Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание

Подождите немного. Документ загружается.

401

Ðàñêðûâàÿ îïðåäåëèòåëü D

, ïðèäåì ê íåðàâåíñòâó

333333

300,

RCRCSRRC

--<

èëè SR

> 29. Ïîñêîëüêó ïðîèçâåäåíèå SR

åñòü íè ÷òî èíîå êàê

óñèëåíèå òðàíçèñòîðíîãî óñèëèòåëüíîãî êàñêàäà, òî ýòî óñëîâèå

îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ñàìîâîçáóæäåíèÿ ãåíåðàòîðà óñèëåíèå òðàíçè-

ñòîðíîãî êàñêàäà äîëæíî ïðåâûøàòü 29 åäèíèö.

Ïåðåõîä èç êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ð â ÷àñòîòíóþ îáëàñòü

îñóùåñòâëÿåòñÿ çàìåíîé ð íà jw.

Óñèëèòåëü èìååò êîìïëåêñíóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ

( )

óKK

HSRSRe

=-=

Öåïü îáðàòíîé ñâÿçè îïèñûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé

ôóíêöèåé H

îñ

(jw), ïîëó÷åííîé èç (15.24):

(

)

( )

(

)

222

RCjRC

-w+w

-w

Èç áàëàíñà ôàç jy(w

) + j

) = 2p ñëåäóåò, ÷òî j

) = p.

Ýòî áóäåò èìåòü ìåñòî ïðè

60,

-w=

îòêóäà íàõîäèòñÿ ÷àñòîòà ãåíåðàöèè

w= .

Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ H

îñ

(jw

) ðàâíà

( )

222

111

2929

==-=

-w

èëè

(

)

(

)

ãã

ococ

129;.

=j=p

Ïîäñòàíîâêà ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé Hy(w

) è H

) â óñëîâèå

àìïëèòóä

(

)

(

)

ãã

óîñ

äàñò SR

> 29, ÷òî ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííûì ðàíåå ðåçóëüòàòîì.

Â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå ìîæíî ðàññ÷èòàòü çíà÷åíèå ñðåäíåé

êðóòèçíû

cpK

29.

Íåäîñòàòêîì RÑ-ãåíåðàòîðîâ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â ñòàöèîíàðíîì

ðåæèìå çà ñ÷åò íåëèíåéíîñòè ÂÀÕ (áëàãîäàðÿ êîòîðîé è óñòàíàâ-

ëèâàåòñÿ àìïëèòóäà êîëåáàíèé) ïðîèñõîäèò èñêàæåíèå ôîðìû òîêà

â öåïè êîëëåêòîðà. Âûõîäíîå íàïðÿæåíèå â RÑ-àâòîãåíåðàòîðå

ñíèìàåòñÿ ñ ðåçèñòîðà R

è èìååò òó æå ôîðìó, ÷òî è òîê i

, ò. å.

ÿâëÿåòñÿ íåñèíóñîèäàëüíûì.

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìû êîëåáàíèé, áëèçêîé ê ñèíóñîèäàëüíîé,

íóæíî, ÷òîáû êîëåáàíèÿ íå âûõîäèëè çà ïðåäåëû ëèíåéíîãî ó÷àñò-

402

)

() < 0

)

Ðèñ. 15.19

êà ÂÀÕ. Ïîýòîìó íà ïðàêòèêå ðîñò êîëåáàíèé îãðàíè÷èâàåòñÿ íå

íåëèíåéíîñòüþ òðàíçèñòîðà, à ñïåöèàëüíûì íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì

(ÍÝ), â êà÷åñòâå êîòîðîãî èñïîëüçóþòñÿ ïîëóïðîâîäíèêîâûå èëè

ìåòàëëè÷åñêèå òåðìîðåçèñòîðû.

15.7. Àâòîãåíåðàòîðû ñ âíóòðåííåé îáðàòíîé ñâÿçüþ

Ðàíåå áûëà ïîëó÷åíà îäíà èç ôîðì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâ-

íåíèÿ àâòîãåíåðàòîðà ñ âíåøíåé ÎÑ (15.9)

ÊÊ

ý0Ê

dudu

+a+w=

ñ êîýôôèöèåíòîì a

, îïðåäåëÿåìûì ôîðìóëîé (15.11):

( )

âí

Çäåñü G

âí

$ ïðîâîäèìîñòü, âíîñèìàÿ â êîëåáàòåëüíûé êîíòóð çà

ñ÷åò äåéñòâèÿ âíåøíåé ÎÑ. Ñòàöèîíàðíîìó ðåæèìó ñîîòâåòñòâóåò

ðàâåíñòâî G

âí

= %G. Óñëîâèå âîçíèêíîâåíèÿ êîëåáàíèé óäîâëå-

òâîðÿåòñÿ ïðè G

âí

< 0 è |G

âí

| > G.

