Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание

Подождите немного. Документ загружается.

431

Ðèñ. 16.9 Ðèñ. 16.10

( )

Zpp

Ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîïðîòèâëåíèå èíäóêòèâíîñòè ñ L

= l, âòîðîå $ ïðîâîäèìîñòü åìêîñòè ñ Ñ

= 1, òðåòüå $ ñîïðîòèâëåíèå èíäóê-

òèâíîñòè ñ L

= 2, ÷åòâåðòîå $ ñîïðîòèâëåíèå åìêîñòè ñ Ñ

= 2 è ïÿòîå $ ñî-

ïðîòèâëåíèå èíäóêòèâíîñòè ñ L

= 1. Ïîäñòàíîâêà äàííûõ ýëåìåíòîâ â ñõåìó

ðèñ. 16.6 äàåò îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò ñèíòåçà äâóõïîëþñíèêà (ðèñ. 16.9).

Ïðèìåð. Ïî ôóíêöèè íîðìèðîâàííîãî ñîïðîòèâëåíèÿ

( )

45271

605

ñèíòåçèðîâàòü ñõåìó äâóõïîëþñíèêà â âèäå ëåñòíè÷íîé ñòðóêòóðû. Áóäåì

îñóùåñòâëÿòü äåëåíèå îòíîñèòåëüíî p

, ò. å. íà êàæäîì øàãå èñêëþ÷àòü ñëà-

ãàåìîå ìèíèìàëüíîé ñòåïåíè. Ïðîöåññ äåëåíèÿ ïîêàæåì â êîìïàêòíîì âèäå:

45271

605

1121

605

4515

155

4515

Ñîîòâåòñòâóþùàÿ äàííîìó ðàçëîæåíèþ ñõåìà ïîêàçàíà íà ðèñ. 16.10.

Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî ìåòîäó Êàóýðà ìîæíî ñèíòåçèðîâàòü

äâà âèäà ëåñòíè÷íûõ ñõåì:

1) ñ èíäóêòèâíîñòÿìè â ïðîäîëüíûõ è ñ åìêîñòÿìè â ïîïåðå÷-

íûõ âåòâÿõ (ïåðâàÿ ñõåìà Êàóýðà);

2) ñ åìêîñòÿìè â ïðîäîëüíûõ è ñ èíäóêòèâíîñòÿìè â ïîïåðå÷-

íûõ âåòâÿõ (âòîðàÿ ñõåìà Êàóýðà).

Ïðåäñòàâëÿþò îïðåäåëåííûé èíòåðåñ äâóõïîëþñíèêè, ñîñòîÿ-

ùèå èç ýëåìåíòîâ R è Ñ, à òàêæå èç ýëåìåíòîâ R è L. Ïîäõîä ê

ñèíòåçó òàêèõ äâóõïîëþñíèêîâ îñòàåòñÿ òàêîé æå, êàê è â ñëó÷àå

432

2+1

Ðèñ. 16.11

ðåàêòèâíûõ äâóõïîëþñíèêîâ.

Êîíå÷íî, èìåþòñÿ ñâîè îñîáåí-

íîñòè, íî âèä êàíîíè÷åñêèõ ñõåì

îñòàåòñÿ ïðåæíèì. Òàê RL-äâóõ-

ïîëþñíèêè ïîëó÷àþòñÿ èç ðåàê-

òèâíûõ êàíîíè÷åñêèõ ñõåì ïó-

òåì çàìåíû åìêîñòåé íà ðåçèñòîðû, à RÑ-äâóõïîëþñíèêè $ ïóòåì

çàìåíû èíäóêòèâíîñòåé íà ðåçèñòîðû. Îäíà èç âîçìîæíûõ êàíî-

íè÷åñêèõ ñõåì RÑ-äâóõïîëþñíèêîâ ïîêàçàíà íà ðèñ. 16.11.

16.7. Çàäà÷à ðåàëèçàöèè â ñèíòåçå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.

Ñèíòåç ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ

Ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèÿ öåïè F(x)

ïîäëåæèò â äàëüíåéøåì ðåàëèçàöèè â âèäå êîíêðåòíîé ñõåìû. Ñó-

ùåñòâóåò áîëüøîå ÷èñëî ìåòîäîâ ðåàëèçàöèè öåïè ïî ôóíêöèè

êâàäðàòà À×Õ |H(jw)|

, Ô×Õ j(w) èëè õàðàêòåðèñòèêå ÃÂÏ

ãð

(w), ïî ïåðåõîäíîé g(t) è èìïóëüñíîé h(t) õàðàêòåðèñòèêàì.

