò, ò.å. íà îäèí «òàêò». Äåé-
ñòâèå ýëåìåíòà çàäåðæêè ïîÿñíÿåòñÿ íà ðèñ. 19.33.
Òàêèì îáðàçîì, àëãîðèòì âû÷èñëåíèé äèñêðåòíîãî ñèãíàëà
y(k), îïèñûâàåìûé âûðàæåíèåì (19.36), ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå ñòðóêòóðíîé ñõåìû.
543
Ðèñ. 19.33
1
1
1
1
xk
()
x
()
k x
()
k
y
=
()
k
xk
(1)
_
y
=
()
k xk
(3)
_
y
=
()
k xk
( 3)
_
y
= ()
k xk
(1)
_
y
= ()
k xk
(3)
_
T
T
3T
T T
0
0
0
0
1
1
1
1
_
1
_
1
_
1
_
1
_
2
_
2
_
2
_
2
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
k
k
k
k
x
()
k
x
()
k
. . .
. . .
Ðèñ. 19.34
Ïðèìåð. Ñîñòàâèì ñòðóêòóðíóþ ñõåìó öåïè, äèñêðåòíàÿ èìïóëüñíàÿ õà-
ðàêòåðèñòèêà êîòîðîé äàíà â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, ò.å. h{ k } = {$1; 1; 2}
(ðèñ. 19.28).
 ñîîòâåòñòâèè ñ àëãîðèòìîì (19.36) è ñ ó÷åòîì çàäàííûõ çíà÷åíèé õàðàê-
òåðèñòèêè h(k) ñòðóêòóðíàÿ ñõåìà öåïè ïðèâåäåíà íà ðèñ. 19.35. Ïî ýòîé ñõå-
ìå íåñëîæíî îïðåäåëèòü âûðàæåíèå äëÿ âûõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè y(k) =
$x(k) + x(k $ 1) + 2x(k $ 2).
Êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 19.33 è ðèñ. 19.34 îáùèì ñâîéñòâîì ýëåìåí-
òîâ äèñêðåòíûõ öåïåé ÿâëÿåòñÿ èõ îäíîíàïðàâëåííîå äåéñòâèå, ïî-
êàçàííîå íà ðèñóíêàõ ñòðåëêàìè. Ñ òî÷êè çðåíèÿ òîïîëîãèè, ýëå-
ìåíòû äèñêðåòíûõ öåïåé ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äâóõïîëþñíûå (ýëå-
ìåíò çàäåðæêè, óìíîæèòåëü) èëè ìíîãîïîëþñíûå ýëåìåíòû (ñóì-
ìàòîð).
Îáùåå óðàâíåíèå äèñêðåòíûõ öåïåé. Èç óðàâíåíèÿ (19.36),
ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðîâ è ðèñ. 19.35 îòêëèê äèñêðåòíîé öåïè y(k)
íà âîçäåéñòâèå õ(k) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=+-+-++-
K
012
12,
N
ykaxkaxkaxkaxkN
(19.38)
544
xk
()
_
x
()
k
y
=
x
()() + (1) + 2 (2)
kkxkxk
_
_
_
2
xk
(2)
_
xk
(1)
_
_
1 1 2
++
TT
+
+
+
+
Ðèñ. 19.35
ãäå a
0
, a
1
, a
2
, ..., a
N
$ íåêîòîðûå ÷èñëà (âåñà) ïðåäñòàâëÿþùèå ñî-
áîé ïî ñóòè îòñ÷åòû èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè öåïè.
Óðàâíåíèþ (19.38) ñîîòâåòñòâóåò äèñêðåòíàÿ öåïü, èçîáðàæåí-
íàÿ íà ðèñ. 19.36. Â ëèòåðàòóðå ýòó öåïü íàçûâàþò èíîãäà òðàíñ-
âåðñàëüíûì ôèëüòðîì.
