Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание

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äû ïåðâîé ãàðìîíèêè îò àìïëèòóäû ïåðåìåííîé ñîñòàâëÿþùåé

íàïðÿæåíèÿ U

Îòâåò:

16(mA,B)

14. Íà íåëèíåéíûé ðåçèñòèâíûé ýëåìåíò ñ ÂÀÕ

3052

iuu

=++

äåéñòâóåò íàïðÿæåíèå

cos10

uUUt

Â. Îïðåäåëèòå çà-

âèñèìîñòü àìïëèòóäû ïåðâîé ãàðìîíèêè òîêà I

îò íàïðÿæå-

íèÿ ñìåùåíèÿ U

ïðè ôèêñèðîâàííîé àìïëèòóäå ïåðåìåííîé

ñîñòàâëÿþùåé íàïðÿæåíèÿ U

= 3B.

Îòâåò:

1512(mA,B).

15. Ê íåëèíåéíîìó ðåçèñòèâíîìó ýëåìåíòó, ÂÀÕ êîòîðîãî àïïðîê-

ñèìèðîâàíà ïîëèíîìîì

012

iaauau

=++

, ïðèëîæåíî íàïðÿæå-

íèå

cos

mkk

uUt

. Íàéäèòå àìïëèòóäû ãàðìîíè÷åñêèõ ñî-

ñòàâëÿþùèõ òîêà.

Îòâåò:

0022

0,50,5

IaaUaU

=++

;

111

;

IaU

0,5;

IaU

11222

;0,5;

mmm

IaUIaU

212

1212

mmmm

IIaUU

w-ww+w

16. Íàéäèòå àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ ÂÀÕ íåëèíåéíîãî ýëå-

ìåíòà, êîòîðûé îáåñïå÷èâàåò ïðåîáðàçîâàíèå ñèíóñîèäàëüíîãî

âîçäåéñòâèÿ x(t) â áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òðåóãîëü-

íûõ èìïóëüñîâ.

Îòâåò:

2arcsin;

-1  x  1.

17. Ê íåëèíåéíîìó ðåçèñòèâíîìó ýëåìåíòó, ÂÀÕ êîòîðîãî îïèñû-

âàåòñÿ ïîëèíîìîì

0123

iaauauau

=+++

, ïðèëîæåíî íàïðÿ-

æåíèå

cos

uUt

. Ïðè êàêîì óñëîâèè ïîñòîÿííàÿ ñîñòàâ-

ëÿþùàÿ òîêà ÷åðåç ýëåìåíò íå çàâèñèò îò àìïëèòóäû ïðèëî-

æåííîãî ê íåìó íàïðÿæåíèÿ?

Îòâåò: a

= 0.

ÃËÀÂÀ 12. ÎÑÍÎÂÛ ÒÅÎÐÈÈ ×ÅÒÛÐÅÕÏÎËÞÑÍÈÊÎÂ

12.1. Îáùèå ïîëîæåíèÿ

Â òåõíèêå ñâÿçè ïîä ÷åòûðåõïîëþñíèêîì ïîíèìàþò ýëåêòðè÷åñ-

êóþ öåïü (èëè åå ÷àñòü) ëþáîé ñëîæíîñòè, èìåþùóþ äâå ïàðû çà-

æèìîâ äëÿ ïîäêëþ÷åíèÿ ê èñòî÷íèêó è ïðèåìíèêó ýëåêòðè÷åñêîé

ýíåðãèè. Çàæèìû, ê êîòîðûì ïîäêëþ÷àåòñÿ èñòî÷íèê, íàçûâàþòñÿ

âõîäíûìè, à çàæèìû, ê êîòîðûì ïðèñîåäèíÿåòñÿ ïðèåìíèê (íà-

ãðóçêà), $ âûõîäíûìè çàæèìàìè (ïîëþñàìè).

Â êà÷åñòâå ïðèìåðîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ ìîæíî ïðèâåñòè

òðàíñôîðìàòîð è óñèëèòåëü. ×åòûðåõïîëþñíèêàìè ÿâëÿþòñÿ ýëåê-

292

×åòûðåõ-

ïîëþñíèê

âõ

Ðèñ. 12.1

òðè÷åñêèå ôèëüòðû, óñèëèòåëüíûå óñòðîéñòâà ðàäèîïåðåäàò÷èêîâ

èëè ðàäèîïðèåìíèêîâ, ëèíèÿ ìåæäóãîðîäíîé òåëåôîííîé ñâÿçè è

ò. ä. Âñå ýòè óñòðîéñòâà, èìåþùèå ñîâåðøåííî «íåïîõîæèå» ñõå-

ìû, îáëàäàþò ðÿäîì îáùèõ ñâîéñòâ.

