Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание

Подождите немного. Документ загружается.

421

-j

Ðèñ. 16.2 Ðèñ. 16.3

Êàê âèäíî, õàðàêòåðèñòèêè öåïè çàâèñÿò îò ïàðàìåòðîâ åå ýëåìåíòîâ. Â

ïðîöåññå ïðîèçâîäñòâà è ýêñïëóàòàöèè ðàäèîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ çíà÷åíèÿ

ïàðàìåòðîâ ýëåìåíòîâ íåèçáåæíî îòëè÷àþòñÿ îò ðàñ÷åòíûõ çíà÷åíèé, ÷òî ïðè-

âîäèò ê èçìåíåíèþ èõ õàðàêòåðèñòèê. Èçìåíåíèÿ õàðàêòåðèñòèê äîëæíû áûòü

òàêèìè, ïðè êîòîðûõ ðàáîòà óñòðîéñòâà íå íàðóøàåòñÿ. Ïîýòîìó, ÷åì ìåíüøå

èçìåíåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ïðè îäíîì è òîì æå îòêëîíåíèè âåëè÷èí ïàðàìåòðîâ

ýëåìåíòîâ, òåì ëó÷øå ýòî óñòðîéñòâî. Äëÿ îöåíêè âëèÿíèÿ èçìåíåíèé õàðàê-

òåðèñòèê óñòðîéñòâ ê èçìåíåíèþ ïàðàìåòðîâ ýëåìåíòîâ ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ÷óâ-

ñòâèòåëüíîñòè. Ïóñòü õ

i-é ýëåìåíò (ïàðàìåòð) öåïè, à F(õ

) $ õàðàêòåðèñòè-

êà, çàâèñÿùàÿ îò ýòîãî ýëåìåíòà. ×óâñòâèòåëüíîñòüþ íåêîòîðîé õàðàêòåðè-

ñòèêè F(õ

) ê èçìåíåíèþ íåêîòîðîãî ïàðàìåòðà õ

íàçûâàåòñÿ ïðåäåë îòíîøå-

íèÿ îòíîñèòåëüíîãî èçìåíåíèÿ ôóíêöèè ê îòíîñèòåëüíîìó èçìåíåíèþ ïàðà-

ìåòðà:

( )

(

)

(

)

(

)

( )

lim.

iii

FFF

xxx

xxxF

D®

D¶

==×

D¶

Íàïðèìåð, ÷óâñòâèòåëüíîñòü À×Õ öåïè |H(jw)| ê èçìåíåíèþ êàêîãî-ëèáî

ïàðàìåòðà öåïè x

èìååò âèä

iii

HHH

xxx

¶¶

==×

¶¶

Êðîìå ÷óâñòâèòåëüíîñòè âðåìåííûõ è ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê â òåîðèè

öåïåé ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêæå ÷óâñòâèòåëüíîñòü ïîëþñà è äîáðîòíîñòè ïîëþñà

ê èçìåíåíèþ (ïàðàìåòðîâ) ýëåìåíòîâ. Äëÿ îïåðàòîðíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè

(16.14) ïîëþñû îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèåì

1,200

pjj

LLC

=-±-=-a±w

Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïîëþñû ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûìè

÷èñëàìè. Íà ðèñ. 16.3 ïîêàçàíî ïîëîæåíèå ýòèõ ïîëþñîâ íà êîìïëåêñíîé

ïëîñêîñòè.

Äîáðîòíîñòüþ ïîëþñà íàçûâàþò îòíîøåíèå åãî ìîäóëÿ (ðàññòîÿíèå îò

ïîëþñà äî íà÷àëà êîîðäèíàò) ê óäâîåííîé âåùåñòâåííîé ÷àñòè:

a+w

Èíòåðåñíî, ÷òî äîáðîòíîñòü ïîëþñà ñîâïàäàåò ñ äîáðîòíîñòüþ êîíòóðà íà

ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå (ñì. (4.25)). Â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ïîëþñ íàõî-

äèòñÿ íà ìíèìîé îñè, òî Q = ¥, à êîãäà íà âåùåñòâåííîé îñè $ Q = 0,5.

×óâñòâèòåëüíîñòü k-ãî ïîëþñà îïðåäåëÿåòñÿ êàê

422

ãäå p

ïîëþñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè öåïè. Ýòà ÷óâñòâèòåëüíîñòü ïîêàçûâàåò

ïðèðàùåíèå ïîëþñà ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðîâ ýëåìåíòîâ öåïè. Â äàííîì

ñëó÷àå S $ ýòî íå ôóíêöèÿ, à êîìïëåêñíîå ÷èñëî.