Êàê ñëåäóåò èç (19.38) äëÿ ïîëó÷åíèÿ k-ãî îòñ÷åòà âûõîäíîãî
ñèãíàëà ïîäâåðãàþòñÿ îáðàáîòêå (k $ N) îòñ÷åòîâ âõîäíîãî ñèãíà-
ëà ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âåñîâûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Ñëåäóåò îäíàêî îòìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèåì (19.38) íå èñ÷åðïû-
âàþòñÿ âñå âîçìîæíûå àëãîðèòìû ðàáîòû äèñêðåòíûõ öåïåé.  ÷à-
ñòíîñòè, ýòîò àëãîðèòì ìîæåò âêëþ÷àòü îáðàáîòêó íå òîëüêî îòñ÷å-
òîâ âõîäíîãî, íî è îòñ÷åòîâ âûõîäíîãî ñèãíàëà, ñäâèíóòîãî íà îï-
ðåäåëåííîå ÷èñëî òàêòîâ. Ïîýòîìó íàèáîëåå îáùåå óðàâíåíèå äèñ-
êðåòíîé öåïè èìååò ñëåäóþùèé âèä
( )
( ) ( )
01
,
NM
kl
kl
ynaxnkbynl
==
=-+-
åå
(19.39)
ãäå b
l
$ âåñîâûå êîýôôèöèåíòû.
Íà ðèñ. 19.37 èçîáðàæåíà ñõåìà äèñêðåòíîé öåïè, ñîîòâåòñò-
âóþùåé àëãîðèòìó (19.39).
xk
()
a
0
xk
()
a
1
_
xk
(1)
a
2
xk
(2)
_
a
N
xkN
( )
_
+
T
T
T
a
0
a
1
a
2
a
N
yk
()
xk
()
a
0
xk
()
a
1
_
xk
(1)
a
2
xk
(2)
_
a
N
xkN
( )
_
+
T
T
T
a
0
a
1
a
2
a
N
b
1
_
y l
(1)
b
2
y l
(2)
_
b
M
y l M
( )
_
T
T
T
b
1
b
2
b
M
yk
()
Ðèñ. 19.36 Ðèñ. 19.37
545
Ïðèíöèïèàëüíûì îòëè÷èåì ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 19.37
îò ñõåìû íà ðèñ. 19.36 ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå öåïè îáðàòíîé ñâÿçè, ïî-
ýòîìó ñõåìû, îïèñûâàåìûå óðàâíåíèåì (19.39), ïîëó÷èëè íàçâàíèå
ðåêóðñèâíûõ, à öåïè, îïèñûâàåìûå (19.38), $ íåðåêóðñèâíûõ.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåàêöèè äèñêðåòíîé öåïè íåîáõîäèìî ðåøèòü
ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ (19.38) è (19.39). Åñëè ðåøåíèå (19.38)
îáû÷íî íå ïðåäñòàâëÿåò îñîáîãî òðóäà, òî äëÿ ðåøåíèÿ (19.39) íå-
îáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ñïåöèàëüíûå ìåòîäû. Ïî àíàëîãèè ñ ðåøå-
íèåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ àíàëîãîâóþ
öåïü, ðåøåíèå ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ìîæíî îñóùåñòâèòü êàê êëàñ-
ñè÷åñêèì, òàê è îïåðàòîðíûì ìåòîäîì. Îáû÷íî äëÿ ðåøåíèÿ ðàç-
íîñòíûõ óðàâíåíèé â òåîðèè äèñêðåòíûõ öåïåé èñïîëüçóåòñÿ îïå-
ðàòîðíûé ìåòîä, ïðè÷åì âìåñòî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà èñïîëü-
çóþò z-ïðåîáðàçîâàíèå.
Ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè. Ïðè àíàëèçå è ñèíòåçå äèñêðåòíûõ
ñèñòåì âàæíåéøóþ ðîëü èãðàþò ïåðåäàòî÷íûå èëè ñèñòåìíûå
ôóíêöèè öåïåé.
