Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание
Подождите немного. Документ загружается.
551
xk
()
y
()
k
+
+
T
T
b
1
a
1
a
0
a
0
= 1
b
1
= 0,5
a
1
= 1
_
b
2
= 0,5
_
a
2
= 1
b
2
a
2
Ðèñ. 19.45
ãäå W(z) $ z-ïðåîáðàçîâàíèå ïðîìåæóòî÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
( )
(
)
1
.
1
M
l
l
l
Xz
Wz
bz
-
=
=
-
å
(19.47)
Òîãäà ñîãëàñíî (19.46) àëãîðèòì äèñêðåòíîé îáðàáîòêè ñèãíàëà
çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âíà÷àëå ðåàëèçóåòñÿ ðåêóðñèâíîå ïðåîáðà-
çîâàíèå (19.47), à çàòåì íåðåêóðñèâíîå (ðèñ. 19.44).
Ïðèìåð. Íàéäåì ðåàêöèþ äèñêðåòíîé öåïè íà âîçäåéñòâèå x{ k } = {1; $1;
1; $1}, åñëè ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ öåïè èìååò âèä
( )
12
12
1
10,50,5
zz
Hz
zz
--
--
-+
=
-+
.
Ñîñòàâèì ñòðóêòóðíóþ êàíîíè÷åñêóþ ñõåìó äèñêðåòíîé öåïè ñ çàäàííîé
ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé (ðèñ. 19.45). Êîýôôèöèåíòû óñèëåíèÿ èçâåñòíû:
a
0
= 1; a
1
= $1; a
2
= 1; b
1
= 0,5; b
2
= $0,5.
Íàéäåì âûõîäíîé ñèãíàë y(k) öåïè, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (19.38) èëè íå-
ïîñðåäñòâåííî ïî ñõåìå:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
01212
1212
120,510,52.
ykaxkaxkaxkbykbyk
xkxkxkykyk
=+-+-+-+-=
=--+-+---
Ðàññ÷èòàåì îòñ÷åòû y(k):
(
)
(
)
001
yx
==
;
(
)
(
)
(
)
(
)
1100,50110,511,5
yxxy
=-+=--+×=-
;
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
22100,510,50
1110,51,52,25.
yxxxyy
=-++-=
=+++-=
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ðàññ÷èòûâàåì y(3) = $1,125, y(4) = 1,3125 è ò.ä.
Óñòîé÷èâîñòü ðåêóðñèâíûõ öåïåé. Äèñêðåòíàÿ öåïü ñ÷èòàåòñÿ
íåóñòîé÷èâîé, åñëè îãðàíè÷åííîå ïî àìïëèòóäå âõîäíîå âîçäåéñò-
âèå âûçûâàåò íà åå âûõîäå áåñêîíå÷íî íàðàñòàþùèé îòêëèê. Íà-
552
îáîðîò, äèñêðåòíàÿ öåïü óñòîé÷èâà, êîãäà îòêëèê íà îãðàíè÷åííîå
âîçäåéñòâèå òàêæå îãðàíè÷åí.
Èçâåñòíî, ÷òî ó óñòîé÷èâîé àíàëîãîâîé öåïè ïîëþñû ïåðåäàòî÷-
íîé ôóíêöèè ðàñïîëàãàþòñÿ â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè ïåðåìåííîé p.
Ïðè ïåðåõîäå îò àíàëîãîâîé öåïè ê äèñêðåòíîé è çàìåíå ïðåîáðà-
çîâàíèÿ Ëàïëàñà z-ïðåîáðàçîâàíèåì òî÷êè ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè p-
ïëîñêîñòè ïåðåõîäÿò â òî÷êè, ëåæàùèå âíóòðè åäèíè÷íîé îêðóæ-
íîñòè z-ïëîñêîñòè (ðèñ. 19.19). Òàêèì îáðàçîì, ïîëþñû ïåðåäàòî÷-
íîé ôóíêöèè óñòîé÷èâîé äèñêðåòíîé öåïè ðàñïîëàãàþòñÿ âíóòðè
åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè z-ïëîñêîñòè.
Íåðåêóðñèâíûå öåïè âñåãäà óñòîé÷èâû.
Ïðèìåð. Îïðåäåëèì óñòîé÷èâîñòü öåïåé, èìåþùèõ ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè:
à)
( )
1
1
1
1
10,3
z
Hz
z
-
-
-
=
-
,
á)
( )
1
2
1
1
12
z
Hz
z
-
-
-
=
-
,
â)
( )
2
3
12
1
11,80,97
z
Hz
zz
-
--
-
=
-+
,
ã)
( )
2
4
12
1
12,41,69
z
Hz
zz
-
--
-
=
-+
.
Ïîëþñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè
( )
1
1
1
1
10,3
z
Hz
z
-
-
-
=
-
íàéäåì, ïðèðàâíÿâ çíàìåíàòåëü H
1
(z) ê íóëþ, 1 $ 0,3z
$1
= 0.
Ïîëó÷àåì ïîëþñ
(
)
1
1
z
= 0,3, êîòîðûé íàõîäèòñÿ âíóòðè åäèíè÷íîé îêðóæ-
íîñòè z-ïëîñêîñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî öåïü óñòîé÷èâà.
Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ
( )
1
2
1
1
12
z
Hz
z
-
-
-
=
-
èìååò ïîëþñ â òî÷êå
(
)
2
1
z
= 2; òàêàÿ öåïü íåóñòîé÷èâà.
Ïîëþñû ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè
( )
2
3
12
1
11,80,97
z
Hz
zz
-
--
-
=
-+
ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûìè
(
)
3
1
0,90,4
zj=+ è
(
)
3
2
0,90,4
zj=- . Ïî-
ñêîëüêó ýòè ïîëþñû ëåæàò âíóòðè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè (èõ ìîäóëè
( ) ( )
33
12
1
zz
=<
), òî äàííàÿ äèñêðåòíàÿ öåïü óñòîé÷èâà.
Ïðèìåðîì íåóñòîé÷èâîé öåïè ñëóæèò öåïü ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé
( )
2
4
12
1
12,41,69
z
Hz
zz
-
--
-
=
-+
,
ó êîòîðîé
(
)
4
1
1,20,5
zj=+ è
(
)
4
2
1,20,5
zj=- è
( ) ( )
44
12
1
zz
=>
.
553
×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè. Äëÿ ïåðåõîäà îò ïåðåäàòî÷íîé
ôóíêöèè H(z) ê ÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêå H(jf) íåîáõîäèìî ïðî-
èçâåñòè çàìåíó
2
jtjfT
zee
wp
==
.
Îáû÷íî ââîäÿò â ðàññìîòðåíèå íîðìèðîâàííóþ ÷àñòîòó W =
= fT = f
/
f
ä
. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ôîðìóëà (19.41) ïðèìåò âèä:
( )
(
)
( )
( )
( )
pW
-pW-pW-pW
-pW-pW-pW
W==
++++
==
----
+pW+pW++pW-
=´
-pW-pW--pW+
-pW+pW++pW
´
+pW+pW++
K
K
K
K
K
K
2
242
012
242
12
012
12
12
12
1
cos2cos4cos2
1cos2cos4cos2
sin2sin4sin2
sin2sin4s
j
jjjN
N
jjjM
M
N
M
N
M
HjHe
aaeaeae
bebebe
aaaaN
bbbM
jaaaN
jbbb
( )
pW
.
in2 M
(19.48)
Èç (19.48) ëåãêî ïîëó÷èòü àìïëèòóäíî-÷àñòîòíóþ è ôàçî-÷àñòîò-
íóþ õàðàêòåðèñòèêè äèñêðåòíîé öåïè.  ÷àñòíîñòè, àìïëèòóäíî-
÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà áóäåò ïðåäñòàâëåíà âûðàæåíèåì
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
012
2
12
2
12
2
12
cos2cos4
1cos2cos4
sin2sin4
.
sin2sin4
aaa
HHj
bb
aa
bb
+pW+pW++
W=W=´
-pW-pW-+
+pW+pW+
´
+pW+pW+
K
K
K
K
(19.49)
Ïðèìåð. Äèñêðåòíàÿ öåïü 3-ãî ïîðÿäêà îïèñûâàåòñÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíê-
öèåé
+
T
T
T
x
()
n y
()
n
z
-ïëîñêîñòü
Ïîëþñû
z
1
(
6
)
= 0,544
z
1
(
6
)
ze
2
(
6
)
= 0,731
+ 0,544
j
z
2
(
6
)
ze
3
(
6
)
= 0,731
_
0,544
j
z
3
(
6
)
1
a
)
á
)
Ðèñ. 19.46
554
HHj
()= |()|
WW
W
0
0,1
0,5
1,0
1
Ðèñ. 19.47
( )
6
123
0,1317
11,7851,2020,2853
Hz
zzz
---
=
-+-
(19.50)
ñ ïîëþñàìè
(
)
6
1
0,544
z =
è
(
)
60,544
2,3
0,731
j
ze
±
= . Ðàñïîëîæåíèå ïîëþñîâ â ïëîñ-
êîñòè z ïîêàçàíî íà ðèñ. 19.46, à. Çäåñü æå ïðèâåäåíà ñòðóêòóðíàÿ ñõåìà äèñ-
êðåòíîé öåïè (ðèñ. 19.46, á). Îïðåäåëèòü À×Õ öåïè.