Äàæå êðàòêîå óïîìèíàíèå îáî âñåõ ìåòîäàõ ïðèâåëî áû ê ÷ðåçìåð-

íîìó óâåëè÷åíèþ îáúåìà êíèãè. Â § 17.4 ïðèâåäåíû ïðèìåðû ðåà-

ëèçàöèè ýëåêòðè÷åñêèõ ôèëüòðîâ ïî ôóíêöèè êâàäðàòà À×Õ â âè-

äå ïàññèâíûõ ëåñòíè÷íûõ LC-ñõåì è àêòèâíûõ RÑ-ñõåì.

Ñóùåñòâóþò îáùèå ìåòîäû ñèíòåçà îïåðàòîðíûõ ïåðåäàòî÷íûõ

ôóíêöèé. Îñòàíîâèìñÿ ëèøü íà ìåòîäàõ, èìåþùèõ â íàñòîÿùåå

âðåìÿ ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå:

1) ñèíòåç ñêðåùåííûõ (ìîñòîâûõ) ñõåì ñ ïîñòîÿííûì âõîäíûì

ñîïðîòèâëåíèåì;

2) ñèíòåç ñèììåòðè÷íûõ Ò-ïåðåêðûòûõ ñõåì ñ ïîñòîÿííûì õà-

ðàêòåðèñòè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì;

3) ñèíòåç ðåàêòèâíûõ ëåñòíè÷íûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ, íàãðó-

æåííûõ ðåçèñòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì;

4) ñèíòåç ARÑ-öåïåé.

Íàõîæäåíèå îïåðàòîðíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ïî êâàäðàòó

ìîäóëÿ êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â

ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè íàéäåí êâàäðàò ìîäóëÿ

êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè (êâàäðàò À×Õ). Äàëåå íåîáõî-

äèìî çíàòü îïåðàòîðíóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ. Îïðåäåëåíèå

êâàäðàòà ìîäóëÿ êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ïî ñîîòâåòñò-

âóþùåé îïåðàòîðíîé ôóíêöèè îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè çàìåíû

ïåðåìåííîé ð íà jw, è ðåøàåòñÿ îäíîçíà÷íî, ò. å. îïåðàòîðíîé ïå-

ðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóåò òîëüêî îäèí êâàäðàò ìîäóëÿ

êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè.

Îáðàòíàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ íåñêîëüêî ñëîæíåå è íåîäíîçíà÷íî.

Âíà÷àëå ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó î êâàäðàòå ìîäóëÿ ïåðåäàòî÷íîé

ôóíêöèè.

433

Òåîðåìà. Êâàäðàò ìîäóëÿ êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè

íå èçìåíèòñÿ, åñëè èçìåíèòü çíàê ó âñåõ èëè ó íåêîòîðîé ÷àñòè

íóëåé è ïîëþñîâ ñîîòâåòñòâóþùåé îïåðàòîðíîé ïåðåäàòî÷íîé

ôóíêöèè, à òàêæå åñëè ó êîìïëåêñíûõ íóëåé è ïîëþñîâ çíàê èç-

ìåíÿåòñÿ îäíîâðåìåííî ó êàæäîé êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé ïàðû.

Äîêàæåì óòâåðæäåíèå, ÷òî åñëè â ôîðìóëå äëÿ êâàäðàòà ìîäóëÿ

âûïîëíèòü îáðàòíóþ ïîäñòàíîâêó w = %jp, òî ïîëó÷åííàÿ ôóíê-

öèÿ îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:

1) ôóíêöèÿ |H(ð)|

ñîäåðæèò â 2 ðàçà áîëüøå íóëåé è ïîëþñîâ,

÷åì ôóíêöèÿ Í(ð);

2) åñëè ôóíêöèÿ Í(ð) èìååò íóëü, ðàâíûé ð

, òî |H(ð)|

, êðîìå

, èìååò íóëü $ ð

. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè íàëè÷èè íóëÿ Í(ð) â

ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè, â |H(ð)|

ïîÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûé íóëü â

ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè è íàîáîðîò. Ñêàçàííîå ïîëíîñòüþ îòíîñèòñÿ

ê ïîëþñàì. Äåéñòâèòåëüíî, êâàäðàò ìîäóëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè

ïðåäñòàâèì â âèäå

( ) ( )

(

)

( )

(

)

( ) ( )

HjHjeHjeHjHj

jw-jw

w=ww=w-w

(16.20)

Âûïîëíèì çàìåíó jw = p èëè w = %jp. Èç ôîðìóëû (16.7) âèä-

íî, ÷òî

( ) ( ) ( )

