Бакалов В.П. Основы теории цепей. 3-е издание
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221
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1/
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Ðèñ. 9.9
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Ðèñ. 9.10
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( ) ( )
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2
m
A
FFFjj
j
=+
w-ww+w
w
éùéù
ëûëû
(9.47)
Íà ðèñ. 9.8 ïîêàçàí âèä ñïåêòðà ðàäèîèìïóëüñà.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî íàéòè ñïåêòð ñèãíàëîâ è áîëåå
ñëîæíîé ôîðìû.
Ïðèìåð. Íàéòè ñïåêòð ýêñïîíåíöèàëüíîãî èìïóëüñà
( )
ïðè 0,
0
ïðè 0.
t
et
f
t
t
-a
ì
=
í
<
î
 ñîîòâåòñòâèè ñ ïðÿìûì ïðåîáðàçîâàíèåì (9.6) ïîëó÷àåì
( )
( )
( )
22
0
11
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t
j
j
Fedte
j
j
¥
-
a+w
-j
w
===
w
a+w
a+w
ò
ãäå
( )
22
1F
j
=a+w
w
% àìïëèòóäíûé (ðèñ. 9.9, à) è
(
)
(
)
arctg
j=
wa
w
%
ôàçîâûé (ðèñ. 9.9, á) ñïåêòðû ñèãíàëà.
Ïðèìåð 2. Îïðåäåëèòü ñïåêòð çàòóõàþùåãî êîëåáàíèÿ (ðèñ. 9.10)
( ) ( )
1
1sin.
t
fet
tt
-a
=w
Ñîãëàñíî (9.6) íàõîäèì
( )
( )
1
1
222
1
0
sin.
2
t
j
Fetdt
j
j
¥
-
a+w
w
=w=
w
a-w+w+aw
ò
Îòñþäà íàõîäèì ñïåêòðû:
222
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w
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Fj
w
à
)
jw
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á
)
0
w
p
/2
1
22
1
w
a+w
Ðèñ. 9.11
àìïëèòóäíûé (ðèñ. 9.11, à)
( )
( )
( )
1
2
2
222
1
2
F
j
w
=
w
+
a-w+w
aw
è ôàçîâûé (ðèñ. 9.11, á)
( )
222
1
2
arctg.
aw
jw=
a-w+w
 òàáëèöå 9.1 ïðèâåäåíû ñïåêòðû íåêîòîðûõ íàèáîëåå ðàñïðî-
ñòðàíåííûõ ñèãíàëîâ.
9.5. ×àñòîòíûé àíàëèç ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
ïðè íåïåðèîäè÷åñêèõ âîçäåéñòâèÿõ
Ïðåäñòàâëåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ ñèãíàëîâ â ôîðìå èíòåãðàëà
Ôóðüå (9.6) è (9.7) ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü ê áåñêîíå÷íî ìàëûì ãàð-
ìîíèêàì, ñîñòàâëÿþùèì åãî ñïåêòð, ÷àñòîòíûå ìåòîäû àíàëèçà
ðàññìîòðåíû â ãë. 3 è 4.  ÷àñòíîñòè, åñëè öåïü íàõîäèòñÿ ïðè íó-
ëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (ò. å. äî íà÷àëà âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ â
ðåàêòèâíûõ ýëåìåíòàõ öåïè íå áûëà íàêîïëåíà ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷å-
ñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé), òî ïî àíàëîãèè ñ (3.46), (3.48) è (3.49)
ìîæíî çàïèñàòü çàêîíû Îìà è Êèðõãîôà äëÿ ñïåêòðîâ:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
;
IUZUY
jjjjj
==
wwwww
(9.48)
( )
1
0;
m
k
k
I
j
=
=
w
å
(9.49)
( )
1
0,
n
k
k
U
j
=
=
w
å
(9.50)
ãäå I(jw), U(jw) % ñïåêòðû òîêîâ è íàïðÿæåíèé âåòâåé ñîîòâåò-
ñòâåííî; Z
1
(jw) è Y(jw) èìåþò ñìûñë êîìïëåêñíûõ ñîïðîòèâëåíèé
è ïðîâîäèìîñòåé âåòâåé
*
. Çàêîíû Îìà è Êèðõãîôà äëÿ ñïåêòðîâ
*
Ýòî ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ ñâÿçè (9.14): I(jw) = TI/ 2; U(jw) = TU/ 2; îòñþäà:
Z(jw) = U(jw)/ I(jw) = U/ I = Z = 1/ Y.