Â îáùåì âèäå ÷åòûðåõïîëþñíèê èçîáðàæàþò, êàê ïîêàçàíî íà

ðèñ. 12.1. Êî âõîäó ÷åòûðåõïîëþñíèêà 1%1¢ ïîäêëþ÷åí èñòî÷íèê

ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè ñ çàäàþùèì íàïðÿæåíèåì U

è âíóòðåííèì

ñîïðîòèâëåíèåì Z

. Ê âûõîäíûì çàæèìàì 2%2¢ ïðèñîåäèíåíà íà-

ãðóçêà ñ ñîïðîòèâëåíèåì Z

. Íà âõîäíûõ çàæèìàõ äåéñòâóåò íà-

ïðÿæåíèå U

; íà âûõîäíûõ $ U

. ×åðåç âõîäíûå çàæèìû ïðîòåêà-

åò òîê I

, ÷åðåç âûõîäíûå çàæèìû $ I

. Çàìåòèì, ÷òî â ðîëè èñòî÷-

íèêà è ïðèåìíèêà ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè ìîãóò âûñòóïàòü äðóãèå

÷åòûðåõïîëþñíèêè.

Íà ðèñ. 12.1 èñïîëüçîâàíû ñèìâîëè÷åñêèå îáîçíà÷åíèÿ íàïðÿ-

æåíèé è òîêîâ, ÷òî ñïðàâåäëèâî ïðè àíàëèçå ÷åòûðåõïîëþñíèêà â

ðåæèìå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Åñëè æå èñïîëüçóåòñÿ èñòî÷íèê

ïåðèîäè÷åñêèõ íåãàðìîíè÷åñêèõ èëè íåïåðèîäè÷åñêèõ êîëåáàíèé,

òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñïåêòðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì íà-

ïðÿæåíèé è òîêîâ (ãë. 5, 9)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

ã 1212

,,,

è.

UUUII

jjjjj

wwwww

Ïîäîáíîå ïðåäñòàâëåíèå áóäåì øèðîêî èñïîëüçîâàòü ïðè àíà-

ëèçå ÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ. Â íåîáõîäèìûõ

ñëó÷àÿõ îáðàùàòüñÿ ê îïåðàòîðíûì èçîáðàæåíèÿì U

(p), U

(p),

(p), I

(p) è I

(p), êîòîðûå ëåãêî ïîëó÷èòü, çàìåíÿÿ îïåðàòîð jw

íà îïåðàòîð ð (ñì. § 7.4).

Ðàçëè÷àþò ÷åòûðåõïîëþñíèêè ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå. Ëèíåé-

íûå ÷åòûðåõïîëþñíèêè îòëè÷àþòñÿ îò íåëèíåéíûõ òåì, ÷òî íå ñî-

äåðæàò íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ (ÍÝ) è ïîýòîìó õàðàêòåðèçóþòñÿ

ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ íàïðÿæåíèÿ è òîêà íà âûõîäíûõ çàæèìàõ

îò íàïðÿæåíèÿ è òîêà íà âõîäíûõ çàæèìàõ. Ïðèìåðàìè ëèíåéíûõ

÷åòûðåõïîëþñíèêîâ ÿâëÿþòñÿ ýëåêòðè÷åñêèé ôèëüòð, ëèíèÿ ñâÿçè,

òðàíñôîðìàòîð áåç ñåðäå÷íèêà; ïðèìåðàìè íåëèíåéíûõ $ ïðåîáðà-

çîâàòåëü ÷àñòîòû (ñîäåðæàùèé äèîäû) â ðàäèîïðèåìíèêå, âûïðÿ-

ìèòåëü ïåðåìåííîãî òîêà, òðàíñôîðìàòîð ñî ñòàëüíûì ñåðäå÷íèêîì

(ïðè ðàáîòå ñ íàñûùåíèåì ñòàëè). Óñèëèòåëü, ñîäåðæàùèé ÍÝ

(íàïðèìåð, òðèîäû), ìîæåò ÿâëÿòüñÿ êàê ëèíåéíûì, òàê è íåëèíåé-

293

)

Ðèñ. 12.2

íûì ÷åòûðåõïîëþñíèêîì â çàâèñèìîñòè îò ðåæèìà åãî ðàáîòû (íà

ëèíåéíîì èëè íåëèíåéíîì ó÷àñòêå õàðàêòåðèñòèê òðèîäîâ).

×åòûðåõïîëþñíèêè áûâàþò ïàññèâíûìè è àêòèâíûìè. Ïàññèâ-

íûå ñõåìû íå ñîäåðæàò èñòî÷íèêîâ ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè, àêòèâ-

íûå $ ñîäåðæàò. Ïîñëåäíèå ìîãóò ñîäåðæàòü çàâèñèìûå è íåçàâè-

ñèìûå èñòî÷íèêè. Ïðèìåðîì àêòèâíîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà ñ çàâè-

ñèìûìè èñòî÷íèêàìè ìîæåò ñëóæèòü ëþáîé óñèëèòåëü; ïðèìåðîì

ïàññèâíîãî $ LC-ôèëüòð.