Ïðèìåíèì ê óðàâíåíèþ (19.39) ïðÿìîå z-ïðåîáðàçîâàíèå è ó÷òÿ
îñíîâíûå ñâîéñòâà z-ïðåîáðàçîâàíèÿ (ñì. § 19.3), ïîëó÷èì
( ) ( ) ( )
01
.
NM
kl
kl
kl
YzXzazYzbz
--
==
=+
åå
Îòñþäà ñëåäóåò
( ) ( )
10
1.
MN
lk
lk
lk
YzbzXzaz
--
==
éù
-=
êú
ëû
åå
(19.40)
Îïðåäåëèì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ äèñêðåòíîé öåïè êàê îò-
íîøåíèå z-ïðåîáðàçîâàíèé âûõîäíîãî êî âõîäíîìó äèñêðåòíîìó
ñèãíàëó:
( )
( )
( )
0
1
.
1
N
k
k
k
M
l
l
l
az
Yz
Hz
Xz
bz
-
=
-
=
==
-
å
å
(19.41)
Èç (19.41) ñëåäóåò, ÷òî êîýôôèöèåíòû a
k
÷èñëèòåëÿ îïðåäåëÿþò
íåðåêóðñèâíóþ ÷àñòü äèñêðåòíîé öåïè, à êîýôôèöèåíòû b
l
çíàìå-
íàòåëÿ $ ðåêóðñèâíóþ ÷àñòü.
Äëÿ íåðåêóðñèâíîé öåïè (M = 0) ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ îïðå-
äåëèòñÿ êàê
( )
0
.
N
k
k
k
Hzaz
-
=
=
å
(19.42)
Ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ (19.42) ìîæíî îïðåäåëèòü êàê z-ïðåîá-
ðàçîâàíèå îò èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè öåïè:
546
( )
( )
0
.
N
k
k
Hzhkz
-
=
=
å
(19.43)
Ñðàâíåíèå (19.42) è (19.43) ïîêàçûâàåò, ÷òî ðîëü êîýôôèöèåí-
òîâ a
k
èãðàþò îòñ÷åòû èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè h(k). Íåòðóäíî
òàêæå âèäåòü, ÷òî èìïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà íåðåêóðñèâíîé öåïè
ñîãëàñíî (19.38) ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé, à ðåêóðñèâíîé ñîãëàñíî
(19.39) áåñêîíå÷íîé, ïîýòîìó èíîãäà íåðåêóðñèâíûå äèñêðåòíûå
öåïè íàçûâàþò öåïÿìè ñ êîíå÷íîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé
(ÊÈÕ), à ðåêóðñèâíûå $ ñ áåñêîíå÷íîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðè-
ñòèêîé (ÁÈÕ).
Ïðèìåð. Ïîëîæèì, ÷òî ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ äèñêðåòíîé öåïè èìååò âèä
( )
1
.
1
a
Hz
bz
-
=
-
Ïðè a = 1; b = 0 ïîëó÷àåì èäåàëüíûé èíòåãðàòîð ñ èìïóëüñíîé õàðàêòåðè-
ñòèêîé h{k} = {1, 1, ..., 1, ...}. Ïî íåðåêóðñèâíîé ñõåìå òàêóþ èìïóëüñíóþ õà-
ðàêòåðèñòèêó ðåàëèçîâàòü íåëüçÿ.
Àíàëèç (19.41) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ðåêóð-
ñèâíîé öåïè èìååò ñòðóêòóðó, àíàëîãè÷íóþ òèïè÷íîé ïåðåäàòî÷íîé
ôóíêöèè öåïè ñ ÎÑ (ñì. ãë. 14). H(z) ÿâëÿåòñÿ äðîáíî-ðàöèîíàëü-
íîé ôóíêöèåé îòíîñèòåëüíî z
$1
:
( )
---
---
++++
=
----
K
K
12
012
12
12
.