×óâñòâèòåëüíîñòü äîáðîòíîñòè ïîëþñà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

iii

QQQ

xxxQ

¶¶

==×

¶¶

Èññëåäîâàíèå ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïðè ñèíòåçå öåïåé ïîìîãàåò ñîçäàòü öåïü,

õàðàêòåðèñòèêè êîòîðîé íàèìåíåå ïîäâåðæåíû âîçäåéñòâèþ ðàçëè÷íûõ äåñòà-

áèëèçèðóþùèõ ôàêòîðîâ (íàïðèìåð, òåìïåðàòóðû, âëàæíîñòè, ñòàðåíèÿ ýëå-

ìåíòîâ è äð.).

16.5. Çàäà÷à àïïðîêñèìàöèè â ñèíòåçå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Àïïðîêñèìàöèÿ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ðàçäåëîâ ìàòå-

ìàòèêè è øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ çíàíèé. Â

§ 10.2 ìû ñòàëêèâàëèñü ñ àïïðîêñèìàöèåé ÂÀÕ íåëèíåéíûõ ýëå-

ìåíòîâ. È â äàííîì ñëó÷àå ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷è îñòàåòñÿ

ïðåæíèì. Ïðåæäå âñåãî ýòî êàñàåòñÿ êðèòåðèåâ áëèçîñòè ôóíêöèé.

Íàïîìíèì, ÷òî íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè ÿâëÿþòñÿ äâà êðèòå-

ðèÿ. Âî-ïåðâûõ, ýòî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèé êðèòåðèé, êîãäà ìèíè-

ìèçèðóåòñÿ èíòåãðàë îò êâàäðàòà ìîäóëÿ ðàçíîñòè ôóíêöèé. Äðó-

ãèì êðèòåðèåì ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàêñíûé êðèòåðèé, êîãäà ìèíèìèçè-

ðóåòñÿ ìàêñèìóì ìîäóëÿ ðàçíîñòè äâóõ ôóíêöèé. Åñëè äîñòèãàåòñÿ

òàêîé ìèíèìóì, òî ãîâîðÿò, ÷òî àïïðîêñèìàöèÿ âûïîëíåíà ïî ×å-

áûøåâó èëè îïòèìàëüíî ðàâíîìåðíî. Îäíàêî â ðåøåíèè çàäà÷è

àïïðîêñèìàöèè ïðè ñèíòåçå öåïåé èìåþòñÿ è îòëè÷èÿ. Âî-ïåðâûõ,

ñóùåñòâóþò îãðàíè÷åíèÿ íà âèä àïïðîêñèìèðóþùèõ ôóíêöèé è,

âî-âòîðûõ, äîëæíû êîíòðîëèðîâàòüñÿ ÓÔÐ.

Äåéñòâèòåëüíî, åñëè âûïîëíÿåòñÿ àïïðîêñèìàöèÿ êâàäðàòà ìî-

äóëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè, òî â êà÷åñòâå àïïðîêñèìèðóþùåé íå-

îáõîäèìî âûáðàòü äðîáíî-ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ, êîòîðàÿ ïðåä-

ñòàâëÿåò ñîáîé îòíîøåíèå äâóõ ÷åòíûõ ïîëèíîìîâ ñ âåùåñòâåí-

íûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïðè ýòîì ñòåïåíü ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ íå

äîëæíà ïðåâûøàòü ñòåïåíè ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ è ñâîáîäíûé

÷ëåí ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ íå ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Òàêèì âû-

áîðîì àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿþòñÿ ïåðâûå äâà

ÓÔÐ êâàäðàòà ìîäóëÿ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè. Òðåòüå óñëîâèå

äîëæíî êîíòðîëèðîâàòüñÿ â ïðîöåññå ðåøåíèÿ àïïðîêñèìàöèîííîé

çàäà÷è.

Êîãäà ðàññìàòðèâàþòñÿ âðåìåííûå õàðàêòåðèñòèêè, òî âûáîð

àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè îñóùåñòâëÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ âû-

ðàæåíèÿìè (16.7).

423

Ìåòîäû àïïðîêñèìàöèè. Îáîçíà÷èì çàäàííóþ ôóíêöèþ x(õ).

Êàê óæå ãîâîðèëîñü, ýòî ìîæåò áûòü: À×Õ |H(jw)| èëè åå êâàäðàò

|H(jw)|

; Ô×Õ j(w) èëè åå òàíãåíñ D = tg j(w); õàðàêòåðèñòèêà

ãðóïïîâîãî âðåìåíè ïðîõîæäåíèÿ (ÃÂÏ) t

ãð

(w) = dj(w)/dw; èì-

ïóëüñíàÿ õàðàêòåðèñòèêà h(t); ïåðåõîäíàÿ õàðàêòåðèñòèêà g(t) è

ò. ä.