HpHpHp

Ïóñòü ôóíêöèÿ Í(ð) èìååò ï íóëåé è m ïîëþñîâ, òîãäà åå ìîæ-

íî ïðåäñòàâèòü â âèäå (7.42):

( )

(

)

(

)

(

)

( )( ) ( )

01020

pppppp

HpH

pppppp

---

ò. å. Í(%ð) ñîäåðæèò âñå íóëè è ïîëþñû, ÷òî è Í(ð), íî ñ ïðîòè-

âîïîëîæíûìè çíàêàìè. Ýòî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Ïðîâåäåííûé àíàëèç ïîçâîëÿåò ñôîðìóëèðîâàòü ïîðÿäîê îïðå-

äåëåíèÿ îïåðàòîðíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ïî êâàäðàòó åå ìî-

äóëÿ:

1. Â âûðàæåíèè äëÿ | H(jw)|

âûïîëíÿåì çàìåíó w = %jð.

2. Íàõîäèì âñå íóëè è ïîëþñû ôóíêöèè |H(p)|

, ïîëîâèíà èç

êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò ôóíêöèè Í(ð). Ïîëþñû, ëåæàùèå â ëåâîé

ïîëóïëîñêîñòè îòíîñèì ê Í(ð). Îíè ñîñòàâëÿþò êàê ðàç ïîëîâèíó

âñåõ ïîëþñîâ. Îñòàëüíûå ïîëþñû îòíîñÿòñÿ ê Í(%ð). Òàêîå ðàñ-

ïðåäåëåíèå ïîëþñîâ âûçâàíî íåîáõîäèìîñòüþ ïîëó÷åíèÿ óñòîé÷è-

âûõ öåïåé (ñì. ãë. 14). Òàêèì îáðàçîì, âûáîð ïîëþñîâ ïåðåäàòî÷-

íîé ôóíêöèè îñóùåñòâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî.

3. Ðàñïðåäåëåíèå íóëåé ôóíêöèè |H(p)|

ìåæäó Í(ð) è Í($ð)

íå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî îäíîçíà÷íî. Ñîãëàñíî òåîðåìå î êâàäðà-

òå ìîäóëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè çäåñü èìååòñÿ îïðåäåëåííàÿ ñâî-

áîäà â âûáîðå ÷èñëèòåëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè. Åñëè íà Ô×Õ

434

íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íå íàêëàäûâàåòñÿ, òî îáû÷íî è íóëè âûáè-

ðàþò â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè.

4. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ôóíêöèè Í(ð) ðàâåí êâàäðàòíîìó

êîðíþ èç ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ôóíêöèè |H(p)|

Ïðèìåð. Îïðåäåëèòü îïåðàòîðíóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ, åñëè êâàäðàò

åå ìîäóëÿ èìååò âèä

( )

2525144

61900

w+w+

w=×

w+w+

1. Çàïèñûâàåì | H(p)|

ïóòåì çàìåíû w = %jp â âûðàæåíèè äëÿ |H( jw)|

( )

2525144

61900

=×

2. Íàõîäèì íóëè è ïîëþñû | H( p)|

01020304

5678

3,3,4,4

íóëè,

5,5,6,6

ïîëþñû.

pppp

==-==--

Ôóíêöèÿ H( p): áóäåò èìåòü ïîëþñû ð

è ð

, òàê êàê îíè íàõîäÿòñÿ â ëå-

âîé ïîëóïëîñêîñòè.

3. ×òî êàñàåòñÿ íóëåé, òî âîçìîæíû ñëåäóþùèå ñî÷åòàíèÿ:

0103010402030204

è,è,è,è.

pppppppp

4. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü H = 5/2.

Çàïèøåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ äëÿ âòîðîãî âîçìîæíîãî ñî÷åòàíèÿ íóëåé

( )

(

)

(

)

( )( )

(

)

(

)

( )( )

0104

2256

pppppp

---+

=×=×

--++

Ðàññìîòðèì ïåðå÷èñëåííûå âûøå ìåòîäû ñèíòåçà ïåðåäàòî÷íûõ

ôóíêöèé.