Ñðàâíåíèå äàííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ äèôôåðåí-

öèàëüíûì óðàâíåíèåì îäèíî÷íîãî êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà (15.2)

ïîçâîëÿåò ñîñòàâèòü ýêâèâàëåíòíóþ ñõåìó ãåíåðàòîðà. Îíà äàíà íà

ðèñ. 15.4 è îòëè÷àåòñÿ îò ñõåìû îáû÷íîãî êîíòóðà íàëè÷èåì â íåé

îòðèöàòåëüíîé ïðîâîäèìîñòè.

Îòðèöàòåëüíóþ ïðîâîäèìîñòü ìîæíî ïîëó÷àòü íå òîëüêî çà ñ÷åò

äåéñòâèÿ âíåøíåé ÎÑ, íî è ñ ïîìîùüþ ÍÝ ñ ÂÀÕ, èìåþùåé ïà-

äàþùèé ó÷àñòîê. Ýëåêòðîííûå ïðèáîðû, ÿâëÿþùèåñÿ ðåçèñòèâ-

íûìè íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè ñ ïàäàþùèìè ó÷àñòêàìè ÂÀÕ

i = F(u), íàçûâàþòñÿ ïðèáîðàìè ñ îòðèöàòåëüíûì ñîïðîòèâëåíèåì.

Â ÷àñòíîñòè, òàêèì ïðèáîðîì ÿâëÿåòñÿ òóííåëüíûé äèîä.

Ãåíåðàòîðû, ïîñòðîåííûå íà ïðèáîðàõ ñ îòðèöàòåëüíûì ñîïðî-

òèâëåíèåì, íå ñîäåðæàò âíåøíåé öåïè ÎÑ è íàçûâàþòñÿ ïîýòîìó

ãåíåðàòîðàìè ñ âíóòðåííåé ÎÑ.

Íà ðèñ. 15.19, à ïðèâåäåíà ÂÀÕ òóííåëüíîãî äèîäà. Íà ó÷àñòêå

403

áë

)

() < 0

Ðèñ. 15.20

à%á äèôôåðåíöèàëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü G(u) = di/du < 0.

Ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà òóííåëüíîãî äèîäà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïà-

äàþùåìó ó÷àñòêó õàðàêòåðèñòèêè, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðàëëåëü-

íîå ñîåäèíåíèå íåëèíåéíîé îòðèöàòåëüíîé ïðîâîäèìîñòè äèîäà

G(u), çàâèñÿùåé îò ïðèëîæåííîãî ê íåìó íàïðÿæåíèÿ è, è åìêîñòè

ð-ï ïåðåõîäà (ðèñ. 15.19, á).

Ñõåìà ãåíåðàòîðà ñ âíóòðåííåé ÎÑ, âûïîëíåííîãî íà òóííåëü-

íîì äèîäå, èçîáðàæåíà íà ðèñ. 15.20, à. Ïðè ïîìîùè íàïðÿæåíèÿ

ñìåùåíèÿ U

ðàáî÷àÿ òî÷êà óñòàíàâëèâàåòñÿ ïðèìåðíî â ñåðåäèíå

ïàäàþùåãî ó÷àñòêà ÂÀÕ äèîäà. Áëîêèðîâî÷íàÿ åìêîñòü Ñ

áë

îáðà-

çóåò ïóòü äëÿ ïåðåìåííîãî òîêà ãåíåðèðóåìîé ÷àñòîòû. Çàìåíèâ

òóííåëüíûé äèîä ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì îòðèöàòåëüíîé ïðî-

âîäèìîñòè G(u) è åìêîñòè Ñ

ïåðåéäåì ê ýêâèâàëåíòíîé ñõåìå ãå-

íåðàòîðà ïî ïåðåìåííîìó òîêó. Îíà äàíà íà ðèñ. 15.20, á. Åìêîñòü

ýêâèâàëåíòíîé ñõåìû Ñ = Ñ

+ Ñ

. Äàííàÿ ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà

ïîëíîñòüþ óäîâëåòâîðÿåò ïðèâåäåííîìó â íà÷àëå ðàçäåëà äèôôå-

ðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ.