223
Òàáëèöà 9.1
Òèïû ñèãíàëà Ñïåêòð
t
0
1
a
> 0
e
-a
t
S
1
j
a
+
w
0
w
1
a
p
2
-
p
2
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S
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A×Õ
t
0
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|
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|
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2
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a
+
w
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q
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w
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t
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2
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i
n
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2
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-
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w
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pa
f
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p w
è
p w
è
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-
-
ïðè
0 ïðè
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è
è
p
w
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w
w
>w
w
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w
è
w
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w
w
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-a
t
( )
2
2
j
j
a
w+a
+w
w+
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w
Ô×Õ
S
;
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A×Õ
-
w
0
w
0
224
1
2
u
u
C
1
2
R
R
i
Ðèñ. 9.12
ïîçâîëÿþò ðàñïðîñòðàíèòü ðàññìîòðåííûå ðàíåå ÷àñòîòíûå ìåòîäû
àíàëèçà öåïåé ïðè ãàðìîíè÷åñêèõ è ïåðèîäè÷åñêèõ íåñèíóñîèäàëü-
íûõ âîçäåéñòâèÿõ íà íåïåðèîäè÷åñêèå ñèãíàëû.
 ñëó÷àå, åñëè íåîáõîäèìî íàéòè âûõîäíóþ ðåàêöèþ öåïè â âè-
äå ÷åòûðåõïîëþñíèêà ïðè âîçäåéñòâèè íà âõîäå íåïåðèîäè÷åñêîãî
ñèãíàëà, èñïîëüçóþò êîìïëåêñíóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ öåïè (ñì.
§ 4.1). Ïðè ýòîì ñïåêòð âûõîäíîé ðåàêöèè ñîãëàñíî (4.1) è (4.2)
(
)
(
)
(
)
21
.
FFH
jjj
=
www
(9.51)
Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ ñïåêòðà F
2
(jw) âûõîäíàÿ ðåàêöèÿ f
2
(t) ìî-
æåò áûòü íàéäåíà ñ ïîìîùüþ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå
(9.7) èëè ïî òàáëèöàì.
Ïðèìåð. Ðàññ÷èòàòü ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü âûõîäíîãî ñèãíàëà â öåïè
(ðèñ. 9.12), åñëè íà âõîä äåéñòâóåò åäèíè÷íûé èìïóëüñ (ðèñ. 9.7) ñ àìïëèòó-
äîé U
1
= 4 Â.
Äëÿ çàäàííîãî âõîäíîãî ñèãíàëà (3.15) ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå äàåò âûðà-
æåíèå
( )
( )
è
1
11
0
1
t
jtjt
U
UjUedte
j
-w-w
w==-
w
ò
,
êîòîðîå ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïðèíèìàåò áîëåå óäîáíóþ ôîðìó (ñì. (9.46)):
( )
è
èè
1 è
22
11
è
sin
2
2
sin
2
2
tt
jj
è
t
Ut
UjeUte
t
ww
--
w
w
w==
w
w
.
Êîìïëåêñíàÿ ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü âûõîäíîãî ñèãíàëà íàõîäèòñÿ ïî
ôîðìóëå (9.51)
(
)
(
)
(
)
21
UjHjUj
w=w×w
,
ãäå
(
)
Hj
w
$ êîìïëåêñíàÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ öåïè ïî íàïðÿæåíèþ.
Ôóíêöèÿ
(
)
Hj
w
íàõîäèòñÿ êàê îòíîøåíèå êîìïëåêñíîãî çíà÷åíèÿ ãàðìîíè÷å-
ñêîãî íàïðÿæåíèÿ
2
U
íà âûõîäå öåïè ê êîìïëåêñíîìó çíà÷åíèÿ ãàðìîíè÷å-
ñêîãî íàïðÿæåíèÿ
1
U
òîé æå ÷àñòîòû, ïðèëîæåííîìó êî âõîäó öåïè:
( )
( )
2
21
12
1
.