Â êà÷åñòâå àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè âûáèðàþò ñîîòâåòñò-

âóþùóþ ÷àñòîòíóþ èëè âðåìåííýþ ôóíêöèþ öåïè F(x). Íàïðèìåð,

åñëè çàäàí êâàäðàò À×Õ, ò. å. x(õ) = |H(jw)|

, òî ôóíêöèÿ öåïè,

àïïðîêñèìèðóþùàÿ çàäàííóþ, èùåòñÿ â îáùåì ñëó÷àå â âèäå

( )

222242

0121

222242

0121

nnn

mmm

ccccc

ddddd

w+w+w++w+

ãäå ïîäëåæàò îïðåäåëåíèþ çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ c

, ..., c

, ..., d

Äëÿ çàäàííîé ïåðåõîäíîé ôóíêöèè x(õ) = g(t) àïïðîêñèìèðóþ-

ùàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò îïèñûâàòüñÿ âûðàæåíèåì

()

FAe

ãäå â ðåçóëüòàòå àïïðîêñèìàöèè îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ êîýôôèöè-

åíòîâ À

è êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ p

= a

± jw

ò. ä.

Èç ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðîâ âèäíî, ÷òî àïïðîêñèìèðóþùàÿ

ôóíêöèÿ F(x) çàâèñèò îò íåêîòîðûõ ïàðàìåòðîâ öåïè (â ïåðâîì

ñëó÷àå îò c

, ..., c

, d

, ..., d

, âî âòîðîì $ îò A

è p

è äð.). Îáî-

çíà÷èì ïàðàìåòðû öåïè â îáùåì âèäå áóêâàìè a

, a

, ..., a

, ò. å.

F(x) = F(x, a

, a

, ..., a

). Ðåøåíèåì çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè ñ÷è-

òàåòñÿ íàõîæäåíèå íàèëó÷øèõ çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ a

, a

, ...,

, ïðè êîòîðûõ ôóíêöèÿ F(x) áóäåò íàèáîëåå «áëèçêà» ê ôóíê-

öèè x(õ).

Ðàçëè÷íûå àïïðîêñèìàöèè (ïðèáëèæåíèÿ îäíîé ôóíêöèè ê äðó-

ãîé) îòëè÷àþòñÿ, ïðåæäå âñåãî, ïîíÿòèÿìè «áëèçîñòè» äâóõ ôóíê-

öèé. Íàèáîëåå øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå â ðàäèîòåõíèêå è ñâÿçè

ïîëó÷èëè òàêèå ìåòîäû àïïðîêñèìàöèè, êàê èíòåðïîëÿöèÿ, ïðè-

áëèæåíèå ïî Òåéëîðó, ïðèáëèæåíèå ïî ×åáûøåâó, ñðåäíåêâàäðà-

òè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå.

Ïðè ïðèáëèæåíèè ôóíêöèè F(x) è x(õ) ìåòîäîì èíòåðïîëÿöèè

íàèëó÷øåé «áëèçîñòüþ» ýòèõ ôóíêöèé ñ÷èòàåòñÿ ñîâïàäåíèå èõ

çíà÷åíèé â âûáðàííûõ òî÷êàõ $ óçëàõ èíòåðïîëÿöèè $ x

, x

, ...,

, ò. å.

(

)

(

)

,1,2,,.

,,,,

iNi

FiN

=x=

aaa

Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïîçâîëÿåò íàéòè èñêîìûå çíà-

÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ a

, a

, ..., a

Ðåøåíèå çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè äàííûì ìåòîäîì (ñì. § 10.2)

èìååò ñëåäóþùèå íåäîñòàòêè:

424

1. Îòñóòñòâóåò ïðîöåäóðà âûáîðà òî÷åê èíòåðïîëÿöèè è ïåðâî-

íà÷àëüíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè è ïîýòîìó âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ

îòûñêàíèÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ, çàâèñèò îò êâàëèôèêàöèè è èí-

òóèöèè ðàçðàáîò÷èêà.

2. Â ïðîöåññå ðåøåíèÿ íå êîíòðîëèðóþòñÿ ÓÔÐ.

Íåñìîòðÿ íà îòìå÷åííûå íåäîñòàòêè, ìåòîä èíòåðïîëÿöèè ïðè-

ìåíÿåòñÿ äîâîëüíî øèðîêî íà ïðàêòèêå, íàïðèìåð, ïðè ñèíòåçå àì-

ïëèòóäíûõ êîððåêòîðîâ.