Ãåíåðàòîð íà òóííåëüíîì äèîäå ÿâëÿåòñÿ ãåíåðàòîðîì ïî÷òè

ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, è àíàëèç åãî ðàáîòû ìîæíî ïðîâåñòè òàê

æå, êàê è àíàëèç ðàáîòû ãåíåðàòîðà ñ âíåøíåé ÎÑ.

Ââåäåì ïîíÿòèå ñðåäíåé ïðîâîäèìîñòè ÍÝ Gcp(U

) < 0 ïî

ïåðâîé ãàðìîíèêå ñ àìïëèòóäîé U

. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé,

|Gcp(U

)| îò àìïëèòóäû U

ïðè ðàçëè÷íûõ íàïðÿæåíèÿõ ñìå-

ùåíèÿ U

ïðèâåäåíû íà ðèñ. 15.21. Íà íåì æå ïîêàçàíû ðàçëè÷-

íûå çíà÷åíèÿ ýêâèâàëåíòíîé ïðîâîäèìîñòè êîíòóðà G.

Âîçáóæäàþòñÿ êîëåáàíèÿ ïðè |Gcp(U

)| > G. Ñòàöèîíàðíûå

àìïëèòóäû êîëåáàíèé

óñòàíàâëèâàþòñÿ ïðè |Gcp(U

)| = G.

Ïðîâîäÿ àíàëèç çàâèñèìîñòåé ðèñ. 15.21 (ïîäîáíûé àíàëèç çà-

âèñèìîñòåé âûïîëíåí ñ ïîìîùüþ ðèñ. 15.8 è 15.9 äëÿ ãåíåðàòîðîâ

ñ âíåøíåé ÎÑ), ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ãåíåðàòîðàõ ñ âíóòðåííåé

ÎÑ âîçìîæíû ìÿãêèé è æåñòêèé ðåæèìû ñàìîâîçáóæäåíèÿ

(ðèñ. 15.22).

Ìÿãêèé ðåæèì ñàìîâîçáóæäåíèÿ ïðîèñõîäèò ïðè íàïðÿæåíèÿõ

ñìåùåíèÿ 0,15 B < U

< 0,3 Â, æåñòêèé ðåæèì $ ïðè U

> 0,3 Â.

Íà ðèñ. 15.21 íà êðèâîé ñðåäíåé ïðîâîäèìîñòè |Gcp(U

)|, ïîëó-

÷åííîé ïðè U

= 0,4 Â ïîêàçàíû ñòàöèîíàðíûå òî÷êè À¢, À¢¢ è À¢¢¢.

Êîëåáàíèÿ âîçíèêàþò ïðè çíà÷åíèè ýêâèâàëåíòíîé ïðîâîäèìîñòè

404

|GU

()|

¢¢¢

¢¢

¢¢¢

¢¢

0,3Â

0,4Â

0,5Â

=0,15Â

¢¢¢

Ðèñ. 15.21 Ðèñ. 15.22

êîíòóðà G¢ (òî÷êà À¢). Àìïëèòóäà êîëåáàíèé ðàâíà

. Ïðè óâå-

ëè÷åíèè ïðîâîäèìîñòè G ñòàöèîíàðíàÿ àìïëèòóäà

óìåíü-

øàåòñÿ, ñðûâ êîëåáàíèé ïðîèñõîäèò ïðè G¢¢¢ (òî÷êà À¢¢¢). Ïîýòîìó

æåñòêîìó ðåæèìó ñàìîâîçáóæäåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ñïëîøíàÿ êðèâàÿ

íà ðèñ. 15.22. Ìÿãêîìó ðåæèìó âîçáóæäåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ïóíê-

òèðíàÿ êðèâàÿ, ïîëó÷åííàÿ äëÿ ñðåäíåé ïðîâîäèìîñòè ïðè

= 0,3 Â.