1
N
N
M
M
aazazaz
Hz
bzbzbz
Èç (19.41) è (19.42) òàêæå ñëåäóåò, ÷òî H(z) èç (19.41) èìååò
ïîëþñà (íóëè ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ), êîòîðûå ìîãóò ðàñïîëàãàòüñÿ
â ëþáîé òî÷êå z-ïëîñêîñòè, à H(z) èç (19.42) òîëüêî ïîëþñ êðàòíî-
ñòè N â íà÷àëå êîîðäèíàò.
Ïðèìåð. Íàéäåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ýëåìåíòà çàäåðæêè. Ñèãíàë íà
åãî âûõîäå îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
(
)
(
)
1.
ykxk=-
Ïðèìåíèâ ê íåìó z-ïðåîáðàçîâàíèå, ïîëó÷èì
( ) ( )
1
.
YzXzz
-
=
Îòñþäà ïîëó÷àåì
( ) ( ) ( )
1
,
HzYzXzz
-
==
Ðèñ. 19.38
547
xk
()
yx
= 4
()()1,5 (1)
kkxk
--
4
x
()
k
--
xk
(1)
1,5
4
+
T
Ðèñ. 19.39
ïîýòîìó íà ñòðóêòóðíûõ îïåðàòîðíûõ ñõåìàõ äèñêðåòíûõ öåïåé ýëåìåíò çà-
äåðæêè îáû÷íî îáîçíà÷àþò z
$1
(ðèñ. 19.38).
Ïðèìåð. Íàéäåì èìïóëüñíóþ õàðàêòåðèñòèêó è ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ
äèñêðåòíîé öåïè (ðèñ. 19.39), âûõîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîòîðîé çàäàíà
âûðàæåíèåì y(k) = 4x(k) $ 1,5x(k $ 1).
Îòñ÷åòû äèñêðåòíîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè h(k) $ ýòî îòñ÷åòû y(k),
ðàññ÷èòàííûå ïðè óñëîâèè, ÷òî íà âõîä öåïè ïîäàåòñÿ äèñêðåòíàÿ d-ôóíêöèÿ,
ò. å. x{ k } = d{ k} = {1; 0; 0; ...}.
(
)
(
)
(
)
0401,514,11,504
h
=d-d-=-×=
,
(
)
(
)
(
)
1411,501,5
h
=d-d=-
,
(
)
0
hk
=
ïðè k > 1.
Òàêèì îáðàçîì, îòñ÷åòû äèñêðåòíîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè h{ k } =
= {4; $1,5} ñîîòâåòñòâóþò êîýôôèöèåíòàì óñèëåíèÿ óñèëèòåëåé â ñõåìå
(ðèñ. 19.39).
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè H(z) âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (19.42):
( )
( )
( )
()
011
0
0141,5
k
k
Hzhkzhzhzz
¥
---
=
=×=+=-
å
.
Äðóãîé ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè H(z) çàêëþ÷àåòñÿ â
òîì, ÷òîáû îïðåäåëèòü z-èçîáðàæåíèå âûõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à çàòåì
íàéòè H(z) êàê îòíîøåíèå Y(z) è X(z):
( ) ( ) ( )
1
41,5
YzXzXzz
-
=-
èëè
( ) ( )
(
)
( ) ( )
1
41,5
YzXzzXzHz
-
=-=×
.
Î÷åâèäíî, ÷òî H(z) = 4 $ 1,5z
$1
. Íà ðèñ. 19.40 ïðèâåäåíî z-èçîáðàæåíèå ýòîé
äèñêðåòíîé öåïè.
-
Xzz
()
_
1
1,5
+
z
_
1
Xz
()
4()
Xz
Yz
() = 4
XzXzz
() 1,5 ()
-
_
1
Hz
() = 4 1,5
-
z
_
1
4
Ðèñ. 19.40
548
Ïðèìåð. Íàéäåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ äèñêðåòíîé öåïè, âõîäíàÿ è âû-
õîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîòîðîé èìåþò âèä
x{ k } = {1; 0; 1; 2}, y{ k } = {0; 1; 2; 1}.