Ïîäñòàâèì â (19.50)
( )
( )
( )
2
2
0,1317
11,785cos21,202cos40,2853cos6
.
1,785sin21,202sin40,2853sin6
H
W=´
-pW+pW-pW+
´
+pW-pW+pW
Íà ðèñ. 19.47 èçîáðàæåí ãðàôèê À×Õ H(W) öåïè. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî
À×Õ ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé (19.50) ñîîòâåòñòâóåò ÔÍ× Áàòòåðâîðòà. Êàê è
ñëåäîâàëî îæèäàòü, àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà äèñêðåòíîé öåïè ÿâ-
ëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé (òàê êàê H(jW) åñòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îò
äèñêðåòíîé èìïóëüñíîé ðåàêöèè). Åå ïåðèîä ðàâåí f
ä
= 1
/
T èëè W = f
ä
× T = 1.
Ïîýòîìó îíà èñïîëüçóåòñÿ â äèàïàçîíå ÷àñòîò îò 0 äî 0,5f
ä
(èëè äî W = 0,5).
Öåïü óñòîé÷èâà.
Ïðèìåð. Íàéäåì ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó äèñêðåòíîé öåïè ñ èìïóëüñíîé
õàðàêòåðèñòèêîé h{ k } = {1,5; 1; 0,5}.
Çàïèøåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ H(z) öèôðîâîãî ôèëüòðà, âîñïîëüçî-
âàâøèñü ôîðìóëîé
( )
( )
0
k
k
Hzhkz
¥
-
=
=
å
.
Ïîëó÷èì
( )
12
1,50,5
Hzzz
--
=++ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ íåðåêóðñèâíîé öåïè.
H
()
W
W
0
0,1
0,3
0,2
0,7
0,6
0,9
0,8
0,5
0,4
1,0
1
2
3
Ðèñ. 19.48
555
H
()
W
W
0
0,1
0,5
1,0
1
2
3
4
Ðèñ. 19.49
Íàéäåì À×Õ ýòîé öåïè, ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (19.48) çíà÷åíèÿ êîýôôè-
öèåíòîâ óñèëåíèÿ a
0
= 1,5; a
1
= 1; a
2
= 0,5,
( )
( ) ( )
( ) ( )
W=+pW+pW+pW+pW=
=+pW+pW+pW+pW
22
01212
22
cos2cos4sin2sin4
1,5cos20,5cos4sin20,5sin4.
Haaaaa
Ãðàôèê À×Õ èçîáðàæåí íà ðèñ. 19.48.
Ïðèìåð. Èçìåíèì êîýôôèöèåíòû óñèëåíèÿ â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå. Âûáå-
ðåì a
0
= a
2
= 1, a
1
= $2. Âíîâü íàéäåì âûðàæåíèå H(W) è ïîñòðîèì ãðàôèê
åãî àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè.
Çàìåíèì â ôîðìóëå äëÿ H(W), ïîëó÷åííîé â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, çíà÷å-
íèÿ êîýôôèöèåíòîâ a
0
, a
1
è a
2
. Ïîëó÷èì
( )
( ) ( )
22
12cos2cos42sin2sin4H W=-pW+pW+-pW+pW .
Ãðàôèê À×Õ èçîáðàæåí íà ðèñ. 19.49. Èç ãðàôèêà âèäíî, ÷òî íåðåêóðñèâ-
íàÿ öåïü ñ òàêèìè çíà÷åíèÿìè êîýôôèöèåíòîâ óñèëåíèÿ $ ýòî ðåæåêòîðíûé
ôèëüòð.