15.8. Àíàëèç ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â àâòîãåíåðàòîðå ìåòîäîì

ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ àìïëèòóä

Ïðè èññëåäîâàíèè óñëîâèé ñàìîâîçáóæäåíèÿ è ñòàöèîíàðíîãî

ðåæèìà ðàáîòû àâòîãåíåðàòîðà ïðèíèìàëèñü âî âíèìàíèå ñëåäóþ-

ùèå îáñòîÿòåëüñòâà. Ïðè ñàìîâîçáóæäåíèè àìïëèòóäà íàðàñòàþ-

ùèõ êîëåáàíèé â àâòîãåíåðàòîðå ìàëà è ðàáîòà ãåíåðàòîðà ïðîèñ-

õîäèò íà ëèíåéíîì ó÷àñòêå ÂÀÕ òðàíçèñòîðà i

= F(u

), íà êîòî-

ðîì êðóòèçíà òðàíçèñòîðà

êococ

()()

Sudiudu

ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿí-

íîé âåëè÷èíîé, íå çàâèñÿùåé îò íàïðÿæåíèÿ u

, ò. å.

()

SuS

Â ýòîì ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå àâòîãåíåðàòîðà (15.8)

ñòàíîâèòñÿ ëèíåéíûì.

Â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå, êîãäà àìïëèòóäû ãàðìîíè÷åñêîãî êî-

ëåáàíèÿ íà êîíòóðå àâòîãåíåðàòîðà U

mê

è ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáà-

íèÿ îáðàòíîé ñâÿçè U

moc

ÿâëÿþòñÿ óñòàíîâèâøèìèñÿ, ñðåäíÿÿ êðó-

òèçíà

()

â óðàâíåíèè (15.8) ÿâëÿåòñÿ òàêæå ïîñòîÿííîé âåëè-

÷èíîé è äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå àâòîãåíåðàòîðà ñíîâà ìîæíî

ñ÷èòàòü ëèíåéíûì:

êê

duGMSdu

dtCLCdt

éù

+-+w=

êú

ëû

Èç ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿëèñü óñëîâèÿ ñàìîâîçáó-

æäåíèÿ, àìïëèòóäà è ÷àñòîòà ãåíåðèðóåìûõ êîëåáàíèé.

405

Ïðè àíàëèçå ïåðåõîäíîãî ðåæèìà àâòîãåíåðàòîðà, êîãäà àìïëè-

òóäû êîëåáàíèé íàïðÿæåíèÿ íà êîíòóðå è íàïðÿæåíèÿ îáðàòíîé

ñâÿçè èçìåíÿþåòñÿ îò î÷åíü ìàëûõ âåëè÷èí U

mê

(0) è U

moc

(0), âû-

çâàííûõ ôëóêòóàöèîííûìè ïðîöåññàìè â àâòîãåíåðàòîðå, äî óñòà-

íîâèâøèõñÿ çíà÷åíèé, ñ÷èòàòü êðóòèçíó

()

ïîñòîÿííîé óæå

íåâîçìîæíî; äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå àâòîãåíåðàòîðà (15.8)

ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì. Ïîñêîëüêó ñïîñîáîâ òî÷íîãî àíàëèòè÷åñêîãî

ðåøåíèÿ íåëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïî-

ðÿäêà íå ñóùåñòâóåò âîñïîëüçóåìñÿ äëÿ åãî ðåøåíèÿ ïðèáëèæåí-

íûì ìåòîäîì ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿ àìïëèòóä (ÌÌÀ).

Ìåòîä ÌÌÀ ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ äèôôåðåí-

öèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì. Ýòîò ìåòîä ââåäåí â ðà-

äèîòåõíèêó âïåðâûå Âàí-äåð-Ïîëåì, êîòîðûé ðàññìîòðåë ðÿä çà-

äà÷, ñâÿçàííûõ ñ óñòàíîâëåíèåì êîëåáàíèé â ëàìïîâûõ ãåíåðàòî-

ðàõ è äðóãèõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåìàõ. Â äàëüíåéøåì ýòîò ìåòîä

ïîëó÷èë îáîñíîâàíèå â ðàáîòàõ àêàäåìèêîâ Ë.È. Ìàíäåëüøòàìà,

Í.Ä. Ïàïàëåêñè, À.À. Àíäðîíîâà è èõ ó÷åíèêîâ. Îñîáî ñëåäóåò

îòìåòèòü ðàáîòû àêàäåìèêîâ Í.Í. Áîãîëþáîâà, Í.Ì. Êðûëîâà, à

òàêæå Þ.À. Ìèòðîïîëüñêîãî, ïîñâÿùåííûå ðàçâèòèþ è ìåòîäà

ÌÌÀ (èëè, êàê îí ÷àñòî íàçûâàåòñÿ, ìåòîäà óêîðî÷åííûõ óðàâ-

íåíèé).