Ñèíòåç ñêðåùåííûõ (ìîñòîâûõ) ñõåì ñ ïîñòîÿííûì âõîäíûì

ñîïðîòèâëåíèåì. Ýòîò ìåòîä ÿâëÿåòñÿ îáùèì, ò. å. ëþáóþ îïåðà-

òîðíóþ ôóíêöèþ, óäîâëåòâîðÿþùóþ ÓÔÐ, ìîæíî ñ òî÷íîñòüþ äî

ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ðåàëèçîâàòü ìîñòîâîé ñõåìîé ñ ïîñòîÿí-

íûì âõîäíûì ñîïðîòèâëåíèåì. Ìåòîä èìååò âàæíîå òåîðåòè÷åñêîå

çíà÷åíèå, òàê êàê äîêàçûâàåò äîñòàòî÷íîñòü ÓÔÐ. Â ïðàêòè÷åñêîì

ïëàíå ýòîò ìåòîä ïðèìåíÿåòñÿ ïðè ñèíòåçå ôàçîâûõ êîððåêòîðîâ è

ëèíèé çàäåðæêè. Ìîñòîâàÿ ñõåìà ÷åòûðåõïîëþñíèêà, íàãðóæåííàÿ

ñ îáåèõ ñòîðîí íà ñîïðîòèâëåíèå R

ïîêàçàíà íà ðèñ. 16.12. Åñëè

äâóõïîëþñíèêè Z

è Z

ÿâëÿþòñÿ îáðàòíûìè, ò. å. Z

= R

, òî

ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä

( )

(

)

( )

110

RZp

UIRZp

===

(16.21)(16.21 a)

Ïóñòü çàäàíà ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ H(p), óäîâëåòâîðÿþùàÿ

ÓÔÐ. Òîãäà äëÿ åå ðåàëèçàöèè ìîñòîâîé ñõåìîé íåîáõîäèìî ñèí-

òåçèðîâàòü äâóõïîëþñíèêè ñ âõîäíûìè ôóíêöèÿìè:

435

Ðèñ. 16.12

( )

(

)

( )

(

)

( )

è.

HpHp

ZpRZpR

HpHp

(16.21 á, â)

Ñèíòåç òàêèõ äâóõïîëþñíèêîâ âîçìîæåí, åñëè äîêàçàòü, ÷òî

ôóíêöèè (16.21 á, â) ÿâëÿþòñÿ ÏÂÔ (íà ñàìîì äåëå äîñòàòî÷íî

äîêàçàòü, ÷òî ÏÂÔ ÿâëÿåòñÿ Z

, òîãäà ôóíêöèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ îá-

ðàòíîãî äâóõïîëþñíèêà òàêæå ÿâëÿåòñÿ ÏÂÔ). ×òîáû ýòî äîêà-

çàòü, âñïîìíèì, ÷òî ÏÂÔ $ ýòî äðîáíî-ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ,

âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü êîòîðîé íåîòðèöàòåëüíàÿ â ïðàâîé ïîëóïëîñêî-

ñòè. Òî ÷òî Z

ÿâëÿåòñÿ äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé, âûòåêàåò èç òîãî,

÷òî Í(ð) äðîáíî-ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñëî-

âèé, ïðè êîòîðûõ

Re[()]0



, ïðåäñòàâèì îïåðàòîðíóþ ïåðåäà-

òî÷íóþ ôóíêöèþ â âèäå ñóììû âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòåé:

(

)

(

)

(

)

,,.

Hjxjy

a+w=aw+aw

Òîãäà

( )

112

xjyxyjy

ZjR

xjy

--+--

a+w==

Âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü Z

áóäåò íåîòðèöàòåëüíîé, åñëè x

+ y

= |H(p)|



1. Äàííîå íåðàâåíñòâî è ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì òîãî, ÷òî

(p) $ ÏÂÔ, à çíà÷èò è óñëîâèåì ôèçè÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè îïå-

ðàòîðíûõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé â âèäå ìîñòîâîé ñõåìû ñ ïîñòî-

ÿííûì âõîäíûì ñîïðîòèâëåíèåì. Òàê êàê Í(ð) óäîâëåòâîðÿåò

ÓÔÐ, òî îíà àíàëèòè÷åñêàÿ (îòñóòñòâóþò ïîëþñû) â ïðàâîé ïîëó-

ïëîñêîñòè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ð, à çíà÷èò è îãðàíè÷åíà ïî

ìîäóëþ |H(p)|



Ì. Âûáðàâ ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü Í = 1/M,

ïîëó÷èì ôóíêöèþ, ðåàëèçóåìóþ ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíî-

æèòåëÿ â âèäå ìîñòîâîé ñõåìû. Òàêèì îáðàçîì, ðåàëèçàöèÿ ïåðåäà-

òî÷íîé ôóíêöèè ñâîäèòñÿ ê ñèíòåçó äâóõïîëþñíèêîâ Z

è Z

. Îò-

ìåòèì, ÷òî íà ïðàêòèêå çàäàííóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ðåàëè-