Â çàâèñèìîñòè îò ñòðóêòóðû ðàçëè÷àþò ÷åòûðåõïîëþñíèêè ìî-

ñòîâûå (ðèñ. 12.2, à) è ëåñòíè÷íûå: Ã-îáðàçíûå (ðèñ. 12.2, á), Ò-

îáðàçíûå (ðèñ. 12.2, â), Ï-îáðàçíûå (ðèñ. 12.2, ã). Ïðîìåæóòî÷íîå

ïîëîæåíèå çàíèìàþò Ò-îáðàçíî-ìîñòîâûå (Ò-ïåðåêðûòûå) ñõåìû

÷åòûðåõïîëþñíèêîâ (ðèñ. 12.2, ä).

×åòûðåõïîëþñíèêè äåëÿòñÿ íà ñèììåòðè÷íûå è íåñèììåòðè÷-

íûå. Â ñèììåòðè÷íîì ÷åòûðåõïîëþñíèêå ïåðåìåíà ìåñòàìè âõîä-

íûõ è âûõîäíûõ çàæèìîâ íå èçìåíÿåò íàïðÿæåíèé è òîêîâ â öåïè,

ñ êîòîðîé îí ñîåäèíåí. ×åòûðåõïîëþñíèêè, êðîìå ýëåêòðè÷åñêîé

ñèììåòðèè, ìîãóò èìåòü ñòðóêòóðíóþ ñèììåòðèþ, îïðåäåëÿåìóþ

îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè ñèììåòðèè. Òàê, Ò-îáðàçíûé, Ï-îá-

ðàçíûé è Ò-ïåðåêðûòûé ÷åòûðåõïîëþñíèêè (ðèñ. 12.2) èìåþò âåð-

òèêàëüíóþ îñü ñèììåòðèè ïðè Z

= Z

. Ìîñòîâàÿ ñõåìà ñòðóêòóðíî

ñèììåòðè÷íà. Î÷åâèäíî, ÷åòûðåõïîëþñíèêè, ñèììåòðè÷íûå â

ñòðóêòóðíîì îòíîøåíèè, îáëàäàþò ýëåêòðè÷åñêîé ñèììåòðèåé.

×åòûðåõïîëþñíèêè ìîãóò áûòü óðàâíîâåøåííûìè è íåóðàâíî-

âåøåííûìè. Óðàâíîâåøåííûå ÷åòûðåõïîëþñíèêè èìåþò ãîðèçîí-

òàëüíóþ îñü ñèììåòðèè (íàïðèìåð, ìîñòîâàÿ ñõåìà íà ðèñ. 12.2, à)

è èñïîëüçóþòñÿ, êîãäà íåîáõîäèìî ñäåëàòü çàæèìû ñèììåòðè÷íûìè

îòíîñèòåëüíî êàêîé-ëèáî òî÷êè (íàïðèìåð, çåìëè). Ìîæíî ñäåëàòü

óðàâíîâåøåííîé ëþáóþ èç ëåñòíè÷íûõ ñõåì ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ.

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×åòûðåõïîëþñíèêè òàêæå äåëÿòñÿ íà îáðàòèìûå è íåîáðàòè-

ìûå. Îáðàòèìûå ÷åòûðåõïîëþñíèêè ïîçâîëÿþò ïåðåäàâàòü ýíåðãèþ

â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ; äëÿ íèõ ñïðàâåäëèâà òåîðåìà îáðàòèìîñòè

èëè âçàèìíîñòè, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðîé îòíîøåíèå íàïðÿæåíèÿ

íà âõîäå ê òîêó íà âûõîäå íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåìåíå ìåñòàìè çà-

æèìîâ (ñì. § 2.4).

12.2. Óðàâíåíèÿ ïåðåäà÷è ÷åòûðåõïîëþñíèêà

Ñèñòåìû óðàâíåíèé ÷åòûðåõïîëþñíèêà. Îñíîâíîé çàäà÷åé òåî-

ðèè ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâëåíèå ñîîòíîøåíèé ìåæ-

äó ÷åòûðüìÿ âåëè÷èíàìè: íàïðÿæåíèÿìè íà âõîäå è âûõîäå, à

òàêæå òîêàìè, ïðîòåêàþùèìè ÷åðåç âõîäíûå è âûõîäíûå çàæèìû.

Óðàâíåíèÿ, äàþùèå çàâèñèìîñòü ìåæäó U

, U

, I

è I

, íàçûâàþò-

ñÿ óðàâíåíèÿìè ïåðåäà÷è ÷åòûðåõïîëþñíèêà. Äëÿ ëèíåéíûõ ÷å-

òûðåõïîëþñíèêîâ ýòè óðàâíåíèÿ áóäóò ëèíåéíûìè. Âåëè÷èíû,

ñâÿçûâàþùèå â óðàâíåíèÿõ ïåðåäà÷è íàïðÿæåíèÿ è òîêè, íàçûâà-

þòñÿ ïàðàìåòðàìè ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ.

Ñëîæíàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü (íàïðèìåð, êàíàë ñâÿçè), èìåþùàÿ

âõîäíûå è âûõîäíûå çàæèìû, ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñîâîêóï-

íîñòü ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ, ñîåäèíåííûõ ïî îïðåäåëåííîé ñõåìå.