Ïîñêîëüêó â àâòîãåíåðàòîðàõ äëÿ ïîâûøåíèÿ ñòàáèëüíîñòè ÷àñ-

òîòû ãåíåðèðóåìûõ êîëåáàíèé è ïîäàâëåíèÿ âûñøèõ ãàðìîíèê òîêà

êîëëåêòîðà, ÿâëÿþùèõñÿ ïðîäóêòîì íåëèíåéíîñòè ÂÀÕ òðàíçèñòî-

ðà, èñïîëüçóåòñÿ âûñîêîäîáðîòíûé êîíòóð (Q

1), òî àìïëèòóäà

íàïðÿæåíèÿ íà êîíòóðå, à òàêæå àìïëèòóäà íàïðÿæåíèÿ îáðàòíîé

ñâÿçè, èçìåíÿþòñÿ òàê ìåäëåííî, ÷òî èõ ïðèðàùåíèå

çà âðåìÿ

ïåðèîäà êîëåáàíèé T ìíîãî ìåíüøå ñàìîé àìïëèòóäû êîëåáàíèé

. Ýòî óñëîâèå «ìàëîñòè» èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû êîëåáà-

íèé è áóäåò èñïîëüçîâàíî äëÿ àíàëèçà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â àâ-

òîãåíåðàòîðå.

Ïîêàæåì, ÷òî óêàçàííîå óñëîâèå «ìàëîñòè» èçìåíåíèÿ àìïëèòó-

äû êîëåáàíèé â àâòîãåíåðàòîðå,

, äåéñòâèòåëüíî âûïîë-

íÿåòñÿ ïðè áîëüøèõ äîáðîòíîñòÿõ êîíòóðà Q. Íàïðÿæåíèå íà êî-

ëåáàòåëüíîì êîíòóðå àâòîãåíåðàòîðà èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó

ê00

()esin

utUt

-a

ãäå

$ êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ êîíòóðà; U

$ íà÷àëüíîå

çíà÷åíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé, âûçâàííîå ôëóêòóàöèÿìè òîêà â

òðàíçèñòîðå; w

$ ÷àñòîòà ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé â êîíòóðå.

Ââåäåì îáîçíà÷åíèå

ê0

()e

UtU

-a

(15.25)

è ïåðåïèøåì âûðàæåíèå äëÿ u(t):

êê0

()()sin,

utUtt

406

ãäå U

(t) $ îïèñûâàåò çàêîí èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû àâòîêîëåáàíèé

âî âðåìåíè.

Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ (15.25), íàéäåì ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ àì-

ïëèòóäû

0 ê

()

().

dUt

UeUt

-a

=-a=-a (15.26)

Ïåðåïèøåì (15.26) â ïðèðàùåíèÿõ

êê

()().

UtUtt

D=-aD

(15.27)

Ïóñòü îòðåçîê âðåìåíè Dt = T, òîãäà

(

)

êê

()

UtTUt

D=-a

Åñëè aT

1, òî óñëîâèå

âûïîëíÿåòñÿ. ×òîáû óáåäèòü-

ñÿ â ýòîì, âûðàçèì äåêðåìåíò çàòóõàíèÿ aT ïàðàëëåëüíîãî êîíòóðà

÷åðåç äîáðîòíîñòü Q:

GGLCL

TGG

CCCQ

ppp

a=×==p=pr=

(15.28)

ãäå

(

)

$ äîáðîòíîñòü êîíòóðà; r $ õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñî-

ïðîòèâëåíèå êîíòóðà.

Äëÿ êîíòóðà âûñîêîé äîáðîòíîñòè (Q

1) äåêðåìåíò çàòóõà-

íèÿ aT

1, ïîýòîìó

êê

, (15.29)

â ÷åì è òðåáîâàëîñü óáåäèòüñÿ.

Âîñïîëüçóåòñÿ óñëîâèåì (15.29) äëÿ ïåðåõîäà îò ïîëíîãî äèô-

ôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ àâòîãåíåðàòîðà (15.8) ê óêîðî÷åííîìó.

Ïåðåïèøåì (15.29), ðàçäåëèâ ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè íåðàâåíñòâà

íà ïåðèîä êîëåáàíèé

êêê0

mmm

UUU

= .