çóþò íå â âèäå îäíîé ñëîæíîé ìîñòîâîé ñõåìû, à â âèäå êàñêàä-

íîãî ñîåäèíåíèÿ áîëåå ïðîñòûõ ìîñòîâûõ ñõåì. Äëÿ ýòîãî çàäàí-

íóþ ôóíêöèþ ïðåäñòàâëÿþò â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ áîëåå ïðîñòûõ

ôóíêöèé:

(

)

(

)

(

)

(

)

HpHpHpHp

436

0,5 ê

5 ìÃí

1 ê 1 ê

2 ê

5 íÔ

1 ê

)

R R R

Ðèñ. 16.13

Êàæäàÿ ôóíêöèÿ ðåàëèçóåòñÿ â âèäå ìîñòîâîé ñõåìû. Åñëè ñî-

ïðîòèâëåíèå âûáðàíî äëÿ âñåõ ñõåì îäèíàêîâûì, òî ïîëó÷àåòñÿ

êàñêàäíîå ñîåäèíåíèå ñîãëàñîâàííûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ, è ïåðå-

äàííàÿ ôóíêöèÿ êàñêàäíîãî ñîåäèíåíèÿ êàê ðàç è ÿâëÿåòñÿ ïðîèç-

âåäåíèåì ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ, ñîñòàâëÿþ-

ùèõ ýòî êàñêàäíîå ñîåäèíåíèå.

Ñèíòåç ñèììåòðè÷íûõ Ò-ïåðåêðûòûõ ñõåì ñ ïîñòîÿííûì õà-

ðàêòåðèñòè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì. Äëÿ ñèììåòðè÷íîãî Ò-ïåðåêðû-

òîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà, ïîêàçàííîãî íà ðèñ. 16.13, à, õàðàêòåðè-

ñòè÷åñêèå ñîïðîòèâëåíèÿ

c1c2122112

ZZAAZZ

===

ïðè âçàèìíî-îáðàòíûõ äâóõïîëþñíèêàõ Z

= R

ðàâíû R, ò. å.

÷åòûðåõïîëþñíèê âêëþ÷åí ñîãëàñîâàííî. Ñëåäîâàòåëüíî, åãî ñîá-

ñòâåííàÿ ïîñòîÿííàÿ ïåðåäà÷è íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíà ñ ðàáî÷åé

ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé

èëè

( )

ñ1112211

Ãlnln1ln.

AAAZR

=+=+=

Îòñþäà

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

èëè11.

HjZRHpZpR

w=+=+

Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà è óñëîâèÿ Z

(ð)Z

(ð) = R

íàõîäèì

( )

(

)

( )

(

)

( )

HpHp

ZpRZpR

HpHp

Äâóõïîëþñíèêè Z

(p) è Z

(p) â ïëå÷àõ ñõåìû ðèñ. 16.13, à ìî-

ãóò áûòü ðåàëèçîâàíû èçâåñòíûìè ñïîñîáàìè.

Ïðèìåð. Â ðåçóëüòàòå àïïðîêñèìàöèè ïîëó÷åíà ôóíêöèÿ |Hð(jw)|

= (w

+ 10

) /(w

+ 9×10

). Îñóùåñòâèì åå ðåàëèçàöèþ â âèäå ñèììåòðè÷íîãî

Ò-ïåðåêðûòîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà (ñì. ðèñ. 16.13, à) ïðè íàãðóçêå íà ñîïðî-

òèâëåíèå R = 1 êÎì.

Çàìåíèì îïåðàòîð jw íà ð:

437

LC-

÷åòûðåõ-

ïîëþñíèê

âõ

()

Ðèñ. 16.14

( )

(

)

(

)

( )( )

102

1010

910

310310

×-

×-×+

Î÷åâèäíî, ÷òî Hð( p) = (p + 10

) / (p + 3×10

). Ñîïðîòèâëåíèå Z

(p) â ñõåìå

íà ðèñ. 16.13, à îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:

( )

(

)

( )

210

ZpR

Ðàçëîæåíèå Z

(p) â öåïíóþ äðîáü:

( )

5101210

pCR

×+×

ïðèâîäèò ê ñõåìå ïàðàëëåëüíîãî RÑ-êîíòóðà ñ ýëåìåíòàìè Ñ = 5 íÔ è R

= 2 êÎì.

Äâóõïîëþñíèê Z

(p) ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì, ò. å. ïîñëåäîâàòåëüíûì RL-êîí-

òóðîì ñ ýëåìåíòàìè L = 5 ìÃí è R

= 0,5 êÎì.

Ñõåìà ðåàëèçîâàííîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 16.13, á.