Çíàÿ ïàðàìåòðû ýòèõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ, ìîæíî âû÷èñëèòü ïàðà-

ìåòðû ñëîæíîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà è ïîëó÷èòü òåì ñàìûì çàâèñè-

ìîñòü ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè è òîêàìè íà çàæèìàõ ðåçóëüòèðóþùåãî

ñëîæíîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà, íå ïðîèçâîäÿ ðàñ÷åòîâ âñåõ íàïðÿ-

æåíèé è òîêîâ âíóòðè çàäàííîé ñõåìû.

Êðîìå òîãî, òåîðèÿ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ ïîçâîëÿåò ðåøèòü îá-

ðàòíóþ çàäà÷ó: ïî çàäàííûì íàïðÿæåíèÿì è òîêàì íàéòè ïàðà-

ìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêà è çàòåì ïîñòðîèòü åãî ñõåìó è ðàññ÷èòàòü

ýëåìåíòû, ò. å. ðåøèòü çàäà÷ó ñèíòåçà.

Ïóñòü ÷åòûðåõïîëþñíèê ñîäåðæèò ï íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ.

Îòíåñåì ïåðâûé êîíòóð êî âõîäó ÷åòûðåõïîëþñíèêà (I

ê1

= I

âòîðîé êîíòóð $ ê åãî âûõîäó (I

ê2

= I

). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âî

âíóòðåííèõ êîíòóðàõ ÷åòûðåõïîëþñíèêà îòñóòñòâóþò íåçàâèñèìûå

èñòî÷íèêè ýíåðãèè.

Ïðè ðàññìîòðåíèè ÷åòûðåõïîëþñíèêà âàæíî çàðàíåå óñëîâèòüñÿ î

ïîëîæèòåëüíûõ íàïðàâëåíèÿõ íàïðÿæåíèé è òîêîâ. Â äàëüíåéøåì

áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ ïîëîæèòåëüíûõ íàïðàâëåíèé, ïîêàçàííûõ

ñòðåëêàìè íà ðèñ. 12.1, åñëè îñîáî íå áóäóò îãîâîðåíû äðóãèå ñëó÷àè.

Ñîñòàâèì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ êîíòóðíûõ òîêîâ (ñì. § 2.4):

+++=

+++=-

+++=

11 ê112ê21ê

21 ê122ê22ê

1 ê12ê2ê

...................

nnnnn

ZIZIZIU

ZIZIZI

(12.1)

295

Îïðåäåëèì èç ýòîé ñèñòåìû òîêè I

è I

==+

==--

1121

1 ê1

1222

2 ê2

IIUU

(12.2)(12.2à)

ãäå D

îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû óðàâíåíèé (12.1); D

, D

$ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ D

Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ

11211222

11122122

;;;.

ZZZZ

YYYY

DDDD

===-=-

DDDD

Òîãäà

11112

22122

;

IYUYU

(12.2á)

Êîýôôèöèåíòû Y

, Y

è Y

â óðàâíåíèÿõ (12.2) íàçûâà-

þòñÿ Y-ïàðàìåòðàìè, èëè ïàðàìåòðàìè ïðîâîäèìîñòåé ÷åòûðåõ-

ïîëþñíèêà, òàê êàê ïî ðàçìåðíîñòè îíè ÿâëÿþòñÿ èìåííî òàêîâû-

ìè. Óðàâíåíèÿ (12.2) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè ïåðåäà÷è ÷åòûðåõ-

ïîëþñíèêà â Y-ïàðàìåòðàõ. Ýòè óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îä-

íó èç âîçìîæíûõ ôîðì óðàâíåíèé ïåðåäà÷è. Îíà ïîçâîëÿþò íàõî-

äèòü ëþáóþ ïàðó èç çíà÷åíèé I

, I

, U

è U

, åñëè çàäàíû çíà÷å-

íèÿ äðóãîé ïàðû.

Ïîìèìî óðàâíåíèé â ôîðìå (12.2) ñóùåñòâóåò åùå ïÿòü ôîðì

óðàâíåíèé ïåðåäà÷è. Óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå íàïðÿæåíèÿ U

, U

è òîêè I

, I

111122

21122

UZIZI

(12.3)

ñîäåðæàò â êà÷åñòâå êîýôôèöèåíòîâ ïàðàìåòðû ñîïðîòèâëåíèé ÷å-

òûðåõïîëþñíèêà, èëè Z-ïàðàìåòðû, è íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè ïå-

ðåäà÷è â Z-ïàðàìåòðàõ. Ïàðàìåòðû Z

, Z

è Z

èìåþò ðàç-

ìåðíîñòü ñîïðîòèâëåíèé. Çàìåòèì, ÷òî îíè íå ÿâëÿþòñÿ îáðàòíûìè

âåëè÷èíàìè ïî îòíîøåíèþ ê ïàðàìåòðàì ïðîâîäèìîñòè, òàêèì îáðà-

çîì, íàïðèìåð,

1111

èëè

1212

. Íå ñëåäóåò òàêæå ïó-

òàòü ýòè ïàðàìåòðû ñ ñîáñòâåííûìè è âçàèìíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè

êîíòóðîâ Z

, Z

è ò. ä. â óðàâíåíèÿõ (12.1) äëÿ êîíòóðíûõ òîêîâ.