Ïåðåéäåì ñíîâà ê áåñêîíå÷íî ìàëûì ïðèðàùåíèÿì àìïëèòóäû

êîëåáàíèé, ïîëàãàÿ, ÷òî ïåðèîä êîëåáàíèé äîñòàòî÷íî ìàë ïî ñðàâ-

íåíèþ ñî âðåìåíåì èçìåíåíèÿ àìïëèòóäû

êê0

dUU

. (15.30)

Íåðàâåíñòâî (15.30) åùå áîëåå óñèëèòñÿ, åñëè ïðàâóþ ÷àñòü óì-

íîæèì íà 2p:

<<w . (15.31)

Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ (15.31), ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî äëÿ 2-îé

ïðîèçâîäíîé

êê

dUdU

dtdt

<<w . (15.32)

407

Âîñïîëüçóåìñÿ (15.31) è (15.32) äëÿ ïåðåõîäà îò äèôôåðåíöè-

àëüíîãî óðàâíåíèÿ àâòîãåíåðàòîðà (15.8), ñîñòàâëåííîãî îòíîñè-

òåëüíî íàïðÿæåíèÿ íà êîíòóðå u

(t), ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâ-

íåíèþ, ñîñòàâëåííîìó îòíîñèòåëüíî îãèáàþùåé àìïëèòóäû ýòîãî

íàïðÿæåíèÿ U

mê

(t). Òåì ñàìûì óäàñòñÿ ïîíèçèòü ïîðÿäîê äèôôå-

ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.

Âû÷èñëèì ïåðâóþ è âòîðóþ ïðîèçâîäíûå âûðàæåíèÿ u

(t) =

ê0

()sin

Utt

è ó÷òåì íåðàâåíñòâà (15.31) è (15.32):

0 ê00

ê00

()

sin()cos

()cos;

dUt

dut

tUtt

dtdt

Utt

=w+ww»

»ww

(15.33)

êê

000

00 ê0

()()

()

sincos

()

cos()sin

()

2cos()sin.

dUtdUt

dut

dtdtdt

dUt

tUtt

dUt

tUtt

=w+ww+

+ww-ww»

»ww-ww

(15.34)

Ïîäñòàâèì (15.33) è (15.34) â óðàâíåíèå àâòîãåíåðàòîðà (15.8):

00 ê0

îñ

ê00ê0

()

2cos()sin

()

2()cos()sin0.

dUt

tUtt

MSu

UttUtt

ww-ww+

æö

+a-ww+ww=

ç÷

èø

Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ ýòîãî âûðàæåíèÿ èìååì îêîí÷àòåëüíî:

îñ

()

()0.

dUt

MSu

dtLC

æö

+a-=

ç÷

èø

(15.35)

Ïîëó÷èëè òàê íàçûâàåìîå «óêîðî÷åííîå» íåëèíåéíîå äèôôå-

ðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå 1-ãî ïîðÿäêà äëÿ ìåäëåííî ìåíÿþùåéñÿ

àìïëèòóäû êîëåáàíèé, èëè óðàâíåíèå Âàí-äåð-Ïîëÿ.

Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçîâàíèå óñëîâèé ìåäëåííîñòè èçìåíåíèÿ

àìïëèòóäû ïîçâîëèëî ïåðåéòè îò ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé íàïðÿæå-

íèÿ íà êîíòóðå u

ê àìïëèòóäíûì U

mê

è ïîíèçèòü ïîðÿäîê óðàâ-

íåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (15.35) ïî-ïðåæíåìó îñòàåòñÿ íåëè-

íåéíûì, òàê êàê â íåãî âõîäÿò ìãíîâåííàÿ êðóòèçíà ÂÀÕ, çàâèñÿ-

ùàÿ îò ìãíîâåííîãî íàïðÿæåíèÿ u

îñ

. Îäíàêî, îò ìãíîâåííîé êðó-

òèçíû ìîæíî ïåðåéòè ê ñðåäíåé êðóòèçíå â ñèëó òîãî, ÷òî â âûñî-

êîäîáðîòíîì êîíòóðå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âûñøèìè ãàðìîíèêàìè.

Òîãäà óðàâíåíèÿ (15.35) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

êñð

()

dUtMS

dtLC

æö

+a-=

ç÷

èø

(15.36)

408

Ýòî óðàâíåíèå, ñòðîãî ãîâîðÿ, òàêæå ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì (òàê

êàê ñðåäíÿÿ êðóòèçíà çàâèñèò îò àìïëèòóäû); îäíàêî â òàêîì

óðàâíåíèè ïåðâîãî ïîðÿäêà ìîæíî ðàçäåëèòü ïåðåìåííûå è ïîëó-

÷èòü åãî ðåøåíèå.

Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (15.36) ïðåæäå âñåãî íóæíî âûáðàòü

âûðàæåíèå äëÿ ñðåäíåé êðóòèçíû. Åñëè àïïðîêñèìèðîâàòü ÂÀÕ

òðàíçèñòîðà ïîëèíîìîì

( ) ( )

ê01oñ02oñ0

iaauUauU

=+-+-+

è ñ÷èòàòü, ÷òî

oc0oc

cos

uUUt

=+w

, òî ìîæíî íàéòè àìïëèòóäó

ïåðâîé ãàðìîíèêè òîêà

( )

1oc1oc3oc5oc

mmmmm

IUaUaUaU

=+++

è ñðåäíþþ êðóòèçíó ïî ïåðâîé ãàðìîíèêå

( )

ñðoc13oc5oc

mmm

SUaaUaU

==+++

Ýòî îáùåå âûðàæåíèå äëÿ ñðåäíåé êðóòèçíû ïðèãîäíî äëÿ ðàñ÷åòà

ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â àâòîãåíåðàòîðå êàê â ìÿãêîì, òàê è â æå-

ñòêîì ðåæèìàõ, íî ñëîæíîñòü ðàñ÷åòîâ ïðè ýòîì ðåçêî âîçðàñòàåò.

Ïîýòîìó äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ èñïîëüçóþò íå ïîëèíîìèàëüíóþ

àïïðîêñèìàöèþ, à àïïðîêñèìàöèþ ãèïåðáîëè÷åñêèì òàíãåíñîì.

Ñðåäíþþ êðóòèçíó òðàíçèñòîðà äëÿ ìÿãêîãî ðåæèìà ñàìîâîç-

áóæäåíèÿ ñ äîñòàòî÷íîé äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ñòåïåíüþ òî÷-

íîñòè ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ôóíêöèåé

ñð0

(15.37)

ãäå S

$ íà÷àëüíîå çíà÷åíèå êðóòèçíû S(0);

aSI

, S $ çíà÷å-

íèå êðóòèçíû â ðàáî÷åé òî÷êå, I

$ òîê íàñûùåíèÿ òðàíçèñòîðà.

Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå äëÿ êðóòèçíû (15.37) â óêîðî÷åííîå

óðàâíåíèå äëÿ îãèáàþùåé àìïëèòóäû êîëåáàíèé àâòîãåíåðàòîðà

(15.36) è âûíîñÿ êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ a çà ñêîáêè, ïîëó÷èì:

êê

()th()

1()0,

()

dUtaUt

mUt

dtaUt

æö

+a-=

ç÷

èø

(15.38)

ãäå

êð

mMM

;

êð0

MLGS

Ïîëó÷èì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (15.38) äëÿ äâóõ îòðåçêîâ âðåìåíè:

„„

$ ðåæèì ìàëûõ àìïëèòóä, êîãäà àðãóìåíò

0,5

„

Â ýòî ñëó÷àå

êê

aUaU

è óðàâíåíèå (15.38) áóäåò ëèíåéíûì

îäíîðîäíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì 1-ãî ïîðÿäêà:

( )

ê1

()

1()0;0.

dUt

mUttt

+a-=„„ (15.39)

409

óñò

ttt

„„

$ ðåæèì áîëüøèõ àìïëèòóä

1,5

…

, òîãäà

th1

è (15.38) áóäåò ëèíåéíûì íåîäíîðîäíûì äèôôåðåíöè-

àëüíûì óðàâíåíèåì 1-ãî ïîðÿäêà

ê1óñò

()

()0;.

dUt

Utttt

dta

æö

+a-=

ç÷

èø

„„ (15.40)

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (15.39) èìååò âèä:

(1)

êê1

()(0);0,

UtUett

-a-

„„

(15.41)

ãäå U

mê

(0) $ íà÷àëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé â ìîìåíò

t = 0 (íà ïåðâîì èíòåðâàëå âðåìåíè

„„

), îáóñëîâëåííîå

ôëóêòóàöèÿìè â òðàíçèñòîðå. Èç (15.41) âèäíî, ÷òî àìïëèòóäà êî-

ëåáàíèé áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ, åñëè m > 1, ò. å. M > M

êð

èëè

êð

MLGS

Äëÿ ðåøåíèÿ (15.40) ïðîâåäåì ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ è ïðîèí-

òåãðèðóåì

()

óñò

()

Utt

dUt

dtttt

æö

ç÷

èø

=-a

òò

„„

óñò

ê1

()

ln();,

()

ttttt

=-a-

„„

()

êê11óñò

()()e;,

UtUtttt

-a-

æö

=-+

ç÷

èø

„„ (15.42)

ãäå U

mê

) $ íà÷àëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé íà âòîðîì

èíòåðâàëå

óñò

ttt

„„

, ðàâíîå êîíå÷íîìó çíà÷åíèþ àìïëèòóäû íà

ïåðâîì èíòåðâàëå

(1)

ê1ê

()(0)

UtUe

-a-

= .