1
jRC
HUU
j
jC
RR
+w
==
w
+w
+
Ïðè ýòîì ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü âûõîäíîãî ñèãíàëà:
( )
( )
( )
è
12
è
2
2
12
21
sin
12
t
j
UjRC
t
Uje
jRRC
w
-
+w
w
w=
w+w+
éù
ëû
.
Îòñþäà íàõîäèì ìîäóëè: ñïåêòðàëüíîé ïëîòíî-
ñòè âõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ
( ) ( )
1
è
11
2
sin
2
Ut
UUj
w
w=w=
w
;
À×Õ öåïè
225
0
0
0
50
50
100
100
0,5
150
150
200
200
1
250
250
10
10
10
20
20
20
30
30
30
40
40
40
50
50
50
Uf
.
10, Â
.
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1
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( )
Uf
.
10, Â
.
c
2
_
9
( )
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( )
f, ÌÃö
f, ÌÃö
f, ÌÃö
Ðèñ. 9.13
( ) ( )
( )
( )
2
2
2
22
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1
1
RC
HHj
RRC
+w
w=w=
+w+
;
ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè âûõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ
( ) ( )
( )
( )
2
2
1 è
22
2
22
12
1
2
sin
2
1
RC
Ut
UUj
RRC
+w
w
w=w=
w
+w+
.
Íà ðèñ. 9.13 èçîáðàæåí ñïåêòð âõîäíîãî ñèãíàëà, À×Õ öåïè è ñïåêòð âû-
õîäíîãî ñèãíàëà
(
)
2
U
f
.
9.6. Óñëîâèÿ áåçûñêàæåííîé ïåðåäà÷è ñèãíàëîâ
÷åðåç ëèíåéíóþ öåïü
×àñòîòíûé ìåòîä ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíûì è íà-
ãëÿäíûì ïðè àíàëèçå ïåðåäà÷è ñèãíàëîâ ÷åðåç ëèíåéíóþ ñèñòå-
ìó. Îí ïîçâîëÿåò îöåíèòü ÷àñòîòíûå èñêàæåíèÿ â êàíàëå ñâÿçè,
òðåáîâàíèÿ ê õàðàêòåðèñòèêàì ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Îñîáåííî
âàæíî îïðåäåëèòü òðåáîâàíèÿ ê À×Õ è Ô×Õ öåïè ñ òî÷êè çðå-
íèÿ èñêàæåíèÿ ôîðìû ñèãíàëà. Îïðåäåëèì óñëîâèÿ íåèñêàæàå-
ìîé ïåðåäà÷è ñèãíàëà ÷åðåç ëèíåéíóþ ñèñòåìó. Ïðåäïîëîæèì,
226
0
t
0
ft
1
()
ft
()
t
ft
2
()
Ðèñ. 9.12
÷òî íà âõîäå ëèíåéíîé öåïè, êàê ÷åòûðåõïîëþñíèêà äåéñòâóåò
ñèãíàë f
1
(t) îïðåäåëåííîé ôîðìû (ðèñ. 9.12). Íà âûõîäå â ðå-
çóëüòàòå ïðîõîæäåíèÿ ñèãíàëà ÷åðåç ÷åòûðåõïîëþñíèê ñ êîì-
ïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé H(jw) àìïëèòóäà ñèãíàëà
ìîæåò èçìåíèòüñÿ (íà ðèñ. 9.12 óìåíüøèëàñü), è ñèãíàë âñëåä-
ñòâèå êîíå÷íîñòè ñêîðîñòè åãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìîæåò çàïàçäû-
âàòü îòíîñèòåëüíî âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ íà t
0
. Îäíàêî âàæíî,
÷òîáû ïðè ýòîì íå èçìåíèëàñü ôîðìà ñèãíàëà. Òàêèì îáðàçîì,
óñëîâèå áåçûñêàæåííîé ïåðåäà÷è ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñ ïî-
ìîùüþ ðàâåíñòâà
(
)
(
)
21
0
,
fkf
tt
t
=
-
(9.52)
ãäå k íåêîòîðàÿ âåùåñòâåííàÿ ïîñòîÿííàÿ; t
0
$
âðåìÿ çàäåðæêè
(çàïàçäûâàíèÿ) âûõîäíîãî ñèãíàëà îòíîñèòåëüíî âõîäíîãî. Ïðè-
ìåíèâ ê (9.52) ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è ó÷òÿ ñâîéñòâî ëè-
íåéíîñòè è òåîðåìó çàïàçäûâàíèÿ (ñì. § 9.2), ïåðåïèøåì óñëîâèå
(9.52) â ÷àñòîòíîé îáëàñòè:
( ) ( )
0
21
.