Êîýôôèöèåíòû, âõîäÿùèå â ñèñòåìó óðàâíåíèé, ñâÿçûâàþùóþ

âõîäíûå U

è I

è âûõîäíûå U

è I

íàïðÿæåíèÿ è òîêè

112

121222

UAUAI

IAUAI

(12.4)

íàçûâàþòñÿ À-ïàðàìåòðàìè, èëè îáîáùåííûìè ïàðàìåòðàìè.

Óðàâíåíèÿ (12.4) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè ïåðåäà÷è â À-ïàðàìåò-

296

ðàõ. Ïàðàìåòðû A

è A

ÿâëÿþòñÿ áåçðàçìåðíûìè, ïàðàìåòð A

èìååò ðàçìåðíîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ; ïàðàìåòð A

ðàçìåðíîñòü

ïðîâîäèìîñòè.

Ïðèâåäåì åùå äâå ôîðìû óðàâíåíèé ïåðåäà÷è:

11112111122

121

22112221222

221

;

UHIHUIFUFI

IHIHUUFUFI

=+=+

üü

ýý

=+=+

þþ

(12.5)

Êîýôôèöèåíòû H

, H

è H

íàçûâàþòñÿ Í-ïàðàìåòðàìè è

ïðèìåíÿþòñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè ñõåì ñ òðàíçèñòîðàìè. Ïàðàìåòðû

è H

ÿâëÿþòñÿ áåçðàçìåðíûìè, à ïàðàìåòðû H

è H

èìåþò

ðàçìåðíîñòè ñîïðîòèâëåíèÿ è ïðîâîäèìîñòè.

Êîýôôèöèåíòû F

, F

è F

íàçûâàþòñÿ F-ïàðàìåòðàìè

è ïðèìåíÿþòñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè ñõåì ñ ýëåêòðîííûìè ëàìïàìè.

Ïàðàìåòðû F

è F

áåçðàçìåðíûå, à ïàðàìåòðû F

è F

èìåþò

ðàçìåðíîñòè ïðîâîäèìîñòè è ñîïðîòèâëåíèÿ. Óðàâíåíèÿ (12.5) íà-

çûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿìè ïåðåäà÷è â H-ïàðàìåòðàõ è

F-ïàðàìåòðàõ.

Âñå ôîðìû óðàâíåíèé ïåðåäà÷è ïðèíöèïèàëüíî ðàâíîïðàâíû.

Âûáîð òîé èëè èíîé ôîðìû çàâèñèò èñêëþ÷èòåëüíî îò çàäà÷è, êî-

òîðàÿ â äàííîì ñëó÷àå ðåøàåòñÿ.

Ïîëíàÿ ñîâîêóïíîñòü ïàðàìåòðîâ ëþáîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïå-

ðåäà÷è îáðàçóåò ñèñòåìó ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêà. Òàê, ñèñ-

òåìó Y-ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêà îáðàçóåò ñîâîêóïíîñòü åãî

ïàðàìåòðîâ Y

, Y

Äâà ÷åòûðåõïîëþñíèêà, èìåþùèå îäèíàêîâûå ñèñòåìû ïàðà-

ìåòðîâ, íåçàâèñèìî îò èõ âíóòðåííåé ñòðóêòóðû, ÷èñëà ýëåìåíòîâ

è ò. ä., õàðàêòåðèçóþòñÿ, î÷åâèäíî, îäèíàêîâûìè óðàâíåíèÿìè

ïåðåäà÷è. Òàêèå ÷åòûðåõïîëþñíèêè íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíû-

ìè, è ïðè âêëþ÷åíèè ëþáîãî èç íèõ ìåæäó îäíèìè è òåìè æå

âíåøíèìè öåïÿìè íà èõ çàæèìàõ óñòàíàâëèâàþòñÿ îäèíàêîâûå

ðåæèìû.

Ñâîéñòâà ïàðàìåòðîâ-êîýôôèöèåíòîâ. Ñèñòåìû Y-, Z-, À-, Í- è

F-ïàðàìåòðîâ îáðàçîâàíû èç êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèé ïåðåäà÷è,

è ïîýòîìó ÷àñòî èõ îáúåäèíÿþò îäíèì íàçâàíèåì ïàðàìåòðû-êîýô-

ôèöèåíòû. Ðàññìîòðèì îñíîâíûå ñâîéñòâà ïàðàìåòðîâ-êîýôôè-

öèåíòîâ.