Z-èçîáðàæåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
( )
( )
23
0
12
k
k
Xzxkzzz
¥
---
=
=×=++
å
;
( )
( )
123
0
2
k
k
Yzykzzzz
¥
----
=
=×=++
å
.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ
( )
( )
( )
123
23
2
12
Yzzzz
Hz
Xz
zz
---
--
++
==
++
.
Çíàÿ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ äèñêðåòíîé öåïè H(z) ñ ïîìîùüþ
ôîðìóëû
(
)
(
)
(
)
YzXzHz
=
(19.44)
ìîæíî íàéòè z-èçîáðàæåíèå âûõîäíîãî ñèãíàëà Y(z) ïî z-èçîáðà-
æåíèþ âõîäíîãî Õ(z).
Äëÿ íàõîæäåíèÿ îòñ÷åòîâ âûõîäíîãî ñèãíàëà y(k) ïî åãî z-èçîáðàæåíèþ
Y(z) ìîæíî òî÷íî òàêæå êàê è äëÿ àíàëîãîâûõ öåïåé èñïîëüçîâàòü òåîðåìó
ðàçëîæåíèÿ (ñì. § 7.2), êîòîðàÿ ïðèìåíèòåëüíî ê äèñêðåòíûì öåïÿì äëÿ ïðà-
âèëüíîé äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè Y(z) = P(z)/Q(z) (ãäå P(z), Q(z) $
ïîëèíîìû) èìååò âèä
( ) ( )
11
,
MM
n
lll
ll
ynynAz
==
==
åå
(19.45)
ãäå A
l
$ êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ Y(z):
( )
(
)
( )
1
1
,
1
M
l
l
l
A
Pz
Yz
Qz
zz
-
=
==
-
å
z
l
$ ïðîñòûå ïîëþñà Y(z).
Êîýôôèöèåíò A
l
ìîæåò áûòü íàéäåí
(
)
( )
l
zz
l
Pz
A
dQzdz
=
éù
=
êú
ëû
$
âû÷åò ôóíêöèè Y(z) â ïîëþñå z = z
l
.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî îòñ÷åòû y(k) äëÿ íåðåêóðñèâíîé öåïè ìî-
ãóò áûòü íàéäåíû êàê êîýôôèöèåíòû ïðè îòðèöàòåëüíûõ ñòåïåíÿõ
z â óðàâíåíèè äëÿ Y(z).
Ïðèìåð. Íàéäåì îòñ÷åòû âûõîäíîãî ñèãíàëà y(k) äèñêðåòíîé öåïè, z-èçîá-
ðàæåíèå êîòîðîé ïðèâåäåíî íà ðèñ. 19.41, à âõîäíîé ñèãíàë x{ k } = {$2; 1; 2; $1}.
Íàéäåì z-èçîáðàæåíèå âõîäíîãî ñèãíàëà x(k):
( )
( )
( )
() ( )
( )
123
0
123
0123
22.
k
k
Xzxkzxxzxzxz
zzz
¥
----
=
---
=×=+++=
=-++-
å
549
+
z
_
1
Xz
()
Xzz
()
_
1
2 ()
Xzz
_
2
-
Xz
()
Hz
() =
1 + + 2
zz
__
12
-
_
1 1 2
z
_
1
Yz
() =
XzHzXzXzzXzz
()
.
() =() + ()+ 2 ()
__
12
-
Ðèñ. 19.41
Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ öåïè (ðèñ. 19.41)
( )
12
12
Hzzz
--
=-++ . Îíà íà-
õîäèòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ïî ñõåìå ëèáî êàê z-èçîáðàæåíèå äèñêðåòíîé èì-
ïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè h{ k } = {$1; 1; 2}.
Íàéäåì z-èçîáðàæåíèå âûõîäíîãî ñèãíàëà
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
12312
12345
2212
235532.