jt
FkFe
jj
-w
=
ww
(9.53)
Òàê êàê êîìïëåêñíàÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ öåïè ñ ó÷åòîì (4.5)
äîëæíà áûòü
( ) ( )
( )
(
)
( )
0
2
1
,
j
jt
F
j
HHeke
jj
F
j
jw
-w
w
===
ww
w
òî îòñþäà ïîëó÷àåì òðåáîâàíèå ê À×Õ è Ô×Õ íåèñêàæàþùåé öåïè
(
)
const;
Hk
j
==
w
(9.54)
(
)
0
,
t
jw=-w
(9.55)
ò. å. äëÿ òîãî, ÷òîáû ëèíåéíàÿ öåïü íå èñêàæàëà ôîðìó ñèãíàëà åå
À×Õ äîëæíà áûòü ðàâíîìåðíîé (ðèñ. 9.13, à), à Ô×Õ $ ëèíåéíîé
(ðèñ. 9.13, á).
Óñëîâèå áåçûñêàæåííîé ïåðåäà÷è âî âñåì ÷àñòîòíîì äèàïàçîíå
ìîæíî âûïîëíèòü ëèøü äëÿ ðåçèñòèâ-
íûõ öåïåé
*
. Â öåïÿõ ñ ðåàêòèâíûìè
ýëåìåíòàìè óñëîâèÿ (9.54) è (9.55)
ìîæíî îáåñïå÷èòü ëèøü â îãðàíè÷åííîì
÷àñòîòíîì äèàïàçîíå w
0
(íà ðèñ. 9.13
ïîêàçàíî ïóíêòèðîì).
 ýòîé ñâÿçè ïðåäñòàâëÿåò ïðàêòè÷åñ-
êèé èíòåðåñ âîïðîñ î âëèÿíèè íà ôîðìó
ñèãíàëà îòêëîíåíèÿ À×Õ è Ô×Õ îò
*
Åñëè ïðåíåáðå÷ü çàâèñèìîñòüþ ñîïðîòèâëåíèé ðåçèñòèâíûõ ýëåìåíòîâ îò ÷àñòîòû
(ñì. ãë. 1).
227
jw
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0
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Hj
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k
w
0
w
à
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0
w
0
w
á
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0
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Hj
w
w
0
w
-
w
0
1
Ðèñ. 9.13 Ðèñ. 9.14
èäåàëüíîé. Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðîõîæäåíèå ñèãíàëà â
ôîðìå åäèíè÷íîé ôóíêöèè, â ôîðìå åäèíè÷íîãî èìïóëüñà è èì-
ïóëüñà ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû ÷åðåç öåïü ñ À×Õ, èçîáðàæåííîé íà
ðèñ. 9.14. Ýòà öåïü ñîîòâåòñòâóåò èäåàëüíîìó ÔÍ× (ñì. ãë. 17) è
çàäàåòñÿ óñëîâèåì
( )
0
00
00
1
ïðè ,
0
ïðè .
jt
e
H
j
-w
ìü
×-w<ww
ïï
=
w
íý
-ww>w
ïï
îþ
(9.56)
Ôèëüòð íèæíèõ ÷àñòîò ïðîïóñêàåò áåç èñêàæåíèé âñå ÷àñòîòíûå
ñîñòàâëÿþùèå îò 0 äî w
0
è çàäåðæèâàåò ñîñòàâëÿþùèå áîëüøå w
0
.
Åäèíè÷íûé èìïóëüñ. Ðàññìîòðèì âíà÷àëå âõîäíîé ñèãíàë f
1
(t)
â ôîðìå åäèíè÷íîãî èìïóëüñà (ðèñ. 7.2, á). Òàê êàê äëÿ åäèíè÷-
íîãî èìïóëüñà F
1
(jw) = 1, òî ñ ó÷åòîì (9.56) è îáðàòíîãî ïðåîáðà-
çîâàíèÿ Ôóðüå (9.7), ïîëó÷èì:
()
( )
( ) ( )
0
0
0
00
00
2
00
1
2
1
cossin.