1. Ïàðàìåòðû-êîýôôèöèåíòû îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî ñõåìîé ÷å-

òûðåõïîëþñíèêà è åå ýëåìåíòàìè è íå çàâèñÿò îò âíåøíèõ öåïåé,

ìåæäó êîòîðûìè ìîæåò áûòü âêëþ÷åí ÷åòûðåõïîëþñíèê, ò. å. îíè

õàðàêòåðèçóþò ñîáñòâåííî ÷åòûðåõïîëþñíèê.

Ïðèìåð. Íà âõîäå Ã-îáðàçíîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà (ñì. ðèñ. 12.2, á), ïîä-

êëþ÷åííîãî ê âíåøíèì öåïÿì, äåéñòâóåò íàïðÿæåíèå U

è òîê I

, à íà âûõîäå

íàïðÿæåíèå U

è òîê I

. Îïðåäåëèì À-ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêà.

Â ñîîòâåòñòâèè ñ ÇÍÊ è 3TK U

= U

+ I

è I

= U

/ Z

+ I

Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ òîêà I

â ïåðâîå ðàâåíñòâî, ïîëó÷àåì

297

(

)

(

)

1212

122122

UUZIIUI

ZZZ

=+=+

Ñðàâíèâàÿ ýòè óðàâíåíèÿ ñ óðàâíåíèÿìè ïåðåäà÷è â À-ïàðàìåòðàõ (12.4),

íàõîäèì

111212121222

1,;1

è1

AZZAZAZA

=+===

. Êàê âèäèì, À-ïàðà-

ìåòðû îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî ýëåìåíòàìè Ã-îáðàçíîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà è íå

çàâèñÿò îò âíåøíèõ âîçäåéñòâèé.

2. Âñå ñèñòåìû ïàðàìåòðîâ-êîýôôèöèåíòîâ îïèñûâàþò îäèí è

òîò æå ÷åòûðåõïîëþñíèê, ïîýòîìó ìåæäó ðàçëè÷íûìè ñèñòåìàìè

ïàðàìåòðîâ-êîýôôèöèåíòîâ ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íàÿ âçàèìîñâÿçü.

Ïðèìåð. Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó À-ïàðàìåòðàìè è Z-ïàðàìåòðàìè. Ðåøàÿ

ñèñòåìó óðàâíåíèé â Z-ïàðàìåòðàõ (12.3) îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ U

è I

íàõîäèì:

2121

UUI

IUI

ãäå D

= Z

$ Z

$ îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû óðàâíåíèé (12.3).

Ñðàâíèâàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ ñèñòåìîé (12.4), óñòàíàâëèâàåì, ÷òî

= Z

/ Z

; A

= $D

/ Z

; A

= 1/Z

è A

= $Z

/ Z

. Ðåøàÿ ñèñòåìó

(12.4) îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ U

è U

, ìîæíî íàéòè âûðàæåíèå Z-ïàðàìåò-

ðîâ ÷åðåç À-ïàðàìåòðû:

1122

11122122

21212121

;;;,

ZZZZ

AAAA

-D

====

ãäå D

= A

$ A

$ îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû óðàâíåíèé (12.4).

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî óñòàíîâèòü ñâÿçü ìåæäó äðóãèìè ñèñòåìàìè

ïàðàìåòðîâ. Â òàáë. 12.1 ïðèâåäåíû ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ðàçëè÷íûìè ñèñòåìà-

ìè ïàðàìåòðîâ%êîýôôèöèåíòîâ.

3. Ïàññèâíûé ÷åòûðåõïîëþñíèê ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóåòñÿ íå

áîëåå ÷åì òðåìÿ íåçàâèñèìûìè ïàðàìåòðàìè. Äåéñòâèòåëüíî, â

ìíîãîêîíòóðíîé ñõåìå ïàññèâíîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà âçàèìíûå ñî-

ïðîòèâëåíèÿ Z

è Z

k-ãî è m-ãî êîíòóðîâ ðàâíû ìåæäó ñîáîé.

Ñëåäîâàòåëüíî, Y

= $Y

. Çíàÿ ñâÿçü ìåæäó Y-ïàðàìåòðàìè è Z-

ïàðàìåòðàìè, ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî Z

= $Z

. Äàëåå ìîæíî ïî-

êàçàòü, ÷òî äëÿ À-ïàðàìåòðîâ ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

1112

11221221

2122

AAAA

D==-=

Ýòî ëåãêî äîêàçàòü, åñëè âûðàçèòü â äàííîì îïðåäåëèòåëå À-

ïàðàìåòðû, íàïðèìåð, ÷åðåç Z-ïàðàìåòðû.

Íàêîíåö, àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî íàéòè, ÷òî H

= H

= F

Òàêèì îáðàçîì, íåçàâèñèìûìè ïàðàìåòðàìè ÷åòûðåõïîëþñíèêà

ìîãóò áûòü: Y

, Y

= $Y

, Y

; Z

, Z

= $Z

, Z

; H

, H

298

Òàáëèöà 12.1

Y Z A H F

2212

2111

1212

1111

2222

2212

2111

2121

2222

1111

2121

1111

2222

2212

2111

2222

1111

2212

2111

= H

, H

; F

, F

= F

è F

èëè ëþáûå òðè èç ïàðàìåòðîâ A

, A

è A

4. Ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ ïåðåäà÷è ýíåðãèè ÷åðåç ÷åòû-

ðåõïîëþñíèê âî âñåõ âûðàæåíèÿõ, âêëþ÷àþùèõ À-ïàðàìåòðû, êî-

ýôôèöèåíòû A

è A

ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè.