Ïðè

ïîëó÷èì óñòàíîâèâøååñÿ ðåøåíèå äëÿ àìïëèòóäû êî-

ëåáàíèé

êóñò0

êð

().

mMMI

UtS

aMaLSG

==×=

(15.43)

Èç (15.43) âèäíî, ÷òî óñòàíîâèâøååñÿ êîëåáàíèå

óñò

()

íå

çàâèñèò îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé, à çàâèñèò îò âåëè÷èíû îáðàòíîé

ñâÿçè

, ïðîâîäèìîñòè êîíòóðà G è õàðàêòåðèñòèê òðàíçèñ-

òîðà.

Âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ êîëåáàíèé â àâòîãåíåðàòîðå íàõîäèòñÿ èç

óñëîâèÿ, ÷òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé èçìåíÿåòñÿ îò U

mê

(0) äî 0,95

îò óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåøåíèÿ, ò. å.

óñò

()0,95

Utma

. Îòêóäà

èìååì

410

óñò1

()

ê1

0,95()e

mmm

aaa

-a-

æö

=-+

ç÷

èø

. (15.44)

Íà÷àëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé U

mê

) íàéäåì èç

âûðàæåíèÿ ñðåäíåé êðóòèçíû íà ïåðâîì èíòåðâàëå S

ñð

= S è íà

âòîðîì èíòåðâàëå

(

)

ñð

ê1

()

SSaUt

= . Îòñþäà:

(1)

ê1ê

()(0)e

UtU

-a-

. (15.45)

Èç (15.45) íàõîäèì

ln(0)

(1)

(15.46)

Ïîäñòàâèâ (15.46) â (15.44), ïîëó÷èì

óñò1

()

0,95e

mmm

aaaa

-a-

æö

=-+

ç÷

èø

;

óñò1

0,05

ln().

=-a-

Îòêóäà íàõîäèì

óñò1

ln20;

óñòê

111

ln20ln(0).

(1)

taU

aa-

(15.47)

Èç (15.47) âèäíî, ÷òî äëèòåëüíîñòü óñòàíîâëåíèÿ êîëåáàíèé t

óñò

çàâèñèò îò íà÷àëüíîé àìïëèòóäû U

mê

(0), êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ

a, âåëè÷èíû îáðàòíîé ñâÿçè m è ïàðàìåòðà òðàíçèñòîðà a. Ñ óâå-

ëè÷åíèåì íà÷àëüíîé àìïëèòóäû êîëåáàíèé U

mê

(0) âðåìÿ óñòàíîâ-

ëåíèÿ óìåíüøàåòñÿ.

Ïðèìåð. Ðàññ÷èòàòü âðåìÿ óñòàíîâëåíèÿ êîëåáàíèé â àâòîãåíåðàòîðå äëÿ

ñëåäóþùèõ óñëîâèé: âåëè÷èíà âçàèìíîé èíäóêöèè â äâà ðàçà áîëüøå êðèòè÷å-

ñêîé

êð

mMM

; íà÷àëüíîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé â 100 ðàç

ìåíüøå àìïëèòóäû êîëåáàíèé â ñåðåäèíå ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà U

mê

(0) =

0,01

, äîáðîòíîñòü êîíòóðà Q = 100.

Âûðàçèì â (15.47) êîýôôèöèåíò çàòóõàíèÿ a êîíòóðà ÷åðåç äîáðîòíîñòü

(

)

a=w

, òîãäà èç (15.47) ïîëó÷èì

( )

óñò

20,012

ln10lnln10ln0,01

21022

ln3ln106,92

èëè 2.

0,012

QQQT

QTQ

æö

=-=-=

ç÷

èø

==×=×»»

wwp

Ïðè Q = 100 óñòàíîâëåíèå êîëåáàíèé ïðîèñõîäèò çà 200 ïåðèîäîâ.