YzXzHzzzzzz
zzzzz
-----
-----
=×=++--++=
=--++-
Êîýôôèöèåíòû ïðè z â îòðèöàòåëüíûõ ñòåïåíÿõ â ýòîì âûðàæåíèè ÿâëÿþòñÿ
îòñ÷åòàìè âûõîäíîãî ñèãíàëà y(k) (ðèñ. 19.29):
y{ k } = {2; $3; $5; 5; 3; $2}.
Ïðèìåð. Íàéäåì îòñ÷åòû âûõîäíîãî ñèãíàëà íåðåêóðñèâíîé äèñêðåòíîé
öåïè, èìåþùåé äèñêðåòíóþ èìïóëüñíóþ ðåàêöèþ h{ k } = {1; $0,6; $1,5; 1},
ïðè âîçäåéñòâèè íà íåå äèñêðåòíîãî ñèãíàëà x{ k } = {1; 0; 1; 0}.
Îòñ÷åòû äèñêðåòíîé èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêè $ ýòî êîýôôèöèåíòû
óñèëåíèÿ a
0
= 1; a
1
= $0,6; a
2
= $1,5; a
3
= 1. Ñòðóêòóðíàÿ ñõåìà íåðåêóð-
ñèâíîé äèñêðåòíîé öåïè ñ çàäàííîé èìïóëüñíîé ðåàêöèåé ïðèâåäåíà íà
ðèñ. 19.42.
Âûõîäíîé äèñêðåòíûé ñèãíàë y(k) íàéäåì, èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (19.38)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
0123
123
0,611,523.
ykaxkaxkaxkaxk
xkxkxkxk
=+-+-+-=
=----+-
xn
()
xn
()
ynxn
xn
xn
xn
() ()
0,6( 1)
1,5( 2)
( 3)
-
---
--+
+-
=
--
1,5
xn
(2)
--
0,6
xn
( 1)
-
xn
( 3)
1
1
+
T
T
T
Ðèñ. 19.42
550
0
0
1
1
1
_
1
_
1
1
2
2
2
2
3
3
4
5
k
k
xk
()
yk
()
Ðèñ. 19.43
Îòñ÷åòû ñèãíàëà y(k) íàéäåì, ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ x(k) â ïîëó÷åííîå
ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå.
(
)
(
)
001
yx
==
;
(
)
(
)
(
)
110,6000,610,6
yxx
=-=-×=-
;
(
)
(
)
(
)
(
)
220,611,5010,601,510,5
yxxx
=--=-×-×=-
;
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
330,621,51000,611,5010,4
yxxxx
=--+=-×-×+=
.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ðàññ÷èòûâàåì y(4) = $1,5; y(5) = 1; y(6) = 0. Âñå
îñòàëüíûå îòñ÷åòû òàêæå ðàâíû íóëþ.
Òàêèì îáðàçîì, âûõîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü y{ k } = {1; $0,6; $0,5; 0,4;
$1,5; 1}. Ãðàôèêè x(k) è y(k) ïðèâåäåíû íà ðèñ. 19.43.
Èç ðèñ. 19.37 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ ðåêóð-
ñèâíîé îáðàáîòêè ñèãíàëà äèñêðåòíàÿ öåïü äîëæíà èìåòü áîëüøîå
êîëè÷åñòâî ÿ÷ååê ïàìÿòè, ÷òî ñóùåñòâåííî óñëîæíÿåò ñõåìó. Äëÿ
óïðîùåíèÿ äèñêðåòíîé öåïè èñïîëüçóþò, òàê íàçûâàåìóþ êàíîíè-
÷åñêóþ ñõåìó. Êàíîíè÷åñêàÿ ñõåìà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç
(19.43), åñëè ïðåäñòàâèòü Y(z) â âèäå:
( ) ( )
0
,
N
k
k
k
YzWzaz
-
=
=
å
(19.46)
xk
()
yk
()
+
+
T
T
T
b
1
a
1
a
0
b
2
a
2
b
M
a
N
Ðèñ. 19.44