Ðàññìîòðèì ïåðåäà÷ó ýíåðãèè ÷åðåç ÷åòûðåõïîëþñíèê â îá-

ðàòíîì íàïðàâëåíèè, ò. å. îò çàæèìîâ 2%2¢ ê çàæèìàì 1%1 ¢

(ðèñ. 12.3). Åñëè â óðàâíåíèÿõ ïåðåäà÷è (12.4) çàìåíèòü íàïðÿ-

æåíèå U

è òîê I

íà çàæèìàõ 1%1 ¢ íà íàïðÿæåíèå U

è òîê $I

â ñîîòâåòñòâèè ñ ðèñ. 12.3, à íàïðÿæåíèå U

è òîê I

íà çàæèìàõ

2%2¢ íà âåëè÷èíû U

è $I

, òî (12.4) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

299

×åòûðåõ-

ïîëþñíèê

âõ

Ðèñ. 12.3

11121

221221

;

UAUAI

IAUAI

¢¢

¢¢¢

-=-

Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî íîâîãî âõîäà ÷åòûðåõïîëþñ-

íèêà, ò. å. îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ U

è I

, ïîëó÷àåì

22122

121112

;

UAUAI

IAUAI

¢¢

¢¢¢

(12.6)

Ñîïîñòàâëÿÿ ýòè óðàâíåíèÿ ñ (12.4), ìîæíî ñäåëàòü èíòåðåñíîå

íàáëþäåíèå: â óðàâíåíèÿõ ïåðåäà÷è ïàðàìåòðû A

è A

ïîìåíÿ-

ëèñü ìåñòàìè. Îêàçûâàåòñÿ, ýòîò ôàêò ñïðàâåäëèâ íå òîëüêî äëÿ

óðàâíåíèé ïåðåäà÷è, íî è äëÿ ëþáûõ äðóãèõ âûðàæåíèé, â êîòî-

ðûå âõîäÿò À-ïàðàìåòðû.

5. Ñèììåòðè÷íûå ïàññèâíûå ÷åòûðåõïîëþñíèêè èìåþò òîëüêî

äâà íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðà. Â ñàìîì äåëå, â ñëó÷àå ñèììåòðè÷íîãî

ïàññèâíîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà íå èìååò çíà÷åíèÿ íàïðàâëåíèå ïå-

ðåäà÷è ýíåðãèè: íàïðÿæåíèÿ è òîêè íà âõîäå è âûõîäå íå èçìå-

íÿþòñÿ ïðè çàìåíå ìåñòàìè çàæèìîâ. Ñðàâíèâàÿ óðàâíåíèÿ ïåðå-

äà÷è (12.4) è (12.6), óñòàíàâëèâàåì, ÷òî A

= A

. Èç òàáë. 12.1

íàõîäèì òàêæå, ÷òî â ñèììåòðè÷íûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêàõ Y

= $Y

; Z

= $Z

è D

= $1.

Ëþáîé ñèììåòðè÷íûé ïàññèâíûé ÷åòûðåõïîëþñíèê ïîëíîñòüþ

îïèñûâàåòñÿ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè ïàðàìåòðàìè: A

= A

è ëþáûì

èç ïàðàìåòðîâ A

è A

(òàê êàê îíè ñâÿçàíû óðàâíåíèåì A

$ A

= 1); Y

= $Y

è Y

= $Y

; Z

= $Z

è Z

= $Z

;

= H

è ëþáûì èç ïàðàìåòðîâ H

è H

(òàê êàê äëÿ ñèììåò-

ðè÷íûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ H

$ H

= $1); F

= F

ëþáûì èç ïàðàìåòðîâ F

è F

6. Ïàðàìåòðû-êîýôôèöèåíòû èìåþò îïðåäåëåííûé ôèçè÷åñêèé

ñìûñë. Äëÿ âûÿâëåíèÿ ýòîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà ñëåäóåò ÷åòûðåõ-

ïîëþñíèê ïîñòàâèòü â òàêîé ðåæèì ðàáîòû, ïðè êîòîðîì óðàâíåíèÿ

ïåðåäà÷è ñîäåðæàò ëèøü îäèí èíòåðåñóþùèé íàñ ïàðàìåòð. Ïîäîá-

íîå ïðîèçîéäåò, åñëè èñïîëüçîâàòü ðåæèìû õîëîñòîãî õîäà (XX $

ðàçìûêàíèÿ ïàðû çàæèìîâ) è êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ (ÊÇ $ çàìû-

êàíèÿ íàêîðîòêî ïàðû çàæèìîâ). Òàê, ïðè XX íà çàæèìàõ 2%2 ¢

300

(ñì. ðèñ. 12.1) òîê I

= 0. Òîãäà óðàâíåíèÿ ïåðåäà÷è, ñîäåðæàùèå

òîê I

, íàïðèìåð óðàâíåíèÿ (12.3) â Z-ïàðàìåòðàõ, èìåþò âèä:

111211

è.