19.5. Òèïîâûå çâåíüÿ äèñêðåòíûõ öåïåé
Çâåíüÿ 1-ãî è 2-ãî ïîðÿäêîâ. Â ëèòåðàòóðå òèïîâûìè çâåíüÿìè
äèñêðåòíûõ öåïåé ñ÷èòàþòñÿ çâåíüÿ 1-ãî è 2-ãî ïîðÿäêîâ. Îíè ïî-
ëó÷àþòñÿ èç îáùåé ñòðóêòóðû ðèñ. 19.44, åñëè îñòàâèòü â íåé
òîëüêî îäèí ëèáî äâà ýëåìåíòà çàäåðæêè.
Íà ðèñ. 19.50, à ïîêàçàíî çâåíî 1-ãî ïîðÿäêà ñ ïåðåäàòî÷íîé
ôóíêöèåé
( )
1
01
1
1
1
aaz
Hz
bz
-
-
+
=
-
è À×Õ
( )
( ) ( )
( ) ( )
22
011
22
11
cos2sin2
1cos2sin2
aaa
H
bb
+pW+pW
W=
-pW+pW
.
Òèïîâîå çâåíî 2-ãî ïîðÿäêà èçîáðàæåíî íà ðèñ. 19.50, á. Åãî
ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ
556
xk
()
yk
()
++
T
a
0
b
1
a
1
a
)
x
()
k
y
()
k
+
+
T
T
a
0
b
1
a
1
b
2
a
2
á
)
Ðèñ. 19.50
( )
12
012
12
12
1
aazaz
Hz
bzbz
--
--
++
=
--
è À×Õ
( )
( ) ( )
( ) ( )
22
01212
22
1212
cos2cos4sin2sin4
1cos2cos4sin2sin4
aaaaa
H
bbbb
+pW+pW+pW+pW
W=
-pW-pW+pW+pW
.
Ïðèìåð. Ïîñòðîèì ãðàôèê À×Õ çâåíà ïåðâîãî ïîðÿäêà, ó êîòîðîãî a
0
= 1,
a
1
= 0.
Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ òàêîãî çâåíà ïåðâîãî ïîðÿäêà
( )
1
01
11
11
1
11
aaz
Hz
bzbz
-
--
+
==
--
.
Àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà
( )
( ) ( )
222
11
11
11
.
12cos2
1cos2sin2
H
bb
bb
W==
+-pW
-pW+pW
Ïîñêîëüêó ïîëþñ z
n
ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè H(z) ðàâåí b
1
, òî äëÿ òîãî,
÷òîáû öåïü áûëà óñòîé÷èâîé íåîáõîäèìî âûáèðàòü çíà÷åíèÿ b
1
òàêèìè, ÷òîáû
âûïîëíÿëîñü óñëîâèå | b
1
| < 1.
Íà ðèñ. 19.51 ïðèâåäåíû ãðàôèêè À×Õ, ïîñòðîåííûå äëÿ çíà÷åíèé b
1
= 0,5
è b
1
= $0,5.
H
()
W
W
0
0,1
0,5
1,0
1
2
b
1
=
0,5
_
b
1
=
0,5
H
()
W
H
()
W
H
2
W
)(
W
0
0,1
0,5
1,0
2
4
H
1
()
W
Ðèñ. 19.51 Ðèñ. 19.52
557
À×Õ ðàññìàòðèâàåìîãî ôèëüòðà çàâèñèò îò çíàêà êîýôôèöèåíòà b
1
. Ïðè
b
1
> 0 ïîëó÷àåì ðåæåêòîðíûé ôèëüòð, ïðè b
1
< 0 $ ïîëîñîâîé.
Ïðèìåð. Íàéäåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ è ïîñòðîèì ãðàôèê À×Õ çâåíà 2-
ãî ïîðÿäêà (ðèñ. 19.50, á) ïðè a
0
= a
2
= 1, a
1
= 2, b
1
= 0,2 è b
2
= $0,4.
Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ òàêîãî çâåíà
( )
12
12
012
1212
12
12
110,20,4
aazaz
zz
Hz
bzbzzz
--
--
----
++
+-
==
---+
.
Êàê óêàçûâàëîñü ðàíåå, ðåêóðñèâíóþ öåïü ñ ïðÿìûìè è îáðàòíûìè ñâÿçÿ-
ìè ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê êàñêàäíîå ñîåäèíåíèå ðåêóðñèâíîãî ôèëüòðà ñ ïå-
ðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé H
1
(z) è íåðåêóðñèâíîãî ôèëüòðà ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíê-
öèåé H
2
(z).  íàøåì ñëó÷àå, äëÿ çâåíà âòîðîãî ïîðÿäêà,
( )
1
12
1
,
10,20,4
Hz
zz
--
=
-+
( )
12
2
12,
Hzzz
--
=--
(
)
(
)
(
)
12
.