Äàííûé ìåòîä àïïðîêñèìàöèè ïðèìåíÿåòñÿ äîâîëüíî ÷àñòî ââè-

äó åãî ïðîñòîòû, îäíàêî îí íå ãàðàíòèðóåò ïîëó÷åíèÿ ôèçè÷åñêè

ðåàëèçóåìîé ôóíêöèè F(x).

Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé ïî Òåéëîðó ïðåäïîëàãàåò, ÷òî íàèëó÷-

øàÿ «áëèçîñòü» F(x) è x(õ) äîñòèãàåòñÿ ïðè ñîâïàäåíèè â âûáðàí-

íîé òî÷êå x

çíà÷åíèé ñàìèõ ôóíêöèé è èõ (N% 1) ïðîèçâîäíûõ.

Òàêèì îáðàçîì,

(

)

(

)

( ) ( )

( )

0120

,,,,

.................

,,,,

aaa

¢¢

aaa

Â îñíîâå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ëåæèò ðàçëîæåíèå ôóíêöèé

F(x) è x(õ) â ðÿäû Òåéëîðà è ïðèðàâíèâàíèå ïåðâûõ N êîýôôèöè-

åíòîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ðÿäîâ. Ïðèáëèæåíèå ïî Òåéëîðó íàøëî

ïðèìåíåíèå, â ÷àñòíîñòè, ïðè ñèíòåçå ýëåêòðè÷åñêèõ ôèëüòðîâ. Ïî

èìåíè àâòîðà, âïåðâûå ïðåäëîæèâøåãî òàêîé âèä àïïðîêñèìàöèè â

òåîðèè ôèëüòðîâ, îíà íàçûâàåòñÿ àïïðîêñèìàöèåé ïî Áàòòåðâîðòó

(ñì. § 7.2).

Íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè F(x) ê x(õ) ïðè àïïðîêñè-

ìàöèè ïî ×åáûøåâó îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ

( ) ( )

{ }

,,,

maxmin.

aaa

L=®

-x

Ýòîò êðèòåðèé «áëèçîñòè» ôóíêöèé ñëåäóåò ïîíèìàòü òàê: êî-

ýôôèöèåíòû a

, a

, ..., a

ôóíêöèè F(x) äîëæíû áûòü âûáðàíû

òàêèìè, ÷òîáû ñàìîå íàèáîëüøåå îòêëîíåíèå F(x) îò x(õ) â ëþáîé

òî÷êå õ ðàññìàòðèâàåìîãî äèàïàçîíà ñäåëàòü ìèíèìàëüíî âîçìîæ-

íûì.

Çàäà÷à ÷åáûøåâñêèõ ïðèáëèæåíèé ðåøåíà àíàëèòè÷åñêè äëÿ

ýëåêòðè÷åñêèõ ôèëüòðîâ (ñì. § 17.2).

Ïðè èñïîëüçîâàíèè ×åáûøåâñêîãî êðèòåðèÿ áëèçîñòè ïîëåçíîé

ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà ×åáûøåâà, êîòîðàÿ ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì

îáðàçîì.

Òåîðåìà ×åáûøåâà. Åñëè ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ F(x, a

, a

, ...,

) ñ n êîýôôèöèåíòàìè àïïðîêñèìèðóåò âåùåñòâåííóþ ôóíê-

öèþ íà äàííîì èíòåðâàëå ïî ×åáûøåâó, òî âñå ìàêñèìóìû îò-

425

êëîíåíèÿ ðàâíû ìåæäó ñîáîé, à òàêæå ðàâíû âåëè÷èíàì îòêëî-

íåíèé íà ãðàíèöàõ èíòåðâàëà è äîñòèãàþòñÿ íå ìåíåå, ÷åì â

N + 1 òî÷êàõ, ïðè÷åì çíàêè îòêëîíåíèé ÷åðåäóþòñÿ.

Ýòà òåîðåìà îòâå÷àåò íà âîïðîñ: äàííàÿ àïïðîêñèìàöèÿ âûïîë-

íåíà îïòèìàëüíî èëè íåò.

Ïðè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè íàèëó÷øàÿ «áëè-

çîñòü» äâóõ ôóíêöèé äîñòèãàåòñÿ ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ

( ) ( )

{ }

,,,

min,

aaa

L=®-x

ò.å. ïðè òàêèõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ a

, a

, ..., a

, ïðè êîòî-

ðûõ ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé F(x) îò x(õ) â òî÷êàõ x

, x

, ...,

(M > N) ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé.

Ìèíèìèçàöèÿ äîñòèãàåòñÿ ïóòåì ñîñòàâëåíèÿ è ðåøåíèÿ ñèñòå-

ìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé:

(

)

0;.