Ñèíòåç ðåàêòèâíûõ ëåñòíè÷íûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ, íàãðó-

æåííûõ ðåçèñòèâíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè (ðèñ. 16.14) îñíîâàí íà

òîì î÷åâèäíîì ôàêòå, ÷òî àêòèâíàÿ ìîùíîñòü, îòäàâàåìàÿ ãåíåðàòî-

ðîì

âõ

Re[()]

IZj

, ðàâíà ìîùíîñòè, ïîòðåáëÿåìîé íàãðóçêîé

, ò. å.

(

)

122

âõ

Re.

IZjUR

éù

ëû

Òîê I

âûðàçèì ÷åðåç çàäàþùåå íàïðÿæåíèå ãåíåðàòîðà U

101

âõ

IUZR

è ïîäñòàâèì â ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî. Ïîñëå àëãåáðàè÷åñêèõ ïðå-

îáðàçîâàíèé, ïîëó÷èì:

(

)

( )

âõ

4Re

RZj

éù

ëû

(16.22)

Ëåâàÿ ÷àñòü äàííîãî óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàò ìî-

äóëÿ ðàáî÷åé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè (12.44), à ÷èñëèòåëü ïðàâîé

÷àñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

438

[ ]

111

âõâõâõ

4Re.

RZRZRZ=+--

(16.23)

Óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè óðàâíåíèÿ (16.23) ìîæíî ïóòåì ýëå-

ìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé åãî ïðàâîé ÷àñòè. Ñ ó÷åòîì ñêàçàííîãî

óðàâíåíèÿ (16,23) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó:

( )

âõ

=-w

(16.24)

Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû ìîæíî íàéòè îïåðàòîðíîå âõîäíîå ñîïðî-

òèâëåíèå Z

âx

(p). Ðåàëèçóÿ Z

âx

(p) â âèäå ëåñòíè÷íîé ñòðóêòóðû,

ïîëó÷àåì öåïü ñ çàäàííîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé Í(ð). Ïðè ýòîì,

êîíå÷íî, íóæíî ñëåäèòü, ÷òîáû ðåàëèçîâûâàëèñü íóëè ïåðåäàòî÷-

íîé ôóíêöèè.

Îáîçíà÷àÿ

( )

(

)

( )

âõ

RZj

-w

sw=

(16.25)

ãäå s $ êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ìîùíîñòè íà âõîäå ÷åòûðåõïî-

ëþñíèêà, ïîëó÷èì èç (16.24) ñâÿçü ìåæäó êâàäðàòîì ÷àñòîòíîé õà-

ðàêòåðèñòèêè êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ è êâàäðàòîì À×Õ ÷åòû-

ðåõïîëþñíèêà:

( ) ( )

jHjsw=-w (16.26)

Ïðàêòè÷åñêèå àñïåêòû ïðèìåíåíèÿ äàííîãî ìåòîäà áóäóò ðàñ-

ñìîòðåíû ïðè ñèíòåçå ôèëüòðîâ.

Ñèíòåç ARÑ-öåïåé. Àêòèâíûå RÑ-öåïè âîçíèêëè êàê àëüòåðíà-

òèâà RLC-öåïÿì. Äåëî â òîì, ÷òî êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè, à çíà÷èò

è â öåëîì RLC-öåïè ïëîõî ïîääàþòñÿ ìèêðîìèíèàòþðèçàöèè è îá-

ëàäàþò çíà÷èòåëüíîé ìàññîé è ãàáàðèòàìè. Àêòèâíûå RÑ-öåïè â

ïðèíöèïå äîïóñêàþò ìèêðîìèíèàòþðèçàöèþ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ èõ ÿâ-

íûì äîñòîèíñòâîì. Ñóùåñòâåííûì æå íåäîñòàòêîì ARÑ-öåïåé ÿâ-

ëÿåòñÿ èõ îòíîñèòåëüíî íèçêàÿ ñòàáèëüíîñòü, îòíîñèòåëüíî âû-

ñîêèé óðîâåíü ñîáñòâåííûõ øóìîâ è íåëèíåéíûõ èñêàæåíèé. Ïî-

ýòîìó ARÑ-öåïè ïðèìåíÿþòñÿ â îñíîâíîì â îáëàñòè íèçêèõ ÷àñòîò

ïðèáëèçèòåëüíî äî 100 êÃö. Íà áîëåå âûñîêèõ ÷àñòîòàõ ïðèìå-

íÿþòñÿ ARÑ-öåïè íåâûñîêèõ ïîðÿäêîâ. Íèæå êðàòêî îïèñàíû ìå-

òîäû ñèíòåçà ARÑ-öåïåé, êîòîðûå íàøëè ïðèìåíåíèå íà ïðàêòèêå.