HzHzHz
=×
Ãðàôèê À×Õ äëÿ H
2
(z) óæå áûë ïîñòðîåí è ïðèâåäåí íà ðèñ. 19.49. À×Õ
H
1
(W) ðåêóðñèâíîãî ôèëüòðà ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå
( )
( ) ( )
1
22
1
10,2cos20,4cos40,2sin20,4sin4
H W=
-pW+pW+-pW+pW
.
Ãðàôèêè H
1
(W), H
2
(W) è H(W) = H
1
(W) × H
2
(W) èçîáðàæåíû íà ðèñ. 19.52.
Ñîåäèíåíèå òèïîâûõ çâåíüåâ. Òèïîâûå çâåíüÿ ìîãóò ñîåäèíÿòü-
ñÿ êàñêàäíî (ðèñ. 19.53, à); ïðè ýòîì èõ ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè
ïåðåìíîæàþòñÿ:
(
)
(
)
(
)
(
)
123
HzHzHzHz
=××
,
ãäå H
1
, H
2
, H
3
$ ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè çâåíüåâ.
Ðèñ. 19.53
558
Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè çâåíüåâ (ðèñ. 19.53, á) îáùàÿ
ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê
(
)
(
)
(
)
(
)
123
HzHzHzHz
=++
.
Ñîåäèíåíèå, ïîêàçàííîå íà ðèñ. 19.53, â, íàçûâàþò âêëþ÷åíèåì
öåïè H
2
â îáðàòíóþ ñâÿçü öåïè H
1
, ïðè÷åì
( )
(
)
( ) ( )
1
12
1
Hz
Hz
HzHz
=
-×
.
Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî âñå ñîåäèíåíèÿ, èçîáðàæåííûå íà
ðèñ. 19.53, ñïðàâåäëèâû íå òîëüêî äëÿ òèïîâûõ çâåíüåâ, íî è äëÿ
ëþáûõ äðóãèõ ñòðóêòóð.
Ïðèìåð. Íàéäåì ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè ïðè ðàçëè÷íûõ ñïîñîáàõ ñîåäèíå-
íèÿ ðåêóðñèâíîé è íåðåêóðñèâíîé öåïåé, èìåþùèõ
( )
(
)
1
1
110,3Hzz
-
=- è
( )
12
2
0,2
Hzzz
--
=++.
Ïðè êàñêàäíîì ñîåäèíåíèè ýòèõ öåïåé
( ) ( ) ( )
12
12
1
0,2
10,3
zz
HzHzHz
z
--
-
++
=×=
-
;
ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè
( ) ( ) ( )
123
12
1
1,20,40,70,3
10,3
zzz
HzHzHz
z
---
-
++-
=+=
-
;
ïðè âêëþ÷åíèè öåïè H
2
â îáðàòíóþ ñâÿçü öåïè H
1
( )
(
)
( ) ( )
1
12
12
1,25
1
11,6251,25
Hz
Hz
HzHz
zz
--
==
-
--
.
Ïðèìåð. Íàéäåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ äèñêðåòíîé öåïè, èçîáðàæåííîé
íà ðèñ. 19.54.
Öåïü, ïðèâåäåííàÿ íà ðèñ. 19.54, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êàñêàäíîå ñîåäèíå-
íèå òèïîâûõ çâåíüåâ 1-ãî è 2-ãî ïîðÿäêîâ. Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ñîåäèíåíèÿ
èìååò âèä
( )
112
01012
112
112
11
aazaazaz
Hz
bzbzbz
---
---
¢¢¢
+++
=×
¢¢
-×--
.
xn
()
yn
()
+
+
+
T
T
T
Ðèñ. 19.54
559
Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå äëÿ H(z) çàäàííûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ óñè-
ëåíèÿ a
0
= 1, a
1
= 0,5, b
1
= $1 è
0
a
¢
= 0,5,
1
a
¢
= 1,5,
2
a
¢
= $1,2,
1
b
¢
= $0,2,
2
b
¢
= 0,4, ïîëó÷àåì
( )
123
123
0,51,750,456
11,20,20,4
zzz
Hz
zzz
---
---
+--
=
+--
.