1,,

¶L¶a=

Îòìåòèì, ÷òî çàäàííàÿ è àïïðîêñèìèðóþùèå ôóíêöèè ìîãóò

áûòü íå òîëüêî âåùåñòâåííûìè, íî è êîìïëåêñíûìè, ÷òî ïîçâîëÿåò

îäíîâðåìåííî àïïðîêñèìèðîâàòü êàê À×Õ, òàê è Ô×Õ.

Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ ïðèáëèæåíèé ðàçðà-

áîòàíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, ïðåäíàçíà÷åííûõ

äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ èõ íà ÝÂÌ.

Çàìåòèì, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ÷åòêèõ ðåêîìåíäàöèé ïî ïðèìåíå-

íèþ òîãî èëè èíîãî ìåòîäà àïïðîêñèìàöèè. Çà÷àñòóþ âûáîð ìåòîäà

çàâèñèò îò ñëîæíîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè (àíàëèòè÷å-

ñêîãî èëè ÷èñëåííîãî), îò êîíêðåòíîãî ïðèìåíåíèÿ ñèíòåçèðîâàí-

íîé öåïè è ò. ï.

16.6. Çàäà÷à ðåàëèçàöèè â ñèíòåçå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.

Ñèíòåç ðåàêòèâíûõ äâóõïîëþñíèêîâ

Èäåÿ ëþáîãî ìåòîäà ñèíòåçà äâóõïîëþñíèêîâ çàêëþ÷àåòñÿ â

òîì, ÷òî íàõîäèòñÿ ñïîñîá ðàçëîæåíèÿ çàäàííîé îïåðàòîðíîé

ôóíêöèè íà áîëåå ïðîñòûå ôóíêöèè, ïî êîòîðûì óæå ëåãêî âîñ-

ñòàíîâèòü ñõåìó. Íàïðèìåð, ïóñòü âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå âûðàæà-

åòñÿ ôîðìóëîé

( )

apa

Ðàçäåëèâ ïî÷ëåííî ÷èñëèòåëü íà çíàìåíàòåëü, ïîëó÷èì:

( )

426

Èç ýòîé çàïèñè î÷åâèäíî, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñõåìà ñîñòîèò èç

ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ðåçèñòîðà a

â åìêîñòè b

Íàïîìíèì îáùèå ñâîéñòâà ðåàêòèâíûõ äâóõïîëþñíèêîâ (ñì.

§ 4.5). Ýòè ñâîéñòâà âûòåêàþò èç òîãî ôàêòà, ÷òî LÑ-äâóõïîëþñ-

íèêè íå ìîãóò ðàññåèâàòü ýíåðãèþ, ïîýòîìó ïðè p = jw âåùåñòâåí-

íàÿ ÷àñòü ôóíêöèè ñîïðîòèâëåíèÿ è ïðîâîäèìîñòè ðàâíà íóëþ

(

)

[

]

(

)

[

]

Re0;Re0.

Òàêèì îáðàçîì, ñîïðîòèâëåíèå (ïðîâîäèìîñòü) äâóõïîëþñíèêà

ÿâëÿåòñÿ ìíèìîé ôóíêöèåé ÷àñòîòû, à íóëè è ïîëþñû ñîîòâåò-

ñòâóþùåé îïåðàòîðíîé ôóíêöèè ëåæàò íà ìíèìîé îñè, ÷åðåäóþòñÿ

è ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè, à âû÷åòû â ïîëþñàõ $ ïîëîæèòåëüíûìè.

Òàê êàê êîýôôèöèåíòû îïåðàòîðíîé âõîäíîé ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ

âåùåñòâåííûìè, òî íóëè è ïîëþñû ñîñòàâëÿþò êîìïëåêñíî-ñîïðÿ-

æåííûå ïàðû. Ó÷èòûâàÿ ñêàçàííîå, îïåðàòîðíîå ñîïðîòèâëåíèå ðå-

àêòèâíîãî äâóõïîëþñíèêà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )( )( )( )

( )( )

332121

2222

2244

pjpjpjpj

pjpj

pjpjpjpjpjpj

-w+w-w+w

-w+w

-w+w-w+w-w+w

Îáúåäèíÿÿ ïîïàðíî êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå íóëè è ïîëþñû

ïîëó÷àåì (ñì. òàáë. 4.1):

( )

(

)

(

)

(

)

( )( ) ( )

222222

1321

222222

2422

ppp

+w+w+w

(16.15)

Íàïîìíèì, ÷òî ÷åðåäîâàíèå íóëåé è ïîëþñîâ îòîáðàæàåòñÿ íå-

ðàâåíñòâîì

1232221

w<w<w<<w<w

(16.16)

Åñëè çàäàííàÿ ôóíêöèÿ Z(p) îáëàäàåò ñâîéñòâàìè âõîäíîãî ñî-

ïðîòèâëåíèÿ ðåàêòèâíûõ äâóõïîëþñíèêîâ, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíà

óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ôèçè÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè. Ýòî îçíà÷à-

åò, ÷òî ñóùåñòâóþò ñõåìû äâóõïîëþñíèêîâ ñ ðåàëüíûìè çíà÷åíèÿ-

ìè ýëåìåíòîâ, âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ çàäàí-

íîé ôóíêöèåé Z(p).