Èìèòàöèÿ â RLC-öåïÿõ èíäóêòèâíîñòåé èõ ýëåêòðîííûìè

ýêâèâàëåíòàìè. Ñóùåñòâóþò àêòèâíûå ìíîãîïîëþñíèêè, íàçûâàå-

ìûå îáîáùåííûìè ïðåîáðàçîâàòåëÿìè ñîïðîòèâëåíèé, êîòîðûå, áó-

äó÷è íàãðóæåííûìè íà åìêîñòè èëè ðåçèñòîðû, ðåàëèçóþò íà ñâî-

èõ âõîäíûõ çàæèìàõ íåêîòîðóþ öåïü, ñîñòîÿùóþ èç èíäóêòèâíî-

ñòåé. Â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå èíäóêòèâíîñòü ìîæíî ðåàëèçîâàòü íà-

ãðóæåííûì íà åìêîñòü ãèðàòîðîì (ñì. § 3.11). Äàííûé ìåòîä ñèí-

439

òåçà ARÑ-öåïè ñâîäèòñÿ ê ñèíòåçó ïàññèâíîé RLC-öåïè ñ ïîñëå-

äóþùåé çàìåíîé âñåõ èíäóêòèâíîñòåé èõ ýëåêòðîííûìè ýêâèâàëåí-

òàìè.

Ñèíòåç ARC-öåïåé ïî ìîäåëÿì. Ýòîò ìåòîä çàêëþ÷àåòñÿ â òîì,

÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ ARÑ-ñõåìà, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîãî èëè íåñêîëü-

êèõ àêòèâíûõ ýëåìåíòîâ è íåêîòîðîãî RÑ-ìíîãîïîëþñíèêà. Ìåòî-

äàìè àíàëèçà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé íàõîäèòñÿ îïåðàòîðíàÿ ïåðåäà-

òî÷íàÿ ôóíêöèÿ, âûðàæåííàÿ ÷åðåç ïàðàìåòðû RÑ-ìíîãîïîëþñ-

íèêà è àêòèâíîãî ýëåìåíòà. Ñðàâíèâàÿ çàäàííóþ ïåðåäàòî÷íóþ

ôóíêöèþ ñ ïîëó÷åííîé, îïðåäåëÿþò ïàðàìåòðû ñèíòåçèðóåìîé ñõå-

ìû (ìåòîä âûðàâíèâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ). ×àùå âñåãî â êà÷åñòâå

àêòèâíîãî ýëåìåíòà âûáèðàþò ÎÓ ñ áåñêîíå÷íûì êîýôôèöèåíòîì

óñèëåíèÿ è çàäàþòñÿ ñòðóêòóðîé ìíîãîïîëþñíèêà.

Àíàëèç öåïåé ñ ÎÓ ðàññìîòðåí ðàíåå (ï. 14.1) è îñíîâûâàåòñÿ

íà çàìåíå ÎÓ çàâèñèìûì èñòî÷íèêîì. Ñîãëàñíî ýòîìó ìåòîäó

ñôîðìóëèðóåì àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ îïåðàòîðíûõ ïåðåäàòî÷íûõ

ôóíêöèé öåïåé ñ ÎÓ. Îí ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ øàãîâ:

1. Êî âõîäó öåïè ïîäêëþ÷èòü êàêîé-ëèáî èñòî÷íèê.

2. Çàìåíèòü âñå ÎÓ èõ ñõåìàìè çàìåùåíèÿ (çàâèñèìûìè èñòî÷-

íèêàìè) ñ êîíå÷íûì êîýôôèöèåíòîì óñèëåíèÿ Íó.

3. Ëþáûì ìåòîäîì àíàëèçà öåïåé îïðåäåëèòü èçîáðàæåíèå ïî

Ëàïëàñó âõîäíûõ (U

(p) èëè I

(p)) è âûõîäíûõ (U

(p) èëè I

(p))

íàïðÿæåíèé è òîêîâ.

4. Âçÿòü îòíîøåíèå íàéäåííûõ èçîáðàæåíèé è â ýòîì îòíîøå-

íèè ñäåëàòü ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè Íó ® ¥.