2
j
tt
fed
t
djd
tttt
w
w
-
-w
ww
-w-w
=w=
p
=w+w
ww
--
éùéù
ëûëû
p
ò
òò
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âòîðîé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ, îêîí÷àòåëüíî ïîñëå
èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷àåì:
()
(
)
( )
0
0
0
2
0
0
sin
.
tt
f
t
tt
w
-
éù
w
ëû
=×
pw
-
(9.57)
Íà ðèñ. 9.15 èçîáðàæåíà ôîðìà âûõîäíîãî ñèãíàëà f
2
(t), îïðå-
äåëÿåìàÿ ôóíêöèåé (9.57). Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ôîðìà âûõîä-
íîãî ñèãíàëà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò âõîäíîãî èìïóëüñà f
1
(t):
îí èñêàæàåòñÿ ïî ôîðìå è ðàñòÿãèâàåòñÿ âî âðåìåíè (òåîðåòè÷åñêè
íà áåñêîíå÷íîñòü), ÷òî îòðàæàåò óñòàíîâëåííîå ðàíåå ñîîòíîøåíèå
ìåæäó äëèòåëüíîñòüþ ñèãíàëà è øèðèíîé åãî ñïåêòðà: ñèãíàë îãðà-
íè÷åííûé ïî ÷àñòîòå % áåñêîíå÷åí âî âðåìåíè è íàîáîðîò (ñì.
§ 9.4). Çàïàçäûâàíèå âûõîäíîãî ñèãíàëà t
0
îïðåäåëÿåòñÿ êðóòèç-
íîé Ô×Õ: t
0
= %dj /dw). Ñ óâåëè÷åíèåì w
0
(ñ ðàñøèðåíèåì ïî-
ëîñû ïðîïóñêàíèÿ ôèëüòðà) øèðèíà ãëàâíîãî ëåïåñòêà èìïóëüñà
228
0
t
ft
1
()
ft
()
1/
t
ft
2
()
w
0
/
p
2/
p
w
0
t
0
t
0
1
ft
2
()
t
0
t
p
/
w
0
0,5
Ðèñ. 9.15 Ðèñ. 9.16
ðàâíàÿ 2p/w
0
% ñóæàåòñÿ, çàäåðæêà t
0
óìåíüøàåòñÿ, àìïëèòóäà
èìïóëüñà óâåëè÷èâàåòñÿ. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî òåîðåòè÷åñêè ñî-
ãëàñíî (9.57) ñèãíàë f
2
(t) ñóùåñòâóåò è ïðè t < 0, ò. å. äî âîçäåé-
ñòâèÿ âõîäíîãî ñèãíàëà, ÷òî êîíå÷íî, ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ ôèçè-
÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè è ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì èäåàëèçàöèè À×Õ
ÔÍ×.
Åäèíè÷íûé ñèãíàë. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîõîæäåíèå ñèãíàëà â
ôîðìå åäèíè÷íîé ôóíêöèè (ðèñ. 7.2, à) ÷åðåç ÔÍ× ñ õàðàêòåðè-
ñòèêîé (9.56). Çàïèøåì óðàâíåíèå åäèíè÷íîé ôóíêöèè 1(t) â èíòå-
ãðàëüíîé ôîðìå
*
:
()
0
111
1sin.
2
td
t
¥
=+×ww
pw
ò
(9.58)
Èíòåãðàë â (9.58) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âåùåñòâåííóþ ôîðìó
îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (9.7) äëÿ íå÷åòíîé ôóíêöèè
f(t) = 1(t) $ 1/2, ñïåêòð êîòîðîé ðàâåí 1/w. Òîãäà íà îñíîâàíèè
(9.58) è ñ ó÷åòîì óñëîâèé (9.52) è (9.56), äëÿ âûõîäíîãî ñèãíàëà
ìîæíî çàïèñàòü:
()
( )
( )
0
2
0 0
0
11111
sinSi.