UZIUZI

Êîýôôèöèåíò Z

= U

ïðè I

= 0 åñòü âõîäíîå ñîïðîòèâëå-

íèå ÷åòûðåõïîëþñíèêà, èçìåðåííîå ñî ñòîðîíû çàæèìîâ 1%1¢ ïðè

ðàçîìêíóòûõ çàæèìàõ 2%2¢ èëè âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå XX.

Êîýôôèöèåíò

212

= $ îòíîøåíèå êîìïëåêñíîãî äåé-

ñòâóþùåãî íàïðÿæåíèÿ íà ðàçîìêíóòûõ çàæèìàõ 2%2¢ ÷åòûðåõ-

ïîëþñíèêà ê êîìïëåêñíîìó äåéñòâóþùåìó òîêó, ïðîòåêàþùåìó ÷å-

ðåç çàæèìû 1%1 ¢, èëè âçàèìíîå (ïåðåäàòî÷íîå) ñîïðîòèâëåíèå XX.

Ðàññìàòðèâàÿ ðåæèì XX íà çàæèìàõ 1%1¢ (I

= 0), óáåæäàåìñÿ

èç óðàâíåíèé (12.3), ÷òî Z

$ âûõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå ÷åòûðåõïî-

ëþñíèêà ïðè ðàçîìêíóòûõ âõîäíûõ çàæèìàõ, a Z

$ âçàèìíîå

(ïåðåäàòî÷íîå) ñîïðîòèâëåíèå ïðè XX íà çàæèìàõ 1%1¢.

Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî óñòàíîâèòü ôèçè÷åñêèé

ñìûñë îñòàëüíûõ ïàðàìåòðîâ, «óñòðàèâàÿ» ïîî÷åðåäíî XX íà çà-

æèìàõ 2%2¢ (I

= 0) è çàæèìàõ 1%1¢ (I

= 0) è ÊÇ íà ýòèõ æå

çàæèìàõ (U

= 0 è U

= 0) è èñïîëüçóÿ ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíå-

íèÿ ïåðåäà÷è (12.2), (12.4) è (12.5).

7. Èç ïðåäûäóùåãî ñâîéñòâà ñëåäóåò, ÷òî ïàðàìåòðû-êîýôôè-

öèåíòû ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè âåëè÷èíàìè, òàê êàê îíè îïðåäå-

ëÿþòñÿ îòíîøåíèåì êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä (äåéñòâóþùèõ çíà÷å-

íèé) íàïðÿæåíèé è òîêîâ. Â ñëó÷àå àíàëèçà ÷åòûðåõïîëþñíèêà â

ðåæèìå íåãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé èñïîëüçóþò ñïåêòðàëüíûå

ïðåäñòàâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ âåëè÷èí. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïàðà-

ìåòðû-êîýôôèöèåíòû, ðàññìàòðèâàåìûå îòíîñèòåëüíî íå îòäåëüíîé

÷àñòîòû, à îïðåäåëåííîãî ñïåêòðà ÷àñòîò, ÿâëÿþòñÿ ðàöèîíàëüíûìè

ôóíêöèÿìè îïåðàòîðà jw. Ïðè ïåðåõîäå îò îïåðàòîðà jw ê îïåðà-

òîðó ð ïàðàìåòðû-êîýôôèöèåíòû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàöèîíàëü-

íûå ôóíêöèè îïåðàòîðà ð.

Ïðèìåð. Äëÿ ÷åòûðåõïîëþñíèêà íà ðèñ. 12.2, á îïðåäåëèì ïàðàìåòð Z

Èñõîäÿ èç ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà ïàðàìåòðà Z

(îí ÿâëÿåòñÿ âõîäíûì ñîïðî-

òèâëåíèåì Ã-îáðàçíîé ñõåìû ïðè ðàçîìêíóòûõ çàæèìàõ íà âûõîäå), îïðåäåëÿ-

åì èç ðèñ. 12.2, á: Z

= Z

+ Z

Ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

====+

11122

1112

21222

AUAI

ZZZ

AUAI

ãäå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ A

è A

âçÿòû èç ïåðâîãî ïðèìåðà ýòîé ãëàâû.

Ïóñòü äàëåå äâóõïîëþñíèê Z

ñîñòîèò òîëüêî èç èíäóêòèâíîñòè L, à äâóõ-

ïîëþñíèê Z

$ òîëüêî èç åìêîñòè Ñ. Òîãäà, èñïîëüçóÿ îïåðàòîðíóþ ôîðìó

çàïèñè, ïîëó÷àåì

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1211

è1,

ZpLZZpL

pppCppC

===+=