Ïðèìåð. Çàäàäèìñÿ ìîäåëüþ, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 16.15. Ïðè êîýôôèöèåí-

òå óñèëåíèÿ ÎÓ, ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, îïåðàòîðíàÿ ïåðåäàòî÷íàÿ

ôóíêöèÿ ïðèìåò âèä (ñì. § 3.11 è ãë. 14):

( )

(

)

( ) ( )

13152424

UpYYYYYYY

++++

Ïóñòü Y

= G

, Y

= G

, Y

= G

, Y

= pC

, Y

= pC

, òîãäà

( )

35324124

pCCpCGGGGG

++++

(16.27)

Òàêèì îáðàçîì, äàííîé ñõåìîé ìîæíî ðåàëèçîâàòü ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ

âèäà

( )

(

)

HpHpp

=+a+b

(16.28)

Èç ñðàâíåíèÿ âûðàæåíèé (16.27) è (16.28) ñëåäóåò, ÷òî

(

)

213524152445

,,.

HGGCCGGGCGGCC

=a=++b=

Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà èç òðåõ óðàâíåíèé ñîäåðæèò øåñòü íåèçâåñòíûõ. Îíà

èìååò ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Íàëîæèì äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà íåèç-

âåñòíûå. Ïóñòü G

= G

= G, òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé ïðåîáðàçóåò-

ñÿ ê âèäó

440

Ðèñ. 16.15

35545

,3,.

HGCCGCGCC

=a=b=

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî C

= 3G/a, C

= a/3b, Í = b. Çàäàâøèñü êîíêðåòíûì

çíà÷åíèåì G, íàéäåì C

è C

Åñëè ïðîâîäèìîñòÿì èñõîäíîé ñõåìû ïðèïèñàòü äðóãèå çíà÷åíèÿ, òî ìîæ-

íî ðåàëèçîâàòü ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé.

Êàñêàäíàÿ ðåàëèçàöèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåäñòàâëåíèè çàäàííîé

ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ìíîæèòåëåé îáû÷íî

âòîðîãî, à èíîãäà ïåðâîãî ïîðÿäêîâ. Òàêèå ôóíêöèè â ñèëó èõ ïðî-

ñòîòû íåñëîæíî ðåàëèçîâàòü â âèäå àêòèâíîé ñõåìû, êîòîðóþ íà-

çûâàþò çâåíîì. Çàòåì ïîëó÷åííûå ÷åòûðåõïîëþñíèêè âêëþ÷àþò

êàñêàäíî, ïðè÷åì òàê, ÷òîáû âçàèìíîå âëèÿíèå çâåíüåâ áûëî ïðå-

íåáðåæèìî ìàëî. Ýòî äîñòèãàåòñÿ äâóìÿ ñïîñîáàìè: ëèáî âêëþ-

÷åíèåì ìåæäó çâåíüÿìè ñïåöèàëüíûõ áóôåðíûõ (ðàçâÿçûâàþùèõ)

àêòèâíûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ (íàïðèìåð, ïîâòîðèòåëåé íàïðÿæå-

íèé), èëè òàêèì âûáîðîì çâåíüåâ, ïðè êîòîðîì îòíîøåíèå âûõîä-

íîãî è âõîäíîãî ñîïðîòèâëåíèé çâåíüåâ â ìåñòå ñîåäèíåíèÿ ñòðå-

ìèëîñü ëèáî ê íóëþ, ëèáî ê áåñêîíå÷íîñòè. Äðóãèìè ñëîâàìè, äàí-

íûå ñîïðîòèâëåíèÿ äîëæíû ðåçêî îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà. Íà-

ïðèìåð, åñëè âûõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå ïðåäûäóùåãî çâåíà ñòðå-

ìèòñÿ ê íóëþ, òî âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå ïîñëåäóþùåãî çâåíà

äîëæíî ñòðåìèòüñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè è íàîáîðîò.

Âîïðîñû è çàäàíèÿ äëÿ ñàìîïðîâåðêè

1. Èç êàêèõ ýòàïîâ ñîñòîèò ñèíòåç ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé?

2. Ñôîðìóëèðóéòå óñëîâèÿ ôèçè÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè ïåðåäàòî÷-

íûõ ôóíêöèé, À×Õ è Ô×Õ,

âðåìåííûõ

ôóíêöèé è âõîäíûõ

ôóíêöèé ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.

3. Â ÷åì ñîñòîèò îòëè÷èå ìåòîäîâ àïïðîêñèìàöèè ïî ðàçëè÷íûì

êðèòåðèÿì áëèçîñòè: èíòåðïîëÿöèè, ïî Òåéëîðó, ïî ×åáûøåâó è

ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè?

4. Àïïðîêñèìèðîâàòü ìåòîäîì èíòåðïîëÿöèè çàâèñèìîñòü x(x) =

= e

$0,5x

íà èíòåðâàëå

0,52



ïîëèíîìîì âòîðîé ñòåïåíè