22
fd
tt tt
t
w
=+×ww=+
w
- -
éù
ëû
pwp
ò
(9.59)
Èíòåãðàë â (9.59) òàáóëèðîâàí è íîñèò íàçâàíèå èíòåãðàëüíîãî ñè-
íóñà: Si[w(t t
0
)]. Íà ðèñ. 9.16 ïðèâåäåí ãðàôèê ñèãíàëà íà âû-
õîäå èäåàëüíîãî ÔÍ×, îïðåäåëÿåìîé ôóíêöèåé (9.59).
Êàê ñëåäóåò èç ïðåäñòàâëåííîãî ãðàôèêà, ÷åì óæå ïîëîñà
ïðîïóñêàíèÿ ÔÍ× (ìåíüøå w
0
), òåì ìåíüøå êðóòèçíà ôðîíòà
íàðàñòàíèÿ èìïóëüñà: df
2
/dt = w
0
/p. Òàêèì îáðàçîì, êàê è â
ñëó÷àå åäèíè÷íîãî èìïóëüñà äëÿ óìåíüøåíèÿ èñêàæåíèé âû-
õîäíîãî ñèãíàëà íåîáõîäèìî ðàñøèðÿòü ïîëîñó ïðîïóñêàíèÿ
ÔÍ×. Âûáðîñû â âûõîäíîì ñèãíàëå îáóñëîâëåíû òåìè æå ïðè-
÷èíàìè, ÷òî è â ñëó÷àå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 9.15 (èäåàëèçà-
öèÿ À×Õ ÔÍ×).
*
Óðàâíåíèå (9.58) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ïóòåì èñïîëüçîâàíèÿ îáîáùåííîãî ïðåîáðà-
çîâàíèÿ Ôóðüå (9.37) äëÿ åäèíè÷íîé ôóíêöèè 1(t) ïðè ñ ® 0.
229
0
1
ft
1
()
t
-
t
/2
è
t
/2
è
-
1
0
1
ft
2
()
t
0
t
0,5
t
è
Ðèñ. 9.17 Ðèñ. 9.18
Ïðÿìîóãîëüíûé èìïóëüñ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçíîñòü
äâóõ åäèíè÷íûõ ôóíêöèé ñäâèíóòûõ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà íà
t
è
/2 (ðèñ. 9.17). Òîãäà ó÷èòûâàÿ ëèíåéíîñòü öåïè è ðàâåíñòâî
(9.59) ïîëó÷èì óðàâíåíèå âûõîäíîãî ñèãíàëà äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ:
()
èè
200
00
1
SiSi.
22
tt
f
tttt
t
ìü
éùéù
æöæö
=w-w
-+--
íý
ç÷ç÷
êúêú
p
èøèø
ëûëû
îþ
(9.60)
Íà ðèñ. 9.18 èçîáðàæåí âèä âûõîäíîãî ñèãíàëà f
2
(t), ò. å., êàê
è â ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ, äëèòåëüíîñòü ôðîíòà íàðàñòàíèÿ è ñïàäà
èìïóëüñà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ïîëîñå ïðîïóñêàíèÿ öåïè w
0
.
×åì óæå ïîëîñà, òåì áîëåå çàòÿíóò ôðîíò èìïóëüñà; ÷åì ìåíüøå
äëèòåëüíîñòü èìïóëüñà, òåì øèðå äîëæíà áûòü ïîëîñà ïðîïóñêà-
íèÿ öåïè. Îáû÷íî íà ïðàêòèêå ïîëîñó ïðîïóñêàíèÿ âûáèðàþò èç
óñëîâèÿ: S
A
= 2/t
è
.
9.7. Ñâÿçü ìåæäó âðåìåííûìè è ÷àñòîòíûìè
õàðàêòåðèñòèêàìè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
Ðàññìîòðåííûå â ãë. 8 è 9 âðåìåííîé è ÷àñòîòíûé ìåòîäû àíà-
ëèçà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ áàçèðóþòñÿ íà äâóõ âçàèìîñâÿçàííûõ
õàðàêòåðèñòèêàõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé: èìïóëüñíîé èëè ïåðåõîä-
íîé, ñ îäíîé ñòîðîíû, è êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè, ñ
äðóãîé. Ìåæäó ýòèìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íîå
ñîîòâåòñòâèå. Îïðåäåëèì ýòó ñâÿçü. Äîïóñòèì, ÷òî íà âõîä ïàññèâ-
íîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé
H(jw) ïðèëîæåíî âîçäåéñòâèå â âèäå åäèíè÷íîé èìïóëüñíîé ôóíê-
öèè. Òîãäà ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ñïåêòð åäèíè÷íîãî èìïóëüñíîãî ñèã-
íàëà ðàâåí åäèíèöå (ñì. (9.39)), ñïåêòð âûõîäíîãî ñèãíàëà ñîãëàñ-
íî (9.51) áóäåò:
(
)
(
)
(
)
(
)
21
1.