Â ðåçóëüòàòå ñèíòåçà ÷àñòî ïîëó÷àþò äâóõïîëþñíèêè â âèäå êà-

íîíè÷åñêèõ ñõåì Ôîñòåðà èëè Êàóýðà (ïîäîáíûå ñõåìû ñóùåñò-

âóþò è äëÿ RLC-äâóõïîëþñíèêîâ).

Äëÿ èëëþñòðàöèè èäåè ñèíòåçà îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì

òîëüêî ðåàêòèâíûõ äâóõïîëþñíèêîâ.

Ìåòîä Ôîñòåðà. Ðàññìîòðèì ìåòîä ñèíòåçà LC-äâóõïîëþñ-

íèêîâ, ïðåäëîæåííûé Ôîñòåðîì. Ñîãëàñíî ýòîìó ìåòîäó ôóíêöèþ

ñîïðîòèâëåíèÿ ëèáî ôóíêöèþ ïðîâîäèìîñòè, êàê ëþáóþ äðîáíî-

ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äðîáåé

(âñïîìíèì, íàïðèìåð, òåîðåìó ðàçëîæåíèÿ).

427

2-2

Ðèñ. 16.4

Äëÿ äâóõïîëþñíèêîâ, ïîñòðîåííûõ ïî ïåðâîé ôîðìå Ôîñòåðà,

íàèáîëåå îáùåé ÿâëÿåòñÿ ñõåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 16.4. Îñ-

òàëüíûå ñõåìû ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç íåå ïóòåì «óäàëåíèÿ» ñî-

îòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ L

è Ñ

Ìîæíî ñîñòàâèòü âûðàæåíèå äëÿ âõîäíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Z(p),

îòðàæàþùåå ñòðóêòóðó ðèñ. 16.4:

( )

( ) ( )

( )

2222

ZpL

=+++++

+w+w

(16.17)

Ïåðâûå äâà ñëàãàåìûå ñîîòâåòñòâóþò ïîñëåäîâàòåëüíîìó ñîåäè-

íåíèþ ýëåìåíòîâ L

è Ñ

, îñòàëüíûå $ ïîñëåäîâàòåëüíîìó ñîåäèíå-

íèþ ïàðàëëåëüíûõ êîíòóðîâ ñ ýëåìåíòàìè L

è Ñ

, L

è Ñ

è ò. ï.

Ñóùåñòâóþò ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà ýëåìåíòîâ ýòîé ñõåìû. Ïðè-

âåäåì èõ áåç äîêàçàòåëüñòâà:

( )

(

)

(

)

lim;lim;lim.

LZp

pCCp

®¥®

®w

==×=

(16.18)

Ïðîöåäóðà ñèíòåçà äâóõïîëþñíèêîâ ïî ïåðâîé ôîðìå Ôîñòåðà

ñâîäèòñÿ, òàêèì îáðàçîì, ê ïðåäñòàâëåíèþ çàäàííîé ðàöèîíàëüíîé

äðîáè Z(p) â âèäå (16.17) è ðàñ÷åòó ýëåìåíòîâ ïî ôîðìóëàì

(16.18). Çàìåòèì, ÷òî ïåðâîå ñëàãàåìîå áóäåò ñóùåñòâîâàòü â âû-

ðàæåíèè (16.17) òîãäà, êîãäà çàäàííàÿ äðîáü Z(p) íåïðàâèëüíàÿ,

ò. å. ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ áóäåò íà åäèíèöó ïðåâûøàòü ñòåïåíü çíà-

ìåíàòåëÿ. ×èñëî ýëåìåíòîâ äâóõïîëþñíèêà ñîîòâåòñòâóåò íàè-

âûñøåé èç ñòåïåíåé ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ çàäàííîé äðîáè Z(p).