19.6. Ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ äèñêðåòíûõ öåïåé
 ï. 6.7 áûë ðàññìîòðåí ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ ïðèìåíè-
òåëüíî ê àíàëîãîâûì öåïÿì. Ïðè ýòîì ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ
ïîçâîëÿåò âìåñòî ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé m-ãî ïî-
ðÿäêà (6.3) ëèíåéíóþ öåïü îïèñàòü ñèñòåìîé èç m äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé 1-ãî ïîðÿäêà, íàçûâàåìûõ óðàâíåíèÿìè ñîñòîÿíèÿ
öåïè
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì äëÿ îïèñàíèÿ äèñêðåòíûõ öåïåé â ïðî-
ñòðàíñòâå ñîñòîÿíèÿ âìåñòî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (19.39) N-ãî
ïîðÿäêà ðàññìîòðèì ñèñòåìó èç N ëèíåéíûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíå-
íèé 1-ãî ïîðÿäêà.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ðåêóðñèâíóþ öåïü 2-ãî ïîðÿäêà,
îïèñûâàåìóþ óðàâíåíèåì
----
=++++
011221122
nnnnnn
yaxaxaxbyby .
Êàíîíè÷åñêàÿ ñõåìà ýòîé öåïè èçîáðàæåíà íà ðèñ. 19.55.
Ââåäåì ïåðåìåííûå ñîñòîÿíèé äèñêðåòíîé öåïè êàê ñèãíàëû q
1
(n)
è q
2
(n) íà âûõîäå ýëåìåíòîâ çàäåðæêè (ðèñ. 19.55).
Èç ðèñ. 19.55 ñëåäóåò, ÷òî
(
)
(
)
+=
21
1
qnqn
, (19.51)
(
)
(
)
+=
10
1
qnqn
, (19.52)
Åñëè ó÷òåì, ÷òî
(
)
(
)
(
)
(
)
=++
01122
qnxnbqnbqn
, (19.53)
Ðèñ. 19.55
560
òî ïîñëå ïîäñòàíîâêè (19.53) â óðàâíåíèå (19.52) ïîëó÷èì ñèñòåìó
2-õ äèñêðåòíûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äèñêðåòíóþ
öåïü â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèÿ
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
+=×+×+×
ì
í
+=×+×+×
î
221
12211
1010,
11.
qnqnqnxn
qnbqnbqnxn
(19.54)
Èëè îáîçíà÷èâ
( )
(
)
( )
===
2
21
1
01
0
;;
1
qn
n
bb
qn
qAB, (*)
ïîëó÷èì óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ äèñêðåòíîé öåïè â ìàòðè÷íîé ôîðìå:
(
)
(
)
(
)
+=×+×
1
nnxn
qAqB . (19.55)
Óðàâíåíèå ðåàêöèè öåïè y(n) ìîæíî ïîëó÷èòü ïî àíàëîãèè ñ
(6.95) êàê ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ è âåêòîðà âîç-
äåéñòâèÿ:
(
)
(
)
(
)
=×+×
ynnxn
CqD , (19.56)
ãäå
,
CD
$ ìàòðèöû ïàðàìåòðîâ äèñêðåòíîé öåïè. Íàïðèìåð, äëÿ
öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 19.55 ìàòðèöû
C
è
D
ìîæíî íàéòè èç
óðàâíåíèÿ
(
)
(
)
(
)
(
)
=++
001122
ynaqnaqnaqn
.
Èëè ñ ó÷åòîì (19.53)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
( )
( )
( )
( ) ( )
=++++=
=++++
011221122
011102220
.
ynaxnbqnbqnaqnaqn
abaqnabaqnaxn
Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
(
)
(
)
=++=
0110220
;
abaabaa
CD. (**)
Ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ äèñêðåòíûõ ñèñòåì.
Ðåøåíèå âî âðåìåííîé îáëàñòè. Ðåøåíèå óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ
ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ êàê âî âðåìåííîé îáëàñòè, òàê è â z-îáëàñ-
òè. Ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ âî âðåìåííîé îáëàñòè èñ-
ïîëüçóåòñÿ ðåêóððåíòíàÿ ïðîöåäóðà ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíå-
íèÿ (19.55) ïðè çàäàííîì íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè
(
)
0
q è èçâåñòíîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âõîäíîãî ñèãíàëà x(k):
(
)
(
)
(
)
( ) () ()
( ) ( )
()
( ) ( )
( )
-
--
=
=×+×
=×+×=×+××+×
=×+×
å
LLLL
2
1
1
0
100,
211001,
0,
n
nnk
k
x
xxx
nxk
qAqB
qAqBAqABB
qAqAB
(19.57)