FFHH
jjjj
==×
wwww
(9.61)
Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå (9.7) îïðåäåëèò âûõîäíîé ñèãíàë f
2
(t),
êîòîðûé ÷èñëåííî ðàâåí èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêå öåïè:
230
()
( )
1
.
2
jt
hHed
j
t
¥
w
-¥
=w
w
p
ò
(9.62)
Àíàëîãè÷íî ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ ôèçè÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè (8.14)
ìîæíî çàïèñàòü ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå:
( )
()
0
.
jt
Hhedt
j
t
¥
-w
=
w
ò
(9.63)
Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê âàæíîìó âûâîäó: èìïóëüñíàÿ è
êîìïëåêñíàÿ ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè ïàññèâíîé ýëåêòðè÷åñêîé
öåïè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ïàðîé ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (9.62)
è (9.63). À ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, îçíà÷àåò, ÷òî èìïóëüñíàÿ õàðàê-
òåðèñòèêà îäíîçíà÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿåò êîìïëåêñíóþ ïåðåäà-
òî÷íóþ ôóíêöèþ öåïè è íàîáîðîò. Ïðè÷åì, äëÿ h(t) è H(jw)
ñïðàâåäëèâû âñå ñâîéñòâà è òåîðåìû, ðàññìîòðåííûå â § 9.2. Â
÷àñòíîñòè, èç òåîðåìû èçìåíåíèÿ ìàñøòàáà íåçàâèñèìîãî ïåðå-
ìåííîãî ñëåäóåò, ÷òî ÷åì áîëåå ðàñòÿíóòà âî âðåìåíè èìïóëüñíàÿ
õàðàêòåðèñòèêà öåïè, òåì óæå åå À×Õ è íàîáîðîò.  § 9.6 áûëî
ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ íåèñêàæàþùåé ëèíåéíîé öåïè À×Õ äîëæíà
áûòü ðàâíîìåðíà, à ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñîãëàñíî (9.40) èìïóëüñíîé
õàðàêòåðèñòèêå öåïè â âèäå d-ôóíêöèè, ÷òî ïîëíîñòüþ ïîäòâåð-
æäàåò èçëîæåííîå.
Ñâÿçü êîìïëåêñíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ñ ïåðåõîäíîé õàðàê-
òåðèñòèêîé òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî, ïîñêîëüêó ïîñëåäíÿÿ
ñâÿçàíà ñîîòíîøåíèåì (8.2) ñ èìïóëüñíîé õàðàêòåðèñòèêîé öåïè.
Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ýòîé ñâÿçè ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ èíòåãðàëüíûì
ïðåäñòàâëåíèåì åäèíè÷íîé ôóíêöèè (9.58):
()
0
111
1sin
2
td
t
¥
=+ww
pw
ò
(9.64)
ñ ó÷åòîì ôîðìóëû Ýéëåðà (3.18) ïåðåïèøåì (9.64):
()
0
1111
1.
2222
jtjtjt
eee
dd
t
jj
w-ww
¥¥
-¥
-
=+w=+w
pwpw
òò
(9.65)
Åñëè êî âõîäó ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé
H(jw) = |H(jw)|e
j
j
(
w
)
ïðèëîæåíà åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ (9.65), òî
ñèãíàë íà âûõîäå öåïè áóäåò ÷èñëåííî ðàâåí ïåðåõîäíîé õàðàêòå-
ðèñòèêè g (t), ñïåêòð êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî (9.51), ãäå
(
)
1
1
Fj
j
=w
w
. Òîãäà ïîñëå ïðèìåíåíèÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ôóðüå ñ ó÷åòîì (9.65) ïîëó÷èì:
()
()
( )
()
1
0
22
j
jt
He
j
H
ed
t
j
j
w
¥
w
-¥
w
=+w
pw
ò
g