Ïðè ÷åòíûõ ñòåïåíÿõ çíàìåíàòåëÿ èç (16.17) èñ÷åçàåò âòîðîå ñëà-

ãàåìîå 1/(ðÑ

Ïðèìåð. Äàíî âûðàæåíèå

( )

6314

48216

101,510

2100,5110

×+×

+×+×

Îñóùåñòâèì ñèíòåç äâóõïîëþñíèêà ïî ïåðâîé ôîðìå Ôîñòåðà. Ìîæíî ïî-

êàçàòü, ÷òî çàäàííàÿ ôóíêöèÿ Z(p) ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìîé. Ïðåä-

ñòàâèì Z(p) â âèäå (16.17):

428

2-1

Ðèñ. 16.5 Ðèñ. 16.6

( )

+w+w

(16.17 à)

Ðàñ÷åò ýëåìåíòîâ ïðîèçâåäåì ïî ôîðìóëàì (16.18): Ñ

= 1,165 ìêÔ; Ñ

= 7,0 ìêÔ; L

= 1/(w

) = 28,6 ìÃí; L

= 1/(w

) = 0,84 ìÃí.

Ñõåìà äâóõïîëþñíèêà ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ýëåìåíòîâ (íàèâûñøàÿ ñòåïåíü

äðîáè $ 4): ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ äâóõ ïàðàëëåëüíûõ êîëåáàòåëüíûõ

êîíòóðîâ ñ ýëåìåíòàìè L

, Ñ

è L

, Ñ

. Îòñóòñòâèå â ñõåìå êàòóøêè èíäóê-

òèâíîñòè L

îáóñëîâëåíî òåì ôàêòîì, ÷òî äðîáü Z(p) ïðàâèëüíàÿ. Âñëåäñòâèå

÷åòíîñòè ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ â ñõåìå îòñóòñòâóåò êîíäåíñàòîð Ñ

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îñóùåñòâëÿåòñÿ ñèíòåç äâóõïîëþñíèêîâ

ïî âòîðîé ôîðìå Ôîñòåðà. Â ýòîì ñëó÷àå íàèáîëåå îáùåé ÿâëÿåòñÿ

ñõåìà íà ðèñ. 16.5. Âõîäíàÿ ïðîâîäèìîñòü Y(p) òàêîãî äâóõïî-

ëþñíèêà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñóììîé ñëàãàåìûõ, îïèñûâàþùèõ ïðîâî-

äèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ êîíòóðîâ è ýëåìåíòîâ L

è C

. Ïðè

ñèíòåçå äâóõïîëþñíèêîâ çàäàííàÿ ïðîâîäèìîñòü Y(p) ðàñêëàäûâà-

åòñÿ íà ñóììó óêàçàííûõ ñëàãàåìûõ.

Ìåòîä Êàóýðà. Â òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ ôèëüòðîâ (ñì. ãë. 17)

íàõîäèò ïðèìåíåíèå ñèíòåç ðåàêòèâíûõ äâóõïîëþñíèêîâ ïî ñõåìàì

Êàóýðà. Íàèáîëåå îáùèìè ÿâëÿþòñÿ ñõåìû íà ðèñ. 16.6. Èç íèõ

ïîëó÷àþòñÿ îñòàëüíûå ðàçíîâèäíîñòè äâóõïîëþñíèêîâ. Âûðàæåíèÿ

âõîäíûõ ñîïðîòèâëåíèé äëÿ ýòèõ ñõåì ìîæíî çàïèñàòü â âèäå òàê

íàçûâàåìûõ ëåñòíè÷íûõ äðîáåé. Òàê, â ïåðâîé ñõåìå Êàóýðà (ëå-

âàÿ ñõåìà íà ðèñ. 16.7, à) êàòóøêà èíäóêòèâíîñòè L

ñîåäèíåíà

ïîñëåäîâàòåëüíî ñ îñòàëüíîé ÷àñòüþ ñõåìû, ïîýòîìó Z(p) = pL

+ Z

(p). Îñòàâøàÿñÿ ñïðàâà îò êàòóøêè ÷àñòü ñõåìû ïðåäñòàâëÿåò

ñîáîé ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå êîíäåíñàòîðà è ÷àñòè ñõåìû ïðàâåå

òî÷åê a%b. Ïîýòîìó Y

(p) = 1/Z

(p) = pC

+ Y

(p). Ðàññóæäàÿ

ïîäîáíûì îáðàçîì, ìîæíî ïðèéòè â èòîãå ê ñëåäóþùåé çàïèñè:

( )

ZpL

(16.18)

Äðîáü âèäà (8.19) íàçûâàåòñÿ ëåñòíè÷íîé. Ñèíòåç äâóõïîëþñ-

íèêîâ ïî ïåðâîé ñõåìå Êàóýðà ñîñòîèò â ðàçëîæåíèè çàäàííîé

ôóíêöèè Z(p) â ëåñòíè÷íóþ äðîáü (16.18). Êîýôôèöèåíòû ïðè ð

ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè ýëåìåíòîâ ñõåìû.

429

n-2

-1

)

Ðèñ. 16.7

Â âèäå ëåñòíè÷íîé äðîáè ìîæíî ïðåäñòàâèòü è âõîäíîå ñî-

ïðîòèâëåíèå âòîðîé ñõåìû Êàóýðà (ïðàâàÿ ñõåìà íà ðèñ. 16.7, á).

Â ýòîé äðîáè ïåðâûé è îñòàëüíûå ýëåìåíòû áóäóò ñëåäóþùåãî âè-

äà: 1/( pÑ

), 1/( pL

), 1/( pÑ

) è ò. ä.

Ïðèìåð. Îñóùåñòâèì ñèíòåç äâóõïîëþñíèêà ïî âûðàæåíèþ Z(p) èç ïðå-

äûäóùåãî ïðèìåðà â âèäå ïåðâîé ñõåìû Êàóýðà. Çàäàííàÿ äðîáü èìååò ÷åò-

âåðòûé ïîðÿäîê (íàèâûñøàÿ èç ñòåïåíåé ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ ðàâíà 4).

Ðàçëîæåíèå åå â öåïíóþ äðîáü îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûì äåëåíèåì

ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ íà ïîëèíîì ÷èñëèòåëÿ

, ïîñëåäíåãî $ íà îñòàòîê îò

ïåðâîãî äåëåíèÿ, îñòàòêà îò ïåðâîãî äåëåíèÿ $ íà îñòàòîê îò âòîðîãî äåëåíèÿ

è ò.ä.:

48216

6314

482

8216

2100,5110101,510

1,510

0,5100,5110

+×+× +×

+×

×+×

6314

8218

6314

101,510

0,5100,5110

210

101,0210

0,4810

pp p

+× ×+×

+×

8216 14

0,5100,5110 0,4810

1,0410

0,510

0,5110

×+× ×

14 16

0,4810

0,5110

0,9410

0,4810

Â ðåçóëüòàòå íàõîäèòñÿ öåïíàÿ äðîáü:

( )

210

1,041010,9410

×+

×+×

Â ñëó÷àå íåïðàâèëüíîé äðîáè íà÷èíàþò ñ äåëåíèÿ ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ íà ïîëèíîì

çíàìåíàòåëÿ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî âûäåëÿåòñÿ ïåðâûé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ pL

430

Ðèñ.16.8

Ýòîé äðîáè ñîîòâåòñòâóåò ðåàêòèâíûé äâóõïîëþñ-

íèê, ñõåìà êîòîðîãî ïðèâåäåíà íà ðèñ. 16.8; îíà ñî-

äåðæèò ÷åòûðå ýëåìåíòà Ñ

= 1,0 ìêÔ; L

= 20 ìÃí;

= l,04 ìêô; L

=9,4 ìÃí.

Ïðèìåð. Íàéòè ëåñòíè÷íóþ ñõåìó, ðàññ÷èòàòü çíà-

÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ýëåìåíòîâ, åñëè åå íîðìèðîâàííîå

ñîïðîòèâëåíèå ðàâíî

( )

494

451

ppp

Òàê êàê ñòåïåíü ïîëèíîìà ÷èñëèòåëÿ áîëüøå ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ, òî âîç-

ìîæíî âûïîëíèòü äåëåíèå äàííûõ ïîëèíîìîâ:

494

451

ppp

Â ðåçóëüòàòå òàêîãî äåëåíèÿ ïîëó÷àåì ôîðìóëó

( )

451

Zpp

Äàëüíåéøåå äåëåíèå íåâîçìîæíî, òàê êàê ñòåïåíü ïîëèíîìà îñòàòêà ìåíü-

øå ñòåïåíè ïîëèíîìà çíàìåíàòåëÿ. Äëÿ ïðîäîëæåíèÿ äåëåíèÿ ïðåîáðàçóåì ïî-

ñëåäíåå âûðàæåíèå:

( )

451

Zpp

(16.19)

×èñëèòåëü ïîëó÷åííîé â îñòàòêå äðîáè èìååò ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ áîëüøå

ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ è äåëåíèå âîçìîæíî:

451

Ñ ó÷åòîì äàííîãî øàãà ôîðìóëà (16.19) ïðèíèìàåò âèä

( )

Zpp

Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå òàê, ÷òîáû èìåëàñü âîçìîæíîñòü

äàëüíåéøåãî äåëåíèÿ:

( )

Zpp

Ïðîäîëæàÿ äàííóþ ïðîöåäóðó, â êîíå÷íîì èòîãå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âû-

ðàæåíèå: